Análise Combinatória

Princípio fundamental da contagem (PFC)

• Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

T = k1. k2 . k3 . (...) . kn

• Ex2: Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir?

• Ex3: Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?

Fatorial

• O fatorial de um número n é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero.

• n! = 1, se n < 2

1! = 1

0! = 1

• n! = n . (n 1) . (n 2) . (n 3). (....) . 2 . 1, se n 2

5! = 5.4.3.2.1 = 120

4! = 4.3.2.1 = 24

3! = 3.2.1 = 6

2! = 2.1 = 2

Arranjo Simples

• São agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

• Ex4: Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?

Permutação Simples

• A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.

Pn = n!

• Ex5: Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila?

Permutação com elementos repetidos

• Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

• Ex6: Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Permutação circular

• É um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência.

• Ex7: Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Combinação

• São agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.

• Ex8: Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis?

Números binomiais

• Consiste no número de combinações de n termos, k a k.

• Dois números binomiais cuja soma dos denominadores é igual ao numerador são chamados de complementares. Neste caso, n e n - k são chamados de termos complementares.

• Ex: 11 e 6 são termos complementares.

Triângulo de Pascal

• Trata-se de uma tabela triangular formada por números binomiais de Newton, onde n representa a linha vertical e k representa as colunas horizontais. Os números ficam dispostos de forma que os binomiais de mesmo numerador situam-se na mesma linha e os de mesmo denominador na mesma coluna.

Propriedade 1

• A soma de todos os números de uma linha é igual a 2 elevado àquele número que associamos à linha.

Propriedade 2 (Relação de Stifel)

• A soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados.

Propriedade 3

• A soma dos números da coluna estará sempre na coluna seguinte, na linha logo abaixo daquela em que está o último número que foi somado.

Binômio de Newton

• Permite calcular a enésima potência de um binômio.

• De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:

• Ex9: Determine o 4º termo da expressão (x – 2)8.

Equipe –3ºB

• Fernanda Freitas

• Janaína Karen

• Kissia França

• Mateus Almeida

• Yasmin Lopes