análise combinatória

Prof. Michele Boulanger


Usamos combinações simples para formar subconjuntos, ou seja, escolher elementos. Assim, o número de subconjuntos é também o número de

combinações simples.

Um grupo formado por 5 pessoas resolve formar uma comissão com 2 pessoas que ficarão encarregadas de organizar um almoço de confraternização. Qual o número total de possíveis comissões?

Vamos representar as cinco pessoas por símbolos: a, b, c, d, e.

Formar comissões de duas pessoas constitui-se na tarefa de escolher 2 pessoas entre as 5.


{a; b} {a; c} {a; d} {a; e} { b; c }

{ b; d} {b; e} {c; d} {c; e} {d; e}

Portanto são 10 comissões no total.

C 25= 10

Número de elementos escolhidos

Número de elementos disponíveis

Número de combinações

simples ou de

comissões possíveis


Como obter a quantidade de combinações simples?

•Temos que dividir o conjunto das 5 pessoas em dois outros conjuntos:

um grupo de 2 pessoas que formará a comissão e outro de 3 pessoas restantes que não formará a comissão.

Formam comissões: a b – c d e Não formam comissões

Observe que existem divisões idênticas formadas pelas mesmas pessoas.

a b – c d e e b a – e c d

Desta forma, o número de combinações simples de 5 elementos tomados 2 a 2 é dado por:

C2 5= 5! = 10

2! 3!

2!3!


Distinguindo Permutações, arranjos e combinações simples

Nome do AGRUPAMENTO Critério de Formação

Permutação Só ordenar os elementos(todos)

Combinação Só escolher os elementos

Arranjo Escolher e ordenar os elementos escolhidos


Situação 1

Se uma turma de 10 pessoas, 3 delas são selecionadas para um mesmo roteiro de viagem. De quantas maneiras

pode ocorrer a seleção?

C310 = 10! = 10.9.8.7! = 10.9.8 = 720 = 120

3! 7! 3.2.1.7! 3.2.1 6

A seleção das três pessoas pode ser realizada de 120 maneiras.


Situação 2

Três pessoas desejam viajar, cada uma delas em um roteiro diferente. Se existem ao todo 3 roteiros distintos, de quantas maneiras pode ocorrer a distribuição entre as

pessoas?

P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Existem 6 maneiras de distribuir os 3 roteiros para as 3 pessoas.

Roteiro 1 Roteiro 2 Roteiro 3

A B C

A C B

B A C

B C A

C A B

C B A

6 MANEIRAS


Na resolução de problemas de combinatória é importantíssimo identificar se é preciso apenas ordenar, apenas escolher, ou

escolher e ordenar.


Situação 3

Em uma turma de 10 pessoas, 3 delas serão selecionadas para roteiros diferentes de viagens. Se

existem 3 roteiros distintos e cada pessoa selecionada escolhe um único roteiro distinto de outra pessoa, então

de quantas maneiras pode ocorrer a seleção?

C310 . P3 = 120. 6 = 720

Existem 720 maneiras de ocorrer a seleção.

Como os roteiros eram distintos, foi necessário escolher as 3 pessoas e, em seguida, ordenar os 3 roteiros para essas pessoas. Começamos

usando combinações para escolher e terminamos usando permutações para ordenar.


As ideias presentes na situação 3 constituem o que chamamos arranjos simples.

C310 . P3 = 10.9.8.7! . 3.2.1 = 10.9.8 = 720

3.2.1. 7!

Fazendo C310 . P3 = A3

10 em que A310 é o número de arranjos

simples de 10 elementos tomados 3 a 3.

A310 = C3

10 . P3

A310 = 10. 9. 8

Multiplicando e dividindo por 7!

A310 = 10.9.8.7! A3

10 = 10!

7! (10 – 3)!


A palavra simples é utilizada para indicar que os elementos ordenados são distintos.

An p = n !

(n - p)!


Em um grupo de oito pessoas, quatro serão sorteadas para receber, cada uma, um mesmo prêmio. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação?

C48 = 8! = 8.7.6.5.4! = 70

4! (8-4)! 4! 4.3.2.1

Em um grupo de oito pessoas, quatro serão sorteadas para receber, cada uma, prêmio distinto. De quantas maneiras pode ocorrer a

premiação?

C48 . P4 = 8! . 4! = 8.7.6.5.4! . 4.3.2.1 = 1680

4! (8-4)! 4! 4.3.2.1

A48 = 8! = 8.7.6.5 = 1680

(8-4)!


Um clube de tênis da capital deseja inscrever alguns jogadores para participarem de um campeonato importante no próximo mês. Existem 10 jogadores do clube

interessados em participar do torneio.

Se exatamente dois jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio?

Se exatamente cinco jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio?

Se exatamente oito jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio?

C210 = 10! = 10.9.8! = 45 maneiras de inscrever dois jogadores

2! (10-2)! 2.1. 8!

C510 = 10! = 10.9.8.7.6.5! = 252 maneiras de inscrever cinco jogadores

5! (10-5)! 5.4.3.2.1.5!

C810 = 10! = 10.9.8! = 45

8! (10-8)! 8! .2.1


Em um grupo de sete pessoas, três serão sorteadas para receber, cada uma, um único prêmio. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação?

Se os prêmios são iguais?

Se os prêmios são distintos?

C37 = 7! = 7.6.5.4! = 35 maneiras

3! (7-3)! 3.2.1.4!

A37 = C3

7 . P3 = 7! . 3! = 7.6.5.4! . 3.2.1 = 210 maneiras 3! (7-3)! 3.2.1.4!

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