apost matematica solução e gabarito

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  • 1. EUREKA!Edio Especial, 2007
  • 2. Sociedade Brasileira de MatemticaDiretor: Csar CamachoSociedade Brasileira de MatemticaPresidente: Joo Lucas Marques BarbosaApoio:Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico - CNPqInstituto do Milnio - Avano Global e Integrado da Matemtica BrasileiraAcademia Brasileira de CinciasMinistrio da Cincia e Tecnologia - MCTMinistrio da Educao - MECComisso Nacional de Olimpadas de MatemticaEstrada Dona Castorina, 110. Jardim Botnico, Rio de Janeiro RJ, CEP: 22460-320Telefone : (21) 25295077 Fax: (21) 25295023e-mail: obm@impa.br Home-page: www.obm.org.brCoordenador: Edmilson Luis Rodrigues MottaMembros da Comisso: Antonio Caminha Muniz Neto, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira,Carlos Yuzo Shine, Eduardo Wagner, lio Mega, Florncio F. Guimares Filho, Luciano Guima-res Monteiro de Castro, Luzinalva Miranda de Amorim, Nicolau Coro Saldanha, Onofre Cam-pos da Silva Farias, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Pablo Rodrigo Ganassim, Ralph Costa Teixeira,Ronaldo Alves Garcia, Yoshiharu Kohayakawa.Secretria Executiva: Nelly Carvajal Flrez.Secretria Assistente: Sonia de Souza Silva de Melo.Comit Editorial da EUREKA!Antonio Luiz SantosElon Lages LimaNicolau Coro SaldanhaPaulo Cezar Pinto CarvalhoSergio Plaza SalinasEditor ResponsvelPaulo Cezar Pinto CarvalhoEditorao Eletrnica Desenho da CapaMarcos Machado Daniel Assuno Andrade Carolina Fontenelle de Mello e SouzaTiragem Postagem4000 exemplares Primeiro Semestre de 2007EUREKA! Edio Especial OBMEP, 2007 ISSN 1415-479XOs artigos assinados so da responsabilidade dos autores. permitida a reproduo de artigos,desde que seja citada a fonte.EUREKA! Edio Especial, 2007 2
  • 3. Sociedade Brasileira de MatemticaNDICENmeros mgicos e contas de dividir 05Dois problemas sobre grafos 08Paridade 15Adedanha ou De como os deuses trouxeram paz ao mundo 22Quadrilteros e tringulos 29Contar duas vezes para generalizar o retorno 33Os nmeros irracionais 38XXVII Olimpada Brasileira de Matemtica 49Problemas e Solues da Primeira FaseXXVII Olimpada Brasileira de Matemtica 62Problemas e Solues da Segunda FaseOlimpada de Maio - Problemas 85Olimpada de Maio - Solues 88Coordenadores Regionais OBM 100EUREKA! Edio Especial, 2007 3
  • 4. Sociedade Brasileira de MatemticaCaros LeitoresEste nmero da revista Eureka! foi especialmente preparado para uso no estgiodos alunos contemplados com bolsas de Iniciao Cientfica na Olimpada Bra-sileira de Matemtica das Escolas Pblicas (OBMEP).A Eureka! a revista da Olimpada Brasileira de Matemtica (OBM) e distri-buda gratuitamente a todas as escolas participantes. J foram publicados 25nmeros da revista, o primeiro em maio de 1998. Cada edio contm artigosem diversos nveis de dificuldade e provas de competies nacionais e interna-cionais. Para este nmero especial, selecionamos sete artigos publicados emnmeros anteriores da Eureka! e as provas da 1a e 2a fases da OBM-2005. Pu-blicamos tambm as provas de 2006 da Olimpada de Maio, que uma compe-tio internacional promovida pela Olimpada de Matemtica Argentina, abertaa todas as escolas que dela queiram participar.A OBM, realizada desde 1979, a mais tradicional das competies matemti-cas brasileiras. Vrios pesquisadores brasileiros de destaque na Matemtica ouem reas afins tiveram na participao na OBM um importante ponto de partidaem suas carreiras. Os resultados obtidos na OBM so tambm fator fundamentalna escolha das equipes que representam o Brasil nas principais competies in-ternacionais de Matemtica (a Olimpada do Cone Sul, a Olimpada Ibero-Americana e, a mais importante delas, a Olimpada Internacional de Matemti-ca, na qual estudantes brasileiros j obtiveram 7 medalhas de ouro). A OBM disputada em trs fases, sendo a ltima de nvel comparvel ao das olimpadasinternacionais.Convidamos os alunos bolsistas da OBMEP a participarem tambm da OBM,mesmo que sua escola no esteja inscrita para participar. Em carter excepcio-nal, os bolsistas da OBMEP podem participar a partir da 2 fase, com as provassendo aplicadas pelas coordenaes de estgio.Tambm convidamos todos a visitar a pgina de Internet da OBM:http://www.obm.org.br . Nela, podem ser encontrados todos os nmeros da re-vista Eureka!, as provas dos anos anteriores da OBM e das diversas competi-es internacionais e, esperamos, ainda mais razes para apreciar a Matemtica. Os EditoresEUREKA! Edio Especial, 2007 4
  • 5. Sociedade Brasileira de Matemtica NMEROS MGICOS E CONTAS DE DIVIDIR Carlos Gustavo Tamm de Arajo Moreira Nvel Iniciante.Temas muito inocentes de aritmtica bsica, como contas de multiplicar,podem gerar resultados bastante interessantes e surprendentes, como aomultiplicar o nmero 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7:142857 2 = 285714142857 3 = 428571142857 4 = 571428142857 5 = 714285142857 6 = 857142Por que razo acontece essa repetio dos dgitos de 142857 ao multipli-c-lo por 2, 3, 4, 5 e 6, sempre com a mesma ordem circular? Ser meracoincidncia? Ser possvel obter outros exemplos desse tipo?A resposta tem a ver com o resultado de 142857 7, que 999999. Issoquer dizer que o perodo da representao decimal de 1/7 exatamente142857. Vamos examinar com cuidado a conta de diviso de 1 por 7:10 730 0,142857 20 60 40 50 1repetindo o resto 1, o que quer dizer que todo o processo se repete e oresultado da diviso 1/7 = 0,142857142857142857Podemos reescrever o processo assim: 1 =07+110 =17+330 =47+220 =27+6EUREKA! Edio Especial, 2007 5
  • 6. Sociedade Brasileira de Matemtica60 =87+440 =57+550 = 7 7 + 1. Da temos:10 7 1 = 3, e portanto 100-7 10 = 30, e como 30 7 4 = 2 temos:100 7 (10 + 4) = 2, e analogamente obtemos:1000 7 (100 + 40 + 2) = 610000 7 (1000 + 400 + 20 +8) = 4100000 7 (10000 + 4000 + 200 + 80 + 5) = 51000000 7 (100000 + 40000 + 2000 + 800 + 50 + 7 ) = 1( A ltima igualdade diz que 142857 7 = 999999)Desta forma, os restos sucessivos que aparecem na diviso de 1 por 7,que so 3, 2, 6, 4, 5, 1 so, respectivamente, os restos na diviso por 7 de10, 100, 1000, 10000, 100000 e 1000000. Estes restos assumem todos osvalores possveis entre 1 e 6 e isso equivale ao fato de o perodo de 1/7ter 6 casas. Desta forma, temos:2 0,142857142857142857 = 2/7 = 100/714 = 100 0, 142857142857142857 14 = 0,285714285714285714, e, portanto, temos 2 142857 = 285714Da mesma maneira temos que 3/7 = 10/7 1 implica 3 142857 =428571, e as outras igualdades seguem de modo anlogo.Notemos agora que sempre que o perodo da representao decimal de1/n tiver n 1 casas decimais (que o mximo possvel), o perodo (queser igual a (10n-1 1) / n ) ter as mesmas propiedades de 142857. Oprimeiro valor de n maior que 7 para o qual isso acontece 17, e o per-odo de 1/17 0588235294117647. Multiplique esse nmero por 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17 para conferir.Observe que, para que isso acontea, n deve ser um nmero primo, poisse n = p b, com b maior que 1 e p um nmero primo diferente de 2 e5, ento p nunca aparecer como resto na diviso de 1 por n, pois em ge-ral um fator primo comum de n e de um resto que aparece na diviso de1 por n s pode ser 2 ou 5 ( de fato, um resto que aparece na diviso deEUREKA! Edio Especial, 2007 6
  • 7. Sociedade Brasileira de Matemtica1 por n resto da diviso de alguma potncia de 10 por n ). Por outrolado, se os nicos fatores primos de n so 2 e 5, ento 1/n temrepresentao decimal finita. Concluso: Se o perodo de 1/n tiver n1 casas decimais, ele terpropiedades anlogas s de 142857: os dgitos de seus produtos por 1, 2,3, 4, , n1 sero sempre os mesmos, na mesma ordem circular. Paraque isso acontea, n deve ser primo e a menor potncia de 10 que deixaresto 1 quando dividida por n deve ser 10n1. Dizemos que, nesse caso,10 raiz primitiva mdulo n. No se sabe se existem infinitos primos ncom essa propriedade. Isso seguiria de uma famosa conjectura de teoriados nmeros, a conjectura de Artin (vide [V]). Os nmeros primos n menores que 100 tais qu