figuras geométricas

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A

Figuras geomtricasS

e olhar ao seu redor, voc ver que os objetos tm forma, tamanho e outras caractersticas prprias. As figuras geomtricas foram criadas a partir da observao das formas existentes na natureza e dos objetos produzidos pelo homem.

Introduo

Nesta aula voc vai conhecer ou recordar os diversos tipos de figuras geomtricas. Todos os objetos, mesmo os mais complexos, podem ser associados a um conjunto de figuras geomtricas. Voc ter mais facilidade para ler e interpretar desenhos tcnicos mecnicos se for capaz de relacionar objetos e peas da rea da Mecnica s figuras geomtricas.

Nossa aula

Figuras geomtricas elementaresPonto Pressione seu lpis contra uma folha de papel. Observe a marca deixada pelo lpis: ela representa um ponto. Olhe para o cu, numa noite sem nuvens: cada estrela pode ser associada a um ponto. O ponto a figura geomtrica mais simples. No tem dimenso, isto , no tem comprimento, nem largura, nem altura.

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No desenho, o ponto determinado pelo cruzamento de duas linhas. Para identific-lo, usamos letras maisculas do alfabeto latino, como mostram os exemplos:

A

B

C

L-se: ponto A, ponto B e ponto C.

Linha Podemos ter uma idia do que linha, observando os fios que unem os postes de eletricidade ou o trao que resulta do movimento da ponta de um lpis sobre uma folha de papel. A linha tem uma nica dimenso: o comprimento. Voc pode imaginar a linha como um conjunto infinito de pontos dispostos sucessivamente. O deslocamento de um ponto tambm gera uma linha. Linha reta ou reta Para se ter a idia de linha reta, observe um fio bem esticado. A reta ilimitada, isto , no tem incio nem fim. As retas so identificadas por letras minsculas do alfabeto latino. Veja a representao da uma reta r :rv v

Semi-reta Tomando um ponto qualquer de uma reta, dividimos a reta em duas partes, chamadas semi-retas. A semi-reta sempre tem um ponto de origem, mas no tem fim.A

O ponto A d origem a duas semi-retas.

s

v

v

Av

Av

Segmento de reta Tomando dois pontos distintos sobre uma reta, obtemos um pedao limitado de reta. A esse pedao de reta, limitado por dois pontos, chamamos segmento reta. de reta Os pontos que limitam o segmento de reta so chamados de extremidades. des No exemplo a seguir temos o segmento de reta CD, que representado da seguinte maneira: CD.Cv

D

t

Os pontos C e D (extremidades) determinam o segmento de reta CD.

v

Plano Podemos ter uma idia do que o plano observando uma parede ou o tampo de uma mesa. Voc pode imaginar o plano como sendo formado por um conjunto de retas dispostas sucessivamente numa mesma direo ou como o resultado do deslocamento de uma reta numa mesma direo. O plano ilimitado, isto , no tem comeo nem fim. Apesar disso, no desenho, costuma-se represent-lo delimitado por linhas fechadas:

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Para identificar o plano usamos letras gregas o caso das letras: a (alfa), gregas. b (beta) e g (gama), que voc pode ver nos planos representados na figura acima. O plano tem duas dimenses, normalmente chamadas comprimento e largura. Se tomamos uma reta qualquer de um plano, dividimos o plano em duas partes, chamadas semiplanos semiplanos.

Posies da reta e do plano no espaoA geometria, ramo da Matemtica que estuda as figuras geomtricas, preocupa-se tambm com a posio que os objetos ocupam no espao. A reta e o plano podem estar em posio vertical, horizontal ou inclinada. Um tronco boiando sobre a superfcie de um lago nos d a idia de uma reta horizontal. O pedreiro usa o prumo para verificar a verticalidade das paredes. O fio do prumo nos d a idia de reta vertical. Um plano vertical quando tem pelo menos uma reta vertical; horizontal quando todas as suas retas so horizontais. Quando no horizontal nem vertical, o plano inclinado. Veja as posies da reta e do plano.

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Figuras geomtricas planasUma figura qualquer plana quando todos os seus pontos situam-se no mesmo plano. A seguir voc vai recordar as principais figuras planas. Algumas delas voc ter de identificar pelo nome, pois so formas que voc encontrar com muita freqncia em desenhos mecnicos. Observe a representao de algumas figuras planas de grande interesse para nosso estudo:

'

'

As figuras planas com trs ou mais lados so chamadas polgonos.

Slidos geomtricosVoc j sabe que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano. Quando uma figura geomtrica tem pontos situados em diferentes planos, temos um slido geomtrico geomtrico. Analisando a ilustrao abaixo, voc entender bem a diferena entre uma figura plana e um slido geomtrico.

Os slidos geomtricos tm trs dimenses comprimento, largura e altura. dimenses: Embora existam infinitos slidos geomtricos, apenas alguns, que apresentam determinadas propriedades, so estudados pela geometria. Os slidos que voc estudar neste curso tm relao com as figuras geomtricas planas mostradas anteriormente. Os slidos geomtricos so separados do resto do espao por superfcies que os limitam. E essas superfcies podem ser planas ou curvas. Dentre os slidos geomtricos limitados por superfcies planas, estudaremos os prismas o cubo e as pirmides Dentre os slidos geomtricos limitados prismas, pirmides. por superfcies curvas, estudaremos o cilindro o cone e a esfera que so cilindro, esfera, tambm chamados de slidos de revoluo revoluo.

muito importante que voc conhea bem os principais slidos geomtricos porque, por mais complicada que seja, a forma de uma pea sempre vai ser analisada como o resultado da combinao de slidos geomtricos ou de suas partes. Prismas O prisma um slido geomtrico limitado por polgonos. Voc pode imagin-lo como uma pilha de polgonos iguais muito prximos uns dos outros, como mostra a ilustrao:

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O prisma pode tambm ser imaginado como o resultado do deslocamento de um polgono. Ele constitudo de vrios elementos. Para quem lida com desenho tcnico muito importante conhec-los bem. Veja quais so eles nesta ilustrao:

Verificando o entendimentoAnalise o modelo de plstico n 31 ou, na falta dele, uma caixa de fsforos fechada. Compare com a ilustrao acima e responda: Quantas faces, arestas e vrtices tem esse prisma? ..................................................... faces. ..................................................... arestas. ..................................................... vrtices. As respostas corretas so: 6 faces (no desenho vemos apenas 3 faces; as outras 3 esto ocultas); 12 arestas (as linhas tracejadas, no desenho, representam as arestas que no podemos ver diretamente); 8 vrtices (os vrtices so os pontos em que as arestas se encontram).

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Note que a base desse prisma tem a forma de um retngulo Por isso ele retngulo. recebe o nome de prisma retangular retangular. Dependendo do polgono que forma sua base, o prisma recebe uma denominao especfica. Por exemplo: o prisma que tem como base o tringulo, chamado prisma triangular triangular. Quando todas as faces do slido geomtrico so formadas por figuras geomtricas iguais, temos um slido geomtrico regular regular. O prisma que apresenta as seis faces formadas por quadrados iguais recebe o nome de cubo cubo. Pirmides A pirmide outro slido geomtrico limitado por polgonos. Voc pode imagin-la como um conjunto de polgonos semelhantes, dispostos uns sobre os outros, que diminuem de tamanho indefinidamente. Outra maneira de imaginar a formao de uma pirmide consiste em ligar todos os pontos de um polgono qualquer a um ponto P do espao. importante que voc conhea tambm os elementos da pirmide: O nome da pirmide depende do polgono que forma sua base. Na figura ao lado, temos uma pirmiquadrangular, de quadrangular pois sua base um quadrado. O nmero de faces da pirmide sempre igual ao nmero de lados do polgono que forma sua base mais um. Cada lado do polgono da base tambm uma aresta da pirmide. O nmero de arestas sempre igual ao nmero de lados do polgono da base vezes dois. O nmero de vrtices igual ao nmero de lados do polgono da base mais um. Os vrtices so formados pelo encontro de trs ou mais arestas. O vrtice principal o ponto de encontro das arestas laterais.

Verificando o entendimentoAgora a sua vez: resolva o exerccio seguinte. Analise a pirmide abaixo e responda:

a) Qual o nome do polgono que forma a base da pirmide? ................................................................................... b) Que nome recebe este tipo de pirmide? ................................................................................... c) Quantas faces tem esta pirmide? ................................................................................... d) Quantas arestas tem esta pirmide? ................................................................................... e) Quantos vrtices tem esta pirmide? ...................................................................................

Verifique se voc respondeu corretamente: a) O polgono da base um tringulo. triangular. tringulo b) Esta uma pirmide triangular c) Esta pirmide tem quatro faces. d) Esta pirmide tem seis arestas. e) Esta pirmide tem quatro vrtices. Quando a base da pirmide um tringulo equiltero e as faces laterais so formadas por tringulos equilteros, iguais aos da base, temos o slido geomtrico chamado tetraedro O tetraedro , portanto, um slido geomtrico regular tetraedro. regular, porque todas as suas faces so formadas por tringulos equilteros iguais.

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2Dica Tringulo equiltero a figura plana que tem trs ngulos internos iguais.

Slidos de revoluoAlguns slidos geomtricos, chamados slidos de revoluo podem ser revoluo, formados pela rotao de figuras planas em torno de um eixo. Rota

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