ANÁLISE COMBINATÓRIA

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela

análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios

que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De

quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário

utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da

análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem

- Fatorial

- Arranjos simples

- Permutação simples

- Combinação

- Permutação com elementos repetidos

Análise combinatória

As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso diferem

entre si somente pela ordem dos mesmos.

Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243,

324, 342, 423 e 432.

Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n!

Exemplo 1

Quais os anagramas da palavra AMOR?

Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras,

de modo a formar ou não palavras.

Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição,

2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24

anagramas.

Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Exemplo 2

Formar os anagramas a partir da palavra PATO

Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24

sequências.

P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO

APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT

TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA

OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP

Exemplo 3

Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma foto de

recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser

registradas?

A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.

Análise combinatória

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações.

Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por

exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são:

312, 321, 132, 123, 213, 231

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é

considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com

uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão

possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de

elementos do conjunto.

Veja o exemplo abaixo:

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos

de B.

Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76.

Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser

representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois).

Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de

elementos:

A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6

Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que

eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela

natureza de seus elementos. Por exemplo:

Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são

diferentes pela ordem dos seus elementos.

Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são

diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.

Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número

natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte

forma: A n , p

A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:

Exemplo 2:

Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20

primeiras letras do nosso alfabeto?

Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta

aplicar a fórmula:

A n , p = n!

(n – p)!

Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p

= 5). Substitua a fórmula.

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto

unidas de 5 em 5 é 1860480.

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos

ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.

Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou

Exemplos:

A8,4 (onde n = 8 e p = 4)

Arranjos e combinações simples

Combinações Simples

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com

exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.

Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p

e calcula-se por C n,p =

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos:

C6,2 (onde n = 6 e p = 2)

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São

arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos

um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A

formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:

Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre

outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos

acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6,

sessenta números tomados seis a seis.

Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.

Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer

formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas

possíveis equipes podem ser formadas?

Resolução

O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:

Poderão ser formadas 4060 equipes.

Fatorial e princípio fundamental da contagem

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse

número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800

Princípio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que

as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n,

consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo

produto m*n.

Exemplo 1

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)

Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em

uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Exemplo 2

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de

algarismos distintos?

Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.

Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

Permutação com elementos repetidos

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois

elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o

exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P10 = 10! = 3.628.800

Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que

repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação

entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra

MATEMÁTICA será:

Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com

elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem

n1 vezes, n2 vezes e nn vezes. Então, a permutação é calculada:

Exemplo 1:

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a

permutação teremos:

Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.

Exemplo 2:

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a

permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Exemplo 3:

Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverá

começar com a letra B?

B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

↓ ↓

1 P2,3

7

1 . P2,3

7 = 7! = 420

2! . 3!

Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.

Permutação Simples

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os

elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As

permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP.

Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a

seguinte expressão P = n!.

n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1

Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

Exemplo 1

Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?

Resolução:

Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de

permutação simples.

P = 4! = 24

Exemplo 2

De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e

Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?

Resolução:

Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação

simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos

elementos.

P = n!

P = 5!

P = 5*4*3*2*1

P = 120

Portanto, o número de posições possíveis é 120.

Permutando números e letras

Todas as pessoas devem possuir uma certidão de nascimento ou carteira de identidade. O

CPF e o título de eleitor também são documentos imprescindíveis para qualquer cidadão.

Todos esses documentos possuem o nome da pessoa e um número de identificação que

facilita o acesso às informações cadastrais de cada civil.

Os veículos também possuem um cadastro com diversas informações sobre cor, modelo,

ano, número de chassi, numeração do motor, potência, proprietário, endereço de

localização, entre outras. O acesso a esses dados cadastrais é realizado através da placa

de identificação do veículo.

Anteriormente, as placas eram formadas por uma combinação de duas letras e quatro

números. Considerando que o alfabeto é composto de 26 letras e nosso sistema de

numeração por 10 dígitos, as permutações possíveis eram dadas por:

26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 6.760.000

Em cada coluna das letras temos a opção de 26 letras e, no caso dos números, a opção

de 10 dígitos.

Conforme o aumento do número de carros no decorrer dos anos, os departamentos

responsáveis pelo registro dos carros em circulação resolveram adotar a presença de mais

uma letra nas placas dos automóveis. Essa medida aumentou o número de possibilidades

de combinação. Observe:

26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175.760.000

Os cálculos apresentados fornecem todas as possíveis permutações, inclusive envolvendo

identificações de mesmas letras e números. Por exemplo:

AAA – 0000

PPP – 1111

TTT – 8888

XXX – 4444

Caso seja necessário calcular o número de permutações somente de placas com

elementos distintos, devemos adotar o seguinte cálculo matemático:

26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78.624.000

Exemplos:

ABC – 1234

JDT – 8547

PTA – 1238

TDX – 5621

Algumas outras restrições podem ser utilizadas na elaboração das placas. Veja:

Somente as letras distintas

26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 * 10 = 156.000.000

Exemplos:

ABC – 2255

PDR – 8888

XTA – 8787

NKS – 9025

Somente os números distintos

26 * 26 * 26 * 10 * 9 * 8 * 7 = 88.583.040

Exemplos

AAP – 1258

BBV – 8742

LKL – 5468

HIJ – 7236

EXERCICIOS

1-De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula

e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?

2- De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis

mulheres:

a) em qualquer ordem

b) iniciando com homem e terminando com mulher