apost 1 exercicios resolvidos matematica

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  • 1. Divisibilidade e numeros InteirosIntrodu ao a aritm tica Modular c ` e Material Complementar Solu oes e Observa oes c c Samuel Jurkiewicz
  • 2. Sum rio a i
  • 3. Captulo 1 Material complementarA sequ ncia de Fibonacci e e A sequ ncia de Fibonacci e: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . `isto e, cada termo e igual a soma dos dois anteriores (com excess o dos adois primeiros que s o iguais a 1. Costumamos simbolizar os termos desta a e esequ ncia por Fn . Assim, F1 = 1, F7 = 13. A formacao da sequ ncia pode serexpressa por: Fn = Fn1 + Fn2 , n Z. e 1. Mostre que dois termos seguidos da sequ ncia de Fibonacci s o primos a entre si, i. ., mdc(Fn , Fn1 ) = 1. e Solu ao c e Utilizando o algortmo de Euclides obtemos a seguinte sequ ncia: Fn = Fn1 + Fn2 onde Fn2 e o resto; Fn1 = Fn2 + Fn3 onde Fn3 e o resto; e . . . e assim por diante. Esta sequ ncia terminar invariavelmente com a resto 1. Por exemplo, calculando o mdc(89, 55): 89 = 55 + 34 55 = 34 + 21 34 = 21 + 13 21 = 13 + 8 13 = 8 + 5 8=5+3 5=3+2 3=2+1 1
  • 4. CAPITULO 1. MATERIAL COMPLEMENTAR 2 e 2. Mostre que dois numeros alternados da sequ ncia de Fibonacci s o pri- a mos entre si, i. ., mdc(Fn , Fn2 ) = 1. e Solu ao c e Utilizando o algortmo de Euclides obtemos a seguinte sequ ncia: Fn = Fn1 + Fn2 Fn = Fn2 + Fn3 + Fn2 Fn = 2 Fn2 + Fn3 onde Fn3 e o resto; Fn2 = Fn3 + Fn4 onde Fn3 e o resto; . . . e o problema se reduz ao tem anterior. 3. Mostre que F5k e multiplo de 5 para qualquer valor de k. Solu ao c Queremos mostrar que F5k e multiplo de 5. Usaremos a inducao sobre k. Se k = 1, F5k = F5 = 1. Se F5k e multiplo de 5 o que acontece com F5(k+1) = F5k+5 ? F5k+5 = F5k+4 + F5k+3 = F5k+3 + F5k+2 + F5k+2 + F5k+1 F5k+5 = F5k+3 + 2 F5k+2 + F5k+1 F5k+5 = F5k+2 +F5k+1 +2F5k+1 +2F5k +F5k+1 = F5k+2 +4F5k+1 +2F5k F5k+5 = F5k+1 + F5k + 4 F5k+1 + 2 F5k = 5 F5k+1 + 2 F5k ` As duas parcelas a direita s o multiplos de 5 (a segunda parcela pela a hipotese de inducao) logo,F5k e multiplo de 5 para qualquer valor de k. 4. Mostre que se 10x + y e divisvel por 7 se e so se x 2y tamb m for. e Solu ao c 10x + y e divisvel por 7 10x + y 7x 7y e divisvel por 7 3x 6y e divisvel por 7 3(x 2y) e divisvel por 7 x 2y e divisvel por 7. 5. Use o exerccio 4 para estabelecer o seguinte crit rio de divisibilidade por e 7: Para saber se um numero e divisvel por 7 multiplicamos o ultimo algar- ismo do numero por 2 e subtraimos o resultado do numero obtido do numero inicial pela supress o do ultimo algarismo. a (a) Exemplo: 294 29|4 29 8 = 21 294 e divisvel por 7. (b) Exemplo: 248738 24873 16 = 24857 2485 14 = 2471 247 2 = 245 24 10 = 14 248738 e divisvel por 7. (c) Exemplo: 7557 755 14 = 741 74 2 = 72 7 4 = 3 7557 a n o e divisvel por 7.
  • 5. CAPITULO 1. MATERIAL COMPLEMENTAR 3 Observa ao c Podemos expressar teoricamente o algortmo acima. Um numero qual- quer e expresso por algarismos: ABCDE KLM Se zermos x = ABC KL e y = M , teremos ABCDE KLM = 10x + y que so ser divisvel or 7 se x 2y = ABC KL 2M tamb m for. a e 6. Invente seus exemplos. Verique que, ao contr rio dos algortmos usuais, a e esse crit rio NAO permite descobrir o resto de uma divis o por 7. a Observa ao c De fato, no exemplo anterior a 7557 755 14 = 741 74 2 = 72 7 4 = 3 7557 n o e divisvel por 7. a Mas o resto da divis o de 7557 por 7 e 4 e n o 3. a 7. Na apostila 1, n p gina 45, tem 25 voc construiu a tabela de a a e multiplicacao modulo 5. mod5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Observe que para obter 0 tivemos que ter 0 como fator. No tem 24 fabri- camos a tabela da multiplicacao modulo 4. mod4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Voc consegue encontrar um produto que d 0 com os dois fatores difer- e e rentes de 0 ? Isto e o que chamamos um divisor de 0. 8. Voc encontra divisores de 0 na tabela de multiplicacao modulo 7 ? e Solu ao c N o h divisores de 0 na tabela de multiplicacao modulo 7. a a
  • 6. CAPITULO 1. MATERIAL COMPLEMENTAR 4 9. Voc encontra divisores de 0 na tabela de multiplicacao modulo 6 ? e Solu ao c Sim, o 2 e o 3. 10. Em que tabelas voc encontra divisores de 0 ? e quem s o os divisores 0? e a Solu ao c Encontramos divisores de 0 na tabela de multiplicacao modulo n se e so se n for primo. Se o numero n for composto os divisores de 0 s o os a numeros m para os quais mdc(m, n) > 1. A fun ao de Euler c A fun ao de Euler c Dizemos que um numero n e co-primo com m se mdc(m, n) = 1,