Hewlett-Packard

TRIÂNGULOS AULAS 01 a 03

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário Triângulos ..................................................................... 1

DEFINIÇÃO E ELEMENTOS ................................................................................................................................... 1

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO .................................................................... 1

ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO ....................... 1

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO ................................................................... 1

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO ................................ 2

CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO ............................ 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 3

A DESIGUALDADE TRIANGULAR ................................... 3

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 3

MEDIATRIZ e CEVIANAS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO3

Mediatriz ...................................................................... 3

Cevianas Notáveis de um Triângulo ............................. 3

Mediana .............................................................................................................................................................. 3

Bissetriz interna .................................................................................................................................................. 4

Altura................................................................................................................................................................... 4

COINCIDÊNCIA .............................................................. 4

OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO ................. 4

BARICENTRO ....................................................................................................................................................... 5

INCENTRO............................................................................................................................................................ 5

CIRCUNCENTRO................................................................................................................................................... 5

ORTOCENTRO ...................................................................................................................................................... 6

PROPRIEDADES DOS PONTOS NOTÁVEIS nos triângulos isósceles ......................................................................... 6

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

Triângulos

AULA 01

DEFINIÇÃO E ELEMENTOS Dados os pontos não-colineares A1, A2 e A3,

chamaremos de triângulo a união dos segmentos,

𝐴1𝐴2 , 𝐴2𝐴3

e 𝐴1𝐴3 com a região do plano limitada

por esses segmentos.

ELEMENTOS

• Vértices: pontos A1, A2 e A3.

• Lados: segmentos 21AA , 32AA e 13AA .

• Ângulos internos: i1, i2 e i3.

• Ângulos externos: e1, e2 e e3.

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS

INTERNOS DE UM TRIÂNGULO A soma das medidas dos ângulos internos de um

triângulo é igual a 180°.

Por exemplo, na figura, a, b e c representam as

medidas dos ângulos internos do triângulo ABC.

Desse modo, temos:

a + b + c = 180°

ÂNGULO EXTERNO DE UM

TRIÂNGULO Escolhendo um dos vértices de um triângulo e

prolongando um dos lados que passa por esse vértice,

formamos, externamente ao triângulo, dois ângulos:

um raso e outro de medida x, com 0° < x < 180°. Esse

último é denominado ÂNGULO EXTERNO relativo ao

vértice escolhido.

Na figura a seguir, temos um triângulo ABC com as

medidas de seus ângulos indicadas.

Note que:

• x é a medida do ângulo externo relativo ao

vértice A.

• y é a medida do ângulo externo relativo ao

vértice B.

• z é a medida do ângulo externo relativo ao

vértice C.

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS

EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO A soma das medidas dos ângulos externos de um

triângulo é igual a 360°.

Por exemplo, na figura, x, y e z representam as medidas

dos ângulos externos do triângulo ABC.

Desse modo, temos:

x + y + z = 360°

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual

à soma das medidas de dois dos seus ângulos internos

não-adjacentes a esse ângulo externo.

Na figura acima, o triângulo ABC tem ângulos internos

de medidas a, b e c e ângulos externos de medidas x, y

e z. De acordo com o teorema, tem-se:

x = b + c

y = a + c

z = a + b

CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO

Quanto aos lados

• Isósceles

Pelo menos dois lados congruentes.

Obs. 1: Em um triângulo isósceles, o lado que

tem medida distinta da medida dos outros dois

é chamado base do triângulo isósceles.

Obs. 2: Os ângulos da base de um triângulo

isósceles são congruentes.

• Equilátero

Os três lados são congruentes.

Obs. 3: Todo triângulo equilátero é isósceles.

Obs. 4: Os ângulos internos de um triângulo

equilátero são congruentes e a medida de

cada um deles é 60°.

• Escaleno

Três lados de medidas diferentes.

Quanto aos ângulos

• Retângulo

Possui um ângulo de medida 90°.

Obs. 5: Em um triângulo retângulo, o lado

oposto ao ângulo reto é denominado

hipotenusa (o maior lado) e os outros dois são

chamados catetos.

Obs. 6: Os ângulos não retos de um triângulo

retângulo são agudos e complementares.

• Acutângulo

Possui os ângulos internos agudos.

• Obtusângulo

Possui um dos ângulos internos obtuso.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1 Considere o triângulo PQR, representado na figura

a seguir.

145º

P

R

Q

150º

45º

A medida do ângulo 𝑄��𝑃 é

a) 60° b) 90° c) 20° d) 70°

1.2 Na figura a seguir,

tem-se 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸,

𝐶𝐷 = 𝐶𝐹 e 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶.

Se o ângulo 𝐸��𝐹 mede 80°, então o ângulo 𝐴��𝐶

tem medida igual a

a) 20°. b) 30°. c) 50°. d) 60°. e) 90°.

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

GABARITO: 1.1) d 1.2) a

AULA 02

PRELIMINAR 1 Uma criança encontra três gravetos (retilíneos) que

têm medidas, em cm, aproximadamente iguais a 3, 10

e 18. Se ela juntar as extremidades dos gravetos,

conseguirá construir um triângulo?

A DESIGUALDADE TRIANGULAR Para que seja possível construir um triângulo, é

necessário e suficiente que a medida de cada segmento

seja menor do que a soma das medidas dos outros dois.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.1. Responda ao Preliminar 1, justificando sua

resposta.

2.2. Deseja-se construir um triângulo com lados de

medida 2, 8 e x. Quais são os valores reais de x que

viabilizam essa construção?

AULA 03

MEDIATRIZ e CEVIANAS NOTÁVEIS DE

UM TRIÂNGULO

Mediatriz Das infinitas retas que podem ser traçadas pelos pontos

de um segmento, denominamos MEDIATRIZ a reta que

passa pelo ponto médio desse segmento e é

perpendicular a ele.

Na figura a seguir, a reta r é a mediatriz do segmento

BC, em que M é o ponto médio desse segmento.

Obs. 1: Em geral, uma mediatriz não passa por um

vértice do triângulo, exceto a mediatriz relativa à base

de um triângulo isósceles e as mediatrizes de um

triângulo equilátero.

Cevianas Notáveis de um Triângulo Ceviana de um triângulo é o nome dado a um

segmento de reta que tem uma de suas extremidades

em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade

na reta suporte do lado oposto a esse vértice.

As três cevianas notáveis de um triângulo são:

• Mediana

• Bissetriz interna

• Altura

Obs. 2: Em qualquer triângulo é possível construir três

de cada uma das cevianas citadas acima.

Mediana Uma mediana tem um de seus extremos em um dos

vértices do triângulo e o outro no ponto médio do lado

oposto a esse vértice.

Na figura, 𝑚𝑏 é a mediana relativa ao vértice B.

r TAREFA 1 – LER o exercício resolvido 1, nas p. 5 e 7, e o

ex. resolvido 2, nas p. 11 e 12. E fazer os PSA de 3 a 11.

TAREFA 2 – LER o exercício resolvido 1, nas p. 2 e 3, e

fazer os PSA 1 e 2.

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

Obs. 3: A mediana relativa à hipotenusa é tal que sua

medida é igual à metade da medida dessa hipotenusa.

𝐶𝑀 =𝐴𝐵

2

Note que, na figura acima, os dois triângulos formados

no interior do triângulo retângulo são isósceles.

Propriedade: Se um lado de um triângulo é um

diâmetro da circunferência que o circunscreve, então,

esse triângulo é necessariamente retângulo.

Bissetriz interna Uma bissetriz interna de um triângulo está contida na

bissetriz de um dos ângulos internos desse vértice.

Na figura, 𝑠𝑎 é a mediana relativa ao vértice A.

Note que, uma bissetriz interna não tem,

necessariamente, um de seus extremos no ponto

médio do lado oposto ao vértice que a origina.

Altura Uma altura tem um de seus extremos em um dos

vértices do triângulo e o outro contido na reta

perpendicular à reta suporte do lado oposto a esse

vértice.

Na figura, ℎ𝑐 é a altura relativa ao vértice C.

Obs. 4: Nem sempre as alturas são internas ao

triângulo, veja:

• Triângulo acutângulo: as três alturas são

internas ao triângulo.

• Triângulo retângulo: cada cateto é uma altura

desse triângulo.

• Triângulo obtusângulo: duas de suas alturas

são externas ao triângulo.

COINCIDÊNCIA Em geral, a mediatriz e as cevianas de um triângulo

relativas a um mesmo vértice não são coincidentes.

Porém, há algumas exceções nas quais a mediatriz e as

cevianas relativas a um mesmo lado se sobrepõem. São

elas:

• A mediatriz e as cevianas relativas apenas à base

de um triângulo isósceles.

• A mediatriz e as cevianas relativas a um mesmo

lado (de qualquer um dos lados) de um triângulo

equilátero.

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5

OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM

TRIÂNGULO

Os pontos notáveis de um triângulo são determinados

pela interseção de três cevianas de um mesmo tipo, ou

pela interseção de três mediatrizes. São eles:

• BARICENTRO

• INCENTRO

• CIRCUNCENTRO

• ORTOCENTRO

BARICENTRO É o ponto de interseção das três medianas.

Na figura, 𝐺 é o baricentro do triângulo ABC.

i. Note que, em um triângulo ABC, se chamarmos de

𝑀 o ponto médio do lado 𝐵𝐶 , e de 𝐺 o baricentro

do triângulo, então as distâncias de G a A (entre o

vértice e o baricentro) e as distâncias de G a M

(entre o baricentro e o ponto médio) são tais que

𝐺𝐴 = 2 ∙ 𝐺𝑀.

Veja a figura a seguir, na qual m representa a medida

da mediana destacada.

Curiosidade: O baricentro é o centro de gravidade de

um objeto construído com material homogêneo e na

forma de um triângulo.

INCENTRO É o ponto de interseção das três bissetrizes internas do

triângulo.

Na figura, 𝐼 é o baricentro do triângulo ABC.

i. É o único ponto do plano que é equidistante dos

três LADOS do triângulo.

ii. É o centro da circunferência INSCRITA ao triângulo.

CIRCUNCENTRO É o ponto de interseção das três mediatrizes.

Na figura, 𝑂 é o circuncentro do triângulo ABC.

i. É o único ponto do plano que é equidistante dos

três VÉRTICES do triângulo.

ii. É o centro da circunferência CIRCUNSCRITA ao

triângulo.

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6

iii. Em um triângulo acutângulo, o circuncentro é

interno ao triângulo.

iv. Em um triângulo retângulo, o circuncentro coincide

com o ponto médio da hipotenusa.

v. Em um triângulo obtusângulo, o circuncentro é

externo ao triângulo.

ORTOCENTRO É o ponto de interseção das três alturas do triângulo.

i. Em um triângulo acutângulo, o ortocentro é

interno ao triângulo.

ii. Em um triângulo retângulo, o ortocentro coincide

com o vértice do triângulo cujo ângulo interno é

reto.

iii. Em um triângulo obtusângulo, o ortocentro é

externo ao triângulo.

PROPRIEDADES DOS PONTOS

NOTÁVEIS nos triângulos isósceles

• Em um triângulo isósceles, os quatro pontos

notáveis estão alinhados. Todos eles pertencem à

mediatriz relativa à base desse triângulo.

• Em um triângulo equilátero, os quatro pontos

notáveis coincidem. Isto é, baricentro, incentro,

circuncentro e ortocentro são representados pelo

mesmo ponto.

Baricentro

Incentro

Circuncentro

Ortocentro

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 7

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

3.1 Na figura a seguir tem-se um triângulo ABC,

retângulo em A. Sabe-se que 𝐴𝐻 é a altura relativa à

hipotenusa e 𝐴𝑀 é a mediana relativa ao vértice A.

A

BH M

C

40º

x

Nestas condições, calcule, em graus, a medida 𝑥 do

ângulo assinalado.

* Algumas das imagens dessa aula foram retiradas, em outubro/2012, do

sítio: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/08/pontos-

notaveis-de-um-triangulo.html .

EXTRAS

1.1 Na figura a seguir, tem-se 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶 e 𝐸 ∈ 𝐵𝐶 .

A

B C

D

E

60º

60º

45º

Determine a medida do ângulo 𝐴��𝐷, dado que

𝑚𝑒𝑑(𝐴��𝐶) = 𝑚𝑒𝑑(𝐷��𝐸)90°.

1.2 Acerca da figura a seguir, julgue

os itens:

(1) O triângulo ABC é equilátero.

(2) O triângulo ACD é isósceles.

(3) 𝛼 − (𝛾 + 𝛽) é divisível por 2.

GABARITO: 1.1) 75° 1.2) C C C

TAREFA 3 – LER o exercício resolvido 5, na parte teórica,

e fazer os PROPOSTOS de 12 a 14.