Áreas de Polígonos

Função área Uma função área é uma função que a cada região delimitada por um polígono, associa um número real com as seguintes propriedades:

• Regiões delimitada por polígonos congruentes têm áreas iguais.

• Se uma região poligonal R delimitada por um polígono convexo é particionada em um número finito de outras regiões poligonais delimitada por polígonos convexos (i.e., se a região poligonal é a união de um número finito de outras regiões poligonais convexas, as quais não têm pontos interiores comuns), então a área da região R é a soma das áreas das regiões poligonais menores.

• Se uma região poligonal (maior) contém outra (menor) em seu interior, então a área da região poligonal é maior que a área da região poligonal menor.

• A área de um quadrado de lado 1cm é igual a 1cm2.

Usando estas propriedades, provamos que:

– Para todo 𝑛 ∈ 𝑁, a área da região limitada por um quadrado de lado 𝑛 é igual a 𝑛2.

De fato, particione o quadrado de lado 𝑛 ∈ 𝑁 em 𝑛2

quadrados de lados 1 cada. Denotemos a área do quadrado maior por 𝐴𝑛, devemos ter 𝐴𝑛 igual à soma das áreas desses 𝑛2

quadrados de lado 1, de maneira que

𝐴𝑛 = 𝑛2.

Considere, agora, uma região limitada por um quadrado de lado

𝑚

𝑛, com 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁, e área 𝐴𝑚

𝑛. Arranje 𝑛2 cópias do

mesmo, empilhando 𝑛 quadrados de lado lado 𝑚

𝑛 por fila, em

𝑛 filas, formando assim um quadrado de lado 𝑚

𝑛. 𝑛 = 𝑚.

Tal quadrado maior terá, como já sabemos, área 𝑚2; por outro lado, como ele está particionado em 𝑛2 quadrados de lado

𝑚

𝑛 cada, sua área é igual à soma das áreas desses

𝑛2 quadrados, i.e.,

𝑚2 = 𝑛2 𝐴𝑚

𝑛.

Portanto,

𝐴𝑚

𝑛=

𝑚2

𝑛2 .

A discussão acima sugere que a área de um quadrado de lado 𝑙 deve ser igual a 𝑙2. De fato vamos argumentar de maneira análoga à prova do teorema de Tales: para 𝑘 ∈ 𝑁, tomamos números racionais 𝑥𝑘 e 𝑦𝑘 tais que

𝑥𝑘 < 𝑙 < 𝑦𝑘 e 𝑦𝑘 − 𝑥𝑘 <

1

𝑘

Em seguida, construímos quadrados de lados 𝑥𝑘 e 𝑦𝑘 , o primeiro contido no quadrado dado e o segundo o contendo. Como já sabemos calcular áreas de quadrados de lado racional, o postulado 3: acima garante que a área 𝐴𝑙 do quadrado de lado 𝑙 deve satisfazer as desigualdades

𝑥𝑘2 < 𝐴𝑙 < 𝑦𝑘

2

Mas como 𝑥𝑘

2 < 𝑙2 < 𝑦𝑘2 ,

concluímos que ambos os números 𝐴𝑙 e 𝑙2 devem pertencer ao intervalo (𝑥𝑘

2, 𝑦𝑘2), de maneira que

Tendo de satisfazer a desigualdade acima para todo número natural 𝑘, temos que

|𝐴𝑙 − 𝑙2| = 0 , i.e.,

𝐴𝑙 = 𝑙2 .

Resumimos a discussão acima na seguinte proposição:

Um argumento análogo permite provar que um retângulo de lados 𝑎 e 𝑏 tem área

igual a 𝑎𝑏 :começamos com um retângulo de lados 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁, dividindo-o em 𝑚𝑛

quadrados de lado 1 para mostrar que sua área é 𝑚𝑛. Em seguida, tomamos um

retângulo de lados 𝑚

1

𝑛1

e 𝑚

2

𝑛2

, com 𝑚1; 𝑚2; 𝑛1; 𝑛2 ∈ 𝑁, e, com 𝑛1𝑛2 cópias do mesmo,

montamos um retângulo maior de lados m1 e m2. Somando áreas iguais, concluímos

que a área do retângulo dado originalmente é igual a

Por fim, tomamos um retângulo de lados 𝑎; 𝑏 > 0 reais, e, para 𝑘 ∈ 𝑁, racionais 𝑥𝑘; 𝑦𝑘; 𝑢𝑘; 𝑣𝑘 tais que

𝑥𝑘 < 𝑎 < 𝑦𝑘 , 𝑢𝑘 < 𝑏 < 𝑣𝑘

e

𝑦𝑘 − 𝑥𝑘; 𝑢𝑘 − 𝑣𝑘 < 1

𝑘 .

Sendo 𝐴 a área do retângulo de lados 𝑎 e 𝑏, um argumento análogo ao feito para regiões limitadas por quadrados garante que 𝐴 e 𝑎𝑏 pertencem ambos ao intervalo (𝑢𝑘𝑥𝑘 , 𝑦𝑘𝑣𝑘) e,

daí, para todo 𝑘 ∈ 𝑁,

Também como antes, a validade da desigualdade acima para todo 𝑘 ∈ 𝑁 garante que 𝐴 = 𝑎𝑏, fato que resumimos na seguinte proposição:

Calculemos a área de um paralelogramo como corolário da discussão acima. Para tanto, fixado um lado de um paralelogramo, o qual chamaremos de base, diremos que a distância entre ele e seu lado paralelo é a altura do paralelogramo.

Demonstração: Sejam respectivamente 𝐸 e 𝐹 os pés das perpendiculares baixadas de 𝐷 e 𝐶 à reta 𝐴𝐵 e suponha, sem perda de generalidade, que 𝐸 ∈ 𝐴𝐵. É imediato verificar que os triângulos 𝐴𝐷𝐸 e 𝐵𝐶𝐹 são congruentes pelo caso cateto-hipotenusa. de modo que 𝐴𝐸 = 𝐵𝐹 e 𝐴(𝐴𝐷𝐸) = 𝐴(𝐵𝐶𝐹). Então, temos

𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴(𝐴𝐷𝐸) + 𝐴(𝐵𝐸𝐷𝐶) = 𝐴(𝐵𝐶𝐹) + 𝐴(𝐵𝐸𝐷𝐶)

= 𝐴 𝐸𝐹𝐶𝐷 .

Por outro lado, 𝐸𝐹𝐶𝐷 é um retângulo de altura ℎ e base 𝐸𝐹 = 𝐸𝐵 + 𝐵𝐹 = 𝐸𝐵 + 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 = 𝑎.

Portanto, 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴(𝐸𝐹𝐶𝐷) = 𝑎ℎ.

De posse da fórmula para o cálculo da área de paralelogramos, podemos facilmente obter uma fórmula correspondente para a área de triângulos:

Demonstração: Seja 𝑆 = 𝐴(𝐴𝐵𝐶) e 𝐷 a

interseção da paralela a 𝐵𝐶 por 𝐴 com a

paralela a 𝐴𝐵 por 𝐶. É imediato verificar que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um paralelogramo de área 2𝑆 (uma vez que 𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝐵𝐶𝐷). Portanto,

2𝐴(𝐴𝐵𝐶) = 2𝑆 = 𝑎ℎ𝑎,

donde segue a primeira igualdade. As outras duas igualdades podem ser obtidas de modo análogo.

Agora, calcular áreas de polígonos convexos é, em princípio, uma tarefa fácil: as diagonais do mesmo traçadas a partir de um de seus vértices o particionam em triângulos, e basta calcular a área de cada um desses triângulos com a ajuda da proposição anterior.

Para uso futuro, se dois polígonos tiverem áreas iguais, diremos que são equivalentes. Por exemplo, um paralelogramo de base 𝑎 e altura ℎ é equivalente a um retângulo de lados 𝑎 e ℎ.

APLICAÇÕES

Sendo 𝑑 a distância entre as retas 𝐵𝐶 e 𝐴𝐴´, temos

Em relação à figura dada a seguir, construa com

régua e compasso o ponto 𝐸 ∈ 𝐵𝐶 tal que 𝐴(𝐴𝐵𝐸) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷).

• Descrição dos passos.

1. Trace, pelo ponto 𝐷, a reta 𝑟, paralela à reta 𝐴𝐶.

2. Marque o ponto 𝐸 de interseção de 𝑟 com a reta

𝐵𝐶.

3. Pelo corolário anterior, os triângulos 𝐴𝐶𝐷 e 𝐴𝐶𝐸 têm áreas iguais; logo, 𝐴𝐵𝐸 e 𝐴𝐵𝐶𝐷 também têm áreas iguais.

𝐸

(a) Basta ver que 𝑎ℎ e 𝑏𝑐 são duas expressões distintas para o dobro da área de 𝐴𝐵𝐶. De fato,

(b) Construa exteriormente a 𝐴𝐵𝐶, os quadrados 𝐴𝐵𝐷𝐸, 𝐵𝐶𝐹𝐺 e 𝐴𝐶𝐽𝐾 e seja 𝐼 o

ponto de interseção da semirreta 𝐴𝐻 com 𝐹𝐺.

De 𝐴𝐼||𝐵𝐺 temos

Por outro lado, como 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 = 𝐵𝐺 e 𝐷𝐵 𝐶 = 90 + 𝐵 = 𝐴𝐵 𝐺, os triângulos 𝐵𝐶𝐷 e 𝐵𝐺𝐴 são congruentes por 𝑙𝑎𝑙. Portanto,

𝐴 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴 𝐵𝐺𝐴 =𝑎𝑛

2. (∗)

Mas 𝐴𝐶 ||𝐵𝐷, de modo que

A 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴 𝐴𝐵𝐷 =𝑐2

2. (∗∗)

Segue, então, de (∗) e (∗∗) que 𝑐2 = 𝑎𝑛. Provar que 𝑏2 = 𝑎𝑚 é análogo.

(c) Somando membro a membro as duas relações do item (b), obtemos

A fórmula para a área de um triângulo também nos dá uma maneira de calcular áreas de trapézios. Vamos definir a altura de um trapézio pela a distância entre as bases.

Suponha, sem perda de generalidade, que 𝑎 > 𝑏. Se 𝐸 ∈ 𝐴𝐵 for tal que 𝐴𝐸 = 𝑏, então o quadrilátero 𝐴𝐸𝐶𝐷 tem dois lados paralelos e iguais, de modo que é um paralelogramo. Como 𝐵𝐸 = 𝑎 − 𝑏, temos

Como 𝐴𝐶𝐵𝐷, temos que

Sejam 𝐵𝐶 = 𝑎; 𝐵′𝐶′ = 𝑎′ e ℎ e ℎ′ as alturas de 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴′𝐵′𝐶′, respectivamente relativas a 𝐵𝐶 e 𝐵′𝐶′. Como 𝑎 = 𝑘𝑎′𝑒 ℎ = 𝑘ℎ′, segue que

Sejam 𝐼 o incentro e 𝐼𝑎 o ex-incentro relativo a 𝐵𝐶 . Temos:

Teorema de Ptolomeu

Se 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrilátero inscritível de diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷, então

𝐴𝐵. 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷. 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. 𝐵𝐷.

Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷o quadrilátero inscrito. Tracemos 𝐵𝐸 de modo que 𝐴𝐵 𝐸 = 𝐷𝐵 C. Observe que os triângulos 𝐴𝐵𝐸 e 𝐵𝐷𝐶 são semelhantes, pois os ângulos 𝐵𝐷 C e 𝐵𝐴 𝐶 são iguais. Assim,

𝐴𝐸. 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵. 𝐶𝐷 Analogamente, os triângulos 𝐶𝐵𝐸e 𝐴𝐷𝐵são semelhantes, pois 𝐵𝐶 𝐸 = B𝐷 𝐴 , e

𝐸𝐵 𝐶 = 𝐸𝐵 𝐷 + 𝐷𝐵 𝐶 = 𝐸𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵 𝐸 = 𝐴𝐵 𝐷 de modo que

𝐵𝐶. 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷. 𝐶𝐸 Logo

𝐴𝐸. 𝐵𝐷 + 𝐵𝐷. 𝐶𝐸 = 𝐴𝐵. 𝐶𝐷+𝐵𝐶. 𝐴𝐷

Como 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸 = 𝐴𝐶, segue o resultado.

Estamos, agora, em condições de provar outro corolário do teorema de Ptolomeu, o teorema de Carnot, enunciado a seguir.

Sejam 𝑀, 𝑁 e 𝑃 respectivamente os pontos médios dos lados 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 e 𝐴𝐵, de modo que 𝑂𝑀𝐵𝐶, 𝑂𝑁𝐶𝐴 e 𝑂𝑃𝐴𝐵 . Então, os quadriláteros 𝐵𝑀𝑂𝑃, 𝐶𝑁𝑂𝑀 e 𝐴𝑃𝑂𝑁 têm, cada um, dois ângulos opostos retos, sendo portanto inscritíveis. Denotando, por simplicidade, 𝐵𝐶 = 𝑎,

obtemos então, pelo teorema de Ptolomeu, as igualdades, onde 𝑅 denota o raio do círculo circunscrito a 𝐴𝐵𝐶:

Por outro lado como os triângulos 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 e 𝑂𝐴𝐵 particionam o triângulo 𝐴𝐵𝐶, temos

Mas sendo respectivamente p o semiperímetro e 𝑟 o raio do círculo inscrito em 𝐴𝐵𝐶, sabemos da proposição anterior que 𝐴(𝐴𝐵𝐶) = 𝑝 r, relação que, substituída na igualdade acima, nos dá

Por fim, somando ordenadamente a última relação acima com as três primeiras, obtemos

(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑝 = (𝑅 + 𝑟)𝑝;

donde segue o teorema de Carnot.

ÁREA DO CÍRCULO

O que é o número ?

Existem formas diferentes de responder essa pergunta. Na primeira metade do século XVIII, Euler passou a usar sistematicamente essa letra grega para representar a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Mais recentemente, tornou-se popular a seguinte definição:

é a área do círculo de raio 1.

Essa é a definição que adotaremos aqui. Ela nos leva quase imediatamente à fórmula que calcula a área de qualquer círculo. De fato, como dois círculos são figuras semelhantes, um círculo de raio r é semelhante ao círculo de raio 1 e a razão de semelhança é a razão entre seus raios. Sabemos que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Assim, se S é a área de um círculo de raio 𝑟, temos que

Logo, a área do círculo de raio 𝑟 é 𝑆 = 𝜋𝑟2

Vamos calcular a área do círculo como limite das áreas dos polígonos regulares nele inscritos quando o número de lados cresce indefinidamente.

Seja 𝐶𝑟 a circunferência de centro 𝑂 e raio 𝑟 e seja 𝑃𝑛 o polígono regular de 𝑛 lados inscrito nessa circunferência. A área do círculo de raio 𝑟 é 𝑟2 e a área de 𝑃𝑛 será representada por 𝐴(𝑃𝑛). Queremos provar que, tomando o número 𝑛 de lados suficientemente grande, a área de 𝑃𝑛 pode ser tão próxima de 𝑟2 quanto se deseje. Mais precisamente, dado o número positivo 𝛼 < 𝑟2 provaremos que é possível achar 𝑛 tal que

Como os vértices de 𝑃𝑛 dividem a circunferência em 𝑛 partes iguais, o lado 𝑙𝑛 do polígono pode tornar-se tão pequeno quanto se deseje, bastando que 𝑛 seja suficientemente grande. No triângulo retângulo formado pela hipotenusa 𝑟 cujos catetos são o apótema 𝑎𝑛 e a metade do lado 𝑙𝑛 tem-se

Tomemos 𝑠 = 𝛼 𝜋 . Assim 𝛼 = 𝜋𝑠2 e como 𝜋𝑠2 = 𝛼 < 𝜋𝑟2 tem-se 𝑠 < 𝑟.

Assim o círculo 𝐶𝑠 de centro 𝑂 e raio 𝑠 tem área 𝐴(𝐶𝑠) = e está contido em 𝐶𝑟. Podemos tomar 𝑛

tão grande que 𝑙𝑛

2< 𝑟 − 𝑠. Então

Mostramos então:

Podemos raciocinar de forma inteiramente análoga com polígonos circunscritos. O resultado correspondente é o seguinte:

O comprimento da circunferência

O comprimento de uma circunferência é o número real cujas aproximações por falta são os perímetros dos polígonos regulares inscritos nela. A figura a seguir mostra como obter experimentalmente o comprimento de uma circunferência de raio 𝑟 a partir do fato que a área do círculo correspondente é conhecida.

Decompomos o círculo em um número par bastante grande de setores e arrumamos esses setores na forma sugerida pela figura à direita.

A área do setor circular

A área do segmento circular