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POLÍGONOS TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS

Nuno Marreiros

7º ANO

Áreas de alguns quadriláteros

Para todo e qualquer retângulo de base (b) e altura (h), pode-se escrever:

Área do Retângulo = medida da base (b) x medida da altura (h)

Exemplo: Determina a área e o perímetro de uma cozinha que tem 4m de comprimento e 2m de largura.

A = 4 x 2 P = 4 + 4 + 2 + 2

A = 8m² P = 12m

Recorda … Área do retângulo

A = b x h

O quadrado é um retângulo cuja base e altura têm medidas iguais.

Área do Quadrado = medida da base (l) x medida da altura (l)

Exemplo: Determina a área e o perímetro de uma praça quadrada sabendo que seu lado mede 45m.

A = 45 x 45 P = 45 + 45 + 45 + 45

A = 2025 m² P = 180 m

Recorda … Área do quadrado

A = l x l = l2

Área do Paralelogramo - Base

• Um paralelogramo é um quadrilátero, onde os lados opostos são congruentes e paralelos.

• Um retângulo é um paralelogramo, mas nem todos os paralelogramos são retângulos (paralelogramos sem ângulos retos).

• Qualquer um dos pares de lados paralelos de um paralelogramo são chamados as bases do paralelogramo.

base

base

A altura de um paralelogramo

• A distância mais curta (distância perpendicular) entre as bases de um paralelogramo é chamado a altura do paralelogramo.

• A altura (height) do paralelogramo é sempre perpendicular às

bases.

Área do Paralelogramo - Altura

A altura pode estar dentro do paralelogramo

A altura pode estar fora do paralelogramo

Qual é a área deste paralelogramo?

b=base

h=height

Área do Paralelogramo


Corta aqui!

b=base

h=height



Move para aqui!

b=base

h=height


É o mesmo que a área deste retângulo!

h=height

b=base


Árearetângulo= base x altura h=height


b=base

Áreaparalelogramo = base x altura

b=base

h=height


Um paralelogramo pode ser decomposto para compor um retângulo.

Área do Paralelogramo = medida da base (b) x medida da altura (h)

Exemplo:

Calcula a área de um paralelogramo com 5cm de base e 1,5cm de altura.

A = 5 x 1,5

A = 7,5 cm²


A = b x h

Muito importante: A altura é sempre perpendicular à base.

b=Base superior (base menor)

B=Base inferior (Base maior)

Comprimento da diagonal

h=height (altura)

What is the area of this triangle? Qual é a área deste

trapézio?

Área do Trapézio - Legenda

Começemos por fazer uma copiar do trapézio!

h

B

b

Qual é a área deste trapézio?

Área do Trapézio

PASSAR PARA AQUI!


Área do Trapézio

h

B

b

VIRAR VERTICALMENTE!


Área do Trapézio

h

B

b

VIRAR HORIZONTALMENTE!


Área do Trapézio

h

B

b

MOVER PARA AQUI!


Área do Trapézio

h

B

b

REPARA NAS MEDIDAS!

b


Área do Trapézio

h

B

b

A área do trapézio é metade (½) da

área deste paralelogramo.

Área do Trapézio

h

B

b

b

Área do Trapézio

h

B

b

b

Áreaparalelogramo = (B + b) x h

Área do Trapézio

h

B

b

b

Áreatrapézio

2

B b h

Área do Trapézio

h

B

b

Áreatrapézio

2

B bh

Dois trapézios congruentes “formam” um paralelogramo. A área de dois trapézios juntos correspondem à área de um paralelogramo que tem dois lados paralelos com medidas iguais a (B + b), e altura igual à do trapézio, do qual se pretende determinar a área.

Como a medida encontrada corresponde a dois trapézios congruentes, basta dividir a área por 2.

Área do Trapézio

2

B bA h

Exemplo: Num trapézio, as bases medem 20cm e 12cm, e a altura mede 6cm. Determina a área do trapézio. A = (20 + 12) x 6 = 96 cm² 2

b=base

Comprimento da diagonal h=height

(altura)

Qual é a área deste triângulo?

Não é um quadrilátero mas vai ser necessário recordar …

Área do Triângulo - Legenda

h

b


Começemos por fazer uma copiar do triângulo!

Área do Triângulo

h

b


PASSAR PARA AQUI!

Área do Triângulo

h

b


VIRAR VERTICALMENTE!

Área do Triângulo

h

b


VIRAR HORIZONTALMENTE!

Área do Triângulo

h

b


MOVER PARA AQUI!

Área do Triângulo

h

b

A área do triângulo é metade (½) da

área deste paralelogramo.

Área do Triângulo

h

b

Área do Triângulo

Áreaparalelogramo = b x h

h

b

Áreatriângulo 2

b h

Área do Triângulo

A área de um triângulo qualquer, de base (b) e altura (h) pode ser determinada da seguinte forma:

2

b hA

Exemplo: Determina a área de um triângulo com 14 cm de base e 7 cm de altura. A = 14 x 7 = 49 cm² 2

Área do triângulo = medida da base (b) x medida da altura (h) 2

Área do Triângulo

• O losango é um quadrilátero que tem os quatro lados com a mesma medida.

• O losango, como todo o quadrilátero, tem duas diagonais, uma diagonal de medida D e outra de medida d, e as suas diagonais são perpendiculares entre si.

Área do Losango - Legenda

M

Q

N

P

Área do Losango

A superfície limitada por um losango pode ser “dividida” em dois triângulos congruentes (de acordo com os critérios estudados).

[MNP] [MQP]

M

Q

N

P

2

d

D

Área[MNPQ] = 2 A[MNP]

[MNPQ]22

2

dD

A

2

D dA

Área do Losango

2

d

d

2 2

d D dD

Área do Losango

Outra demonstração …

ÁreaLosango = ÁreaRetângulo

2

Inscrever um losango num retângulo e reparar que os triângulos azuis são congruentes com os do losango.

= D × d

2

D

d

Obs. Dos 8 triângulos congruentes (4 azuis + 4 brancos) que representam o retângulo, apenas os 4 brancos constituem o losango, ou seja, metade dos triângulos!

Área do Losango

Um exemplo específico … …uma outra maneira de determinar a área do losango!

• As diagonais dividem um losango em quatro triângulos congruentes.

• Então, a área do losango é quatro vezes a área de um dos triângulos.

• Área de 1 triângulo

• Área dos 4 triângulos = 4 6 = 24

• Área do losango = 24

• Usando diretamente a fórmula demonstrada anteriormente…

= b × h

2 =

3 × 4

2 = 6

A = D × d

2 =

8 × 6

2 = 24

Área do Papagaio

De modo análogo ao losango, a superfície limitada por um papagaio pode ser “dividida” em dois triângulos congruentes (de acordo com os critérios estudados).

2

D dA

Aplica-se a mesma expressão do cálculo da área do losango para o cálculo da área do papagaio.

Em que D e d são os comprimentos das suas diagonais.

Retângulo

Quadrado

Paralelogramo

Trapézio

Triângulo

Losango

Papagaio

Quadro resumo

2

D dA

2

D dA

2

b hA

2

B bA h

A = b x h

A = l x l = l2

A = b x h

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