Análise Combinatória

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Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, é responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem - Fatorial - Arranjos simples - Permutação simples - Combinação - Permutação com elementos repetidos

• Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800

Princípio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Exemplo 1

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Exemplo 2

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?

Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.

Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

Arranjo simples

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

Arranjos são agrupamentos que a ordem dos seus elementos faz a diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são:

312, 321, 132, 123, 213, 231

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

Veja o exemplo abaixo:

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.

Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos: A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6

Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:

Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos. Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.

Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p

A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:

Exemplo 2: Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula A n , p =    n!

            (n – p)!

Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.

Combinação simples

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:

Na mega-sena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.

Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas? Resolução

O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:

Poderão ser formadas 4060 equipes.

Permutação simples

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1 Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

• Exemplo 1 Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? Resolução: Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples. P = 4! = 24

Exemplo 2 De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a

produção de um álbum de fotografias promocionais? Resolução:

Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos. P = n! P = 5! P = 5*4*3*2*1 P = 120 Portanto, o número de posições possíveis é 120.

• Exemplo 3 De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres: a) em qualquer ordem Resolução Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos 12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher Resolução Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: Seis homens aleatoriamente na primeira posição. Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6*6) * 10! P = 36*10! P = 130.636.800 possibilidades

Permutação com elementos repetidos

• Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P10 = 10! = 3.628.800

Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será:

Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n1 vezes, n2 vezes e nn vezes. Então, a permutação é calculada:

Exemplo 1: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.

Exemplo 2: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Exemplo 3: Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverá começar com a letra B?

B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ↓ ↓ 1                       P2,3

7

1 . P2,37 =   7!    = 420

                  2! . 3!

Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.

Arranjos e Combinações Simples

Arranjos Simples (BE) Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados. Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim: An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou Exemplos: A8,4 (onde n = 8 e p = 4)

Combinações Simples

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.

Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p

e calcula-se por C n,p =

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos: C6,2 (onde n = 6 e p = 2)

AnagramasAs permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso diferem entre si somente pela ordem dos mesmos.

Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432.

Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n!

Exemplo 1

Quais os anagramas da palavra AMOR? Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras.

Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

• Exemplo 2

Formar os anagramas a partir da palavra PATO

Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24 sequências. P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP

Exemplo 3

Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma foto de recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas?

A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.