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Conhecimentos geométricos II - Triângulos e Quadriláteros

Gabaritos Comentados dos Questionários Lista de Exercícios 1 01) (ENEM 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: a) 144. b) 180. c) 210. d) 225. e) 240. Resolução:

Utilizando os conceitos de base média, concluímos que: B = (30 + 60) / 2 B = 90/2 B = 45 A = (30 + B) / 2 A = (30 + 45) / 2 A = 75/2 A = 37,5 C = (60 + B) / 2 C = (60 + 45) / 2 C = 105/2 C = 52,5 A soma dos valores dos degraus resulta no comprimento mínimo de madeira a ser cortado.



30 + 37,5 + 45 + 52,5 + 60 = 225. ALTERNATIVA D 02) (OBMEP 2008) Na figura o ângulo ADC mede 48° e os triângulos ACD, DBE e EAF são isósceles de bases AD, DE e EF, respectivamente. Quanto mede o ângulo DEF?

a) 36°. b) 40°. c) 42°. d) 48°. e) 58°. Resolução:



Como o triângulo ACD é isósceles de base AD o ângulo CAD = 48°. Pela soma dos ângulos internos do triângulo temos que o ângulo ACD = 84°. Este ângulo forma um ângulo raso com o ângulo ACB, portanto ACB = 180° - 84° = 96°. Prolongando o segmento DA, temos que o ângulo FAG é o oposto pelo vértice do ângulo CAD, ou seja, FAG = 48°. Chamando-se o ângulo DEB de h, e sabendo que o triângulo DEB é isósceles com base DE, temos que o ângulo BDE é h também, de modo que o ângulo externo ABC é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes do triângulo DEB (ABC = 2h). Chamando os suplementares do ângulo FAG de x e y, respectivamente, temos que: (1) x + y = 132°. Considerando-se o triângulo FAE, temos que: (2) f + f + 48° + x = 180° → 2f + x = 132° → 2f = 132° - x Considerando-se o triângulo ABC, temos que: (3) 96° + y + 2h = 180° → y + 2h = 84° Substituindo (1) em (2), temos que: 2f = 132 – x → 2f = y Substituindo (2) em (3), temos que: 2f + 2h = 84° → f + h = 42° Como f + h = Ê, temos que Ê = 42°. ALTERNATIVA C 03) (OBMEP 2009) A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião. O primeiro trecho faz um ângulo de 18º com a direção norte e o segundo, um ângulo de 44º, também com a direção norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o ângulo desse trecho com a direção norte?

a) 12º. b) 13º. c) 14º. d) 15º. e) 16º. Resolução:



Como os segmentos AF e ED apontam para o norte, eles são paralelos. Assim o ângulo FAB = DBA = 18°. Assim o ângulo: CBA + 44° + DBA = 180° → CBA = 180° - 44° - 18° → CBA = 118°. Como os trechos CB = AB, pois medem 300 km cada um, temos que ACB = 18° + CAF e: ACB + (18° + CAF) + CBA = 180° → (18° + CAF). 2 + 118° = 180° 2CAF = 180° - 118° - 36°→ CAF = 26°/2 → CAF = 13°. ALTERNATIVA B 04) (FUVEST 1998)

As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é: a) 30. b) 40. c) 50. d) 60. e) 70. Resolução:



Ao traçar as linhas paralelas t e s temos que o ângulo suplementar de 140° (a) é alterno interno de b, portanto: a = b = 40° Vemos um ângulo raso formados pelos ângulos b, y e 120°. Assim: 40° + y + 120° = 180° → y = 180° - 160° → y = 20° Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que: 90° + 20° + x = 180° → x = 180° - 110° → x = 70°. ALTERNATIVA E 05) (OBMEP 2005) O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BAC mede 30

o. O

triângulo BCD é isósceles de base BD. Determine a medida do ângulo DCA.

a) 45°. b) 50°. d) 60°. d) 75°. e) 90°. Resolução: Como o triângulo ABC é isósceles, os ângulos dos vértices B e C são iguais. Considerando os ângulos CBA e BCA iguais e iguais a x e BAC = 30°, temos: 2x + 30° = 180° → 2x = 150° → x = 75° Como o triângulo BCD também é isósceles e temos que o ângulo DBC = BDC = 75° e que o ângulo BCD = 30° BCD + DCA = BCA → 30° + DCA = 75° → DCA = 45°. ALTERNATIVA E 06) (OMM 2007) Na estrela ABCDE da figura sabemos que GBF = 20

o, GHI = 130

o e GFJ =

100o. O valor do ângulo GCH é:



a) 30

o.

b) 40o.

c) 50o.

d) 60o.

Resolução:

Considerando os ângulos GBF = 20

°, GHI = 130

° e GFJ = 100

°. Temos que o triângulo BHE tem

a soma de seus ângulos internos 20° + 130° + a = 180°, ou seja, a = 30°. Agora, observando o triângulo CFE temos que: a + 100° + x = 180° → 30° + 100° + x = 180° x = 180° - 130° → x = 50°. ALTERNATIVA C



07) (OBM 2009) Na figura abaixo, α =18º e AB = AC = AD = AE. O valor do ângulo β é:

a) 18°. b) 36°. c) 15°. d) 20°. e) 30°. Resolução:

No triângulo isósceles ABE, temos: ângulo ABE + ângulo AEB + 3x18° = 180° x + x + 54° = 180° 2x = 126° x = 63° No triângulo isósceles ABC, temos ângulo ABC + ângulo ACB + 18° = 180° y + y + 18° = 180° 2y = 162° y = 81° ângulo ABC = 63° + β 81° = 63° + β β = 81° - 63° β = 18° ALTERNATIVA A



08) (UFJF 2002) Na figura abaixo, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas.

Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a: a) 70. b) 60. c) 45. d) 40. e) 30. Resolução:

Como o ângulo x e o de 20° são opostos pelo vértice temos que x = 20°. O ângulo α possui seu correspondente no pequeno triângulo. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° e as retas r e s são perpendiculares (formam um ângulo de 90°), temos: α + x + 90° = 180º → α + 20° + 90° = 180° → α = 180° - 110° → α = 70°. ALTERNATIVA A 09) (OBM 1998) Um viajante deveria caminhar durante uma hora num sentido entre o norte e o leste, fazendo 30

0 com o norte. Atrapalhou-se e caminhou uma hora num sentido entre o norte

e o oeste, formando 300 com o norte. Para chegar ao seu destino, ele deve agora tomar um

rumo que faça com o norte um ângulo de: a) 0º. b) 30º. c) 45º. d) 60º. e) 90º. Resolução:



Observando o desenho temos: Ponto i é o ponto inicial do viajante. Ele deveria caminhar durante uma hora para o sentido da reta pontilhada verde, formando um ângulo de 30° com o sentido norte. Porém, ele caminhou durante uma hora no sentido oposto (linha vermelha), formando também um ângulo de 30° com o sentido norte também. No final ele chegou ao ponto a e, para retomar a direção certa e chegar ao lugar que quer, ele deve seguir pra leste. Como ele andou durante o mesmo tempo que andaria para o sentido certo e com o mesmo ângulo de distância par ao sentido norte nota-se que ele precisa apenas caminhar para o leste, formando um triângulo isósceles em que o sentido norte é a bissetriz e altura relativa do triângulo formado. Assim o ângulo entre o sentido que ele deve seguir e o sentido norte deve ser de 90°. ALTERNATIVA E 10) (OMM 2008) Na figura estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Qual é o valor em graus do ângulo marcado com x?

a) 10º. b) 15º. c) 20º. d) 25º. Resolução:

Encontrando os valores dos ângulos a e b:



65° + 90° + a = 180° → a = 180° - 155° → a = 25° 40° + 60° + b = 180° → b = 180° - 100° → b = 80° Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos: a + b + c = 180° → 25° + 80° + c = 180° → c = 180° - 105° → c = 75° Como os ângulos c e d são opostos pelo vértice: c = d → d = 75° Usando novamente a soma dos ângulos internos temos: d + 90° + x = 180° → 75° + 90° + x = 180° → x = 180° - 165° → x = 15°. ALTERNATIVA B Lista de Exercícios 2 01) (UEPB 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero formam uma P.G. de modo que o último ângulo é quatro vezes maior que o segundo ângulo. A medida do menor desses quatro ângulos, em graus, é: a) 18. b) 26. c) 22. d) 20. e) 24. Resolução: P.G. (x, 2x, 4x, 8x) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero equivale a 360°. x + 2x + 4x + 8x = 360° 15x = 360° x = 24° ALTERNATIVA E 02) (OBM 2007) Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x?

a) 80°. b) 90°. c) 100°. d) 110°. e) 120°. Resolução:



Prolongando o lado AB temos duas retas paralelas. Assim vemos que o ângulo de 60° do triângulo equilátero é alterno interno de y: y = 60 Como os ângulos y e x são suplementares, temos: x + y = 180° → 60° + x = 180° → x = 180° - 60° → x = 120°. ALTERNATIVA E 03) (OBM 2006) Na figura, AB = AC, AE = AD e o ângulo BAD mede 30°. Então o ângulo x mede:

a)10°. b) 20°. c) 15°. d) 30°. e) 5°. Resolução:

A soma dos ângulos a + x é externo ao triângulo ABD. Com isso a + x = b + 30° (soma dos ângulos internos não adjacentes). Portanto: a = b + 30° - x (1) O triângulo ABC é isósceles de base BC e, portanto, b = d. Como o triângulo ADE é isósceles de base DE, temos que a = c. Como c é ângulo externo do triângulo EDC, temos que: c = a = x + b (2) Igualando as equações (1) e (2), temos: b + 30° - x = x + b → x + x + b – b = 30° → 2x = 30° → x = 15°. ALTERNATIVA C



04) (UNIFENAS 2007) Na figura abaixo, tem-se r//s e t//u. Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas em graus, calcule a medida do suplemento do complemento de x.

a) 160. b) 140. c) 110. d) 70. e) 50. Resolução: De acordo com as propriedades das retas paralelas, concluímos que:

Utilizando a propriedade de ângulo externo do triângulo, temos: 60° + 50° = 2x + 10° 110° = 2x + 10°



2x = 100° x = 50° Complemento do ângulo x = y y = 90° - 50° y = 40° Suplemento do ângulo y = z z = 180° - 40° z = 140° ALTERNATIVA B 05) (OBM 2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, α e β são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão α/β ?

a) 3/5. b) 4/5. c) 1. d) 5/4. e) 5/3. Resolução: Considerando AE = BE = CE = CD, temos:

Como o triângulo ECD é isósceles, b = a e a + b + 20° = 180°, temos que a = b = 80°. Como b e c são opostos pelo vértice, temos que c = 80°. Assim, no triângulo isósceles AEB, temos que 2α + c = 180° → α = (180° - 80°)/2 → α = 50°. A soma dos ângulos c + b + d + e = 360° e c = b = 80°, d = e, temos: 160° + 2e = 360° → e = (360° - 160°)/2 → e = 100°. Como o triângulo BEC é isósceles temos que: 2β + 100° = 180° → β = (180° - 100°)/2 → β = 40°. Assim, α/β = 50°/40° = 5/4. ALTERNATIVA D 06) (UFLA 2001) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em B, e o ponto D é o centro da

circunferência inscrita. Sendo C = 40º, o valor do ângulo X é:



a) 230º. b) 210º. c) 130º. d) 250º. e) 300º. Resolução:

As retas que determinam o centro da circunferência inscrita dividem os ângulos internos em dois ângulos iguais (bissetriz). O ângulo CBA é igual a 90°, portanto sua bissetriz equivale a 45°. O ângulo CAB é igual a 180° - 90° - 40°, ou seja, 50°, e sua bissetriz equivale a 25°. Desse modo, encontramos o triângulo ABD, sendo que o ângulo ADB equivale a 180° - 45° - 25°, ou seja, 110°. O valor de X equivale ao valor total da circunferência menos o valor do ângulo ADB. X = 360° - 110° X = 250° ALTERNATIVA D 07) (OBM 2000) No triângulo ABC representado abaixo, a medida do ângulo C é 60° e a bissetriz do ângulo B forma 70° com a altura relativa ao vértice A. A medida do ângulo A é:

AB

C a) 50°. b) 30°. c) 40°. d) 80°. e) 70°.



Resolução: De acordo com os dados do enunciado e da propriedade da soma dos ângulos internos do triângulo, temos:

No triângulo AOC, temos: 60° + 90° + y = 180° 150° + y = 180° y = 180° - 150° y = 30° No triângulo AOB, temos: 20° + 20° + x + 90° = 180° 130° + x = 180° x = 180° - 130° x = 50° Ângulo A = x + y Ângulo A = 30° + 50° Ângulo A = 80° ALTERNATIVA D 08) (OBMEP 2009) No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma medida. Qual é a medida do ângulo BAC?

a) 10º. b) 15º. c) 20º. d) 25º. e) 30º. Resolução: Utilizando o conceito de ângulo externo do triângulo e as informações dadas no enunciado, chegamos aos seguintes valores.



Portanto, no triângulo ABC: 4x + x + 3x + x = 180° 9x = 180° x = 20° 09) (OBM 2006) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

A medida do ângulo x é: a) 39º. b) 41º. c) 43º. d) 44º. e) 46º. Resolução:

O triângulo à esquerda possui ângulos de 90° e 30°, portanto o ângulo a = 60°. A soma dos ângulos: a + b + 90° = 180° → 60° + b + 90° = 180° → b = 30° A soma dos ângulos internos: b +126° + c = 180° → 30° + 126° + c = 180° → c = 24° Os ângulos c e d são correspondentes, assim d = 24°.



A soma dos ângulos: d + 90° + e = 180° → 24° + 90° + e = 180° → e = 66° Os ângulos e e f são correspondentes, assim f = 66°. Já que os ângulos f e g também são correspondentes, g = 66°. A soma dos ângulos internos: g + 75° + h = 180° → 66° + 75° + h = 180° → h = 39° A soma dos ângulos h + 90° + i = 180° → 39° + 90° + i = 180° → i = 51° Somando os ângulos internos do triângulo à direita: i + x + 90° = 180° → 51° + x + 90° = 180° x = 39°. 10) (UFT 2008) Na figura abaixo considere A = 30°, α = B/3 e β = C/3. No triângulo BDC o ângulo D é:

a) 90°. b) 130°. c) 150°. d) 120°. Resolução: ângulo B + ângulo C + 30° = 180° B + C = 150° α = (150° - C) / 3 β = (150° - B) / 3 α + β + ângulo D = 180° (150° - C) / 3 + (150° - B) / 3 + D = 180° 150° - C + 150° - B + 3D = 540° 300° - C – B + 3D = 540° 3D = 540° - 300° + C + B 3D = 540° - 300° + 150° 3D = 390° D = 130° Lista de Exercícios 3



01) (OBM 2005) Na figura, os dois triângulos são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo x?

a) 30º. b) 40 º. c) 50 º. d) 60 º. e) 70 º. Resolução:

As somas dos ângulos: 75° + 60° + b = 180° 65° + 60° + a = 180° Temos que: b = 45° e a = 55° A soma dos ângulos a, b e c deve ser igual à 180° (Soma dos ângulos internos de um triângulo):

55° + 45° + c = 180° c = 180° - 100° c = 80° Como os ângulos c e d são opostos pelo vértice, d = 80° Considerando a soma dos ângulos internos igual a 180°, temo:

x + d + 60° = 180° x + 80° + 60° = 180° x = 180° - 140° x = 40°. 02) (OBM 2004) Na figura, quanto vale x?



a) 6°. b) 12°. c) 18°. d) 20°. e) 24°. Resolução:

O ângulo z é externo ao triângulo com os ângulos 3x e 4x, assim:

3x + 4x = z z = 7x Como z é externo do triângulo com ângulo 5x, temos:

z = 5x + y y = 7x – 5x y = 2x. Como y e z são opostos pelo vértice, temos que z = 2x. A soma dos ângulos internos:

z + 2x + 6x = 180° 2x + 2x + 6x = 180° x = 18°. 03) (FGV-SP 2005) Na figura ao lado, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo CAH. Se c = 30º e b = 110º, então:



a) x = 15º. b) x = 30º. c) x = 20º. d) x = 10º. e) x = 5º. Resolução:

Como o triângulo CAH é um triângulo retângulo e c = 30°, temos que o ângulo do vértice A é igual a 60°. Como a linha tracejada s é a bissetriz do ângulo do vértice A, temos que z = 30°. Como y é ângulo externo do triângulo formado por ACD, temos que ele é a soma dos ângulos internos opostos, ou seja:

y = c + z y = 30° + 30 y = 60° No triângulo DBA, sabendo que a soma dos ângulos internos é igual a 180° e que b = 110°, temos:

y + x + b = 180° 60° + x + 110° = 180° x = 180° - 170° x = 10°.

04) (UFRRJ 1999/2) Na figura abaixo r // s, t // u, v // w e m v. O valor de x é:



a) 60.

b) 30.

c) 20.

d) 10.

e) 50. Resolução:

Os ângulos 120° e a são suplementares, assim: a = 60°. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° temos que:

a + b + 90° = 180° 60° + b + 90° = 180° b = 180° - 150° b = 30° Nota-se que os ângulos b e c correspondentes, assim: c = b = 30°. Como os ângulos c e d são opostos pelos vértices, eles são correspondentes, ou seja, d = 30°. O ângulo x é alterno interno do ângulo e, já que a reta r corta as retas paralelas v e w. O ângulo e é externo ao triângulo formado pelo encontro das retas r, t e w e é igual à soma dos ângulos internos opostos ao suplemento do ângulo e, assim:

x = 20° + d x = 20° + 30° x = 50°



05) (ITA 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC; mede 40°: Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE = 15°: Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC = 35°. Então, o ângulo EDB vale: a) 35°. b) 45°. c) 55°. d) 75°. e) 85°. Resolução: Desenhando o triângulo isósceles ABC de acordo com o enunciado:

Como o triângulo ABC é isósceles de base BC temos que os ângulos ABC e ACB são iguais e iguais a 70°. Como ACE = 15°, temos que BCF = 70° - 15° = 55°. Assim, como DBC = 35°, EBF = 70° - 35° = 35°.

Considerando o ângulo pedido como , o ângulo de 90° no ponto F é externo ao triângulo EDF

temos que 90° = + (90° - ). Observa-se que os triângulos BEF e BCF são congruentes, pois possuem seus três ângulos iguais e compartilham de lados iguais. Assim EF = CF, e como os triângulos compartilham do lado DF e possuem ângulos de 90° entre esses lados, temos que são triângulos congruentes também, ou seja:

Pelos ângulos DEF e DCF: 90° - = 15° = 75°. Ou,

Pelos ângulos EDF e CDF: = 75°. 06) (MACKENZIE 2003) Na figura, AB = AC e CE = CF. A medida de β é:



a) 190°. b) 120°. c) 110°. d) 130°. e) 140°. Resolução:

Como os lados CF = CE temos que a = 40° e pela soma dos ângulos internos de um triângulo:

a + b + 40° = 180° 40° + b + 40° = 180° b = 180° - 80° b = 100°.

Como os ângulos b e c formam um ângulo raso, temos: b + c = 180° c = 180° – 100° c = 80°.



Os ângulos a e d são opostos pelo vértice, portanto d = 40°.

Como o triângulo ABC é isósceles com base BC, o ângulo e = c e = 80°. Assim, se β é ângulo externo do triângulo DEB, temos que ele é a soma dos ângulos não adjacentes a ele, ou seja:

β = d + e β = 40° + 80° β = 120°. 07) (UEG 2006/2) Na figura, para quaisquer que sejam x e y, as medidas dos ângulos satisfazem a relação:

a) y = 90° − x. b) y = 180° − x. c) y = 2x. d) y = 3x. Resolução: De acordo com as propriedades de ângulos opostos pelo vértice e ângulo raso, concluímos que:

De acordo com as propriedades geométricas dos quadriláteros, a soma dos seus ângulos internos é igual a 360°. Logo: x + 90° + y + 90° = 360° x + y + 180° = 360° x + y = 180° y = 180° - x 08) (UNIMONTES 2009) Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado, e NPR é um triângulo equilátero. O ângulo α mede:



a) 30°. b) 15°. c) 75°. d) 25°. Resolução: De acordo com o enunciado e com as propriedades das figuras geométricas, concluímos que:

α + 75° = 90° α = 15° 09) (UNIMONTES 2007/2) Na figura, BM é bissetriz de B. O valor do ângulo y é:

a) 114º. b) 32º. c) 66º. d) 124º. Resolução: Ângulo ABM = MBC, logo, no triângulo ABC: 2x + 16° + x + 2(3/4x + 10°) = 180° 2x + 16° + x + 3/2x + 20° = 180° 4x + 32° + 2x + 3x + 40° = 360°



9x + 72° = 360° 9x = 288° x = 32°

No triângulo BMC: 34° + 32° + y = 180° 66° + y = 180° y = 114° 10) (UNIMONTES 2006/2) Se, na figura abaixo, α é o triplo de β e γ o sêxtuplo de β , então o ângulo x tem medida igual a:

a) 25º. b) 50º. c) 100º. d) 75º. Resolução: Se α = 3β, a soma dos ângulos internos do triângulo ABC:

β + 3β + 80° = 180° 4β = 180° - 80° 4β = 100° β = 25°.

Como γ = 6β γ = 6 . 25° γ = 150° Agora, observando o triângulo ECD temos que o suplemento de γ é o ângulo CDE = 30°. Como o ângulo de 80° é externo ao triângulo, temos que:

80° = x + 30° x = 80° - 30° x = 50°.

conhecimentos geométricos ii - triângulos e quadriláteros · pdf file o...

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