Ângulos, triângulos e quadriláteros

30
Iníc io Sair Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. Demonstração a + x = 180º b + x = 180º I = II a + x = b + x a + x x = b + x x a + 0 = b + 0 a = b I II Ângulos opostos pelo vértice

Upload: antonio-magno-ferreira

Post on 08-Apr-2017

1.621 views

Category:

Education


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início Sair

Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

Demonstração

a + x = 180º b + x = 180ºI

= IIa + x = b + x

a + x – x = b + x – xa + 0 = b + 0

a = b

I

II

Ângulos opostos pelo vértice

Page 2: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Ângulos formados por duas retas concorrentes

• r e s são duas retas concorrentes que determinam os ângulos , , ede medidas a, b, c e d, respectivamente.

• e são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º).

• e são ângulos opostos pelo vértice (a = c).

Page 3: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Ângulos correspondentes

a = eb = fc = gd = h

Ângulos colaterais externos

a + h = 180º

b + g = 180º

Ângulos alternos externos

a = g b = h

Ângulos alternos internos

c = e d = f

Ângulos colaterais internos

c + f = 180ºd + e = 180º

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal

eee

e

e

e

e

e

e

e e e

Page 4: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Se x + y + z = 180º, então podemos concluir que:

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

• x é a medida de ;

• y é a medida de , pois e são ângulos alternos internos, e a reta r é paralela à reta BC;

• z é a medida de , pois as retas r e a reta BC são paralelas, e e são ângulos alternos internos.

= 180º.+ +

Page 5: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Relação que envolve as medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo

180º

Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

180º+ +

+ x =

x = +

y = + z = +

=

onde x é a medida do ângulo externo, e esão ângulos internos não adjacentes a ele.

Page 6: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Tomamos dois pontos na região limitada pelos polígonos:X e Y no polígono ABCDE M e N no polígono PQRST

Polígonos convexos e polígonos não convexosPolígonos

O segmento de reta XY, independentemente das posições dos pontos X e Y, sempre estará inteiramente contido na região limitada pelo polígono ABCDE. Quando isso ocorre chamamos o polígono de convexo.

No polígono PQRST é possível encontrar dois pontos (M e N) tal que o segmento de reta MN não esteja inteiramente contido na região limitada por esse polígono. Por isso ele é chamado de polígono não convexo.

A

B

C

D E

XY

P Q

R

S

T

M

N

Page 7: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Elementos de um polígono convexo

Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e ângulos externos é o mesmo.

Page 8: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)

Si = 180º = 1 . 180º

Número de lados menos 2 (3 – 2)

Si = 2 . 180º = 360º

Número de lados menos 2 (4 – 2)

Si = 3 . 180º = 540º

Número de lados menos 2 (5 – 2)

Se um polígono convexo tem n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos (Si) é dada pela equação:

Si = (n – 2) . 180º

Page 9: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

+ =

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo (Se)

SeSi 5 . 180º

Si = (n – 2) . 180º

Si = (5 – 2) . 180º

Si = 540º

540º + Se = 900º540º – 540º + Se = 900º – 540º

Se = 360º

Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360º.

Exemplo+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

Page 10: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Ângulos internos e ângulos externos de polígonos regulares

Indicamos por:

ai: medida de cada ângulo interno. ai = =

ae: medida de cada ângulo externo. ae = =

Um polígono convexo é um polígono regular quando tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos com a mesma medida.

Page 11: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Números de diagonais de um polígono convexo

d =

número de diagonais que partem de cada vértice

número de lados

Dividimos por 2 para nãocontar cada diagonal 2 vezes.

A

B

CD

E

Page 12: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Elementos de um triângulo

Vértices: pontos A, B e C.

Ampliando o estudo dos triângulos

Ângulos internos: , e .

Lados: segmentos de reta , e .

Ângulos externos: , e .

O lado oposto ao ângulo é o lado .

O ângulo é o ângulo oposto ao lado .

Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .

Os ângulos e são adjacentes suplementares .

Page 13: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Condição de existência de um triângulo

Desigualdade triangular

Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a somadas medidas dos outros dois lados.

a < b + c

b < a + c

c < a + ba

bc

3 cm

4 cm

2 cm

4 cm

2 cm 1,5 cm

Page 14: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Observe que ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.

>90º >60º 30º

Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado e, reciprocamente, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Da mesma forma, ao menor ângulo opõe-se o menor lado e, reciprocamente, ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

> >

A

BC

60º

30º

Lados opostos

Page 15: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Figuras congruentes e congruência de triângulosFiguras congruentes

Congruência de triângulos

A congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos.

A

B

C

DP

Q40º

40º

A B

C

P Q

R

Page 16: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Casos de congruência de triângulos1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)

Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes.

A

B

C E

F

G

Então:

Page 17: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

2o caso: LLL (lado, lado, lado)

Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.

A B

C

EF

G

Então:

Page 18: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)

Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado eos dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.

A B

C

E F

G

Então:

Page 19: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)

Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ânguloadjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

A

B

C

E F

G

Então:

Page 20: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Mediana, bissetriz e altura de um triânguloMediana de um triângulo

Mediana de um triângulo é o segmento de reta que tem como extremidades um vértice do triângulo e o ponto médio do lado aposto a esse vértice.

Baricentro de um triângulo

Em todo triângulo, as três medianas cruzam-se em um mesmo ponto, chamado baricentro do triângulo.

O baricentro de qualquer triângulo divide a mediana na razão de 1 para 2.

A

B CM

F

G HM

NL B

Page 21: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Bissetriz de um triângulo

Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo interno ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.

Incentro de um triângulo

Em todo triângulo, as três bissetrizes cruzam-seem um mesmo ponto, chamado incentro do triângulo.

A

B CS

P

Q R

I

Page 22: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Altura de um triângulo

Altura de um triângulo é o segmento de reta com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.

A

B CH

E

F G

P

QR

X

Page 23: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Ortocentro de um triângulo

Em todo triângulo, as três alturas ou seus prolongamentos cruzam-se em um mesmo ponto, chamado de ortocentro do triângulo.

A

B CH

PR

Page 24: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Mediatriz de um segmento de reta e circuncentro de um triângulo

Mediatriz de um segmento de reta Circuncentro de um triângulo

• m é a mediatriz de

FC

B

mediatriz de

mediatriz de

mediatriz de

P

C

BAM

m

• e é reto

Page 25: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Paralelogramos

Todo quadrilátero cujos ladosopostos são paralelos.

Propriedades dos paralelogramos

1a propriedade: Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes e dois ângulos não opostos são suplementares.

Ampliando o estudo dos quadriláteros

BA

C D// e //

BA

CD

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

=

=

Page 26: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

2a propriedade: Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

Pelo caso ALA, concluímos que:

3a propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

Ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais,é o ponto médio das duas diagonais.

(medidas de ângulos alternos internos)=

(medidas de ângulos alternos internos)=

. Logo, e .

(caso ALA)

Então:

e

(lado comum)

Page 27: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Propriedade dos retângulosAs diagonais de um retângulo são congruentes.

As diagonais de um retângulo são congruentes e cortam-se ao meio.

A B

CD

A

D C

B

CD

(retos)

(lados opostos de um retângulo)

(lado comum)

Pelo caso LAL, temos: .

Portanto:

Page 28: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Propriedade dos losangos

As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Como então e+ = 180º, = 90º.= 90º

Logo, e são perpendiculares entre si.

Então, está sobre as bissetrizes de e de .

Pelo caso LLL, temos e daí temos = .

Pelo caso LLL, temos e daí temos e .

Page 29: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Trapézios

Quadriláteros que têmapenas dois lados paralelos.

: base menor

: base maior//

Tipos de trapézio

Trapézio retângulo é aquele que tem doisângulos internos retos.

Trapézio isósceles é aquele que tem dois lados não paralelos congruentes, isto é, de medidas iguais.

A B

CDP Q

RS

A B

CD

Page 30: Ângulos, triângulos e quadriláteros

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros

Base média de um trapézio

Em todo trapézio, a medida da base média é igual à medida aritmética das medidas das bases maior e menor do trapézio.

MN =

A B

CD

M N