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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA – TURMA PDE 2016
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
FICHA DE PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA – TURMA PDE 2016
TÍTULO: A Geometria Dinâmica na Pavimentação de um Plano: recurso para potencializar o aprendizado da Matemática.
AUTOR: Sueli Costa.
DISCIPLINA/ÁREA: Matemática.
ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO:
Colégio Estadual Jardim Porto Alegre – Ensino Fundamental, Médio e Profissional.
MUNICÍPIO DA ESCOLA: Toledo/PR.
NRE: Toledo.
PROFESSOR ORIENTADOR:
Dr. Marcos Lübeck.
IES: Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE – campus Foz do Iguaçu.
RELAÇÃO INTERDISCIPLINAR:
Matemática, História e Arte.
RESUMO:
Propõe-se, com esta produção didático-pedagógica, atividades que possam despertar o interesse dos educandos pelo estudo da Geometria Euclidiana Plana, através da construção de alguns mosaicos utilizando o software GeoGebra. Com efeito, no processo de ensino e aprendizagem, a investigação de metodologias que possibilitam atingir, de maneira eficaz, os objetivos propostos no plano de ensino, representa um grande desafio para todos educadores. Entretanto, com os avanços tecnológicos, ampliou-se bem as possibilidades do uso destes como recursos didáticos em sala de aula. E, dentre todas as tendências metodológicas que podem fundamentar as práticas docentes, optou-se aqui pelas mídias tecnológicas, pois estas constumam enfatizar a experimentação. Assim, as atividades serão implementadas, na maioria dos casos, no Laboratório de Informática, a fim de: conhecer algumas das ferramentas do GeoGebra e como estas podem auxiliar no trato da Geometria Euclidiana Plana; construir mosaicos com diferentes níveis de complexidade, utilizando conceitos de vetor e movimentos de translação, bem como mosaicos a partir de figuras geradoras, manipulando seus pontos, e visualizando as modificações que aí ocorrerão; articular a interdisciplinaridade entre Matemática, Arte e Mídias Tecnológicas; estimular a experimentação, a exploração de conceitos, a criatividade, bem como algumas das funcionalidades do software GeoGebra.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria Plana; Mosaicos; Matemática; GeoGebra.
FORMATO DO MATERIAL DIDÁTICO:
Unidade Didática.
PÚBLICO: Alunos do 8º Ano do Ensino Fundamental.
APRESENTAÇÃO
A Produção Didático-Pedagógica é uma das componentes do Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE, na qual se pretende planejar atividades que
serão executadas no período da Intervenção Pedagógica. Assim, esta proposta
alude à uma Unidade Didática que será desenvolvida no Colégio Estadual Jardim
Porto Alegre – Ensino Fundamental, Médio e Profissional, do município de
Toledo/PR, com alunos do 8º Ano do Ensino Fundamental, objetivando, sobretudo,
despertar nestes um maior interesse pelo estudo da Geometria Euclidiana Plana.
A opção em trabalhar a Geometria dos mosaicos, utilizando o software
GeoGebra, se dá pela importância desta para o desenvolvimento de habilidades,
como a de resolver situações que envolvam localização e sentido, cálculos de áreas,
fazer relações plano-espaciais, demonstrações entre a Geometria, a Aritmética e a
Álgebra, bem como representar espaços bidimensionais e tridimensionais, dentre
outros. Aliás, saber estes conceitos e suas aplicações possibilita agregar uma série
de conhecimentos básicos que servirão de base para a Geometria Analítica, que os
alunos irão estudar posteriormante e, ainda, para a vida cotidiana dos mesmos.
E, através da História da Matemática, podemos notar que a Geometria esteve
presente na vida das pessoas desde os tempos mais remotos. Nisto, vemos que o
conhecimento geométrico prático foi constituído em diversas civilizações, tais como
Egípcios, Hindus, Sumérios e Babilônios, como em outras. Entretanto, é atribuído
aos Gregos a concepção dessa Geometria da qual falamos aqui, a partir de Tales de
Mileto (c. 600 a. C.) e seus sucessores. A organização dos conceitos geométricos se
deu através de Euclides de Alexandria (c. 300 a. C.), na distinta obra Elementos, que
sistematizou de forma coesa e teórica, em 13 capítulos, os principais conceitos da
Geometria Plana e Espacial da época (cf. BOYER, 1996).
Contudo, podemos concebê-la, ainda, como é uma ciência viva e inacabada,
mesmo já sendo um patrimônio cultural. Com efeito, o conhecimento como processo
histórico e cultural tem, ao longo dos tempos, sofrido várias influências de correntes
histórico-filosóficas. Isso ocorreu com o conhecimento matemático no Movimento da
Matemática Moderna, um movimento mundial que no Brasil marcou as décadas de
60 e 70 do século passado. “Neste período, privilegiou-se as estruturas abstratas
antes da construção de ideias, o que deixou as aplicações em segundo plano”
(BIGODE, 2012, p. 6).
Entretanto, com a elaboração dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN,
em 1998, como proposta do Ministério da Educação do Governo Federal Brasileiro,
menciona-se, então, a importância de se ensinar, dentre outras, as transformações
geométricas, isometrias e homotetias, especialmente no Ensino Fundamental.
Deve-se destacar [...] a importância das transformações geométricas (isometrias, homotetias), de modo que permitam o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial e como recurso para induzir de forma experimental a descoberta, por exemplo, das condições para que duas figuras sejam congruentes ou semelhantes. (BRASIL, 1998, p. 51).
Logo, propor atividades desafiadoras que possibilitem articular a Geometria
com a Álgebra e a Aritmética é, no minímo, mais interessante para o educando que
a simples representação de figuras, por exemplo. Tal articulação é facilitada quando
utilizamos o software GeoGebra, uma vez que no momento das construções, na sua
Janela de Visualização, podemos acompanhar as representações algébricas, como
também as respectivas medidas relativas às construções.
Neste sentido, orientando o ensino da Matemática, as Diretrizes Curriculares
da Educação Básica do Paraná – DCE, preconiza que, “n
n n n
rigidamente separad ” (PARANÁ 2008 p. 57). I
n “porque os objetos e relações dela correspondem aos das outras; assim
sendo, conceitos, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser
clarificados pela geometria, que realiza a tradução para o aprendiz” (LORENZATO
apud PARANÁ, 2008, p. 57).
Visando, então, despertar o interesse dos educandos para estudar Geometria,
podemos utilizar, como ferramenta pedagógica, recursos tecnológicos que permitam
a experimentação, que é algo fundamental para o aprendizado da Matemática, em
especial destes conteúdos. Assim, “o trabalho com as Mídias Tecnológicas insere
diversas formas de ensinar e aprender, e valoriza o processo de produção de
conhecimentos” (PARANÁ, 2008, p. 66).
Espera-se, com isso, que as atividades disponibilizadas sejam desafiadoras o
suficiente para estimular o interesse e, consequentemente, um aprendizado mais
significativo dos conceitos geométricos presentes em cada situação, seja teórica ou
prática. Além disso, “aprender é mais que adquirir técnicas e memorizar teorias; a
aprendizagem por excelência ocorre quando o indivíduo é capaz de explicar, de
apreender, de compreender e de enfrent n n õ ”
(D’A RÓSIO, 2005, p. 81), e é com esse intento que as ações serão propostas.
Inicialmente, antes das atividades matemáticas, será feito um questionário,
organizado e disponibilizado no Google Docs, cujas perguntas objetivam a busca de
informações diagnósticas como, por exemplo, o interesse dos alunos pela Geometria
e que conhecimentos prévios eles possuem do software GeoGebra, que também é
um software de geometria dinâmica. Posteriormente, serão propostas atividades de
pesquisa sobre mosaicos, tais como suas origens nas diversas civilizações, onde
ainda são encontrados, como foram feitos, que figuras geométricas estão presentes,
etc. Enfim, se buscará conhecer um pouco da arte dos mosaicos.
Depois disso tudo, será feito uma ambientação no Laboratório de Informática
e a exposição do software GeoGebra, começando pela apresentação das principais
ferramentas que serão utilizadas nas atividades. A avaliação se dará no decorrer do
processo, quando da realização das ações propostas. Estas serão realizadas no
primeiro semestre de 2017, perfazendo um total de 32 horas.
PROPOSTA DIDÁTICA
ATIVIDADE 1: Apresentação do Projeto ao Público Alvo.
Questionário Diagnóstico
No ambiente em que se destina o público alvo desta intervenção pedagógica,
será feita a explanação do projeto. Para tal, será feita uma apresentação no software
PowerPoint contendo as principais informações pertinentes ao projeto, no sentido de
esclarecer em que consiste o projeto, quais objetivos espera-se atingir, o tempo de
duração do mesmo, as atividades e recursos que serão utilizados e a forma de
avaliação. A seguir, no Laboratório de Informática, será feita uma sondagem através
de questionário composto por questões objetivas e que ficará disponível no Google
Docs, com objetivo de verificar o que os educandos conhecem sobre o assunto, e
o quanto estão motivados para aprender sobre Geometria Euclidiana Plana, mais
especificamente sobre mosaicos, e também saber algo sobre o software GeoGebra.
Conteúdo: Tratamento da Informação.
Objetivos:
- Coletar dados sobre conhecimentos prévios de Geometria Plana;
- Saber sobre o interesse e a motivação dos educandos em aprender.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; lápis, borracha e papel.
Tempo: 2 h.
Questionário:
Disponível em: https://docs.google.com/a/escola.pr.gov.br/forms/d/1NHHODeX-
DyeGVWfsEBExFZDhNi9YLMU_PhMIO7vUUnM/edit. Acesso em: 19 nov. 2016.
ATIVIDADE 2: Vídeos sobre Geometria Euclidiana Plana e Mosaicos.
Vídeo 1: Isto é Matemática – O Estranho Mundo de Escher.
Disponível em: https://youtu.be/7ac0WC3tzwU. Acessado em 19 nov. 2016.
Neste vídeo, de 8 minutos e 10 segundos, o autor Rogério Martins, mostra
como assentar azulejos, ou seja, pavimentar um plano. Relata as possibilidades de
fazê-lo utilizando as três pavimentações utilizando somente polígonos regulares:
quadrados, triângulos equiláteros e hexágonos. Segue relatando sobre polígonos
não regulares, sobre pavimentar com dois ou mais polígonos, pavimentação semi-
regular. Mostra, também, a relação entre Matemática e Arte quando fala sobre as
obras do holandes Maurits Cornelis Escher (1898-1972) e suas belas construções.
Vídeo 2: La Ciencia de las Letras Arabes, Abjad y Geometría.
Disponível em: https://youtu.be/xcUDjkYc22A. Acessado em: 19 nov. 2016.
A presença muçulmana na península Ibérica, região que compreende hoje
Portugal e Espanha, data do século VIII d.C., em meio ao contexto de expansão da
fé islâmica. Essa expansão vai ser responsável pela derrota dos reinos visigóticos e
marcará um período de pelo menos oito séculos de presença árabe na península,
deixando um legado cultural riquíssimo na arquitetura, na culinária, na questão
linguística, etc. O mais famoso legado dos mouros é o Palácio de Alhambra, em
Granada, na Espanha. Sua arquitetura e decorações artísticas são de beleza
incomparável (cf. BARBOSA, 1993). Durante os 29 minutos e 49 segundos, este
belo vídeo, de Jorge Lupion, descortina um pouco da cultura árabe. Ao exibir o
alfabeto Abjad, faz a relação das letras deste com valores matemáticos e sua
aplicação geométrica, notadamente, na tesselagem islâmica de mosaicos.
Conteúdo: Geometria Plana.
Objetivos:
- Assistir aos vídeos;
- Compartilhar conhecimentos sobre mosaicos;
- Analisar algumas imagens de mosaicos, suas composições geométricas e
a Matemática presente nas pavimentações;
- Reconhecer polígonos regulares e irregulares;
- Conhecer a história do palácio de Alhambra;
- Mostrar a genialidade do artista gráfico Maurits Cornelis Escher.
Recursos: Multimídia; lápis, borracha e papel.
Tempo: 2 h.
Em um momento extra-classe, os educandos poderão assistir aos demais
vídeos sugeridos para aprofundar conhecimentos sobre a arte dos mosaicos. Eis
algumas sugestões:
a. Mosaicos de la Alhambra. Disponível em: https://youtu.be/CoJ6u8trLvg-.
Acessado em: 19 nov. 2016.
b. Os azulejos de Alhambra. Disponível em: https://youtu.be/SQtE3-Rz5x8.
Acessado em: 19 nov. 2016.
c. Arquitectura Africana Los Kasenna. Disponível em:
https://youtu.be/GgwWGyafzxk. Acessado em: 19 nov. 2016.
d. Elo entre Geometria e Arte. Disponível em:
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.p h
p?video=7061. Acessado em: 19 nov. 2016.
e. Ndebeles. Disponível em: https://youtu.be/Bn6BTXHKN_s. Acessado em: 19
nov. 2016.
f. Geometria Islâmica. Disponível em: https://youtu.be/4PsqsBk7rv0. Acessado
em: 19 nov. 2016.
g. Imagens de Pavimentações. Disponível em:
https://sites.google.com/site/nemesvv/pavimenta%C3%A7%C3%B5es.
Acessado em: 19 nov. 2016.
ATIVIDADE 3: Construir uma malha de polígonos usando material manipulável
como régua, compasso e transferidor.
Na atividade anterior, foram sugeridos vídeos que mostram algumas
possibilidades de pavimentar um plano. Escolha um dos motivos e reproduza-o em
folha sulfite, utilizando instrumentos de desenho geomátricos. Caso prefira, desenhe
uma malha poligonal e, em seguida, faça o mosaico colorido.
Conteúdo: Geometria Plana, Polígonos.
Objetivos:
- Manipular instrumentos de medidas, como régua e transferidor;
- Construir a malha de polígonos, usando a criatividade;
- Verificar as características de um polígono regular, ângulos e lados.
Recursos: Papel sulfite, lápis, borracha, régua, transferidor e material para colorir.
Tempo: 2 h.
Questões:
a. Você encontrou dificuldades para desenhar a malha? ( ) Sim. ( ) Não.
b. Você conhece alguma maneira mais fácil para desenhar/construir malhas
poligonais? ( ) Sim. ( ) Não. Qual:__________________________?
c. Você conhece o software GeoGebra? ( ) Sim. ( ) Não.
Atividade 4: Ambientação no Laboratório de Informática.
No Laboratório de Informática, realizar o contato com o software GeoGebra.
As atividades serão de reconhecimento das ferramentas e possíveis aplicações. Os
alunos sentarão em duplas para explorar as ferramentas do GeoGebra. No quadro
estará disponibilizado o seguinte roteiro de estudos:
1- Tela Inicial do GeoGebra, composta por:
a) Janela de Visualização: é o espaço onde aparece os eixos, a malha e o
registro das imagens contruídas;
b) Janela de Álgebra: está localizada no lado esquerdo da tela. Através dela, é
possível acompanhar os passos realizados na contrução das figuras. É o
protocolo de construção de tudo que está na Janela de Visualização;
Figura 1: Tela Inicial do GeoGebra.
Fonte: Autores, 2016.
c) Acima, estão Menus: Arquivo, Editar, Opções, Ferramentas, Janela e Ajuda;
d) Abaixo dos Menus, está a Barra de Ferramentas, conforme a imagem:
Figura 2: Barra de menus do GeoGebra.
Fonte: Autores, 2016.
e) Na Barra de Ferramentas, cada um dos doze ícones (janelas) se abre em
ferramentas, ou opções de trabalho relacionadas ao ícone. Abaixo está o
exemplo de Ponto;
Figura 3 : Ícone Ponto e suas Ferramentas.
Fonte: Autores, 2016.
f) Agora, explore cada um dos ícones da Barra de Ferramentas, clicando na
setinha abaixo e à direita de cada um deles. Na realização das atividades,
estaremos utilizando alguns destes itens mais detalhadamente.
2- Com o botão direito do mouse, na Janela de Visualização, selecione:
a) Eixos - O que você observa? – Repita novamente a operação;
b) Malhas - O que mudou? – Repita a operação.
3- Na Barra de Ferramentas, ao clicar na setinha abaixo do ícone Ponteiro,
pegue e arraste-o na Janela de Visualização. Observe que podemos mover
os eixos.
Objetivo:
- Conhecer as ferramentas do software GeoGebra.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; lápis, borracha e papel.
Tempo: 2 h.
ATIVIDADE 5: Construção de Polígonos.
Vamos começar construindo um triângulo qualquer.
a) Abra a Tela Inicial do GeoGebra;
b) Com a ferramenta Ponto, marcar 3 pontos na Janela de Visualização;
c) Com o ícone segmento selecionado, clicar em A e depois em B, segue-se de
B depois em C, e para fechar, C e depois em A;
d) A figura construída na Janela de Visualização é um Triângulo.
Observe, na Janela de Álgebra do lado esquerdo da tela, e responda:
Os pontos construídos A, B, C representam que elementos do Triângulo?
( ) Arestas. ( ) Vértices. ( ) Ângulos. ( ) Lados.
Os segmentos f, g, h são os lados do Triângulo. Na Janela de Álgebra, pode-
se verificar as medidas ao lado de cada segmento: Qual é o valor da soma
dessas medidas? __________________.
Esse valor representa a área ou o perímetro do Polígono? ______________.
Selecione cada segmento, com o botão inverso do mouse, na Janela de
Visualização, selecionar Propriedades, Cor e Estilo. As arestas do Polígono
ficarão coloridas e com a espessura que você desejar.
Os vértices do Triângulo são pontos marcados no Plano Cartesiano. Dê as
coordenadas (x, y) de cada vértice. A = ( , ). B = ( , ). C = ( , ).
e) Selecione a ferramenta Ângulo, na Janela de Visualização, e com o mouse,
selecione os segmentos f, h. A seguir, selecione h, g, e finalmente, g, f. Obter-
se-á as medidas dos ângulos internos do Triângulo no sentido horário. Qual é
o valor da soma dessas medidas? ___________________. Observe que você
pode colorir aos ângulos internos da figura;
f) Para sabermos a medida dos ângulos externos da figura, procede-se de
maneira idêntica, porém no sentido anti-horário. Relembrando: Qual é o valor
da soma dos ângulos externos de um polígono? __________________;
g) Proceda de forma similar e construa: um quadilátero e um pentágono.
h) Após realizar as atividades, vamos salvar as construções e as respectivas
imagens. Começe criando uma pasta para gravar seus arquivos;
i) Primeiro em formato ggb. Em Arquivo, vá até Gravar Como... e dê o nome
para o arquivo e salve-o na sua pasta. Este formato permite fazer alterações
na construção;
j) Segundo, salvar como Imagem: Em Arquivo, depois Exportar, daí Janela de
Visualização, por fim Imagem png. Neste caso, não se pode alterar o arquivo,
somente visualizar a imagem.
Conteúdo: Geometria Plana; Polígonos.
Objetivos:
- Construir polígonos utilizando as ferramentas Ponto e Segmento;
- Utilizar as propriedades Cor e Estilo;
- Relembrar conceito de coordenada, vértice, aresta e perímetro;
- Recapitular sobre soma dos ângulos internos de um triângulo no plano;
- Verificar as medidas dos ângulos externos da figura e o valor da soma.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; lápis, borracha e papel.
Tempo: 2 h.
ATIVIDADE 6: Construção de Polígonos Regulares.
Está atividade também será realizada no Laboratório de informática.
a) Com a ferramenta Polígono, selecionar Polígono Regular e construir:
1º) Triângulo;
2º) Quadrilátero;
3º) Pentágono;
4º) Hexágono;
5º) Heptágono;
6º) Octógono;
7º) Eneágono;
8º) Decágono.
b) Na Janela de Visualização, sobre o Polígono, com o botão inverso do mouse,
acesse as propriedades. Na aba Básico, desmarque Exibir Rótulo, e na aba
Cor, escolha a cor e defina a transparência. Faça essa sequência para cada
uma das figuras;
c) Após as construções, verifique as seguintes medidas: ângulo, medida dos
lados e área de cada um dos Polígonos;
d) Com a ferramenta Ângulo selecionada, selecione os lados da figura que
formam o respectivo ângulo, para ângulos internos, sentido horário. Proceda
assim em todos os ângulos da figura. O que se observa? ________________.
e) Para medir os lados dos polígonos use a ferramenta Distância, Comprimento
ou Perímetro, selecionando cada lado do Polígono;
f) Para saber a área dos polígonos regulares, observe que na Janela de Álgebra
ao lado de cada figura aparece um valor que representa a sua área. Ou use a
ferramenta Área e meça a figura na Janela de Visualização;
g) Pode-se também colocar um nome para o polígono, e para tal usa-se a
ferramenta Texto e, ao clicar sobre a figura, na Caixa de Texto que se abrir,
digite o nome do polígono.
h) Feito isso, responda:
1º) Observando as medidas dos ângulos e dos lados, defina polígono regular;
2º) Você encontrou dificulades para representar os polígonos, medir os ângulos e
calcular a area? ( ) Sim. ( ) Não.
3º) O software GeoGebra otimiza o tempo e facilita a compreensão de conceitos?
( ) Sim. ( ) Não.
Conteúdo: Geometria Plana; Polígonos.
Objetivos:
- Construir polígonos regulares, utilizando o software GeoGebra;
- Verificar as características de Polígonos Regulares.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; lápis, borracha e papel.
Tempo: 2 h.
ATIVIDADE 7: Simetrias e Isometrias.
A “simetria, como largo ou estreito, como você pode definir seu significado, é
uma idéia pela qual o homem através dos tempos tenta compreender e criar ordem,
p f ” (WEYL apud BARBOSA,1993, p. 36). A “ s simetrias
estão associadas a figuras ou objetos que possuem partes iguais. Quando há
simetria, em geral, existe um padrão de repetição por algum tipo de movimento”
(BIGODE, 1994, p. 181). Já as transformações tem a ver com os movimentos que
podem ser feitos com as figuras.
Os diversos tipos de simetrias possuem uma característica em comum, que é
a preservação das medidas. Quando, além da preservação das medidas, preserva-
se também as distâncias, daí então diz-se que essas transformações são
isométricas. Em termos práticos, os tipos de simetrias mais usadas são: Axiais, que
podem ser de Translação ou Reflexão; Simetrias Centrais, de rotação.
Observe, por exemplo, a imagem do ratinho a seguir construída utilizando o
software GeoGebra:
Figura 4: Rato Construído a Partir
de Coordenadas Cartesianas.
Fonte: Autores, 2016.
Na Tela Inicial, com a ferramenta Polígono selecionada, marca-se os pontos
correspondentes as coordenadas cartesianas: (3,9), (5,11), (5,10), (8,11), (9,10),
(9,9), (13,6), (8,9), (6,8), (7,9), e novamente (3,9). Após, marque o ponto de
coordenadas (4,10). Na Janela de Visualização, sobre a figura, clicar com o botão
inverso do mouse, em propriedades. Na aba Básico, desmarcar Exibir Rótulo. Na
aba Cor, escolha a cor de sua preferência, e em Estilo, altere a espessura das
arestas. (Este exemplo é uma adaptação do exercício que está disponível em:
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=1
61. Acessado em: 19 nov. 2016.)
Agora, utilizando transformações, tem-se que:
- O Ratinho A está de frente para um espelho plano (eixo numerado). E o
R n A’ em refletida através do espelho;
Figura 5: Rato Refletido.
Fonte: Autores, 2016.
- O Ratinho A sofreu uma simetria axial, em relação ao eixo (espelho) e se
t.ransformou no ratin A’. reflexão. Neste tipo de
simetria é correto afirmar:
a) ( ) Preserva-se o tamanho, a forma e inverte-se o sentido (direção);
b) ( ) Os pontos são simétricos, e mantêm-se a direção e o sentido;
c) ( ) Neste tipo de simetria muda a forma e inverte o sentido;
d) ( ) Muda-se o tamanho e o sentido.
Usando a mesma construção, realizou-se outra Simetria Axial, a Translação.
Neste tipo de transformação, usa-se um segmento orientado com comprimento,
direção e sentido. Na ilustração a seguir, este segmento é o vetor u.
Figura 6: Rato Transladado Pelo Vetor u.
Fonte: Autores, 2016.
- A figura A foi transladada através do vetor u. As imagens são simétricas.
a) ( ) A figura A p n “ ” n n ;
b) ( ) Mudou a forma da figura A ao transladar;
c) ( ) Esse tipo de transformação não é possí p “ ” as figuras;
d) ( ) A imagem fica “ p ” n n .
No próximo movimento de transformação, a imagem inicial A foi transformada
através de rotação em torno de um ponto L. Nesta imagem, todas as rotações
aconteceram em sentido anti-horário. Para A chegar na posição de A’, girou-se 45º.
Ao girar A em 90º, obtêm-se A”, 180º, A’” e, 270º, A’’’’. Neste tipo de simetria
central, a rotação, precisa-se de um objeto, um ponto e uma medida angular.
Figura 7: Rato Rotacionado.
Fonte: Autores, 2016.
- Assim, observe, reflita e responda:
a) Partindo da figura inicial, houve rotação de quantos graus para se transformar
em A’’’? _________________.
b) Que características a figura A’’’ conservou da figura inicial? ______________.
c) Ao girar 45 graus em torno de L, forma-se qual das figuras? _____________.
d) Ao girar 360 graus em torno de L, onde ficaria o rato A? ________________.
e) Sugestão de Atividade (Esta é uma adaptação do exercício disponível em:
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conte
udo=161. Acessado em: 19 nov. 2016).
f) Represente, no GeoGebra, a figura formada pelas seguintes coordenadas:
(4,7); (5,5); (6,7); (6,8); (4,9); (3,8); (3,6); (2,4); (0,4); (1,3); (3,4); (4,6); (3,2);
(4,5); (5,4); (5,1); (6,1); (7,4); (8,4); (9,1); (10,1); (10,4); (12,2); (10,5); (9,7);
(6,7). Os pontos devem ser ligados na ordem em que foram construídos
utilizando a ferramenta Polígono. Para deixá-la mais bonita, desmarque
Exibir Rótulo, escolha a Cor e a Espessura do contorno e, depois, grave o
arquivo em formato ggb;
g) A partir da construção anterior, realizar as transformações isométricas de
Translação, Reflexão, e Rotação;
h) A cada transformação realizada, salve o arquivo em formato ggb, na sua
pasta;
i) Caso deseje construir uma figura diferente da sugerida, busque saber quais
coordenadas a compõe, marque-as e proceda de forma semelhante ao que
foi sugerido;
j) Nesta atividade, trabalhar-se-á com imagens prontas, pode ser uma imagem
de seu aparelho celular, que deverá ser passado para o computador, ou
imagem gratuita da internet. Na tela inicial do GeoGebra, com a ferramenta
Inserir Imagem, busque uma imagem em seu arquivo pessoal. Após, faça a
simetria de rotação em torno de um ponto, gire-a por diversos ângulos,
podendo escolher ser no sentido hórário ou anti-horário. Salve o arquivo;
k) Esta imagem é a Roseta, construída no GeoGebra, utilizando a Simetria
Central Rotação (Disponível em: https://youtu.be/YRAvRwSvMoc. Acessado
em 19 nov. 2016).
Observe que são dois Triângulos e um Quadrilátero, limitados por um Círculo,
em Simetria de R n ân α.
Figura 8: Roseta
Fonte: Autores, 2016.
l) De acordo com as atividades realizadas, descreva em poucas palavras quais
características você percebeu em cada uma das transformações, em relação
a figura inicial.
Translação:____________________________________________________.
Reflexão:______________________________________________________.
Rotação:______________________________________________________.
Objetivos:
- Construir polígonos no Geogebra, utilizando coordenadas cartesianas;
- Realizar simetria axial, reflexão por um eixo de simetria e translação por um
vetor;
- Distinguir os movimentos de reflexão e translação, bem como as
características das figuras, em cada caso;
- Empreender movimento de rotação de figuras atraés de um ponto e medida
angular;
- Identificar características específicas de cada simetria.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; lápis, borracha e papel.
Tempo: 2 h.
ATIVIDADE 8: Malhas no GeoGebra.
Malhas que pavimentam o Plano Euclidiano.
a) Construir uma malha quadrada;
b) Na Tela Inicial do GeoGebra, na Janela de Visualização, com o botão direito
do mouse, desmarque os eixos. No ícone Polígono, selecionar Polígono
Regular. E quando você marcar 2 pontos na Janela de Visualização, se abrirá
uma caixa de texto onde você escolherá a quantidade de lados que o
polígono terá, no caso, 4. Tecle enter e aparecerá o Quadrado;
c) Seguindo na construção criar dois controles deslizantes, m e n. Na barra de
ferramentas, selecionar Controle Deslizante, e clicar na Janela de
visualização. Na caixa de texto que se abrirá, nomeá-los com uma letra
minuscula, sugere-se usar n. Ainda nesta caixa de texto, na aba intervalo
selecionada, marcar mínimo 1 e máximo 20, e incremento 1. Proceda da
mesma forma para criar o controle deslizante m. Pode-se usar o mesmo
intervalo e incremento;
Figura 9: Controle Deslizante.
Fonte: Autores, 2016.
d) Criado os controles deslizantes, criar dois vetores, um no sentido da esquerda
para a direita, outro de baixo para cima, usando os vértices do quadrado.
Para isso, no ícone Reta, selecione Vetor, e assim aparecerá na Janela de
Visualização o primeiro vetor, no caso u, e o segundo, v;
e) No campo de entrada, canto inferior esquerdo, digitar:
1º) L_1=Sequência[Transladar[pol1,u*i],i,0,n-1]. Aparecerá uma lista de
quadrados na horizontal. Movendo o controle deslizante n, visualizar-
se-á uma repetição de quadrados, na horizontal da esquerda para a
direita. Após, realizar uma ação na caixa de entrada para transladar a
lista 1. Através de uma segunda lista, que chamaremos de L_2;
2º) L_2=Sequência[Transladar[L_1,v*i],i,0,n-1]. Movimente o Controle
Deslizante m e observe as mudanças na Janela de Visualização. A
p “f ” p n lista 1, ficará em cor mais forte pois
está sobreposta. Então, na Janela de Álgebra, selecione L_1 e
desmarque-a. Assim, obter-se-á uma malha quadrada. Salve a
construção em formato ggb;
Observações: Define-se as letras para os controles deslizantes, vetores,
variáveis, etc. com o intuito de facilitar o acompanhamento pelo professor.
f) Estudando a Malha:
1º) Qual a função do Controle Deslizante na construção da malha?
2º) Vetores são segmentos orientados que possuem direção, sentido e
comprimento. Nesta construção, se o vetor u partisse da direita para a
esquerda e o vetor v de cima para baixo, o que mudaria na construção
final da malha?
3º) Aqui partimos de um Polígono Regular, cujas características foram
vistas no exercicio anterior. Será que todas as figuras regulares
pavimentam o plano?
g) Contrua, no GeoGebra, as seguintes malhas:
1º) Triângulos Equiláteros;
2º) Pentágonos Regulares;
3º) Hexágonos Regulares;
h) Quais dos polígonos regulares pavimentam o plano?
i) Uma maneira de pavimentar o plano ocorre quando, as figuras juntas, em
torno de um nó, formam um ângulo de 360º. Sendo assim, é possível formar
uma malha retangular?
j) Para calcular a soma dos ângulos internos de qualquer polígono regular usa-
se a fórmula: S = (n - 2 ) * 180, onde S representa a soma, n representa o
número de lados do polígono. Ao dividir a soma dos ângulos pelo número de
lados do polígono, obtêm-se a medida do ângulo interno. Utilizando uma
calculadora e as informações acima, responda:
1º) O heptágono regular pavimenta o plano? ____. Por que? _________.
2º) E o Octógono regular? ____________________________________.
k) Para saber quais polígonos regulares pavimentam o plano sem experimentar,
utiliza-se a equação K * i = 360º, onde k representa o número de polígonos
colocados e i a medida do ângulo interno de cada polígono (cf.
BARBOSA,1993). Será que se consegue pavimentar um plano utilizando
somente pentágonos regulares? Vamos verificar a medida do ângulo interno
do pentágono regular. S = (5 – 2 ) * 180º, tal que S = 540 540 5 = 108º;
l) Se cada ângulo interno mede 108º, significa que se colocarmos três
pentágonos, teremos ao redor do ponto L, 324º, não completa uma volta de
360º. Então, somente pentágonos regulares não pavimentam o Plano
Euclidiano (cf. BARBOSA, 1993).
Figura 10: Pentágonos.
Fonte: Autores, 2016.
m) Observe a pavimentação formada por octógonos regulares e quadrados.
Cada ângulo interno do octógono mede 135º e do quadrado 90º. Neste
mosaico, temos a seguinte configuração em torno de um ponto. (4,8,8), ou
seja, em cada nó há o encontro do quadrado, octógnono, octógono. Esta é
uma das possibilidades de pavimentar o plano (cf. BARBOSA,1993).
Figura 11: Óctogonos e Quadrados.
Fonte: Autores, 2016.
n) Responda:
1º) Ao utilizar 2 quadrados e três triângulos equiláteros em torno de um
vértice em comum, isso fechará o plano?
2º) Registre, através de imagem, pelo menos, uma possibilidade diferente
das apresentadas para pavimentar o plano, utilizando polígonos
regulares. Observe a imagem abaixo, construída com hexágonos
regulares e triângulos equiláteros de tamanhos diferentes.
Figura 12: Hexágonos e Triângulos.
Fonte: Autores, 2016.
o) Por fim, ver o vídeo Construcão/Pavimentação com polígonos. Disponível em:
https://youtu.be/y__0a7TDbfs. Acessado em 19 nov. 2016. Serão 3 minutos
de vídeo, para fixar alguns conceitos. Outras sugestões de vídeos para
construção de outras malhas podem ser acessadas em:
1º) Malha de Pontos. Disponível em: https://youtu.be/7tW7UONTn34.
Acessado em 19 nov. 2016.
2º) Malha Hexagonal. Disponível em: https://youtu.be/mQI53yK_vmw.
Acessado em 19 nov. 2016.
3º) Tesselação Hexagonal. Disponível em: https://youtu.be/8i98V2tCBl0.
Acessado em 19 nov. 2016.
Objetivos:
- Construir malhas com polígonos regulares, utilizando as ferramentas do
GeoGebra;
- Verificar a medida do ângulo interno de um polígono regular e, então, saber
se esta pode ou não pavimentar o plano.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; lápis, borracha e papel;
Calculadora.
Tempo: 4 h.
ATIVIDADE 9 - Construindo Mosaicos Utilizando Polígonos Regulares.
Esta construção, feita no GeoGebra, é um exemplo de pavimentação do
plano, utilizando polígonos regulares. Diz-se que ela possui a configuração (4,6,12),
mas o que isso significa?. Essa configuração indica que, ao redor de um ponto
qualquer do mosaico, sempre terá os polígonos quadrado, hexágono e dodecágono
(cf. BARBOSA, 1993). Pode haver outro jeito de arrumar esses polígonos de
maneira a formar mosaicos?
Figura 13: Pavimentação Octógonos, Hexágonos e Quadrados.
Fonte: Autores, 2016.
Uma das condições para preecher o plano com polígonos, é a soma de 360º
em torno de um vértice. Observe os lados dos polígonos desta composição, e veja
que são congruentes. Assim:
a) Indique a medida em graus de cada polígono regular que compõe este
mosaico. ______________________________________________________.
b) Que tipo de simetria de transformação se fez necessária para essa
pavimentação? _________________________________________________.
c) Se for retirado o dodecágono e centralizado o hexágono, os quadrados se
encaixam, lado a lado, para que ocorra uma pavimentação? _____________.
d) É possível construir mosaicos utilizando apenas hexágonos regulares e
quadrados? ____________________________________________________.
e) Esta imagem foi construída no GeoGebra, utilizando polígonos regulares. Sua
configuração ao redor de um vértice é (3,6,3,6), (cf. BARBOSA,1993). Existe
outra configuração possível para pavimentar o plano utilizando os mesmos
polígonos? ( ) Sim. ( ) Não.
Figura 14: Hexágonos e Triângulos Equiláteros.
Fonte: Autores, 2016.
Objetivos:
- Construir mosaicos com polígonos regulares, utilizando o conceito de vetor e
simetria de translação;
- Verificar possibilidades de pavimentação, utilizando polígonos regulares e
configurações diferentes.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; lápis, borracha e papel.
Tempo: 3 h.
ATIVIDADE 10: Mosaicos com Polígonos Regulares de Diferentes Tamanhos.
Na figura abaixo, a pavimentação foi construída com quadradros de tamanhos
diferentes. Assim, a pavimentação não se dá lado-lado. Pode-se, também, utilizar
três tamanhos diferentes de quadrados, desde que a = b + c, sendo a, b e c arestas
dos quadrados (cf. BARBOSA, 1993).
Figura 15: Pavimentação Quadrados.
Fonte: Autores, 2016.
- Sugestão:
a) Desenhe um mosaico, utilizando quadrados, de três tamanhos diferentes,
observando a condição exposta no enunciado. Use as propriedades para
colorir sua composição. Em seguida, salve-a, em formato ggb, na sua pasta;
b) Faça uma pavimentação usando apenas triângulos equiláteros com 2
tamanhos diferentes;
- Responda:
Neste tipo pavimentação, onde é usado diferentes tamanhos de polígonos,
portanto, a pavimentação é não lado-lado, nos vértices, soma-se 360º? ____.
Objetivos:
- Mostrar outo tipo de pavimentação do plano;
- Despertar o interesse em descobrir novas pavimentações.
Recursos: Multimídia;Laboratório de Informática; Lápis, borracha e papel.
Tempo: 2 h.
ATIVIDADE 11: Reprodução de Mosaico Utilizando uma Figura Geradora.
Exemplo disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=IKi_ZU7NuOw.
Acessado em: 19 nov. 2016.
a) Na Tela Inicial do GeoGebra, com o botão direito do mouse sobre a Janela de
Visualização, selecione a malha isométrica e exiba-a;
b) Com a ferramenta Ponto, criar 3 pontos em qualquer lugar da Janela de
Visualização, de preferência nos vértices da malha isométrica de modo a
formar um triângulo equilátero de tamanho médio;
Figura 15: Tela do GeoGebra.
Fonte: Autores, 2016.
c) Formatar os pontos, clicando sobre um deles, e ir para as Propriedades Exibir
Rótulo, Cor e Estilo. Fechar a Janela de Preferências;
d) Com a ferramenta Vetor, criar 2 vetores; clicar no ponto A e depois em B, e
assim criar o primeiro vetor. Em seguida, clicar no ponto A em seguida em C.
Clicar na Janela de Álgebra, sobre o ponto que indica o vetor, ocultando-os;
e) Com a ferramenta Ponto, criar pontos entre os pontos A, B, C. Com o
ponteiro sobre um dos pontos, clicar com botão direito em Propriedades
Formatar, Cor e Estilo. Na aba Básico, Exibir Rótulo;
Figura 16: Construção no GeoGebra.
Fonte: Autores, 2016.
f) Com a ferramenta Polígono, clicar no ponto A e ir sucessivamente passando
por todos os pontos;
g) Criar um Controle Deslizante, nomeando-o de m, deixar valor min: 0, valor
max: 30, e incremento 1; e na aba Controle Deslizante, largura 150; aplicar;
h) No Menu Exibir, exiba a Janela de visualização 2, e a reposicione para que
fiquem as 2 janelas na tela. Clicar com o botão direito na Janela de
Visualização, depois Eixos, para desmarcá-los (nas 2 janelas);
i) Na caixa de entrada no canto inferior esquerdo da tela, digite
L_1=sequência[transladar[pol1,u*i],i,-m,m], e tecle enter. Após, movimente
o Controle Deslizante e observe o que acontece. Novamente, na caixa de
entrada, digite L_2=sequência[transladar[L_1,v*i],i,-m,m], e enter;
j) Na janela de Álgebra, ocultar L_1, clicando sobre o ponto que representa a
sequência. Aumentar e diminuir zoom. Verificar o que ocorre;
k) Na janela de Álgebra, clicar com botão direito do mouse sobre L_2,
Propriedades, Cor, Transparência;
l) Na Janela de Visualização 1, movimentar em pontos da figura geradora, isto
é, o Polígono 1, e observar na Janela de Visualização 2 os efeitos a cada
movimento. Assim, terá sido construído mosaicos, deformando triângulos
equiláteros. Veja um dos resultados possíveis dessa transformação:
Figura 17: Mosaico a Partir de Figura Geradora
Triangular.
Fonte: Autores, 2016.
m) De maneira análoga, agora utilize como figura geradora um retângulo:
Figura 18: Mosaico a Partir de figura Geradora Retângular.
Fonte: Autores, 2016.
Objetivos:
- Construir mosaicos usando figura geradora;
- Trabalhar o conceito de translação de figuras;
- Mostar a beleza que pode ter uma composição geométrica.
Recursos: Multimídia; Laboratório de Informática; papel, lápis e borracha.
Tempo: 4 h.
ATIVIDADE 12: Criando Mosaicos.
Chegou a hora de criar seus mosaicos. Após desenvolver as atividades, obter
algumas informações, ler conceitos e ver exemplos, agrege tudo à sua criatividade e
construa, pelo menos, um mosaico. Você escolhe que tipo de pavimentação que
quer mostrar ao público. Este será o trabalho final do projeto. Depois da construção,
salve o arquivo em formato ggb.
Essa produção será impressa, para assim ser exposta em um painel, com as
produções de todos, para daí ser apresentado aos pais e à comunidade escolar.
Objetivo:
- Produção Final;
- Apresentação dos trabalhos produzidos.
Recursos: Laboratório de Informática; painel; impressora; papel, lápis e borracha.
Tempo: 4 h.
ATIVIDADE 13: Questionário Final.
Para finalizar, responda a um questionário que inquere sobre as atividades
realizadas, disponível em: https://docs.google.com/a/escola.pr.gov.br/forms/d/1x4E-
AG0OqXNvhtLpixAxwxYTsWA55Dttd0JGTUd31yc/edit. Acessado em: 19 nov. 2016.
Tempo: 1 h.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Caros colegas e professores da disciplina de Matemática, esta Produção
Didático-Pedagógica tem como objetivo básico desenvolver atividades que possam
despertar o interesse nos educandos do 8º ano para o estudo da Geometria Plana,
através dos mosaicos. O desenvolvimento das atividades, utilizando o software
GeoGebra, facilita a visualização e a experimentação que, como sabem, são etapas
importantes para o aprendizado da Matemática.
Assim, espera-se que as atividades aqui propostas de fato se efetivem de
forma plena e que possam ser utilizadas pelos professores do Ensino Fundamental,
que buscam diferentes maneiras de trabalhar a Geometria Plana de forma aprazível,
dinâmica e significativa. Esta Intervenção Pedagógica pressupõe, ainda, que o uso
de mídias tecnológicas pode ajudar no desenvolvimento de habilidades matemáticas
por parte dos educandos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo: Atual, 1993. BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Atual: 7ª série. São Paulo: Atual, 2012. BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Secretaria de Educação Fundamental (II), 1998. BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. Rev. Uta C. Merzbach. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
D’A ROSIO U n. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. LORENZATO, Sérgio. Por que não Ensinar Geometria? Educação Matemática em Revista. 4. ed. São Paulo: SBEM, 1995. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba: SEED, 2008. REFERÊNCIAS VIDEOGRÁFICAS ARRQUITECTURA Africana Los Kasenna. Produção de Florian Yubero Cañas. [s.i.]: Youtube, 2016. Disponível em: <https://youtu.be/GgwWGyafzxk>. Acesso em: 19 nov. 2016. A ARTE dos Mosaicos e a Geometria. Produção de Nilton Cézar Martins. [s.i.]: Youtube, 2008. Disponível em: <https://youtu.be/6vHbGMpVpl0>. Acesso em: 19 nov. 2016. COMO Construir uma Malha de Pontos no GeoGebra?. Produção de Sérgio Dantas. [s.i.]: Youtube, 2015. Disponível em: <https://youtu.be/7tW7UONTn34>. Acesso em: 19 nov. 2016. GEOMETRÍA Islámica. Produção de Educacion & Mediación. [s.i.]: Youtube, 2015. Disponível em: <https://youtu.be/4PsqsBk7rv0>. Acesso em: 19 nov. 2016. ISTO é Matemática - O Estranho Mundo de Escher. Produção de Sigma3web. [s.i.]: Youtube, 2013.Disponível em: <https://youtu.be/7ac0WC3tzwU>. Acesso em: 19 nov. 2016. ISOMETRIAS no Plano. Produção de Sérgio Dantas. [s.i.]: Youtube, 2014. Disponível em: <https://youtu.be/xr7-OhfAakk>. Acesso em: 19 nov. 2016. LA CIENCIA de las Letras Arabes, Abjad y Geometría. Produção de Jorge Lupin. [s.i.]: Youtube, 2015.Disponível em: <https://youtu.be/xcUDjkYc22A>. Acesso em: 19 nov. 2016. MATEMÁTICA em toda parte - Construção/Pavimentação com Polígonos. Produção de Tv Escola. [s.i.]: Tv Escola, 2009. Disponível em: <https://youtu.be/y__0a7TDbfs>. Acesso em: 19 nov. 2016. MOSAICOS. Produção de Sérgio Dantas. [s.i.]: Youtube, 2014. Disponível em: <https://youtu.be/IKi_ZU7NuOw>. Acesso em: 19 nov. 2016. MOSAICOS de la Alhambra. Produção de Nicolás Medina Marañón. [s.i.]: Youtube, 2006. Disponível em: <https://youtu.be/CoJ6u8trLvg>. Acesso em: 19 nov. 2016. NDEBELE. Produção de Acidjahzzpachuli. [s.i.]: Youtube, 2009. Disponível em: <https://youtu.be/Bn6BTXHKN_s>. Acesso em: 19 nov. 2016.
OS AZULEJOS de Alhambra. 2011. Disponível em: <https://youtu.be/SQtE3-Rz5x8>. Acesso em: 19 nov. 2016. PAVIMENTAÇÕES. Disponível em: <https://sites.google.com/site/nemesvv/pavimentações>. Acesso em: 19 nov. 2016. RELATO: Figuras no Plano Cartesiano. Disponível em: <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=161>. Acesso em: 19 nov. 2016. ROSETA. Produção de Sérgio Dantas. [s.i.]: Youtube, 2012. Disponível em: <https://youtu.be/YRAvRwSvMoc>. Acesso em: 19 nov. 2016. TESELA_hexágono.MP4. Produção de Luis Guillermo de La Rosa Jiménez. [s.i.]: Youtube, 2011. Disponível em: <https://youtu.be/8i98V2tCBl0>. Acesso em: 19 nov. 2016. TESELACIÓN hexagonal en Geogebra 3.2. Produção de Rafael Miranda Molina. [s.i.]: Youtube, 2009. Disponível em: <https://youtu.be/mQI53yK_vmw>. Acesso em: 19 nov. 2016. TESELADO semi-regular con GeoGebra. Produção de Silvana Realini. [s.i.]: Youtube, 2013. Disponível em: <https://youtu.be/qz_xepU6_lM>. Acesso em: 19 nov. 2016.