Edital Pibid n°11 /2012 CAPES

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA - PIBID

Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR)

Tipo do produto: Sequência Didática

1 – IDENTIFICAÇÃO

SUBPROJETO MATEMÁTICA/FECEA: Uma iniciativa concreta ao processo de formação do

Professor de Matemática

COORDENADOR(A):

Prof. supervisor: Alessandra Grizelini

Nome da Escola: Colégio Estadual Padre José Canale – Ens. Fund. e Médio.

Licenciandos Bolsitas

Nome E-mail Curso de licenciatura

Josias Correia Passos josias_cp@hotmail.com Matemática

Julio Cezar Rodrigues de Oliveira julioeconomist@hotmail.com Matemática

Oseas Pereira dos Santos menotyp@hotmail.com Matemática

DATAS: 22/05/2013 – 29/05/2013 – 05/06/2013 – 12/06/2013

DURAÇÃO: 4 aulas

PARTICIPANTES: 6º e 7º anos

1. TEMA

- O Estudo dos Quadriláteros Notáveis por meio da construção de um Tangram.

2. OBJETIVOS GERAIS

Reconhecer os quadriláteros notáveis por suas definições e suas diferenças.

2.1 Objetivos Específicos

Utilizar o Tangram como um aliado na aprendizagem, levando os alunos a

perceberem que é possível aprender matemática também de uma maneira

lúdica.

Estimular a participação do aluno em atividades conjuntas para

desenvolver a capacidade de ouvir e respeitar a criatividade dos colegas,

promovendo o intercâmbio de ideias como fonte de aprendizagem para um

mesmo fim.

Estudar as definições dos quadriláteros notáveis, com o objetivo de

reconhecê-los e classificá-los por meio de suas propriedades.

Compreender o processo de decomposição de polígonos em triângulos para

encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono.

3. CONTEÚDOS

Quadriláteros Notáveis: definições e propriedades.

4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Para o desenvolvimento da aula, nosso encaminhamento metodológico baseia-se

na Investigação Matemática, buscando a participação ativa dos alunos, ao levantar

hipóteses, criar estratégias, investigar como é possível proceder para buscar a solução de

determinado problema.

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica

do Paraná (2006, p. 67), na Investigação Matemática o aluno é chamado a agir como um

matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente,

porque formula conjecturas a respeito do que está investigando. As DCEs também

afirmam que

“Uma investigação é um problema em aberto e, por isso, as

coisas acontecem de forma diferente do que na resolução de

problemas e exercícios. O objeto a ser investigado não é

explicitado pelo professor, porém o método de investigação

deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução

oral, de maneira que o aluno compreenda o significado de

investigar. Assim, uma mesma situação apresentada poderá ter

objetos de investigação distintos por diferentes grupos de

alunos. E mais, se os grupos partirem de pontos de investigação

diferentes, com certeza obterão resultados também diferentes

(2006, p.67).”

Acreditamos que ao propor a construção de um Tangram com uma folha de

sulfite, estaremos convidando os alunos a indagar como isso é possível e o que fazer

para que consigamos atingir esse objetivo. A partir desse ponto, nosso objetivo será o

estudo dos quadriláteros notáveis por meio da construção de um Tangram, ou seja, algo

que não explicitaremos no início da aula, mas que acontecerá conforme descobrirmos

cada uma das peças do Tangram, tudo dependendo de como a aula será conduzida.

CONHECENDO OS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS POR MEIO DO TANGRAM

O Tangram é um jogo que milenar que exige astúcia e reflexão. Da sua

simplicidade nasce sua maior riqueza; pelo corte de um quadrado, sete peças criam,

juntas, formas humanas, abstratas e objetos de diversos formatos.

Segundo alguns, o nome Tangram é uma corrupção da palavra inglesa obsoleta

“Tangram” que significa um puzzie ou quinquilharias. Originário da China, e anterior

ao século 18, pouco se sabe da verdadeira origem do Tangram, mas dentre as lendas

existentes, escolhemos a seguinte para começar a aula:

“Um jovem chinês, ao despedir-se do seu mestre para uma grande viagem pelo

mundo, recebeu um espelho de forma quadrada e ouviu:

_ Com esse espelho, registarás tudo o que vires durante a viagem, para

mostrar-me na volta.

O discípulo, surpreendido, perguntou:

_ Mas mestre, como, com um simples espelho, poderei eu mostrar-lhe tudo o

que encontrar durante a viagem?

No momento em que fez esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos quebrando-

se em sete peças. Então o mestre disse:

_ Agora poderás, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que

vires durante a viagem.”

Contaremos essa lenda aos alunos e colocaremos o desenho do espelho no

quadro, para que eles vejam o formato do espelho quebrado.

Figura 1 – Tangram

Em seguida distribuiremos uma folha sulfite no tamanho A4 para cada aluno,

explicando que iremos encontrar todas as peças do Tangram com essa folha sulfite. Para

isso temos que obter uma figura que seja no mesmo formato do espelho da lenda, que

era representado por um quadrado. Para isso, vamos propor o seguinte desafio:

Como é possível obter o maior quadrado utilizando essa folha sulfite? O

procedimento é o seguinte:

Dobrar a folha sulfite assim como na figura

ao lado. Recortar o retângulo do lado

direito, que não será mais necessário.

Perguntaremos aos alunos o que eles conhecem sobre o retângulo, com o

objetivo de estudar as suas propriedades e sua definição.

Retângulo: um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se,

possui os quatros ângulos congruentes.

Figura 2 – Retângulo

ABCD é retângulo DCBA ˆˆˆˆ

Depois de encontrado o quadrado da figura a seguir, vamos encontrar as sete

peças do Tangram, por meio do seguinte procedimento:

Recortar também o quadrado na dobra feita

em sua diagonal, dividindo-o em dois

triângulos retângulos isósceles.

Antes de recortar o quadrado na dobra que representa sua diagonal, vamos

perguntar quais figuras conseguimos formar ao encontrar a diagonal do quadrado,

chegando à ideia que temos dois triângulos retângulos isósceles congruentes. Na

sequência, vamos perguntar o que eles sabem sobre o quadrado, para começarmos a

estudar suas propriedades.

Quadrado: Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se,

possui os quatro ângulo congruentes e os quatro lados congruentes.

Figura 3 – Quadrado

ABCD é quadrado ( DCBA ˆˆˆˆ e DACDBCAB )

A próxima questão será: Já conseguimos alguma peça do espelho? Com isso

pediremos sugestões de como obter as peças. O próximo passo segue:

Dobrar um dos triângulos obtidos ao meio e

recortar para encontrar as duas primeiras

peças do Tangram, os dois triângulos

maiores.

Nesse ponto, vamos investigar se há alguma relação entre esses dois triângulos

(T1 e T2) formados e o terceiro triângulo, que possui exatamente a mesma área que T1

+ T2, e além disso, é semelhante a T1 e a T2. Podemos sobrepor T1 e T2 sobre o

terceiro triângulo para verificar.

Dobrar o triângulo maior assim como na

figura ao lado, de modo que as

extremidades da dobra estejam nos pontos

médios do lado do quadrado inicial.

Recortar a terceira peça do Tangram, o

triângulo de tamanho médio, que

chamaremos de T3.

Assim que recortarmos T3, teremos também um trapézio isósceles, e

perguntaremos aos alunos se eles conhecem essa figura, se algum deles conhecê-la,

vamos perguntar o que eles sabem sobre o trapézio, para chegarmos em sua definição, e

também estudar quais são os diferentes tipos de trapézio.

Trapézio: um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui

dois lados paralelos.

Há dois tipos de trapézios em relação aos lados não paralelos:

Trapézio escaleno: se os lados não paralelos não são congruentes.

Figura 4 – Trapézio Escaleno

Trapézio isósceles: se os lados não paralelos são congruentes.

Figura 5 – Trapézio Isósceles

Podemos considerar ainda mais uma classificação:

Trapézio retângulo: se o trapézio possui dois ângulos retos.

Figura 6 – Trapézio Retângulo

Dobrar o trapézio isósceles no meio, assim

como indicado na figura.

Vamos então dobrar esse trapézio de modo que a dobra seja o seu eixo de

simetria, dividindo-o em outros dois trapézios, e questionaremos qual é a classificação

desses trapézios formados.

Questionaremos os alunos se eles conseguem visualizar uma possibilidade para

obter as próximas peças do Tangram. Segue uma das possibilidades:

Dobrar a ponta superior assim como

indicado na figura, para depois recortar a

quarta peça do Tangram, ou seja, um dos

triângulos pequenos, que chamaremos de

T4.

A próxima ideia é encontrar o quadrado presente na figura. Podemos encontrá-lo

da seguinte maneira:

Dobrar o quadrado utilizando a dobra que

dividia o trapézio isósceles ao meio e

recortar a quinta peça do Tangram, o

quadrado T5.

O último desafio é obter o paralelogramo T7 e o último triângulo T6, para isso

desafiaremos os alunos a encontrá-los.

Dobrar o quadrilátero assim como na figura

para encontrar as duas últimas peças do

Tangram, o outro triângulo pequeno T6 e o

paralelogramo T7.

Perguntaremos aos alunos se eles conhecem o paralelogramo, com a intenção de

estudar sua definição e suas propriedades.

Paralelogramo: um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e

somente se, possui os lados opostos paralelos.

Figura 7 – Paralelogramo

ABCD é paralelogramo ( AB // CD e AD // BC )

O último quadrilátero a ser estudado será o losango, perguntaremos se os alunos

já ouviram falar sobre ele, e se eles já o viram em alguma outra situação, para isso

faremos o seguinte desenho no quadro.

Losango: um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui

os quatro lados congruentes.

Figura 8 - Losango

ABCD é losango DACDBCAB

No decorrer dessa tarefa, estudaremos a definição de cinco quadriláteros

notáveis, escrevendo-as de forma resumida no quadro (Ver Figura 9), para depois que

explorarmos todos eles, levantaremos os seguintes questionamentos:

Figura 9 – Quadriláteros Notáveis

Analisando essas definições, existe algum desses quadriláteros que pode ser

todos ao mesmo tempo?

Para responder essa pergunta, teremos que pensar nas definições de cada um dos

quadriláteros, e pretendemos que os alunos notem que o quadrado é também trapézio,

paralelogramo, losango e retângulo.

Continuaremos a questionar os alunos sobre as relações que podemos encontrar

nos quadriláteros notáveis. Nossa intenção é que os alunos identifiquem que o retângulo

e o losango são ambos paralelogramo e trapézio.

Perguntaremos também se o paralelogramo é trapézio ou se o trapézio é

paralelogramo, para iniciar uma discussão de como poderíamos representar esses

quadriláteros por meio de um diagrama, que construiremos com o auxílio dos alunos

(Figura 10).

Figura 10 – Relações de Inclusão (Quadriláteros Notáveis)

Uma vez desenhado o diagrama, perguntaremos aos alunos: O que aconteceria

se tivéssemos definido o trapézio como um quadrilátero plano convexo que possui

apenas um par de lados paralelos?

Deixaremos que os alunos digam que, nesse caso, o conjunto dos paralelogramos

e o conjunto dos trapézios seriam disjuntos, e assim os paralelogramos não são

considerados trapézios, mas todos os outros quadriláteros notáveis (retângulo, losango e

quadrado) continuariam sendo paralelogramos, já que todos possuem dois pares de

lados paralelos.

Propriedades dos Quadriláteros Notáveis

Apresentaremos em uma aula posterior as seguintes propriedades de cada um

dos quadriláteros notáveis:

Propriedades do Trapézio: em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD

temos: DCBA ˆˆˆˆ = 360º.

Para garantir que essa afirmação é verdadeira, primeiro iremos decompor um

trapézio em dois triângulos, por meio de uma de suas diagonais, assim como na figura

abaixo:

Afirmaremos então que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, e

para garantir que os alunos tenham certeza dessa afirmação faremos uma breve

demonstração, utilizando as ideias de paralelismo:

Dado um triângulo ABC qualquer de base AB, podemos traçar uma reta paralela

a AB que passa por C, e considerando que a reta que passa por C é paralela à reta

suporte do lado AB, temos a seguinte figura:

Os ângulos β e δ são alternos internos, logo são congruentes. Os ângulos α e ε

são alternos internos, logo também são congruentes. Sabemos que ε + δ + γ = 180°, logo

podemos substituir ε por α e δ por β. Assim temos que a soma dos ângulos internos de

um triângulo é 180°.

Assim teremos garantido que a soma dos ângulos internos de um triângulo é

180°, agora podemos então afirmar que, como o trapézio foi dividido em dois

triângulos, a soma dos seus ângulos internos será 360°.

Em relação ao trapézio isósceles, temos que os ângulos da base são congruentes

e as diagonais são congruentes.

Propriedades do Paralelogramo:

I – Em todo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes.

II – Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.

III – Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos

médios.

Propriedades do Retângulo: além das propriedades do paralelogramo, todo

retângulo possui as diagonais congruentes.

Propriedades do Losango: além das propriedades do paralelogramo, o losango

tem as diagonais perpendiculares.

Propriedades do Quadrado: além das propriedades do paralelogramo, o

quadrado tem as propriedades características dos retângulos e dos losangos.

Omitiremos as demonstrações sobre as propriedades dos paralelogramos,

retângulos, losangos e quadrados, pois esse não será o objetivo da aula, e

demonstraremos a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo para que

na sequência possamos generalizar para todos os polígonos.

RECONHECENDO OS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS EM ALGUMAS ATIVIDADES

A segunda etapa da aula consiste de algumas atividades que servirão como

avaliação, na qual os alunos serão avaliados com relação a sua participação e também

para verificar se eles compreenderam o conteúdo que estudaram na etapa anterior.

1) Com as peças do Tangram, mostre como construir:

a) Um quadrado usando 1, 2, 3, 4, 5 e 7 peças.

b) Um paralelogramo usando 1, 2, 3, 4 e 7 peças.

c) Um retângulo usando 3, 4 e 7 peças?

d) Um trapézio isósceles usando 3 e 4 peças?

2) Quantos paralelogramos existem na figura 1? Quantos quadrados existem na

figura 2?

Figura 1

Figura 2

3) Verdadeiro ou Falso?

Todo quadrado é losango. Todo paralelogramo é quadrado.

Todo quadrado é retângulo. Todo retângulo é paralelogramo.

Todo losango é retângulo. Todo losango é quadrado.

Todo retângulo é quadrado. Todo paralelogramo é retângulo.

Todo quadrado é paralelogramo. Todo retângulo é losango.

4) Encontre as medidas dos ângulos indicados no Tangram abaixo:

a = ______

b = ______

c = ______

d = ______

CONSIDERAÇÕES SOBRE A AVALIAÇÃO

Nossa perspectiva de avaliação nesse plano de aula tem como objetivo obter

informações sobre o estado de conhecimento do aluno sobre certa noção estudada.

Pretendemos analisar o quanto os alunos terão aprendido no decorrer dessa aula por

meio do diálogo que surgir no decorrer da aula e no final da aula com as atividades que

serão propostas.

De acordo com Dante (1999), a avaliação deve ser entendida pelo professor

como um processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das

dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos das atividades que participarem.

Pensamos que a avaliação não deve ser classificatória, e por isso precisamos considerar

os erros dos alunos, para descobrir as causas deles, e por meio delas podemos ajudá-los,

trabalhando em cima desses erros e planejando novas atividades.

De acordo com SILVA:

O sentido da avaliação é compreender o que se passa na interação entre o

ensino e a aprendizagem para uma intervenção consciente e melhorada do

professor, fazendo seu planejamento e seu ensino e para que o aprendente

tome consciência também de sua trajetória de aprendizagem e possa criar

suas próprias estratégias de aprendizagem (SILVA, 2004 p. 60).

Dessa forma, acreditamos que podemos auxiliar os alunos a descobrirem suas

próprias estratégias de avaliação, de modo a refletir se estão ou não aprendendo o que

estudam na sala de aula, com a intenção de formar cidadãos críticos, que atentem para

os detalhes que são mais confusos para eles, questionando quando têm dúvidas,

pensando em como podem utilizar os conhecimentos adquiridos na escola para intervir

em suas realidades com a intenção de modificá-las, buscando as melhores soluções para

os seus problemas.

5. RESULTADOS ESPERADOS

As definições de cada um dos quadriláteros notáveis no Ensino Fundamental II

costuma causar muitos questionamentos para os alunos, tais como: por quê todo

quadrado é retângulo? Esses questionamentos podem ser causados porque no Ensino

Fundamental I, os alunos estudam os quadriláteros como se todos representassem

conjuntos disjuntos, ou seja, um quadrado é um quadrado e um retângulo é um

retângulo.

Ao abordar esse tema em um contexto no qual os alunos estão trabalhando com

recortes e dobraduras, pretendemos esclarecer que a partir daquele momento

definiremos de um modo mais formal cada um dos quadriláteros, apresentando as

definições segundo o livro Fundamentos da Matemática Elementar: Volume 9 –

Geometria Plana. Explicaremos também para os alunos que existem diferentes autores

que podem utilizar diferentes definições, mas adotaremos essa definição por ser a mais

utilizada nos últimos anos.

Ao escrever as propriedades que definem cada um dos quadriláteros notáveis no

quadro, reforçaremos para os alunos que determinada característica pode garantir que

um quadrilátero seja classificado em uma categoria ou não. Por exemplo, ao escrever no

quadro que a propriedade que define o paralelogramo são os lados opostos paralelos,

estamos afirmando que todo quadrilátero convexo com essa propriedade será um

paralelogramo. Mas existem outros quadriláteros que também possuem essa

propriedade, logo estes também serão paralelogramos. Esperamos que, com essa

abordagem, e as tarefas que iremos propor, os alunos consigam compreender as

diferenças e semelhanças entre os quadriláteros notáveis.

6. CONTRIBUIÇÃO DA ATIVIDADE PARA A FORMAÇÃO DOCENTE

O ensino das definições dos quadriláteros notáveis pode não ser tão simples,

talvez se tivéssemos optado por uma aula expositiva, os alunos poderiam não se

envolver tão ativamente como aconteceu.

Questionamos se seria possível a construção de um Tangram com uma folha

sulfite, e os alunos acreditaram que sim, mas não sabiam como, e mesmo assim

aceitaram o desafio, pois sentiram que seriam capazes de conseguir. A partir desse

momento, começamos a discutir os diferentes quadriláteros que surgiam no decorrer da

construção, adotando uma definição para cada um deles. Com isso, os alunos foram

lembrando o que já sabiam sobre esse conteúdo e formalizando o que conheciam sobre

os quadriláteros.

Quando chegamos às tarefas, notamos que os alunos tinham mais segurança ao

discutir as propriedades de cada um dos quadriláteros, o que foi possibilitado pelas

discussões que ocorreram durante a construção do Tangram. A experiência foi

gratificante, pois notamos que os alunos, quando motivados, participaram ativamente da

aula, buscando respostas para as questões que eram levantadas.

7. REFERÊNCIAS

DANTE, L. R. Avaliação em Matemática. In: Matemática : Contexto e Aplicações

(Manual do Professor). São Paulo: Ática, 1999.

DOLCE, O. POMPEO, J.N. Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 –

Geometria Plana. 7ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2000.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação.

Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: SEED,

2006.

SILVA, J. F. Avaliação na perspectiva formativa-reguladora: pressupostos teóricos

e práticos. Porto Alegre: Ed. Mediação, 2004.

8. ANEXOS

– ANEXO I – RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES

RESPOSTAS PARA OS DESAFIOS

1) Com as peças do Tangram, mostre como construir:

a) Um quadrado usando 1, 2, 3, 4, 5 e 7 peças.

b) Um paralelogramo usando 1, 2, 3, 4 e 7 peças.

c) Um retângulo usando 3, 4 e 7 peças?

d) Um trapézio isósceles usando 3, 5 e 7 peças?

2) Quantos paralelogramos existem na figura 1? Quantos quadrados existem na

figura 2?

Figura 1

Figura 2

Solução

No caso da Figura 1, temos que organizar a contagem, para isso vamos

considerar que a base tem medida igual a 4b (sendo b a medida da base de cada um dos

paralelogramos menores) e a altura tem 2a (sendo a a altura de cada um dos menores

paralelogramos da figura). Começaremos pelos paralelogramos menores, com medidas

1bx1a, desses temos 8. Em seguida seguimos contando, primeiro alterando a altura e

depois a base. Para contar os outros, podemos construir uma tabela:

Medidas do paralelogramo Quantidade de paralelogramos

1b x 1a 8

1b x 2a 4

2b x 1a 6

2b x 2a 3

3b x 1a 4

3b x 2a 2

4b x 1a 2

4b x 2a 1

Total 30

No caso da Figura 2, temos um retângulo com medida 4 na base e 3 na altura,

para sabermos quantos quadrados existem na figura, para isso notamos que há três tipos

de quadrado na figura, quadrados com medida 1, 2 ou 3 de lado.

Assim podemos construir a tabela para contar o número de quadrados:

Medida do lado do Quadrado Quantidade de Quadrados

1 12

2 6

3 2

Total 20

3) Verdadeiro ou Falso?

V Todo quadrado é losango. F Todo paralelogramo é quadrado.

V Todo quadrado é retângulo. V Todo retângulo é paralelogramo.

F Todo losango é retângulo. F Todo losango é quadrado.

F Todo retângulo é quadrado. F Todo paralelogramo é retângulo.

V Todo quadrado é paralelogramo. F Todo retângulo é losango.

4) Encontre as medidas dos ângulos indicados no Tangram abaixo:

a = 45°

b = 135°

c = 90°

d = 45°

Tabelas com o Resumo dos Planos

Indicador da

atividade Objetivo da atividade

Descrição atividade (como esta será

realizada - metodologia)

1.

Reconhecer os

quadriláteros notáveis

por suas definições e

suas diferenças.

A construção do Tangram possibilitou

uma abordagem investigativa sobre os

quadriláteros que surgiram no decorrer da

atividade.

Indicador da

atividade Resultados esperados

1.

Esperamos que, com uma abordagem na perspectiva da Investigação

Matemática, além das tarefas que iremos propor, os alunos consigam

compreender as diferenças e semelhanças entre os quadriláteros

notáveis.

Indicador da

atividade Contribuição para a Formação Docente

1.

Devido à construção do Tangram e a discussão possibilitada por ela,

notamos que os alunos passaram a ter mais segurança ao discutir as

definições e propriedades dos quadriláteros notáveis quando estavam

realizando as tarefas propostas. E também observamos que, quando

motivados, os alunos se empenham em buscar soluções para os

problemas apresentados.

Indicador da atividade PLANO DE ATIVIDADES DO

COORDENADOR

(Reuniões Semanais)

1.

Professor Fábio

Observação: as reuniões semanais da equipe devem contemplar as atividades planejadas pelos

coordenadores .

CRONOGRAMA 2013

Atividade Mês de Início Mês de Término

1. Maio Julho

Apucarana, ____ de _____________________ de 2013.

Professor Supervisor

Coordenador Subprojeto