POLÍGONOS TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS

Nuno Marreiros

7º ANO

Ângulos e triângulos

Antes de começar

O alfabeto utilizado para escrever a Língua grega teve o seu desenvolvimento por volta do século IX a.C., utilizando-se até aos nossos dias, tanto no grego moderno como também na Matemática, Física, Astronomia, etc.

O Alfabeto Grego

Curiosidade:

Diz-se que a palavra alfabeto é uma junção das duas primeiras

letras do alfabeto grego:

Alfa + Beta – correspondentes ao nosso a e b.

A ordem atual é a mesma dos alfabetos antigos, mas não se sabe por que razão as letras foram organizadas assim no passado. O nosso alfabeto nasceu do alfabeto grego, que foi inspirado no fenício há muitos e muitos anos … O investigadores conseguiram seguir o rasto até ao século 15 antes de Cristo e identificaram um alfabeto chamado protossinaítico, que tinha uma ordem parecida com a de hoje.

Como foi escolhida a ordem do alfabeto? Por que começa com a letra A?

Segmento de reta

Semirreta

Reta

Tem começo e fim

Tem começo

mas não tem fim

Não tem começo,

nem fim

Classificação de retas

A Astronomia talvez tenha sido a primeira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática. O conceito de ângulo aparece, com os gregos, no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo, arcos e cordas. Desde o tempo de Hipócrates e Eudoxo, foram usadas medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Os ângulos eram definidos apenas como ângulos inferiores a dois retos, ou seja, menores que 180º.

Classificação de ângulos – Um pouco de história

Grécia antiga: “um ângulo é uma deflexão ou quebra numa linha reta.” Euclides: “um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento.” Atualmente: “um ângulo é uma porção do plano limitada por duas semirretas com a mesma origem.”

Classificação de ângulos – Algumas definições

Classificação de ângulos - Conceito

Classificação de ângulos - Amplitude

Quero … aprender a medir a amplitude de um ângulo

Ângulo (Apenas o desenho)

Amplitude do Ângulo (Valor medido em graus)

Classificação de ângulos - Congruência

A congruência entre ângulos é uma noção

primitiva.

Dizemos que dois ângulos são congruentes se,

a medida de seus elementos coincidem

(ângulo e lados).

Classificação de ângulos – Letras Gregas

Os ângulos podem ser designados por letras gregas.

As mais usadas são …

Classificação de ângulos

Dependendo da sua amplitude um ângulo pode ser:

Ângulos adjacentes, complementares e suplementares

Dois ângulos podem ter uma relação especial entre si.

Podem ser:

Ângulos verticalmente opostos

Quando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos.

Dois ângulos são verticalmente opostos quando têm o

vértice comum (O) e os lados de cada um estão no

prolongamento dos lados do outro.

Dois ângulos verticalmente opostos são congruentes.

Ângulos de lados paralelos

Quando duas retas paralelas são intersetadas por uma terceira reta, formam-se ângulos de lados paralelos.

A reta s interseta duas retas paralelas: u e v.

Dizemos que as duas retas u e v são cortadas pela

secante s.

Ângulos de lados paralelos - Propriedades

Ângulos de lados paralelos

Que relação existe entre as amplitudes de dois ângulos considerados entre estes 8?

Triângulos

Formado por: três lados;

três vértices; três ângulos.

Um triângulo é um polígono fechado.

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180°

Triângulos – Soma das amplitudes dos ângulos internos

A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer triângulo é igual a 360°.

ˆˆ ˆ 360ºa b c

a

b

c

Triângulos – Soma das amplitudes dos ângulos externos

Três lados iguais Dois lados iguais Três lados diferentes

Triângulo Equilátero

Triângulo Isósceles

Triângulo Escaleno

Triângulos – Classificação quanto aos lados

Três ângulos agudos (amplitude inferior a 90º)

Um ângulo obtuso (amplitude superior

a 90º)

Um ângulo reto (amplitude igual a 90º)

Triângulo Acutângulo

Triângulo Obtusângulo

Triângulo Retângulo

Triângulos – Classificação quanto aos ângulos

Triângulos

Quanto aos ângulos

Quanto aos lados

Isósceles Escaleno Equilátero Obtusângulo Retângulo Acutângulo

Dois lados iguais

Três lados diferentes Três lados

iguais

Um ângulo obtuso (amplitude

superior a 90º) Um ângulo reto (amplitude igual

a 90º) Três ângulos agudos (amplitude inferior a

90º)

Triângulos - Classificação

O eixo de simetria é uma linha que divide uma figura em duas partes simétricas

Triângulos – Eixos de simetria

Triângulos – Relação entre lados e ângulos

Num triângulo: A lados iguais opõem-se ângulos

iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao maior ângulo opõe-se o maior lado.

Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.

Triângulos – Relação entre lados e ângulos

6

2

6

10

Não dá para construir um triângulo pois 10 > 6 + 2

4 6 8

10

10

Num triângulo, o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois.

Triângulos – Desigualdade Triangular

Não dá para construir um triângulo pois 10 = 6 + 4

Dá para construir um triângulo pois 10 < 6 + 8

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