matemática aplicada aula01

Matemática aplicada

Prof.: Augusto Junior

Conteúdo programático• Definição e Operações com conjuntos• Regra de três (Simples e Composta)• Unidade de Medida• Porcentagem• Figuras planas, áreas e volumes dos principais

sólidos• Polinômios• Estudo das funções• Função Quadrática e outras funções• Progressões• Matrizes• Probabilidade

Definição e Operações com Conjuntos

A noção de Conjunto

Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.

Exemplos:

•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste: C = {Goiás, Mato Grosso, Mato

Grosso do Sul e Distrito Federal}

•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}

•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros}

Igualdade de conjuntosDois conjuntos A e B são considerados iguais quando tem a mesma quantidade de elementos e esses elementos são os mesmos.Em termos de símbolos, temos:Sendo A = B , temos que se x A x B.

Universo de Referência

Quando falamos de um conjunto, é necessário especificar um universo de referência (conjunto universo - U). Mesmo quando um conjunto é definido pelos elementos que ele contém, esses elementos não podem ser arbitrários.

Operações sobre conjuntos

Operações sobre conjuntosOperações sobre conjuntos nos permitem construir

novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do mesmo modo que conectivos lógicos nos permitem construir novas fórmulas a partir de fórmulas mais simples.

Dados conjuntos A e B, definimos novos conjuntos por:– União ()– Interseção ()– Diferença (– Complemento (“—”)

obtendo A B, A B, A -B eA .

Operações entre conjuntosUnião ( ): Sendo A e B dois conjuntos não vazios,definimos a união de A com B da seguinte maneira: Exemplo:Considere A = { 1, 2, 3, 5 } e B = { 0, 4, 5 }, então podemos dizer que:

}BxouAx/x{BA

}5,4,3,2,1,0{BA

UniãoA B = { x | x A ou x B }

Intersecção ( ): Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos a intersecção de A com B da seguinte forma:

A intersecção é formada por elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B.Exemplo: Considerando os conjuntos A e B tais que A = { -1, 0 , 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 6 }, podemos dizer que:

}BxeAx/x{BA

}4,3,2{BA

InterseçãoA B = { x | x A e x B }

Diferença ( - ): São aqueles elementos que são exclusivos de um determinado conjunto. Sendo A e B dois conjuntos não vazios, definimos a diferença entre A e B da seguinte forma:

Exemplo: Considerando A = { 0,1, 2, 4, 6 } e B = { 1, 3, 4, 5, 7 }, temos que:A – B = { 0, 2, 6 } e B – A = { 3, 5, 7 }

{ / }A B x x A e x B

Diferença entre conjuntos

AB = { x | x A e x B }

Propriedades das operações:

I)II)III) IV) = V) = VI) =VII) =

A A AA A AA AA

A AA A

VIII) qdo IX)X) A

A B B AA B

A B B AA B B

Onde A e B são considerados conjuntos quaisquer e não vazios.

Complemento

Dado um conjunto A, subconjunto de um certo conjunto Universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

{ / }C AUA A C x x U e x A U A

Complemento

{ / }A x x U e x A U A

Exercícios:1)Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o

resultado de cada uma das operações a seguir.A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 0,1, 3, 6, 7 } e C = { -1, 0, 3, 4 }.

)CB(A)eCA)dBA)c

CBA)bCBA)a

2) Lembrando da definição das operações entre conjuntos, determine em cada um dos desenhos abaixo, qual é a região correspondente à operação indicada:

3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x é natural e x < 10 }, determine então o conjunto resultante de cada operação abaixo:

))))) ( ))

a A Bb B Ac A Bd A Be A B Af A

É correto afirmar que:

(Lei de DeMorgan)

A B A A B

A B A B

Identidades via Venn

Muitas vezes é mais simples entender essas identidades por meio de Diagramas de Venn-Euler. Por exemplo, a Lei de DeMorgan:

pode ser visualizada do seguinte modo:

DeMorgan Visual

Conjuntos Numéricos I) Conjunto do conjuntos NaturaisN = {0, 1, 2, 3, 4...}N* = {1, 2, 3, 4...}

II) Conjunto dos números InteirosZ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...}

Conjuntos NuméricosIII) Conjunto dos números Racionais

ou seja números que podem ser escritos em forma de fração.

IV) Conjunto dos números IrracionaisNúmero irracional é um número que NÃO pode ser

representado em forma de fração.

{ / ; *}px x p e qq

Conjuntos Numéricos

V) Conjunto dos números Reais

Importante:

PertenceNão PertenceTal queEstá ContidoNão Está ContidoContémNão ContémPara Todo

Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados:-510 famílias assistem ao programa A;-305 assistem ao programa B;-386 assistem ao programa C;-180 assistem aos programas A e B;-60 assistem aos programas B e C;-25 assistem aos programas A e C;-10 assistem aos três programas.

Exercícios

a. Quantas famílias assistem A ou B ou C?b. Quantas famílias não assistem nenhum desses

programas?c. Quantas famílias assistem somente ao

programa A?d. Quantas famílias assistem somente ao

programa B?e. Quantas famílias não assistem nem ao

programa A nem ao programa B?

Exercício Resolvidoa. Quantas famílias assistem A ou B ou C? b. Quantas famílias não assistem nenhum desses programas?c. Quantas famílias assistem somente ao programa A? d. Quantas famílias assistem somente ao programa B?e. Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?

1015 50

170315

311+54=365

A=510B=305C=386A e B=180B e C= 60A e C= 25A, B e C= 10Total de famílias Total de famílias entrevistadas= entrevistadas= 10001000

Exercícios

Unidades de Medida

Conversões

Grandeza

• É tudo aquilo que podemos comparar com um padrão–Comprimento, massa, peso, tempo,

temperatura...

Sistema de medidas

• Os padrões utilizados para comparação degrandezas devem ser os mesmos, emqualquer situação.• Um metro deve ter o mesmo comprimentoem qualquer lugar do mundo;• Um segundo deve ter a mesma duração;• Um quilograma deve ter a mesma massa...

Sistema de medidasUnidades básicas do (SI)

Grandeza Unidade SímboloComprimento Metro m

Tempo Segundo s

Massa Quilograma Kg

Volume Litro l ou L

Temperatura Kelvin K

Sistema de medidasUnidades Suplementares do (SI)

Grandeza Unidade Símbolo

Ângulo Radiano rad

Energia Joule J

Carga elétrica Coulomb C

Força Newton N

Frequência Hertz Hz

Sistema de medidasUnidades Derivadas do (SI)

Grandeza Unidade Símbolo

Velocidade metros por segundo m/s

Aceleração metros por segundo ao quadrado m/s²

Pressão Newton por metro quadrado N/m²

Impulso Newton por segundo N/s

Sistema Inglês de Unidades

Grandeza Unidade Símbolo Equivalência

Comprimento Polegada in 0,0254m = 2,54cm

Comprimento Pé ft 12in = 0,3048m = 30,48cm

Comprimento Jarda jd 3ft = 0,9144m = 91,44cm

Comprimento Milha mi 1,609km = 1609m

Volume Galão gal 3,79L

Volume Barril - 158,99L

Curiosidades• A velocidade da luz, no vácuo, é de 300.000

km/s• O Ano-luz (lv) não é uma unidade do SI

– Distância percorrida pela luz em um ano, no vácuo, e em linha reta.

– Equivale a três milhões de quilômetros!!!(1 lv = 3.000.000 km)

Exercício de fixação

Razão, Proporção, Porcentagem e Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Razão

É a divisão de dois números

5 120 4

2 110 5

De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática

Um dia de sol, para cada dois de chuva

De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos

RazãoComparação

3 ou 3:55

4,5 ou 4,5:22

AntecedentAntecedentee

ConsequentConsequentee

Exemplo - Razão

A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias.Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de fatias do João?

Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).

Exercícios – Razão

1. A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?

2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?

3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

Proporção

É a igualdade entre duas razões

ou ( a : b = c : d )

lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”

Proporção

MeiosExtremos

( a : b = c : d )

Extremos

Propriedade Fundamental: O produto dos meios é igual ao produto dos

extremos

Exemplo - ProporçãoNuma escola a proporção entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16 para 2.Sabendo que o número total de funcionários é de 108, quantos professores e quantos auxiliares existem na escola?

Exercícios - Proporção1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem

um problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa?

2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.

Porcentagem

Forma Percentual

Forma Unitária

Exercícios – Calcule:

1) 10% de 29 + 4,2% de 172) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,73) 0,4% de 125 + 16% de 234,254) 4% de 1.439,25 + 30% de 17.4325) 45% de 208 – 15% de 23 + 80% de 12

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas variáveis são diretamente diretamente proporcionaisproporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão.

x y ou x y

ExemploGrandezas Diretamente Proporcionais

Num supermercado comum:1 pacote de biscoito = R$ 2,002 pacotes de biscoito = R$ 4,003 pacotes de biscoito = R$ 6,004 pacotes de biscoito = R$ 8,005 pacotes de biscoito = R$ 10,00

Quantidade e gasto são grandezas diretamente Quantidade e gasto são grandezas diretamente proporcionaisproporcionais

Quando aumento a quantidade, aumento o gastoQuando aumento a quantidade, aumento o gasto

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.

x y ou x y

ExemploGrandezas Inversamente Proporcionais

Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:1 hora rodando a 120 km/h2 horas rodando a 60 km/h3 horas rodando a 40 km/h4 horas rodando a 30 km/h6 horas rodando a 20 km/h

Velocidade e tempo são grandezas inversamente Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionaisproporcionais

Quando aumento a velocidade, diminuo o tempoQuando aumento a velocidade, diminuo o tempo

Regra de Três

Simples e Composta

Regra de três simples

• Processo prático para resolver problemas que envolvam 4 valores, de duas variáveis diferentes, onde conhecemos 3 desses valores.

• Determinação do valor que falta, tendo como base os 3 já conhecidos.

Regra de trêsPassos utilizados no cálculo

1. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência;

2. Identificar se as grandezas são DIRETAMENTE ou INVERSAMENTE proporcionais;

3. Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplo 1

• Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

Exemplo 1: ResoluçãoIdentificação do tipo de relação

Exemplo 1: Resolução

• Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

• Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

• Como as palavras correspondem aumentando - aumenta Podemos afirmar que as grandezas são

diretamente proporcionais.• Assim sendo, colocamos uma outra seta no

mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. • Montando a proporção e resolvendo a

equação temos:

Exemplo 2

• Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Exemplo 2: Resolução• Aumentando a velocidade, o tempo do percurso

diminui.• Como as palavras são contrárias aumentando – diminui Podemos afirmar que as grandezas são

inversamente proporcionais. • Assim sendo, colocamos uma outra seta no

sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. • Montando a proporção e resolvendo a equação

temos:L5 72

Exercícios de Fixação1. Bianca comprou 3 camisetas e pagou

R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

2. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Regra de três composta

• Utilizada em problemas que envolvem mais de 2 grandezas.– Sejam elas diretamente ou inversamente

proporcionais.

Exemplo 1

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?L5 76

• Colocamos uma seta para baixo na coluna que tem o “x”

Exemplo 1: Resolução• Observe que:

– Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

– Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).

• Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Exemplo 2

Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Exemplo 2: Resolução1. Colocaremos a seta para baixo na coluna em que

estiver a grandeza que queremos saber valor (“x”);

2. Observamos que:1. Aumentando o número de homens, a produção de

carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

2. Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

3. Igualamos a razão que contém o termo “x” com o produto das outras razões.

Temos que:

Homens Carrinhos Dias

8 20 54 x 16

Exercícios de Fixação1. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro

com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

2. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

3. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

1. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

2. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

3. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?

Exercícios de Fixação

Respostas

1. 12 dias2. 6 horas3. 35 dias4. 15 dias

5. 10 horas por dia6. 2025 metros

Área e Volume de Sólidos• Sólidos são conjuntos de pontos cujas posições

relativas são invariáveis, com os quais construímos símbolos das mesmas formas.

• Todos os sólidos geométricos são tridimensionais, ou seja, têm comprimento, altura e largura.

• Exemplos:– Cubo;– Pirâmide;– Paralelepípedo;– Esfera.L5 86

Classificação dos Sólidos

• Poliedros:– Limitados por superfícies planas.

• Paralelepípedo retângulo;• Octaedro;

• Não-poliedros:– Limitados por superfícies curvas ou superfícies

planas e curvas, simultaneamente.• Cone;• Esfera.

ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS

RETÂNGULO

Área = a . b

“A área do retângulo é dada pela multiplicação do comprimento a pela altura b.”

Observe:

No exemplo abaixo temos um retângulo com 5 unidades de comprimento por 3 unidades de altura. Vamos aplicar a fórmula.

Área = 5 . 3 = 15 unidades²

QUADRADO

Área = a . a

“A área do quadrado é dada pela multiplicação de lado vezes lado.”No exemplo abaixo temos um quadrado com medida de 3 unidades por 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula.

Observe:

Área = 3 . 3 = 9 unidades²

TRIÂNGULO “A área do triângulo é dada pela multiplicação da medida da base a pela medida da altura h, dividido por 2”.No exemplo a seguir, temos um triângulo com base de medida 8 unidades e altura de medida 4 unidades. Vamos aplicar a fórmula.

Área = a .h2

Área =8.42

Observe:

Área =322

Área = 16 unidades²

Área =a .h2

Você sabe por que dividimos por 2 após multiplicarmos a medida da base do triângulo pela medida da sua altura, para obtermos a medida de sua área?Se dividirmos um quadrilátero pela sua diagonal, obteremos 2 (dois) triângulos, por esta causa dividimos por dois, caso contrário estaríamos calculando a área de um quadrilátero.

Observe:Compreendeu o por que da divisão por 2, no cálculo da área do Triângulo?

PARALELOGRAMO

Área = a . ha

b hbb“A área do paralelogramo é obtida através da multiplicação do comprimento a, pela altura h.”

No exemplo a seguir, temos um paralelogramo com comprimento a = 5 unidades e altura h = 3 unidadess. Vamos aplicar a fórmula.

Observe:

Área = 5 . 3

Área = 15

Área = a . h

(B+b ) .h2

TRAPÉZIO

Área =

“A área do trapézio é obtida adicionando a base B (maior), com a base b (menor), multiplicada pela altura h e dividido por 2 (dois).

No exemplo a seguir, temos um trapézio com B = 7 unidades, b = 3 unidades e altura h = 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula.

(B+b ) .h2

(7+3 ) . 32

Área =(10 ) . 3

2Área = 302

=15Área =

Observe:

Área =

D . d2

Área =

LOSANGO“A área do losango é obtida multiplicando a diagonal D (maior), pela diagonal d (menor), dividido por 2 (dois).

No exemplo a seguir temos um losango com medida D = 12 e medida d = 4. Vamos aplicar a fórmula.

12. 42

Área = 482

=24Área =

D . d2

Área =Observe:

CÍRCULO

Área = π . r²

“A área do círculo é obtida multiplicando o valor do π (Pi = 3,14), pela medida do raio.

No exemplo a seguir, temos uma circunferência com raio de medida r = 4. Vamos aplicar a fórmula.

Área = 3,14 . 4² Área = 3,14 . 16

Área =50,24u²

VOLUME UNIDADES DE VOLUME

Volume = a . a . aVolume = a³

“A medida do volume de um cubo é obtida multiplicando suas arestas por si mesma 3 vezes.”

No exemplo a seguir, temos um cubo de arestas medindo 4 unidades. Vamos aplicar a fórmula.

Volume = 4 . 4 . 4Volume = 64 unidades³

PARALELEPÍPEDO

Volume = a . b . c

“A medida do volume de um paralelepípedo é obtida multiplicando-se a medida do comprimento a, pela medida da largura b, pela altura c.”

No exemplo a seguir, temos um paralelepípedo de comprimento 5 unidades, largura 2 unidades e altura 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula.Volume = 5 . 2 . 3

Volume = 15 unidades³

ESFERA

Volume =

“A medida do volume de uma esfera é igual a quatro terços do produto de π ( Pi ) = 3,14, pelo cubo da medida do raio.”r

3,14 . 2³

No exemplo a seguir, temos uma esfera de raio r = 2 unidades. Vamos aplicar a fórmula.

2Volume = 4

33,14 . 8

Volume = 100,483

Volume = 34,5 u³

Volume = 43

π . r³

CILINDRO

Volume = π . r² . h

“A medida do volume é dado através da multiplicação da área da base no formato circular, pela medida da altura.” π ( Pi ) = 3,14.

r Área da base = π . r² h

No exemplo a seguir, temos um cilindro de altura 4 unidades e raio da base 2 unidades. Vamos aplicar a fórmula.

Volume = 3,14 . 2² . 4Volume = 3,14 . 4 . 4

Volume = 50,24 u³

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