Quadriláteros Inscritíveis e Circunscritíveis

Contrariamente aos triângulos, nem todo quadrilátero (convexo) admite um círculo passando por seus vértices. Para ver isso, basta tomar um triângulo ABD e um ponto C não pertencente ao círculo circunscrito a ABD. Por outro lado, dizemos que um quadrilátero é inscritível se existir um círculo passando por seus vértices.

•  É imediato a partir da unicidade do círculo circunscri to a um tr iângulo quese um quadrilátero for inscritível, então o círculo que passa por seus vértices é único e será doravante denominado o círculo circunscrito ao quadrilátero.

•  Podemos mostrar que um quadrilátero é inscritível se, e só se, as mediatrizes de seus lados se intersectarem em um único ponto, o circuncentro do quadrilátero. Porém, nas a p l i c a ç õ e s q u e t e m o s e m m e n t e , a caracterização dos quadriláteros inscritíveis dada a seguir mostra-seem geral mais útil:

No que segue, apresentamos duas aplicações importantes da proposição acima. Para a primeira delas, precisamos da seguinte nomenclatura: o triângulo órtico de um triângulo não-retângulo ABC é o triângulo formado pelos pés das alturas de ABC.

Nossa segunda aplicação diz respeito à seguinte situação: dados no plano um triângulo ABC e um ponto P não situado sobre qualquer das retas suportes dos lados de ABC, marcamos os pontos D, E e F, pés das perpendiculares baixadas de P respectivamente aos lados BC, CA e AB. O triângulo DEF assim obtido é o triângulo pedal de P em relação a ABC. Por exemplo, o triângulo órtico de um triângulo é o triângulo pedal do ortocentro do triângulo.

Nas notações da discussão acima, quando P estiver sobre o círculo circunscrito a ABC diremos que a reta que passa pelos pontos D, E e F é a reta de Simson-Wallace de P relativa a ABC.

Voltando à discussão do parágrafo inicial desta seção, observamos agora que nem todo quadrilátero convexo possui um círculo tangente a todos os seus lados. Quando tal ocorrer, diremos que o quadrilátero é circunscritível e que o círculo tangente a seus lados é o círculo inscrito no quadrilátero. O teorema a seguir, conhecido como o teorema de Pitot, dá uma caracterização útil dos quadriláteros inscritíveis.