1

Figuras semelhantes têm a mesma forma.

Duas figuras são semelhantes se são geometricamente iguais ou uma delas é uma ampliação da outra.

Exemplo:

As figuras 1, 3, 4 e 6 são semelhantes entre si:

- a figura 1 é ______________________ à figura 3 (mesma forma e tamanho);

- a figura 4 é ______________________ da figura 1 (mesma forma mas tamanho maior);

- a figura 6 é ______________________ da figura 1 (mesma forma mas tamanho menor).

As figuras 2 e 5 não são semelhantes a qualquer outra, pois não têm a mesma forma.

Razão de semelhança (r) ou escala é o quociente de dois comprimentos correspondentes. Em figuras semelhantes:

���� se - as figuras são geometricamente iguais;

���� se - a semelhança é uma ampliação;

���� se - a semelhança é uma redução.

Polígonos semelhantes

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais.

1. Dos seguintes pares de polígonos diz, justificando, se são polígonos semelhantes.

a) b)

c)

Escola Secundária de Lousada Matemática do 8º ano – FT nº8 Data: ___ / ____ / 2011

Assunto: Semelhança de figuras Lição nº ____ e ____

1>r

1<r

1=r

2

2. Determina as dimensões dos polígonos semelhantes aos dados de acordo com a razão de proporcionalidade.

a) r = 2 b) r = 3

5

c c) r = 1,5

3. Proporcionalidade entre lados correspondentes

a) Os rectângulos A e B são semelhantes. Calcula x.

b) Os trapézios A e B são semelhantes. Calcula x e y.

Construção de polígonos semelhantes

Podes construir polígonos semelhantes usando o método das quadrículas ou o método da homotetia.

4. Constrói no teu caderno uma figura semelhante à figura dada considerando a razão de semelhança:

a) 2r =

b) 3

2r =

c) 1

2r =

3

5. Copia o quadrilátero [ABCD] e o ponto O para o teu caderno e constrói a sua imagem [A’B’C’D’] usando o método da homotetia, de centro em O, e razão de semelhança:

a) 3r =

b) 1

2r =

Triângulos semelhantes

Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se tiverem de um para o outro, - dois ângulos iguais (Critério AA); - os três lados de um proporcionais aos três lados do outro (Critério LLL); - dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual (Critério LAL).

6. Os triângulos A e B são semelhantes.

a) Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo A no triângulo B.

b) Determina y.

7. Verifica se os triângulos [ABC] e [MNP] são semelhantes.

8. Averigua se os triângulos [LUZ] e [DIA] são semelhantes.

9. Verifica se os triângulos são semelhantes e calcula RS_____

.

y cm

B

A

12 cm

8 cm 6 cm

4

10. Os dois triângulos seguintes são semelhantes. Calcula x e y.

11. Observa a figura:

11.1. Mostra que

11.2. Calcula a altura de cada uma das árvores.

12. Observa a figura e determina, a altura da árvore sabendo que o António mede 1,5 m.

13. Observa a figura:

13.1. Mostra, justificando convenientemente, que os triângulos [ABC] e [CDE] são semelhantes.

13.2. Sabendo que AB =18 cm, DE =24 cm e CE =32 cm, determina BC .

14. A figura ao lado representa um esquema das torres de vigilância para a

detecção de incêndios florestais.

14.1. Qual é o comprimento de [ ]CB ?

[ ] [ ]CDEABC ∆∆ ~

5

Relação entre perímetros e áreas de polígonos semelhantes

15. Observa a figura.

a) Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo A no triângulo B? b) Qual é a razão entre o perímetro do triangulo B e o perímetro do triângulo A? c) Qual é a razão entre a área do triângulo B e a área do triângulo A? d) Compara cada uma das razões obtidas nas alíneas b) e c) com a razão de semelhança determinada em a).

O que podes concluir?

Propriedades:

16. Os perímetros de dois triângulos semelhantes são 12,4cm e 37,2cm. Calcula a área do segundo triângulo,

sabendo que a área do primeiro é 7,2cm2.

17. Da figura sabe-se que:

- a área do triângulo [ ]APQ é 299 cm e a área do triângulo [ ]ABC é 2

11cm ;

- BC//PQ ; - cmPQ 12=

____

Calcula ____

BC , explicando o teu raciocínio.

18. A área de um quadrado é 2144 m . Quanto mede o lado de um quadrado semelhante a este, de razão de

semelhança 6

1?

19. Dois quadrados têm de áreas 29 cm e 2

144 cm . Qual é a razão de semelhança, considerando-a como uma

ampliação?

Dados dois polígonos X e Y semelhantes e com razão de semelhança de X para Y igual a r, tem-se:

• A razão entre o perímetro do polígono Y (PY) e o perímetro do polígono X (PX) é igual à razão de semelhança, ou seja,

Y

X

Pr

P=

• A razão entre a área do polígono Y (AY) e a área do polígono X (AX) é igual ao quadrado da razão de semelhança, ou seja,

2Y

X

Ar

A=

6

20. Num triângulo, os lados são 10,4 cm, 12 cm e 9,6 cm. Determina o comprimento dos lados de um triângulo semelhante com 80 cm de perímetro.

21. Sabe-se que as áreas de dois triângulos semelhantes são 25 cm2 e 9 cm2. Qual é a razão de semelhança

dos perímetros?

22. Os perímetros de dois triângulos semelhantes são 36 cm e 24 cm. Determina a área do triângulo maior, sabendo que a área do outro é 24 cm2.

23. A D. Maria tem um terreno de forma triangular. No seu interior, existe um canteiro semelhante ao terreno.

Sabe-se que a razão entre os comprimentos dos respectivos lados é 1

3.

23.1. Sabendo que a D. Maria gastou 714 m de rede para vedar o terreno, que quantidade de rede necessita para vedar o canteiro?

23.2. Sabendo que o canteiro tem de área 12 m2, qual a área do terreno? E a área compreendida entre o

terreno e o canteiro?

24. Na figura, estão representados dois hexágonos regulares. Sabe-se que:

♦♦♦♦ O comprimento do lado do hexágono exterior é cinco vezes maior que o lado do hexágono interior;

♦♦♦♦ A área do hexágono interior é 23 cm2.

24.1. Determina a área do da parte sombreada a cinzento, mostrando como chegaste à resposta.

25. Considera um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5, deste triângulo. Efectua a construção a lápis. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.

26. Dois triângulos equiláteros são semelhantes? Justifica.

27. Dois triângulos isósceles quaisquer são semelhantes? Justifica.