TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

Roberto Alam

CONCEITO

Transformação geométrica é uma aplicação bijectiva entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de forma que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra geometricamente igual ou semelhante.

TRANSFORMAÇÕES BASICAS EM 2D

• TRANSLAÇÃO• ESCALA• ROTAÇÃO• REFLEXÃO/ESPELHAMENTO• CISALHAMENTO

TRANSLAÇÃO

• Transladar significa movimentar o objeto.

Cada ponto em (x,y) pode ser movido por Tx unidades em relacao ao eixo X e por Ty em relação ao eixo Y, logo a novo posição do ponto (x,y) é (x’,y’)

x’= x + TXy’ = y + TY

TRANSLAÇÃO

• O mesmo ocorre se o ponto estiver no plano 3D.

x’= x + Txy’ = y + Ty z’ = z = Tz

TRANSLAÇÃO

ESCALAR

• Escalonar significa mudar as dimensões do objeto.

Para fazer com que uma imagem ou objeto definida(o) por um conjunto de pontos mude de tamanho, temos que multiplicar os valores de suas coordenadas por um fator de escala.

ESCALAR

x’ = x .Sx

y ’= y . Sy

ESCALAR

ROTAÇÃO

Rodar um ponto P=(x,y) de um ângulo θ relativamente à origem significa encontrar outro ponto Q=(x´,y´) sobre uma circunferênciacentrada na origem que passa pelos dois pontos, com θ= POQ.∠

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

A multiplicação das coordenadas por uma matriz pode resultar em uma translação.

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

• X’ = x cos Ɵ – y sen Ɵ• Y’ = x sen Ɵ + y cos Ɵ

ROTAÇÃO

Para alterar a orientação de um objeto em torno de um certo ponto, realizando uma combinação da rotação com a translação, é necessário antes de aplicar a rotação de ânguloθ no plano da coordenadas em torno de um ponto, realizar uma translação para localizar esse ponto na origem do sistema, e aplicar a rotação desejada e então realizar novamente uma translação inversa.

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

Os sistemas de coordenadas com 3 eixos ortogonais podem ser descritos por diferentes posições dos eixos. A direção positiva na rotação será a que obedecer a regra da mão direita de ordenação dos eixos.Posicione sua mão direita aberta na direção do primeiro eixo, gire a mão de modo que ela aponte para o segundo eixo, afaste o dedão dos demais dedos.

ROTAÇÃO

Verifique se o dedão aponta no sentido do terceiro eixo. Se isso for correto significa que os três eixos são positivos.

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

Do contrário o sistema será negativo.Exemplo:

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

Outro método muito usada para a rotação é ao invés de rotar o objeto em si, rota-se o próprio espaço com o ângulo no sentido inverso. Um exemplo clássico onde é empregado essa técnica são os simuladores de vôo nos quais o piloto manipula a visão do espaço movimentando a cena.

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

Pode-se observar na figura anterior a rotação do objeto usou o método de rodar consigo o espaço cartesiano por um determinado angulo.

ROTAÇÃO

Os ângulos de Euler facilitam uma definição precisa das rotações em relação a um sistema de eixos. Esses ângulos definem a rotação em um plano pelo giro em torno de um vetor. São muito usados na mecânica e na física.

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

Podemos definir três ângulos Euler em relação ao eixos de X,Y e Z respectivamente. Um ângulo que define o giro em torno do eixo x para os pontos no plano yz, outro ângulo que define o giro no eixo y no plano xz e o eixo z no plano xy.

ESPELHAMENTO

A transformação de espelhamento(reflexão) em torno de um eixo, produz um novo objeto como se o objeto anterior fosse reproduzido por um espelho. No caso de uma reflexão 2D o espelho pode ser considerado sobre o eixo vertical ou horizontal e no caso da reflexão 3D o objeto pode ser refletido em qualquer um dos 3 planos.

ESPELHAMENTO

CISALHAR

• Cisalhar(shearing ou skew) é uma transformação que distorce o formato de um objeto. Nela aplica-se um deslocamento aos valores das coordenadas

CISALHAR

REFERÊNCIAS

• AZEVEDO, EDUARDO; CONCI, AURA. Computação Gráfica: Teoria e Prática. 3° Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2003. 368 p.

• LUZZARDI, PAULO R. G. (2012) Computação Gráfica dísponivel em: http://infovis.ucpel.tche.br/luzzardi/CompGraf.pdf acessado em 22/11/2012.