16-04-2015

1

Nuno Marreiros

7º ANO

Quadriláteros. Soma das amplitudes dos ângulos internos/externos de um polígono

FIGURAS GEOMÉTRICAS. MEDIDA

Antes de começar

16-04-2015

2

Um quadrilátero é um polígono com quatro lados.

Quadrilátero

Existem quadriláteros convexos e quadriláteros côncavos.

Quadrilátero convexo

Quadrilátero côncavo

Quadriláteros convexos e côncavos

16-04-2015

3

Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

a

b

n

A

B C

r

Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A.

m

c

Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respetivamente.

Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo

Como r // BC, temos m = b e n = c

(alternos internos)

Como a + m + n = 180° Conclui-se que a + b + c = 180°

I

II

Vamos calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer.

Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero.

Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos.

A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo I é 180°; e a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo II é 180°.

Portanto, podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 2 x 180° = 360°.

Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …

16-04-2015

4

Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono qualquer.

Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo vértice.

A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 x 180° = 540°.

I

II

III

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer

Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …

... Vamos generalizar:

S3 = 180° x 1 S4 = 180° x 2

(3 – 2) (4 – 2)

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer

Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …

16-04-2015

5

S5 = 180° x 3 S6 = 180° x 4

(5 – 2) (6 – 2)

Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …

... Vamos generalizar:

Si = 180° x (n – 2)

A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é dada por:

Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …

... Vamos generalizar:

16-04-2015

6

Vamos analisar a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo qualquer.

A

B C

i1

i2 i3

e1

e2

e3

i1 + e1 = 180°

i2 + e2 = 180°

i3 + e3 = 180°

Nota que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180°.

+ Se = 180° ∙ 3 Si

+ Se = 540° 180°

Se = 360°

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer

Soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono qualquer

Num polígono convexo, a soma dos ângulos externos com

vértices distintos é sempre igual a um ângulo giro (360º).

i1

i2

i3

i4

e1

e2

e3 e4 i1 + e1 = 180°

i2 + e2 = 180°

i3 + e3 = 180°

i4 + e4 = 180°

A

B

C

D

Em cada vértice, os ângulos interno e externo do polígono são sempre adjacentes e suplementares (180º).

Vértice A

Vértice B

Vértice C

Vértice D

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer

Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono

16-04-2015

7

Recorda … As equações

Determina as medidas dos ângulos internos dos quadriláteros apresentados.

Página Exercícios

29 9. 10. 11. 12. 13. a) b) 14. a) b)

No PowerPoint … Extra 1. 2. 3. 4. 5. …

16-04-2015

8

16-04-2015

9

16-04-2015

10

Determina a soma das amplitude dos ângulos externo de um icoságono.

a)

b)

a)

b) Determina a amplitude de um ângulo externo de um polígono com 12 lados.

16-04-2015

11

Sabe-se que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um

polígono regular é 9180º.

a) Determina quantos lados tem esse polígono.

b) Determina, aproximadamente, a amplitude de um dos seus

ângulos externos.

EXTRA

1.

Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes

dos seus ângulos internos é 5500º.

2.

Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes

dos seus ângulos externos é 500º.

3.

Sabendo que a amplitude de um dos ângulo interno de um polígono

regular é 172º, determina quantos lados tem.

EXTRA

4.

Sabendo que a amplitude de um dos ângulo externos de um

polígono regular é 8º, determina quantos lados tem.

5.