apostila matematica financeira final
Post on 13-Aug-2015
657 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Matemática Financeira
Curso de Administração a Distância – UAB/UFMT
2
3
Autor
Prof. Aldo Nobuyuki Nakao
Matemática Financeira
Cuiabá-MT 2010
4
5
Iniciando a Viagem...
6
7
Sumário
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................... 9
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 10
UNIDADE I - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ...................................................................... 15
1.1 JUROS SIMPLES .................................................................................................................. 17
1.2 VALOR FUTURO OU MONTANTE ................................................................................ 25
1.3 DESCONTO SIMPLES ........................................................................................................ 29
1.3.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU “POR FORA” .......................................... 30
1.3.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ....................................... 35
UNIDADE II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA .............................................................. 41
2.1 CÁLCULO DO VALOR FUTURO .................................................................................... 43
2.1.1 CALCULADORA HP 12-C ............................................................................................. 47
2.1.2 TAXAS EQUIVALENTES ............................................................................................... 61
2.2 DESCONTOS COMPOSTOS ............................................................................................. 67
2.3 FLUXO DE CAIXA .............................................................................................................. 69
UNIDADE III - SÉRIES UNIFORMES ................................................................................ 79
3.1 VALOR ATUAL DE SÉRIES POSTECIPADAS/ RENDAS IMEDIATAS .................. 81
3.2 SÉRIES ANTECIPADAS/RENDAS ANTECIPADAS ................................................... 96
3.3 MONTANTE DE SÉRIES POSTECIPADAS .................................................................... 99
UNIDADE IV AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDA ................................................................. 105
4.1 SISTEMA DO MONTANTE OU BULLET (SILVA 2008 P. 108) ................................. 107
4.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAM OU SAA) .............................. 109
4.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE “FRANCÊS”. ................................................ 110
4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC). ............................................... 112
UNIDADE V – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS .......................................................... 117
4.1 PAYBACK .......................................................................................................................... 120
4.2 TAXA INTERNA DE RETORNO ................................................................................... 122
4.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ............................................................................ 125
CONCLUSÃO ......................................................................................................................... 129
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 130
8
9
Apresentação
Prezado (a) estudante do curso de Administração,
É com grande satisfação que apresentamos a você a Disciplina Matemática
Financeira, uma indispensável ferramenta para o profissional de administração.
Partiremos do pressuposto de que a matemática financeira faz parte daqueles
conhecimentos que só se adquirem com a prática, em que não é suficiente apenas
entender o conceito, mas necessário ser capaz de aplicá-lo. O objetivo deste
fascículo é capacitar e desenvolver habilidades, tais como: conceitos que regem a
matemática financeira, juros simples e compostos, séries uniformes, equivalência
de taxas, descontos, métodos para avaliação de alternativas de investimentos e a
utilização da calculadora HP- 12C, de forma simples e descomplicada,
apresentando os conceitos fundamentais da matemática financeira, de forma
objetiva e clara, por meio da associação dos exercícios com a prática do cotidiano.
A disciplina foi organizada com o intuito de capacitar os participantes a
fazer cálculos financeiros apropriados às diversas transações, sejam elas
comerciais ou bancárias, de forma dinâmica e prática, ajudando a aumentar ainda
mais sua competência na gestão patrimonial.
10
Introdução
Você emprestaria dinheiro sem cobrar nada? Se você atrasar o pagamento de um
título, o valor para quitá-lo seria o mesmo? Será que daqui a dez anos um pacote de arroz
de cinco quilos custará em média R$ 8,00? Você se lembra qual o preço de um tênis há
doze anos atrás?
Note que em todos os questionamentos deste genêro existem sempre duas
viariáveis fundamentais: valor e tempo. Dois principais fatores podem ser citados, para
que possamos entender as possíveis respostas: o primeiro é o Capital Escasso, pois
ninguém empresta dinheiro “de graça”, por isso que a taxa de aplicação financeira é
diferente da taxa de empréstimo diferença chamada de “SPREAD bancário”; e o segundo
é o Ambiente Inflacionário, historicamente vivemos em um país inflacionário.
Considere um exemplo simples: se, no início deste ano, precisássemos de cem reais
para comprar dez pacotes de arroz e, ao final do ano, necessitaremos de cento e dez reais
para comprá-lo novamente, poderíamos concluir que os cem reais pagos no início do ano,
bem como os cento e dez reais pagos ao final do mesmo ano, expressam o mesmo poder
de compra. Dizemos, então, que inflação é a correção do dinheiro ao longo do tempo.
Se não houvesse essas duas variáveis, os valores ao longo do tempo jamais se
alterariam, o que não ocorre em quaquer mercado financeiro.
Neste contexto, a matemática financeira é o estudo do capital ao longo do tempo,
ou seja, tem como objetivo capitalizar e descapitalizar valores. Quando falamos em
matemática financeira, pensamos, instintivamente, na figura dos juros, que, por sua vez,
podem ser defindo como:
JUROS
O ganho, rendimento ou compensação pelo uso do capital
financeiro em um determinado tempo a uma dada taxa.
11
Notações gerais
TEMPO (n)
Seja (n) o número de períodos de capitalização de juros que podem ser
expressos em dias, meses, trimestres, semestres, anos etc. Dessa forma, temos:
De um modo geral, o mercado trabalha com o ano comercial, ou seja, 360
(trezentos e sessenta) dias, considerando todos os meses com 30 dias. Em alguns
casos de cálculos exatos, adotar-se-á o ano civil com 365 (trezentos e sessenta e
cinco) dias.
TAXA (i)
A taxa de juros é o índice que remunera o capital, dessa forma, seja (i) a taxa
de juros por período de capitalização (%), poderá ser descrita sob duas formas:
“n = 0”, como data atual (hoje) ou início do 1º período; e, “n = 1” o final do 1º período.
A Centesimal (usual) 10% a.a. (dez por cento ao ano); 5% a.m. (cinco por cento ao
mês); e, 0,5% a.d. (meio por cento ao dia) Ou A Decimal ou Unitária, é a forma
centesimal dividida por 100. 0,1 a.a. (dez por cento ao ano); 0,05 a.m. (cinco por cento
ao mês); e, 0,005 a.d. (meio por cento ao dia), (Note que agora o símbolo % desaparece).
12
FORMAS DE DESCREVER UMA MESMA TAXA DE JUROS
Unidade
Forma Centesimal
Forma Unitária
Ao dia 0,5% a.d. 0,005 a.d.
Ao mês 2,5% a.m. 0,025 a.m.
Ao bimestre 8% a.b. 0,08 a.b.
Ao trimestre 10,5% a.t. 0,105 a.t.
Ao quadrimestre 12% a.q. 0,12 a.q.
Ao semestre 30% a.s. 0,3 a.s.
Ao ano 120% a.a. 1,2 a.a.
TODA TAXA DE JURO DEVE TER UMA UNIDADE:
ao dia, ao mês, ao ano etc.
Em qualquer operação, a taxa e o tempo sempre devem estar na mesma
unidade, por exemplo: taxa ao ano, tempo em anos; taxa ao mês, tempo em meses;
taxa trimestral, tempo em trimestres, e assim sucessivamente. No regime de
capitalização simples, as taxas de 5% a.m., 10% a.b., 15% a.t., 20% a.q., 30% a.s. e
60% a.a. são taxas proporcionais, pois todas têm pesos iguais, o que, no regime de
capitalização composta, não é aplicado.
CAPITAL (PV)
Vem da palavra italiana "capitale" e representa o dinheiro que se empresta
ou que se pede emprestado. É também conhecido por “principal” ou Valor
presente. Seja PV = capital, temos:
PV : Present Value = Valor Presente = valor do Capital Inicial
13
MONTANTE (FV)
Montante é um termo matemático que traduz a soma de uma operação ou
importância total de um valor. Na matemática financeira representa a soma do
capital inicial e os juros acrescidos. Seja FV = montante, temos:
FV : Future Value = Valor Futuro = Valor acumulado ao final de n períodos
de capitalização, à taxa de juros i.
14
15
UNIDADE 1
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:
o Entender os fundamentos dos juros imples
o Calcular o valor futuro ou montante
o Analisar os fatores relacionados aos descontos na
capitalização
16
17
1.000,00 1.100,00
1.200,00 1.300,00
1.400,00 1.500,00
1.600,00 1.700,00
1.800,00 1.900,00
2.000,00
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Capital
MesesCapitalização Simples
J1 = J2 = J3 = J4 = J5 = J6 = J7 = J8 = J9 = J1 0 = 100 ,00
1.1 Juros Simples
No caso do regime de capitalização simples, o cálculo dos Juros é feito
apenas sobre o Principal. Neste caso os juros serão sempre constantes, pois são
calculados sobre a mesma base de cálculo (capital inicial ou Valor Presente).
Assim, não há anatocismo, ou seja, acúmulo de juros ao capital para o cálculo dos
novos juros dos períodos seguintes, por isso, dizemos que o crescimento do capital
é linear, conforme ilustrado na figura 1.
Figura 1- Capitalização Simples de um Capital Inicial
De $1.000,00 a 10% ao mês por 10 meses.
Período Juros Saldo Final
Tempo 0 --o-- 1.000,00
Final 1º mês 100,00 1.100,00
Final 2º mês 100,00 1.200,00
Final 3º mês 100,00 1.300,00
Final 4º mês 100,00 1.400,00
Final 5º mês 100,00 1.500,00
Final 6º mês 100,00 1.600,00
Final 7º mês 100,00 1.700,00
Final 8º mês 100,00 1.800,00
Final 9º mês 100,00 1.900,00
Final 10º mês 100,00 2.000,00
18
Observe que todos os períodos, neste caso, em meses, há juros de cem reais,
decorrente do uso do capital inicial. Para todos os períodos de dez meses, os juros
se mantêm constantes, pois a base de cálculo, qual seja um mil reais é sempre o
capital inicial.
Considere:
Perceba que, para haver juros, é preciso existir no mínimo três elementos,
quais sejam: Valor Presente, aplicado a um período de tempo sob uma
determinada taxa. O resultado dos juros é diretamente proporcional a cada um
destes elementos. Assim temos:
Note que a taxa é utilizada da forma unitária (10/100) e expressa em uma
unidade devidamente compatível com o tempo.
Considerando sempre estas quatro variáveis: Juros (J), Valor Presente (PV),
Taxa (i) e Tempo (n), perceba que, se você possuir pelo menos três delas, qualquer
outra poderá ser facilmente encontrada. Agora observe:
J = PV x i x n PV = J _ i x n
i = J _ PV x n
n = J _ PV x i
J = Juros
PV = Valor Presente;
n = tempo ou período; e,
i = taxa de juros;
J = PV x i x n
Os Juros são resultantes do produto do Valor Presente (PV) da taxa (i) e do tempo (n).
No exemplo temos: J = 1.000 x 0,1 x 10 = 1.000,00.
19
Não é necessário memorizar todas as fórmulas acima descritas, observe
apenas que, isolando qualquer variável, por meio de regras matemáticas, as outras
passarão com operação inversa para o outro lado da igualdade.
A esta altura, você já deve estar se perguntando o porquê de se utilizarem
os símbolos (PV), (i), (n) e (FV) e não símbolos que seriam mais usuais como (C)
para designação de capital ou (t) para representar a variável tempo. Estes símbolos
são mundialmente conhecidos e convencionalmente utilizados na matemática
financeira e, por isso, é muito importante a sua familiarização com eles,
principalmente porque esta é a simbologia adotada pelas calculadoras financeiras.
1) Quais os juros de um capital de R$ 185.000,00 aplicado a 6,5% ao mês durante
doze meses? (VERAS: 2005. pg. 65)
2) Qual o Valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 100.000,00
pelo prazo de quinze meses, sabendo-se que a taxa corada é de 3% ao mês?
(VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 19)
ATIVIDADES
20
3) Um capital de R$ 80.000 é aplicado à taxa de 2,5 ao mês durante um
trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
(ASSAF NETO: 2001, pg. 23)
4) Qual o capital que aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês produz
juros de R$ 330,00 em três meses? (LOCIKS: 2005. pg. 55)
5) Que capital aplicado a juros simples de 1,2% ao mês rende R$ 3.500,00 de
juros em 75 dias? (KUHNER: 2001, pg. 43)
21
6) Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 300,00 de juros ao fim de dois
meses, então a taxa de juros para este período será de? (LOCIKS: 2005. pg. 44)
7) uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um
rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa
aplicação? (VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 19)
8) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 ficou aplicado a 25% ao
trimestre para render R$ 1.750,00 de juros? (VERAS: 2005. pg. 66)
22
9) Sabendo que os juros de R$ 120.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$
150.000,00 a taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. (VIEIRA
SOBRINHO: 1986, pg. 20)
10) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples
de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$
270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determine o valor do
empréstimo. (ASSAF NETO: 2001, pg. 23)
11) Uma Geladeira é vendida a vista por R$ 1.500,00 ou então a prazo com $
400,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após quatro meses. Qual a taxa
mensal de juros simples do financiamento? (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 14)
23
12) Bruno, dispondo de R$ 3.000,00 resolve aplicá-los em dois bancos. No
primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% ao mês, por seis meses, e
no segundo, aplicou o restante também a juros simples, por oito meses, à taxa de
10% ao mês. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que o total de juros
auferidos foi de R$ 1.824,00? (HAZZAN & POMPEO & POMPEO p. 16 ex. 22)
13) Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas
aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60% do seu capital numa
alternativa de investimento que paga 34,2%, ao ano, de juros simples, pelo prazo
de 60 dias. A outra parte é investida numa conta de poupança por 30 dias, sendo
remunerada pela taxa linear de 3,1% ao mês. O total dos rendimentos auferidos
pelo aplicador atinge R$1.562,40. Pede-se calcular o valor de todo o capital
investido. (Assaf Neto 2001: p. 40)
24
14) Um capital foi dividido em duas partes, sendo que 40% foram aplicados há
6 meses, e a segunda parte por 5 meses. Sabendo-se que ambas as parte foram
empregadas a mesma taxa simples de juros de 42% ao ano e que a segunda parte
produziu R$ 252,00 a mais de juros, pede-se:
a. O valor dos capitais;
b. O valor dos juros.
15) Dois capitais foram colocados a juros na mesma taxa. O primeiro produziu
R$ 1062,50 de juros em 1 ano e 5 meses. O segundo rendeu R$ 700,00 em 8 meses.
Sabendo que o segundo capital excede em 2000,00 o primeiro. Pede-se: calcular a
taxa de juros e os dois capitais.
25
FV = PV (1+ i x n)
1.2 Valor Futuro ou Montante
Se houver uma aplicação financeira, depois de dez meses quanto retiraria o
seu aplicador?
A resposta é simples: como já vimos seria o montante (FV) representa o
investimento inicial (PV) mais os juros recebidos (J), que neste caso,
coincidentemente são valores iguais, então ele sacaria dois mil reais, veja:
Colocando PV em evidência, temos: FV = PV (1 + i x n).
No exemplo, temos: FV = PV (1 + i x n), logo:
Resumindo, temos a fórmula do montante simples como:
Quando for preciso isolar as variáveis (i) taxa ou (n) tempo, será dado o
(FV) Montante e o (PV) Capital, cuja diferença é o (J) juro. Assim, ficará mais fácil
usar a fórmula dos juros.
PV + J = FV, ou montante. Se: FV = PV + J, então, FV = PV + PV x i x n.
PV = __FV_
(1 + i x n)
FV = 1.000 (1 + 0,1 x 10), então FV = 1.000 x 2, logo FV = 2.000,00.
PV = 1.000,00, n = 10 meses e i = 10% ao mês, 0,1 a.m.
26
1) Qual o montante de um capital de R$ 600,00 à taxa de 18% ao ano, durante oito
meses. (FRANCISCO: 1991. pg. 13)
2) Uma Pessoa Aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante oito meses.
Determine o valor acumulado ao final deste período. (ASSAF NETO: 2001, pg. 25)
3) Sabendo-se que certo capital aplicado durante dez semestres a taxa de 36% ao ano
rende R$ 72.000,00 de juros, determine o montante. (VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 21)
ATIVIDADES
27
4) Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante três anos, à taxa de
12% ao ano. Obtenha o montante. (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 11)
5) Dois capitais, um de R$ 200.000,00 e outro de 222.857,00 foram aplicados em uma
mesma data a juros simples, sendo o primeiro a taxa de 168% ao ano e o segundo a taxa
de 120% ao ano. Qual o prazo para que os montantes se igualem. (HAZZAN & POMPEO:
2007. pg. 15)
6) Uma Pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O
primeiro título vence de hoje a dois meses e o segundo um mês após. O devedor deseja
propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do quinto
mês. Considerando 3% ao mês à taxa corrente de juros simples, determine o valor deste
pagamento único. (ASSAF NETO: 2001, pg. 35)
28
7) Ao comprar um ar condicionado cujo preço a vista era de R$ 1.000,00, o líder da sala
deu 10% de entrada e concordou em pagar o restante no período de 1,5 anos. Sabendo-se
que a empresa irá cobrar juros simples pelo financiamento e que, nos primeiros 12 meses,
a taxa cobrada será de 15% ao ano e, no restante, será cobrada uma taxa de juros de 36%
ao ano. Pergunta-se:
a. Qual o valor que ele necessitará para quitar a dívida com pagamento único no final
de 1,5 anos?
b. Se o líder pagar R$ 500,00 após 1 ano, além da entrada, qual seria o valor que ele
necessitará para quitar a dívida no final de 1,5 anos?
8) Qual a taxa mensal de juros necessária para que os capitais de R$ 700,00 aplicados
por 5 meses e R$ 500,00 aplicados por 15 meses produzirão um montante igual? Admitir
que ambos fossem investidos na mesma taxa.
29
1.3 Desconto Simples
Toda vez que houver um Valor Futuro (FV) e você desejar antecipar esse
valor, usar-se-á o desconto. Nesta situação existirá o fenômeno da
descapitalização.
As operações de capitalização simples caracterizam-se pelo fato de terem
sempre uma mesma base de cálculo, assim os juros e descontos são lineares e,
consequentemente, constantes. O desconto simples pode ser calculado de duas
formas distintas:
Veja o exemplo:
Supondo que, no mês de 01/2.00X, o comprador fosse a uma empresa de
eletrodoméstico e comprasse uma mercadoria por mil reais, para pagar seis meses
após a data da compra, ou seja, 07/2.00X. É comum que o comprador assine um
determinado documento, que pode ser uma nota promissória, um cheque pré-
datado etc. que comprove a o valor da dívida e a data da promessa de pagamento.
Supondo que, no mês 04/2.00X, entrasse um dinheiro extra que poderia ser
destinado ao pagamento do compromisso assumido no passado. Será que se esse
comprador fosse imediatamente até a loja ele pagaria os mesmos mil reais que iria
vencer ainda três meses mais tarde?
Com certeza, exceto raras exceções, o comprador exigiria alguma vantagem
pela antecipação do pagamento. A essa vantagem damos o nome de desconto. O
valor a ser pago é o valor presente (PV), valor atual, ou ainda valor descontado,
que é o valor futuro, valor nominal, ou valor de face, menos o desconto.
O desconto tem que ser proporcional ao tempo de antecipação e à taxa de
desconto definida pela empresa. Supondo uma taxa de desconto hipotética seja de
Desconto simples comercial ou “por fora” e
Desconto simples racional ou “por dentro”.
30
dez por cento ao mês, então qual seria o valor com o qual o comprador quitaria
sua dívida? Se você encontrou como resposta setecentos reais é porque utilizou a
forma do desconto simples comercial ou “por fora”.
1.3.1 Desconto Simples Comercial ou “por fora”
O Desconto Simples Comercial (d) tem como base de cálculo o valor futuro
ou valor nominal do título (sinônimo). Veja o exemplo citado:
Data no futuro Data do passado Data no presente
Antecipação do pagamento
Vantagem = desconto (d)
Considerando a principal característica do desconto simples comercial , temos:
Percebeu? É a mesma fórmula dos juros simples, apenas substituindo-se a base de cálculo
que ao invés do (PV) é o (FV). d = 1.000 x 0,1 x 3, logo: d = 300,00.
1.000,00 Um mil reais –o—o—o—o—o—o
Vencimento 07/2.00X
________________ Assinatura do Comprador
Compra 01/2.00X
Data atual 04/2.00X
d = FV x i x
Sabendo que o Valor nominal do título (FV) = 1.000,00; Tempo de antecipação (n)
= 3 meses; Taxa oferecida para antecipação do título i = 10% a.m. Qual é o
desconto simples comercial? (d) = ?
31
Se o desconto é uma vantagem que obterá o comprador, então ele pagará o
Valor Futuro (FV) menos o desconto (d), que é chamado de Valor Presente (PV).
Neste caso, temos:
O desconto simples comercial é uma operação muito usada nas instituições
financeiras que operam com desconto de duplicatas. Muitas indústrias e empresas
comerciais que oferecem prazo longo ao cliente geram déficit no fluxo de caixa, ou
seja, não têm capital de giro, mas possuem direitos a receber de seus clientes
como: duplicatas e notas promissórias a receber. As instituições financeiras no
intuito de fomentar esta empresa compram estes direitos, liberando o dinheiro
(PV) e cobrando o desconto (d), acrescido de impostos e taxas administrativas.
1) Qual o valor do desconto “por fora” de um título de R$ 2.000,00 com
vencimento para noventa dias a taxa de 2,5% ao mês? (VIEIRA SOBRINHO: 1986,
pg. 39)
PV = FV – d ↔ PV = FV - FV x i x n ↔ PV = FV (1 – i x n)
ATIVIDADES
PV = FV x (1 – i x n)
PV = 1.000 (1 – 0,1 x 3)
PV = 1.000 x 0,7 = 700,00
PV = FV – d
PV = 1.000 – 300 ↔ PV = 700,00.
32
2) Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses
antes do vencimento a um a taxa de desconto comercial de 2,5% ao mês.
(HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 26)
a) Obtenha o desconto;
b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa.
3) Um empresário descontou uma duplicata com valor nominal de
R$ 12.000,00 com vencimento em cinco meses. Determine a taxa mensal de
desconto comercial simples, sabendo-se que o desconto aplicado foi de R$
2.400,00. (SILVA: 2008. pg. 59)
33
4) Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias
antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e valor
atual na data do desconto de R$ 24.436,10. (ASSAF NETO: 2001, pg. 84)
5) Uma pessoa tinha dois títulos de mesmo valor nominal e vencíveis na
mesma data. Precisou de dinheiro e descontou um deles 27 dias antes do
vencimento e recebeu R$ 216.200,00. Está novamente precisando de dinheiro e
pensa em descontar o outro, agora que faltam 12 dias para o vencimento. Quanto
receberá se a taxa for a mesma, isto é, 0,5% ao mês de desconto comercial simples?
(VERAS: 2005. pg. 86)
34
6) (PUCCINI: 2004, pg. 38) Uma empresa deseja descontar títulos em um
banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês,
juros simples. O primeiro título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no
prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no
prazo de 180 dias. Determine o valor a ser creditado pelo banco na conta desta
empresa, pelo desconto destes títulos.
7) (ASSAF NETO: 2001, pg. 86) Uma duplicata de valor nominal de R$
60.000,00 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo de
2,8% ao mês a taxa de desconto usado na operação, calcular o desconto e o valor
descontado. Sabe-se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título,
descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa
administrativa.
35
8) Considerando a antecipação das duplicatas por um empresário em um
banco, relacionadas abaixo, utilizando o desconto simples comercial, taxa de 4%
ao mês, calcule:
a) O valor total dos descontos R___________
b) O valor líquido recebido pelo cliente R___________
Valor da
duplicata
Tempo de
antecipação Desconto Valor líquido
2.500,00 45 dias
300,00 3 meses
10.000,00 20 dias
1.3.2 Desconto Simples Racional ou “por dentro”
O Desconto Simples Racional (d’) (O apóstrofe que na matemática é
chamado de “linha” representa apenas a diferenciação do desconto comercial,
representado por d comum) tem como principal característica adotar como base de
cálculo o valor presente ou valor atual do título. Veja o mesmo exemplo citado,
mas, agora, mudando a forma de calcular a operação: Data no futuro Data do passado Data no presente
Antecipação do pagamento
Vantagem = desconto (d’)
1.000,00 Um mil reais –o—o—o—o—o—o
Vencimento 07/2.00X
________________ Assinatura do Comprador
Compra 01/2.00X
Data atual 04/2.00X
36
Considerando a principal característica do desconto simples racional, temos:
Seja o Valor nominal do título (FV) = 1.000,00 ↔ Tempo de antecipação (n) = 3
meses ↔ Taxa oferecida para antecipação do título ↔ (i) = 10% a.m. Qual o
desconto simples racional? (d’) = ?
d’ = PV’ x i x n, só que neste caso o PV’ = FV - d’, então: d’ = (FV – d’) x i x n
d’ = FV x i x n – d’ x i x n
d’ + d’ x i x n = FV x i x n
d’ x (1 + i x n) = FV x i x n
d’ = FV x i x n
1 + i x n
d’ = FV x i x n
1 + i x n
d’ = 1.000 x 0,1 x 3 = 300 = 230,77
1 + 0,1 x 3 1,3
Sabendo-se que, sempre PV’ = FV - d’ ↔ PV’ = FV - d’
PV’ = FV - FV x i x n
1 + i x n
37
Tirando o mínimo múltiplo comum, temos:
PV’ = FV (1 + i x n) – FV x i x n
1 + i x n
PV’ = FV + FV x i x n – FV x i x n
1 + i x n
PV’ = ___FV___
1 + i x n
Do exemplo, temos:
PV’ = FV – d’
PV’ = 1.000 – 230,77 = 769,23 ou
PV’ = __ FV_ _
1 + i x n
PV’ = 1.000 = 1.000 = 769,23
1 + 0,1 x 3 1,3
38
Do exemplo, partindo do mesmo Valor Futuro (FV), bem como do mesmo
tempo (n) de antecipação e da mesma taxa (i), porém com utilização dos descontos
simples diferentes, podem-se fazer as seguintes comparações:
COMPARAÇÃO DO DESCONTO SIMPLES: (COMERCIAL X RACIONAL)
CONSIDERANDO A OPERAÇÃO DO EXEMPLO
FORMAS DO DESCONTO SIMPLES
COMERCIAL
OU
“POR FORA”
RACIONAL
OU
“POR DENTRO”
Valor futuro (1.000,00)
IGUAL IGUAL
Tempo de antecipação (n = 3 meses)
IGUAL IGUAL
Taxa ao mês de desconto (10% ao mês)
IGUAL IGUAL
DESCONTO (d e d’)
MAIOR MENOR
VALOR PRESENTE (PV e PV’)
MENOR MAIOR
APENAS FOI MUDADA A FORMA DE CALCULAR O DESCONTO.
39
1) Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título
de R$ 30.000,00 vencível em três meses e quinze dias descontados a taxa de 45% ao
ano? (KUHNEN: 2001, pg. 55)
2) Determine o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a
R$ 135,00 pago dois meses antes do vencimento a 1% ao mês. (FRANCISCO: 1991.
pg. 20)
3) Uma nota promissória foi descontada comercialmente a taxa simples de 5%
ao mês, quinze meses antes de seu vencimento. Se o desconto fosse racional
simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual
valor? (LOCIKS: 2005. pg. 71)
4) A diferença entre os descontos simples comercial e racional de um título é
de R$ 195,65. Sabendo-se que a taxa é de 30% ao ano e que o titulo tem
vencimento para 6 meses, calcular o valor nominal do titulo.
ATIVIDADES
40
41
UNIDADE 2
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:
o Compreender os fundamentos da capitalização
composta;
o Calcular valor futuro e taxa equivalente
o Analisar os procedimentos de desconto composto e
fluxo de caixa
42
43
UNIDADE II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Basicamente, no mercado, utiliza-se a capitalização composta. No decorrer
da Unidade você aprenderá também que somente em capitalizações simples é
possivel fazer as proporcionalidades diretas das taxas, visto que uma taxa de (1%
a.m.) um por cento ao mês não representa a mesma grandeza da taxa de (12% a.a.)
doze por cento ao ano, no regime de capitalização composta.
As operações financeiras bancárias utilizam, na grande maioria, juros
compostos, tanto em financiamentos para aquisição de capital os chamados
empréstimos quanto para as aplicações financeiras e outros investimentos.
Os principais produtos de aplicação financeira são: Poupança; CDB –
Certificado de Depósito Bancário; e, Fundos de investimentos (Curto prazo; Renda
fixa; Referenciado; Multimercado; Cambial; Ações; e, Dívida externa).
Os principais produtos de empréstimo são: CDC – Crédito Direto ao
Consumidor; Financiamento de veículos; Financiamento imobiliário e Empréstimo
em consignação.
Quanto à forma de pagamento, os empréstimos são amortizados,
comumente de forma parcelada ou com pagamento único.
2.1 Cálculo do Valor Futuro
As pessoas, em geral, tem um conhecimento intuitivo de juros compostos,
como por exemplo:
Juros sobre juros
Maior que juros simples
É o que acumula
É o que o banco cobra
44
Observe a aplicação do conceito de juros compostos, supondo uma
aplicação de um mil reais por um período de cinco meses à taxa de dez por cento
ao mês.
Estes exemplos não estão equivocados, mas não conceituam cientificamente
os juros compostos. Mas o que seriam os juros compostos?
São os juros que no fim de cada período são somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período subsequente.
1 2 3 4 50
FV1 = 1.100 FV2 = 1.210 FV3 = 1.331 FV4 = 1.464,1 FV5 = 1.610,51PV1 = 1.000
J1=100 J2=110 J3=121 J4=133,1 J5=146,41
FV 1 = PV+J
1 FV2=FV
1 +J 2 FV
3=FV
2+J
3FV
4=FV
3+J
4FV
5 =FV 4 +J
5
J 1 =PVxi J
2 =FV1xi J
3 =FV2xi J
4=FV
3xi J
5 =FV 4 xi
J 1 =1.000X0,1 J
2 =1.100X0,1 J 3 =1.210X0,1 J
4=1.331X0,1 J
5 =1.464,1X0,1 100,00 110,00 121,00 133,10 146,41
FV 1 =1.000+100 FV
2 =1.100+110 FV3=1.210+121 FV
4=1.331+133,1 FV
5 =1.464,1+146,41
FV1=1.100,00 FV2=1.210,00 FV3=1.331,00 FV4=1.464,10 FV5=1.610,51
Partindo de um Valor Presente (PV)
PV = 1.000,00
45
Período Juros Saldo Final
Tempo 0 --o-- 1.000,00
Final 1º mês 100,00 1.100,00
Final 2º mês 110,00 1.210,00
Final 3º mês 121,00 1.331,00
Final 4º mês 133,10 1.464,10
Final 5º mês 146,41 1.610,51
Veja que todo período, neste caso, meses, há um juro calculado sobre o
valor futuro anterior (embutido juros). Para todos os períodos de cinco meses, os
juros mudam, pois a base de cálculo aumenta.
FV1 = PV (1+i)1 FV3 = PV (1+i)3 FV5 = PV (1+i)5
FV2 = PV (1+i)2 FV4 = PV (1+i)4
Perceba que, nas últimas linhas, o Valor Futuro (FV), nos respectivos
períodos, está condicionado em PV x (1+i) cujo expoente é sempre igual ao do
referido tempo.
46
1.000,00 1.100,00
1.210,00 1.331,00
1.464,10
1.610,51
1.771,56
1.948,72
2.143,59
2.357,95
2.593,74
1000,00
1300,00
1600,00
1900,00
2200,00
2500,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Capital
MesesCapitalizaçã o Composta
Podemos então concluir que:
Figura 2- Capitalização Composta de um Capital Inicial. De $1.000,00 a 10% ao mês por 10 meses.
Observe que o crescimento, no regime de capitalização composta, não é
linear como ocorria no regime de capitalização simples e, sim, exponencial. No
mercado a regra é a utilização da capitalização composta.
FV n = PV x (1+i) n
Então,
FV5 = PV x (1+i)5
FV = 1.000 x (1+0,1)5
FV = 1.000 x (1,1)5
FV = 1.000 x 1,61051 ↔ FV = 1.610,51.
FV10 = PV x (1+i)10 ↔ FV = 1.000 x (1+0,1)10 FV = 1.000 x (1,1)10
FV = 1.000 x 2,593742 ↔ FV = 2.593,74
47
2.1.1 Calculadora HP 12-C
Como a Calculadora HP 12-C é um instrumento muito utilizado no
mercado financeiro, faremos uma breve explanação de suas funções e
operacionalização da mesma.
A leitura do manual é de importância significativa para um aproveitamento
eficiente. Como exemplo, podemos citar:
1. Separador de parte decimal por ponto ou vírgula;
2. Número de casas decimais;
3. Cálculos com a utilização da memória; e,
4. Teclas clear.
5. A calculadora possui até 3 três funções por tecla: veja como utilizá-las:
Função Primária (Branca) Para acionar, basta pressionar a tecla
desejada.
Função Alternativa (Amarela) Para acionar, deve-se primeiro
pressionar a tecla (única amarela) e, em seguida, pressionar a tecla da
função desejada.
Função Alternativa (Azul) Para acionar, deve-se primeiro pressionar a
tecla (única azul) e, em seguida, pressionar a tecla da função desejada.
48
A calculadora HP 12-C é uma calculadora financeira, diferenciando-se das
cientificadas e das demais, basicamente, conforme ilustração abaixo, em razão de
suas teclas específicas para cálculo
financeiro (conforme destaque).
Os registros desta função são os seguintes:
Prazo da operação;
Taxa de juros, descrita da forma centesimal, deve ser expressa na
mesma unidade de tempo do prazo;
“Present Value” ou Valor Presente. Corresponde ao valor a vista do
negócio. Valor no instante “0”, ou seja, no momento da negociação;
“Payment” ou Pagamento Periódico, Prestação (será utilizada em
séries uniformes); e,
“Future Value”, ou Valor Futuro. Corresponde ao valor final de uma
determinada quantia depois de decorrido um prazo.
Obs.: Sempre antes de iniciar qualquer resolução de problema, ligue a calculadora
e depois clique na função depois . O motivo desta função é limpar dados
de outros exercícios anteriores que tenha armazenado na função financeira (fin.).
Outras funções de Clear (limpar) são .
49
Resolução do exemplo de dedução de fórmula do Valor Futuro com
utilização da calculadora financeira.
Dados do exemplo:
Valor Presente Tempo de aplicação Taxa de juros Valor Futuro
PV n i FV
1.000,00 5 meses 10% ao mês ?
Resolução:
Ligar para limpar os dados financeiros , armazenar os
dados, a ordem não importando, 1.000,00 , 5 , 10 e . O
resultado será -1.610,51. É claro que neste caso a tecla (FV) tem que ser a última
tecla a ser clicada, pois depois de todos os dados serem armazenados sempre a
última tecla é a resposta que o problema pede.
O resultado é negativo, pois, se a aplicação, no caso (PV), foi armazenada
com sinal positivo, é claro que a retirada da aplicação terá sinal inverso, negativo
(FV). Caso o (PV) fosse clicado com o sinal negativo (1.000 CHS PV) 5 n, 10 i, FV o
sinal do valor futuro será positivo.
50
1) Calcular o Valor Futuro (Montante) e o juro (FV – PV) de uma aplicação de
2.000,00 por um período de 4 anos nas seguintes condições:
a) à taxa de 5% ao mês.
J = ____________ FV=_______________ .
b) à taxa de 10% ao bimestre.
J = __________ FV =________________ .
c) à taxa de 60% ao ano.
J=______________FV=______________ .
Observe que apesar de as taxas de juros serem proporcionais: (5% a.m.)
cinco por cento ao mês, (10% a.b.) dez por cento ao bimestre e (60% a.a.) sessenta
por cento ao ano, os resultados são completamente diferentes. Disto podemos
concluir o seguinte:
5% a.m., 10% a.b. e 60% a.a. são grandezas diferentes em capitalização
composta;
Os ciclos de capitalização, ao mês, ao bimestre e ao ano etc. são
importantes para a análise dos juros sobre juros;
Jamais podemos aplicar proporção entre taxas em capitalização
composta. Por enquanto, temos que adequar a unidade de tempo na
unidade da taxa.
Essas taxas que, efetivamente foram utilizadas, denominam-se taxa
efetiva. Há um outro tipo de se escrever uma mesma taxa de juros.
EXERCÍCIO
51
Temos que transformar fazendo a proporção
Exemplo: 36% ao ano, capitalizada mensalmente. Dizemos que 36% ao ano
é uma taxa nominal.
A taxa que efetivamente utilizamos é a Taxa Efetiva, no caso, (36% a.a.)
trinta e seis por cento ao ano, só funciona com capitalização mensal. Neste
caso, obrigatoriamente temos que fazer a proporção, pois (36% a.a.) terão
doze capitalizações, então (36% a.a.) / 12 = (3% a.m.) que é uma taxa
efetiva.
A taxa nominal é chamada também de taxa aparente, uma vez que não
reflete a taxa do período de capitalização.
TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA
Sempre usamos a Taxa Efetiva, a taxa nominal serve como taxa referencial
para transformar em taxa efetiva de acordo com a capitalização.
Considerando o enunciado do exercício 01, anteriormente citado, calcule:
d) à taxa de 60% ao ano capitalizado mensalmente.
J=______________FV=_______________.
TAXA DE JUROS TAXA
NOMINAL TAXA EFETIVA
24% ao ano, capitalizada mensalmente. 24% ao ano 2% ao mês
36% ao ano, capitalizada mensalmente. 36% ao ano 3% ao mês
60% ao ano capitalizado semestralmente. 60% ao ano 30% ao semestre
6% ao ano, capitalizada mensalmente. 6% ao ano 0,5% ao mês
24% ao ano, capitalizada bimestralmente. 24% ao ano 4% ao bimestre
52
e) à taxa de 48% ao ano capitalizado mensalmente.
J=___________FV=__________________.
1) Aplicou-se a juros compostos um capital de R$ 1.200.000,00 a 4% ao mês,
durante três meses. Ache os juros e o montante. (BIANCHINI & PACCOLA: 1993.
p. 143)
2) Qual o juro de R$ 2.000,00 no fim de dois anos e seis meses à taxa de 20% ao
ano capitalizado trimestralmente? (FRANCISCO: 1991. p. 69)
3) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a
uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem
do capital aplicado. (CRES: 2005. p. 22)
Atividades de Aprendizagem
53
4) Qual o capital que aplicado a 8,2% ao mês, durante seis meses, rende juros
compostos de R$ 75.573,51? (VERAS: 2005. p. 106)
5) Uma aplicação financeira gerou um montante de R$ 38.540,00 no prazo de
oito meses a uma taxa de 3,8% ao mês. Qual capital inicialmente aplicado?
(BRUNI & FAMÁ: 2004. p. 221)
6) Que capital aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% ao mês produz um
montante de R$ 3.500,00 após um ano? (HAZZAN & POMPEO: 2007. p. 43)
7) Durante quanto tempo esteve aplicado em uma poupança o capital de
R$ 180.000,00 para render de juros a importância de R$ 22.248,00 se a taxa foi de
6% ao mês? (BIANCHINI & PACCOLA: 1993. p. 143)
54
8) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado à taxa composta de 12% ao ano,
gerando um montante de R$ 15.790,56. Determine quanto tempo durou esta
aplicação. (LOCIKS: 2005. p. 87)
9) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá
receber o dobro mais sua aplicação? (VIEIRA SOBRINHO: 1986, p. 37)
10) Qual é a taxa anual de juros que produz um montante de R$ 68.000,00, a
partir de um investimento de R$ 45.000,00 ao fim de oito anos? (SILVA: 2008. p.
36)
55
11) O capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, produziu um
montante de R$ 31.384,28 ao fim de um ano. Qual a taxa semestral capaz de fazer
esse mesmo capital produzir esse mesmo montante nesse mesmo espaço de
tempo? (VERAS: 2005. p. 109)
12) A caixa beneficente de uma entidade rende a cada mês 10% sobre o saldo
do mês anterior. Se, no início de um mês o saldo era X, e considerando que não
haja retiradas depois de quatro meses, de quanto será o saldo? (BIANCHINI &
PACCOLA: 1993. p. 145)
13) Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar
R$ 50.000,00 no final de 12 meses e R$ 75.000,00 no final de 24 meses. Determine o
valor do investimento, sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% ao
trimestre. (SILVA: 2008. p. 42)
56
14) Uma pessoa deposita R$ 45.000,00 numa instituição financeira por três anos
à taxa nominal de 24% ao ano. Calcular o montante composto, sabendo que no
primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente, no segundo,
trimestralmente e, no terceiro, mensalmente. (KUHNEN: 2001 p. 85)
15) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 para receber R$ 11.200,00 no prazo de
um ano. Determine a taxa de rentabilidade mensal desse investidor no regime de
juros compostos. (PUCCINI: 2004 p. 60)
16) Uma empresa vende um componente eletrônico por R$ 200,00 a unidade,
sendo o pagamento feito dois meses após a compra. Para pagamento a vista, o
preço é de 192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento?
(HAZZAN & POMPEO: 2007. p. 49)
57
17) A aplicação de R$380.000,00 proporcionou um rendimento de R$ 240.000,00
ao final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros.
(VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 38)
18) Um terreno esta sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou R$ 150.000,00
de entrada e mais uma parcela de R$ 350.000,00 no final de seis meses. Sabendo-se
que, no mercado, a taxa média para aplicação em títulos de renda pré-fixada gira
em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já
computado), determine a melhor opção para um interessado que possua recursos
disponíveis para comprá-lo. (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 36)
19) Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% ao ano, capitalizados
trimestralmente e o restante a 20% ao ano, capitalizados semestralmente. No fim
de dois anos e seis meses, retirou o montante de R$ 2.061,87. Qual foi o capital
aplicado? (FRANCISCO: 1991 p. 69)
58
20) No final de dois anos o senhor Procópio deverá efetuar um pagamento de
R$ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros
devidos, correspondentes a uma taxa de 3,5% ao mês. Pergunta-se qual o valor
emprestado? (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 31)
21) Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz a taxa
composta de juros de 2,4% ao mês um montante de R$ 26.596,40 em certa data
futura. Calcule o prazo da operação. (ASSAF NETO: 2001 p. 46)
22) Em que prazo o empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado em um único
pagamento de R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao
semestre? (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 32)
59
23) Um investidor faz uma aplicação financeira de R$ 25.000,00 à taxa de juros
de 24% ao ano capitalizado mensalmente. Na data do resgate da aplicação, são
descontados, a título de Imposto de Renda (IR), 25% sobre o ganho nominal
obtido. Se o prazo da operação foi de 3 anos, pede-se:
a. Qual o valor líquido recebido pelo investidor?
b. Qual a rentabilidade líquida obtida pelo investidor, em taxa de juros ao
mês?
c. Se além do Imposto de Renda fosse cobrado uma taxa de administração de
5% do valor aplicado no ato da aplicação, qual seria a rentabilidade líquida em
taxa ao ano?
24) Um empréstimo foi obtido pelo prazo de 5 meses à taxa de juros de 3% ao
mês. Sabendo-se que esta operação está sujeita a uma tributação de 2%, pergunta-
se:
a. Qual é o custo efetivo da operação, em taxa ao mês, se o tributo incide sobre
o principal mais o juros e é cobrado na liberação do empréstimo?
60
b. Se o mesmo tributo fosse cobrado junto com a liquidação do empréstimo,
qual seria o custo efetivo da operação em taxa de juros ao ano?
25) Um empréstimo bancário de R$ 3.500,00 foi feito por um prazo de 1,5 anos a
taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente, é cobrado também uma taxa de
abertura de crédito de 10% sobre o valor do empréstimo que vai ser pago na
quitação do empréstimo. Calcule o valor para quitar a dívida e a taxa de juros
anual (custo efetivo) que a operação teve.
26) Uma aplicação em CDB de R$ 10.000,00 foi feita em um banco que paga
uma taxa de juros de 30% ao ano por um período de 18 meses. No final da
aplicação é cobrado um Imposto de Renda de 25% nos ganhos auferidos.
Pergunta-se:
a. Qual o valor líquido que o aplicador vai ter ao final da operação?
b. Qual a taxa de juros mensal que realmente ele recebeu (ganho efetivo) da
operação?
61
27) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 10.000,00 para liquidar após 1,5
anos à taxa de juros de 60% ao ano capitalizada mensalmente. Um imposto de 4%
incide sobre o valor do principal mais os juros e é pago no ato da liberação do
empréstimo. Pede-se:
a. Qual o imposto pago na operação?
b. Qual o valor líquido que o cliente recebeu?
c. Qual o valor para liquidar o empréstimo?
d. Qual o custo efetivo da operação em termos de taxa mensal?
2.1.2 Taxas Equivalentes
Conforme demonstrado anteriormente, nos exercícios sobre capitalização
composta, uma taxa efetiva de (5% a.m.) cinco por cento ao mês tem uma
grandeza diferente de (10% a.b.) dez por cento ao bimestre, sendo aquela maior
que esta. Mas será que existe uma taxa bimestral que dá o mesmo resultado que
os 5% mensais?
62
Essa taxa ao bimestre que, independente do tempo da operação, traria o
mesmo resultado dos 5% ao mês, é chamada de taxa equivalente (diferente de 10%
ao bimestre). Então o conceito de taxa equivalente é:
Sempre será dada uma determinada taxa para que seja encontrada outra
taxa equivalente, mas com ciclo de capitalização diferente.
Duas taxas são equivalentes, quando aplicadas no mesmo Valor Presente (PV) em um mesmo período de tempo, com ciclos de capitalizações diferentes, produzirem Valor Futuro (FV) igual.
FV1 = FV2
PV (1 + i2)n1 = PV (1 + i2)n2
Como são Valores Presentes iguais:
(1 + i1)n1 = (1 + i2)n2
Períodos iguais, mas com capitalização diferente.
(1 + ia.a.)1 = (1 + ia.s.)2 = (1 + ia.q)3 = (1 + ia.t.)4= (1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12
Um ano, dois semestres, três quadrimestres, quatro trimestres, seis bimestres,
doze meses, os períodos são iguais; somente as capitalizações são diferentes.
(1 + ia.b.)1 = (1 + ia.m.)2
é o mesmo resultado de
(1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12
(1 + ia.m.)1 = (1 + ia.d.)30.
63
Exemplo (a)
Um a taxa de 5% ao mês tem uma equivalente ao ano de?
Supondo uma aplicação de R$ 2.000,00 por um período de quatro anos a
taxa de juros de 79,58563% ao ano, qual seria o valor futuro?
Dados: PV = R$ 2.000,00; Tempo = 4 anos; e, Taxa de juros = 79,58563% ao
ano, descubra o FV = ?
Na calculadora HP 12 C
Perceba que no primeiro exercício de capitalização composta, o resultado da
questão (a) que tem o mesmo valor presente em um mesmo período, porém em
taxas de capitalizações diferentes (ao mês e ao ano), produziram valores futuros
iguais, podendo concluir-se, então, que as taxas são equivalentes.
(1 + ia.a.)1 = (1 + ia.m.)12
1 + ia.a. = (1 + 0,05)12
1 + ia.a. = 1,7958563
iIa.a.= 1,7958563 – 1
0,7958563 a.a. ou 79,58563% a.a.
FV = PV (1+i)n
FV =2 .000(1+0,7958563)4
FV = 2.000 x 10,4012697
FV = 20.802,54.
F fin, 2.000 CHS PV
4 n
79,58563 i
FV 20.802,54
64
Exemplo (b):
Um a taxa de 60% ao ano tem uma taxa equivalente mensal de?
Supondo uma aplicação de R$ 2.000,00 por um período de 4 anos a taxa de
juros de 3,99441% ao mês, qual seria o valor futuro?
Dados: PV = 2.000,00 ↔ Tempo = 4 anos (48 meses) ↔ Taxa de juros =
3,99441% ao mês, calcule FV = ?
Na calculadora HP 12 C
(1 + ia.m.)12 = (1 + ia.a.)1
(1 + ia.m.)12 = (1 + 0,6)1
(1 + ia.m.)12 = 1,6
(1+ia.m.) = 12√ 1,6
1 + ia.m = 1,0399441
ia.m. = 1,0399441 – 1
ia.m.= 0,0399441 ou 3,99441% ao mês
FV = PV (1+i)n ↔ FV = 2.000(1+0,0399441)48
FV = 2.000 x 6,5536001 ↔ FV = 13.107,20.
F fin, 2.000 CHS PV
48 n
3,99441 i
FV 13.107,20
65
Perceba que no primeiro exercício de capitalização composta, os
resultados das letras (a) e (e) são muito semelhantes. Pois a taxa de (60% a.a.)
sessenta por cento ao ano equivale a uma taxa de (3,99441% a.m.) três vírgula
noventa e nove por cento ao ano, quase os 4% da letra (e) do exercício citado.
De forma algébrica, temos:
TEQ = 1 + i - 1 x 100
100
Onde: PP = Período Procurado,
PD = Período Dado, i = taxa da operação
1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? (HAZZAN
& POMPEO: 2007. p. 57)
2) Quais são as taxas de juros compostos: mensal e trimestral equivalentes a
25% ao ano? (ASSAF NETO: 2001. p. 49)
PP
{[( ) ] }
Atividades de Aprendizagem
66
3) Calcule as taxas equivalentes a seguir.
Taxa Taxa percentual ao ano
48% ao ano capitalizado mensalmente
Taxas Equivalentes
% ao mês % ao
Bimestre
% ao
trimestre
% ao
semestre % ao ano
5%
10%
30%
20%
60%
4) Qual o crescimento anual de um empresário que aumenta seu patrimônio
mensalmente em 4% ao mês?
67
2.2 Descontos Compostos
Os juros compostos são as aplicações de juros simples a cada período de
capitalização. No desconto composto deve-se seguir o mesmo raciocínio, apenas
partindo de um valor futuro, aplica-se desconto simples a cada período de
descapitalização. Assim como ocorre com os descontos simples, pode ser
calculado sob duas formas distintas:
O Desconto Composto Bancário não tem utilidade prática no mercado.
Sendo assim, dar-se-á ênfase no Desconto Composto Real.
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL/REAL/ "POR DENTRO”
Supondo uma duplicata de R$ 1.000,00 que irá vencer daqui cinco meses, sendo
descontada a desconto composto real à taxa de (10% a.m.) dez por cento ao mês:
Desconto Composto Real ou Racional que é o desconto simples racional
aplicado a cada período
Desconto composto bancário que é o desconto simples comercial aplicado a cada
período.
1 2 3 4 50
PV1= 683,01 PV2= 751,31 PV3=826,45 PV4 = 909,09 FV5 = 1.000PV0= 620,92
68
PV’=___FV_____
1 + i x n
Partindo-se da fórmula do valor presente do desconto simples racional aplicado a cada período (n=1). Em cada período aplicar-se-á este conceito, dividindo o FV do período anterior por 1 + i, no caso 1,1.
No exemplo temos: PV n = 1.000 x (1+0,1) -5 = 620,92
Ou
PV n = 1.000 = 620,92 (1+0,1) 5
PV n = FV x (1+i) -n
Ou
PV n = FV _ (1+i) n
PV0 PV1 PV2 PV3 PV4
PV 0 = FV 1 PV 1 = FV 2 PV 2 = FV 3 PV 3 = FV 4 PV 4 = FV 5
1 + i 1 + i 1 + i 1 + i 1 + i
PV 0 = 683,01 PV 1 = 751,31 PV 2 = 826,45 PV 3 = 909,09 PV 4 = 1.000,00
1,1 1,1 1,1 1,1 1,1
PV 0 = 620,92 PV 1 = 683,01 PV 2 = 751,31 PV 3 = 826,45 PV 4 = 909,09
Partindo-se de um Valor Futuro (FV)
FV = 1.000,00
De acordo com a demonstração anterior, pode-se concluir que:
69
1) Qual o desconto racional composto de um título de R$ 75.000,00,
descontado cinco meses antes do vencimento a uma taxa de 4% ao mês?
(KUHNEN: 2001, p. 110)
2) Determine o valor do desconto composto racional de um título no valor de
R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de cinco meses e que a taxa de
desconto cobrada é de 3,5% ao mês. (VIEIRA SOBRINHO: 1986, p. 47)
3) Determine o desconto racional composto sofrido por um título, cujo valor
nominal é de R$ 16.872,90, se a taxa de juros compostos for de 4% ao mês e ele for
descontado três meses antes de seu vencimento. (LOCIKS: 2005. p. 103)
2.3 Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa é uma aplicação de conceitos de capitalização composta
em cálculos de composição e renegociações de dívidas. A lógica encontra-se no
cálculo dos juros, onde, quanto maior a taxa negociada e mais tempo tiver para
pagar, mais oneroso ficará o compromisso.
Atividades de Aprendizagem
70
Em matemática financeira, basicamente é embutir ou retirar juros. Quando
temos um valor presente (PV) e queremos um valor futuro (FV), nós
capitalizamos. Quando temos um valor futuro (FV) e queremos um valor presente
(PV), nós descapitalizamos.
Diagrama de Fluxo de caixa
PV FV
Veja o exemplo:
1) Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi obtido por um empresário para ser
liquidado pagando-se uma taxa de juros de 5% ao mês, calcule o valor da parcela
nas propostas a seguir:
a) Se o empresário pagar R$ 5.000,00 daqui a 6 meses, qual o valor da parcela
para quitar a dívida daqui 9 meses?
Capitalização
FV = PV (1+i)n
PV = FV (1+i) -n
Descapitalização
71
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10.000
5.000 N
Solução 02:
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.
10.000 = 5.000 (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9
10.000 = 3.731,08 + N 0,644609
10.000 – 3.731,08 = N 0,644609
6.268,92 = N 0,644609
6.268,92/0,644609 = N = 9.725,16
Observa-se que 3.731,08 é o valor dos 5.000,00 descapitalizado em seis meses, é o
que está contribuindo para pagar os 10.000,00 no tempo zero. O que falta é os
6.268,92 no tempo zero. Os 9.725,16 é o valor 6.268,92 equivalente no tempo 9.
Solução 01:
Calcular o valor total da dívida após 6 meses
FV=PV (1 + i)n
FV = 10.000 (1+0,05)6 = 13.400,96
Subtrair o valor do pagamento e atualizar mais 3 meses
13.400,96 – 5.000,00 = 8.400,96, FV= 8.400,96 (1+0,05)3 = 9.725,16 que é o
valor restante para pagar a dívida após 9 meses da data do empréstimo.
72
b) Se o empresário pagar R$ 5.000,00 daqui a 9 meses, qual o valor da parcela
para quitar a dívida daqui 6 meses?
Solução 02:
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então, os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.
10.000 = N(1+0,05)-6+5 .000 (1+0,05)-9
10.000 = N 0,746215 + 3.223,04
10.000 – 3.223,04 = N 0,746215
6.776,96 = N 0,746215
6.776,96/0,746215 = N = 9.081,77
Solução 01:
Calcular o valor total da dívida após 9 meses
FV=PV (1 + i)n
FV = 10.000 (1+0,05)9 = 15.513,28
Subtrair o valor do pagamento e descapitalizar mais 3 meses
15.513,28 – 5.000,00 = 10.513,28, PV= 10.513,28 (1+0,05)-3 = 9.081,77 que é o valor
restante para pagar a dívida após 6 meses da data do empréstimo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10.000
N 5.000
73
c) Se o empresário quiser pagar o empréstimo em duas parcelas de mesmo
valor, vencendo no 6º e 9º mês, qual seria o valor da parcela?
d) Se o empresário quiser pagar 5.000,00 no 3º mês, mais duas parcelas de
mesmo valor, vencendo no 6º e na 9º mês, qual seria o valor da parcela?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10.000
N N
1 2 3 4 5 6 7 8
9
10.000
N
N
5.000
Solução
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.
10.000 = N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9
10.000 = N 0,746215 + N 0,644609
10.000 = N 1,390824
10.000/1,390824 = N = 7.189,98
Observa-se que, neste caso, não se pode capitalizar os 10.000,00 para
subtrairmos outro valor, pois os dois valores são desconhecidos.
74
e) Se o empresário quiser pagar o empréstimo em três parcelas de mesmo
valor, vencendo no 3º, 6º e 9º mês, qual seria o valor da parcela?
Solução
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.
10.000 = N (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9
10.000 = N 0,863838 + N 0,746215 + N 0,644609
10.000 = N 2,254662
10.000/2,254662 = N = 4.435,25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10.000
N N N
Solução
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então, os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.
10.000 = 5.000 (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9
10.000 = 4.319,19 + N 0,746215 + N 0,644609
10.000 -4.319,19 = N 1,390824
5.680,81 = N 1,390824
5.680,81/1,390824 = N = 4.084,49
75
Observações:
As formas de resolver estes problemas podem ser das mais variadas,
desde que se sigam os seguintes princípios:
Sempre capitalizar quando se posterga, multiplicando por (1+i)n e
descapitalizar quando se antecipa, multiplicando por (1+i)-n os dados do
fluxo de caixa.
A data focal (no caso das resoluções foi escolhida o tempo zero) pode
ser qualquer uma, desde que se igualem os fluxos equivalentes na data
escolhida.
Muitas renegociações têm vários elementos (no exemplo foi só o
10.000 no tempo zero), desde que a taxa cobrada seja a mesma,
escolhendo a data focal zero, é só descapitalizar quantos fluxos tiverem
para igualar ao outro fluxo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X Y Z
0
N N N
Parte superior considera-se um dos fluxos
Parte inferior considera outro fluxo
Considerando data focal zero, podendo X,Y e Z quaisquer valores, tem-se:
X (1+0,05)-2 + Y (1+0,05)-4 + Z(1+0,05)-6 = N (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9
76
1) Uma compra, cujo valor à vista é de 1.500,00, será paga com uma entrada de
20% e mais 2 prestações de mesmo valor. Sabendo-se que as prestações vencerão
em 4 e 6 meses após a data da compra e que a loja cobra juros de 2,5% ao mês,
calcule o valor das prestações.
2) Um empresário pega um empréstimo de 5.000,00 propõe ao devedor duas
alternativas de renegociação. Calcule o valor das propostas, sabendo-se que a taxa
negociada foi de 60% ao ano capitalizada mensalmente.
a. Pagar 2.500,00 daqui a 2 meses, 2.500,00 daqui a 12 meses e um valor daqui
a 8 meses para quitar a dívida;
b. Pagar em 3 prestações com vencimento para 3, 5 e 10 meses do tempo zero.
Atividades de Aprendizagem
77
3) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui 6
meses e R$ 3.000,00 daqui 10 meses. Se a taxa de juros vigente é de 36% ao ano
capitalizada mensalmente, pede-se:
a) Se a pessoa se dispuser a pagar R$ 4.000,00 daqui 12 meses, qual será o valor
da parcela para quitar a dívida daqui 4 meses?
a) Se a pessoa preferir pagar em duas parcelas de mesmo valor daqui a 4 e 12
meses, qual deve ser o valor destes pagamentos?
4) Um financiamento para ser quitado, faltam 2 prestações iguais de 500,00 cada,
vencíveis no final do 1º e 8º mês, como não vai poder honrar estes compromisso
nas respectivas datas, pede à financiadora para recompor a dívida, de tal forma
que faça três pagamentos iguais, sendo o primeiro daqui 4 meses, o segundo no
final de 8 meses e o terceiro no final de 12 meses. Se a taxa acertada foi de 36% ao
ano, capitalizada mensalmente, pede-se indicar o valor dos pagamentos.
78
5) Um empréstimo de R$ 1.000,00 deve ser pago em 4 parcelas mensais iguais e
sucessivas, vencendo a primeira 30 dias da data da concessão. Se a taxa de juros
negociada é de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, calcule o valor da parcela.
6) Considerando uma dívida de 4 prestações mensais, iguais e sucessivas de
270,00, sendo a primeira prestação vencível no final do primeiro mês, calcule o
valor a vista, para quitar a dívida, sabendo-se que a taxa de juros embutida é de
3% ao mês.
7) Um empréstimo de R$ 1.000,00, foi negociado a uma taxa de juros de 3% ao
mês. Calcule qual o valor das quatro parcelas mensais, iguais e sucessivas a serem
pagas, sendo o primeiro pagamento daqui a 30 dias.
79
UNIDADE 3
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:
o Calcular o valor de renda e séries
o Analisar os montantes de séries postecipadas
80
81
UNIDADE III - SÉRIES UNIFORMES
As séries uniformes podem ser aplicadas, desde que tenham as seguintes
características:
parcelas de mesmo valor;
intervalo entre uma parcela e outra sempre o mesmo;
número determinado de termos de parcela;
mesma taxa de juros.
3.1 Valor atual de séries postecipadas/rendas imediatas
Exemplo (a)
Considerando um empréstimo de um mil reais a uma taxa de juros de (3%
a.m.) três por cento ao mês, calcule qual o valor das quatro parcelas mensais,
iguais e sucessivas a serem pagas, sendo o primeiro pagamento daqui 30 dias.
FV1
1.000,00
FV2
FV3
FV4
1 2 3
4
i = 3% a.m.
82
Como,
Neste caso embutiram-se juros nas quatro parcelas mensais iguais e
sucessivas a juros de 3% ao mês.
Exemplo (b)
Um empréstimo foi concedido para ser pago em quatro parcelas mensais,
iguais e sucessivas de 270,00, sabendo-se que foi contratado à taxa de 3% ao mês
de juros, calcule qual o valor para quitar a dívida.
270,00
1 2 3
4
i = 3% a.m.
PV
270,00 270,00 270,00
FV1= FV2= FV3= FV4
1.000 = FV x [(1+0,03)-1 + (1+0,03)-2 + (1+0,03)-3 + (1+0,03)-4]
1.000 = FV x (0,9708738 + 0,9425959 + 0,9151417 + 0,8884870)
1.000 = FV x 3,7170984
PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4
1.000 = FV1 x (1+0,03)-1 + FV2 x (1+0,03)-2 + FV3 x (1+0,03)-3 + FV4 x (1+0,03)-4
1.000 = FV = 269,03
3,7170984
83
Como:
Neste caso tiraram-se juros nas quatro parcelas mensais iguais e sucessivas
a taxa de juros de 3% ao mês. Em ambos os casos, atende-se às características de
séries uniformes. Assim temos:
Logo:
Substituindo (FV) por PMT : Periodic PayMenT = Valor de cada prestação
da série uniforme, teríamos:
Como são quatro prestações (1+i), será elevada até -4, pois caso fossem dez
prestações iguais, mensais e sucessivas o (1+i) elevar-se-ia até -10, se tivesse n
prestações então (1+i) elevar-se-ia até –n. Ficando de uma forma genérica:
PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4
PV = FV1 x (1+0,03)-1 + FV2 x (1+0,03)-2 + FV3 x (1+0,03)-3 + FV4 x (1+0,03)-4
FV1= FV2= FV3= FV4
PV = 270 x [(1+0,03)-1 + (1+0,03)-2 + (1+0,03)-3 + (1+0,03)-4]
PV = 270 (0,9708738 + 0,9425959 + 0,9151417 + 0,8884870)
PV = 270x3,7170984 ↔ PV = 1.003,62
PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4
Como: FV1= FV2= FV3= FV4
PV = PMT [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)-4]
PV = FV [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)-4]
84
Observe que há uma soma de uma sequência.Esta sequência é uma
Progressão Geométrica (PG), da qual temos todos os elementos para aplicar a
fórmula da soma de seus termos finitos.
a1 = Primeiro termo = (1+i)-1; an = Último termo = cc; e, q = razão = (1+i)-1. A
fórmula da soma dos termos de uma PG é:
Substituindo-se:
Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo coeficiente.
Tirando os parênteses do denominador.
PV = PMT [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + ....(1+i)-n]
St = a1 - an .q
1 – q
St = (1+i)-1 - (1+i)-n. (1+i)-1
1 - (1+i)-1
St = (1+i)-1 - (1+i)-n-1 (1+i) ,
1 - (1+i)-1 (1+i)
St = 1 - (1+i)-n ,
(1+i) - 1
85
PV = PMT x (1+i)n – 1
i (1+i)n
Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo coeficiente.
Esse é o resultado da soma dos termos da PG
Então temos:
PV : Present Value = Valor Presente = valor do Capital Inicial;
i : taxa de juros por período de capitalização expressa em (%);
PMT : Periodic PayMenT = Valor de cada prestação da série uniforme; e,
n : número de parcelas (quando se utiliza o PMT na calculadora).
Fórmula do valor atual de uma série postecipada.
A característica principal do Valor Atual de uma Série Postecipada é que o
Valor Atual (PV) encontra-se sempre um período antes da primeira prestação.
No caso dos exemplos (a) e (b), aplicar-se-á a fórmula do valor atual de uma
série postecipada para a resolução:
St = 1 - (1+i)-n (1+i)n ,
i (1+i)n
St = (1+i)n – 1 ,
i (1+i)n
86
Exemplo (a)
FV1
1.000,00
FV2 FV3 FV4
1 2 3 4
i = 3% a.m.
Na calculadora HP 12C
f fin, 1.000 CHS PV
3 i
4 n
PMT 269,03
Caso a resposta não seja esta,
provavelmente, no visor, terá a
abreviatura Begin (início) como
a série é postecipada clique g
(função azul) e END
(fim), agora sumirá a palavra
Begin e sua calculadora está
programada para séries
postecipadas.
PV = PMT x (1+i)n – 1
i (1+i)n
1.000 = PMT x (1+0,03)4 – 1
0,03 (1+0,03)4
1.000 = PMT x 0,1255088
0,0337653
1.000 = PMT x 3,7170984
__1.000__ = PMT =269,03
3,7170984
Nota-se que, agora, mesmo
sendo 100 parcelas, o que
mudam são os expoentes.
87
Exemplo (b)
270,00
1 2 3
4
i = 3% a.m.
PV
270,00 270,00 270,00
PV = 270 x (1+i)n – 1
i (1+i)n
PV = 270 x (1+0,03)4 – 1
0,03 (1+0,03)4
PV = 270 x 0,1255088
0,0337653
PV = 270 x 3,7170984
PV = 1.003,62
Nota-se que, agora, mesmo
sendo 50 parcelas, o que
mudam são os expoentes.
Na calculadora HP 12C
f fin, 270 CHS PMT
3 i
4 n
PV 1.003,62
Caso a resposta não seja esta,
provavelmente, no visor, terá a
abreviatura Begin (início) como a
série é postecipada clique g (função
azul) e END (fin), agora
sumirá a palavra Begin e sua
calculadora está programada para
séries postecipadas.
88
1) Determinar o valor principal de um financiamento realizado com uma taxa
efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em
12 prestações mensais, sucessivas e iguais a R$ 1.000,00. (PUCCINI: 2004. pg. 94)
2) Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais,
iguais e sucessivos de R$ 700,00 sendo a taxa de juros igual a 1,7% ao mês.
3) Obtenha o preço a vista de um automóvel financiado à taxa de 3% ao mês,
sendo o numero de prestações igual a 10 e R$ 1.500,00 o valor de cada prestação
mensal, vencendo a primeira, um mês após a compra. (HAZZAN & POMPEO:
2007. pg. 161)
Atividades de Aprendizagem
89
4) Um automóvel foi comprado por R$ 1.000,00 de entrada mais um saldo de
18 prestações mensais de R$ 120,00. Calcular o valor a vista do automóvel,
sabendo-se que os juros do financiamento foram de 1% ao mês. (FRANCISCO:
1991. pg. 148)
5) Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e
iguais de R$ 550,00 cada, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja
opera a uma taxa de juros de 5% ao mês, qual seu preço à vista? (HAZZAN &
POMPEO: 2007. pg. 153)
6) Comprei uma calculadora para pagar em três parcelas de R$ 24,00 cada
uma, sendo a primeira no ato da compra e as demais em 30 e 60 dias,
respectivamente. Qual o preço a vista da calculadora se a taxa cobrada pela loja
que a vendeu é de 8,5% ao mês? (VERAS: 2005. pg. 144)
90
7) Um empresário adquiriu equipamentos, com valor de R$ 36.000,00, a ser
pago em 36 prestações mensais e iguais, com uma taxa de juros de 1,8% ao mês.
Determinar o valor das prestações, caso a primeira parcela seja paga um mês após
a compra. (SILVA: 2008. pg. 76)
8) Um automóvel usado é vendido a vista por R$ 30.000,00, mas pode ser
vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês
após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% ao mês,
obtenha o valor de cada prestação. (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 154)
9) Um eletrodoméstico, cujo preço a vista é R$ 68,00, está sendo vendido com
uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de
5,5% ao mês. De quanto serão a entrada e as prestações? (VERAS: 2005. pg. 143)
91
10) Uma mercadoria, a vista, custa R$ 101.513,84, podendo ser adquirida em
seis prestações mensais, sendo a primeira paga em mês após a compra a taxa de
5% ao mês. Calcule o valor de cada prestação. (KUHNEN: 2001, pg. 130)
11) Um empresário tomou um financiamento de R$ 50.000,00, para ser pago em
12 prestações mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de 2% ao mês.
Imediatamente após o sexto pagamento, o empresário propôs uma renegociação
ao banco, que aceitou refinanciar em 18 prestações mensais adicionais, todas do
mesmo valor, a serem pagas a partir do final do sétimo mês. Determinar o valor
das novas prestações mensais, sabendo que a taxa de juros da operação permanece
a mesma. (SILVA: 2008. pg. 85)
92
12) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um
equipamento, cujo valor a vista é de R$ 10.000,00. Para diminuir o valor das
prestações, ele pretende dar uma entrada de R$ 3.000,00 por ocasião da compra.
Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte
financiada, sabendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15%
ao ano, capitalizados mensalmente, e que a primeira prestação ocorre 30 dias após
a liberação dos recursos. (PUCCINI: 2004. pg. 118)
13) Um veículo está sendo vendido com prestações de R$ 1.500,00. Se a taxa de
juros vigente é de 24% ao ano capitalizado mensalmente, qual deve ser o preço a
vista do veículo nas seguintes alternativas:
a) 12 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento
daqui a 120 dias.
b) 15 pagamentos bimestrais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento
daqui a 60 dias.
93
c) 18 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro
pagamento daqui a 150 dias.
14) Um imóvel está sendo vendido a vista por R$ 100.000,00. Se a taxa de juros
vigente é de 48% ao ano capitalizada mensalmente, qual deve ser o preço da
parcela nas seguintes alternativas:
a) 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento
daqui a 30 dias.
b) 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento
daqui a 60 dias.
c) 6 pagamentos semestrais, iguais e sucessivos sendo o primeiro pagamento
daqui a um ano.
94
15) O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas
sucessivas, iguais e mensais. Sabendo-se que o valor de cada parcela é de
R$ 350,00 e que a taxa cobrada foi de 4% ao mês, calcular o valor do pagamento
único, no 10º mês, que poderia substituir o plano inicial.
16) Um consumidor adquire um terreno, financiado para pagamento em 12
parcelas mensais, sendo as 6 primeiras de R$ 300,00 e as restantes de R$ 400,00.
Qual o valor financiado, sabendo-se que a taxa de juros cobrada foi de 48% ao ano,
capitalizado mensalmente.
17) Uma empresa está negociando com um banco a obtenção de um
empréstimo de R$ 30.000,00 para ser pago em 2 anos com parcelas mensais. Após
um estudo sobre as suas disponibilidades de caixa a empresa, concluiu que
poderia estar pagando as 12 últimas parcelas no valor de R$ 2.000,00 cada.
Sabendo-se que a taxa de juros cobrada foi de 3% ao mês, pergunta-se: qual o valor
das 12 primeiras parcelas?
95
18) Uma empresa consegue, junto a determinado banco, um financiamento de
R$ 40.000,00, esse financiamento deverá ser liquidado em 12 prestações mensais,
iguais e consecutivas. Depois de pagar as 5 primeiras prestações, a empresa
propôs ao banco liquidar o saldo devedor com 4 prestações mensais iguais, apenas
mantendo a mesma taxa inicial de juros 5%ao mês. Calcular o valor de cada
prestação mensal.
19) Uma pessoa consegue um empréstimo no valor de R$ 60.000,00. Esse
empréstimo deverá ser pago em 25 prestações mensais iguais e sucessivas, à taxa
de 4%ao mês. Imediatamente após o pagamento da oitava prestação, verificou que
não teria condições de continuar pagando as prestações com os valores
inicialmente estipulados. Propôs ao banco que o saldo devedor fosse re-
financiado em 30 prestações mensais e iguais sucessivas. Determinar o valor dessa
nova prestação mensal, considerando que a taxa de 4%ao mês foi mantida na
renegociação.
96
3.2 Séries antecipadas/rendas antecipadas
A característica principal do Valor Atual de uma Série Antecipada é que o
Valor Atual (PV) encontra-se sempre sob a primeira prestação.
Geralmente aplica-se nos casos de financiamentos em que se exige uma
entrada do mesmo valor da prestação.
Veja o exemplo: Um veículo está sendo vendido em 24 prestações mensais,
iguais e sucessivas de R$ 350,00, sedo o primeiro no ato do negócio. Sabendo-se
que a taxa cobrada no financiamento é de 3% ao mês, calcule o valor a vista do
veículo.
Fórmula do valor atual de uma série postecipada.
Se aplicarmos esta fórmula o valor do PV estará um período antes da primeira
prestação, sendo assim, aplicar-se-á com n=23 depois somar-se a uma prestação.
Ou
Fórmula do Valor atual de séries antecipadas
PV = PMT x (1+i)n – 1 i (1+i)n-1
PV = 350 x (1+0,03)23 – 1 0,03 (1+0,03)23
PV = 350 x 16,443608 = 5.755,26 + 350 = 6.105,26
PV = PMT x (1+i)n – 1 i (1+i)n
97
A diferença é que no denominador utiliza-se n – 1,Veja:
Dessa forma, o resultado é direto.
1) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em seis
prestações mensais, a taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra.
Qual será o valor de cada prestação? (KUHNEN: 2001. pg. 148)
2) Uma mercadoria é vendida a prazo, em cinco pagamentos mensais de R$
700,00. Sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros, determinar o seu preço a vista,
admitindo que o primeiro pagamento é efetuado no ato da compra. (ASSAF
NETO: 2001. pg. 200)
PV = 350 x (1+0,03)24 – 1 0,03 (1+0,03)24-1
PV = 350 x 17,443608 = 6.105,26
Atividades de Aprendizagem
98
3) Um terreno é vendido em quatro prestações mensais e iguais de R$
150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do
financiamento for de 4% ao mês, qual o preço a vista? (HAZZAN & POMPEO:
2007. pg. 155)
4) Mariana deseja comprar panelas para seu enxoval de casamento em quatro
prestações iguais mensais com entrada (1+3). A taxa de juros compostos do
crediário é de 4% ao mês. Se as panelas custam a vista R$ 220,00, qual o valor das
prestações? (BRUNI & FAMÁ: 2004. pg. 380)
5) Um imóvel está sendo vendido com prestações de R$ 8.500,00. Se a taxa de
juros vigente é de 24% ao ano, capitalizado mensalmente, qual deve ser o preço a
vista do móvel nas seguintes alternativas:
a. 12 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento
no ato do negócio.
b. 15 pagamentos bimestrais , iguais e sucessivos sendo o primeiro pagamento
no ato do negócio.
c. 18 pagamentos trimestrais antecipados, iguais e sucessivos.
99
6) Um apartamento está sendo vendido a vista por R$ 100.000,00. Se a taxa de
juros vigente é de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, qual deve ser o preço da
parcela nas seguintes alternativas:
a. 12 pagamentos bimestrais, iguais, sucessivos e antecipados.
b. 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento
no ato do negócio.
3.3 Montante de séries postecipadas
No regime de captalização de juros simples e compostos, na Unidade I, do
fascículo você se preparou para o “Future Velue” (FV), a partir de um valor
presente, como a quitação de uma dívida em um único pagamento futuro ou
aplicação de um único capital para formação de um montante em certo tempo com
uma determinada taxa de rendimento.
Aqui, no capitulo das séries uniformes, você aprendeu também que o
estudo das séries lhe fornece o necessário para estabelecer planos de poupança, de
financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de
investimentos através do cálculo do seu valor atual “Present Velue” (PV).
Mas como você obteria o montante de uma série de pagamentos uniformes,
como uma dívida quitada por meio de uma série de pagamentos mensais? ou
100
Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados
PMT = 100,00 i= 4 n=5 FV=?
0 1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
FV?
ainda como aferir o montante no final do ano a partir de uma série de aplicações
trimestrais?
Nas séries uniformes, o Montante FV é a soma dos valores futuros de cada
um dos seus termos, realizada conforme o exemplo:
Exemplo (a):
Cálculo do valor futuro de cada uma das cinco aplicações:
Portanto:
FV1 = 100 x (1,04)4 = 116,98
FV2 = 100 x (1,04)3 = 112,49
FV3 = 100 x (1,04)2 = 108,16
FV4 = 100 x (1,04)1 = 104,00
FV5 = 100 x (1,04)0 = 100,00
FVt = 541,63
Onde FVt = FV1+ FV2 + FV3 + FV4 + FV5
FVt = 100 x (1,04)4 + 100 (1,04)3 + 100 (1,04)2 + 100 x (1,04)1 + 100 x (1,04)0
101
1 x (1,04)5 - 1 (1,04)5- 11,04-1 0,04
FVt= 100 x 100 x =
(1 + i)n- 1i
FVt= PMT x
Colocondo-se PMT em evidência, temos:
é a soma de uma PG de razão 1,04, temos a seguinte fórmula:
a1 x qn - a1
q-1SPG=
Sabendo-se que a1 = (1,04)0 = 1, q = 1,04 e n = 5, temos:
Como PMT = 100,00, n = 5 e i = 0,04 Podemos montar a fórmula genérica:
Se para os problemas que envolvem cálculo de juros compostos, o uso das
calculadoras financeiras facilitou bastante, para problemas que envolvem séries
uniformes elas são quase imprescindíveis. Veja como é simples operá-la,
resolvendo o exemplo anterior:
As teclas próprias para as séries uniformes são as seguintes:
As teclas 7 (BEG) e 8 (END) são usadas para retornarem os valores das
séries postecipadas e imediatas, respectivamente.
FVt = 100 x [(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4]
Como: (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4
102
Observe a resolução do exemplo (a), na HP 12C:
Na calculadora HP 12C:
f fin, 100 CHS PMT
4 i
5 n
FV 541,63
Caso a resposta não seja esta, provavelmente no visor terá a abreviatura
Begin (início) como a série é postecipada clique g (função azul) e END
(fim), agora sumirá a palavra Begin e sua calculadora está programada para séries
postecipadas.
1) Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de sete
depósitos mensais e sucessivos, no valor de R$ 800,00 cada, numa conta de
poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% ao mês. (ASSAF NETO:
2001. pg. 188)
Atividades de Aprendizagem
103
2) Determine o valor futuro de uma série de 18 aplicações mensais, iguais e
sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, a taxa de 2% ao mês, sabendo que a primeira
parcela é aplicada no final do primeiro mês. (BRUNI & FAMÁ: 2004. pg. 372)
3) Calcular o montante gerado por 12 depósitos mensais e consecutivos de
R$ 200,00, a taxa de 3% ao mês, na data do ultimo depósito. (LOCIKS: 2005. pg.
130)
4) Uma pessoas faz depósitos mensais durante três anos, numa instituição
financeira que paga 0,83% ao mês de juros. No primeiro ano, seus depósitos são de
R$ 3.000,00. No segundo ano, R$ 5.000,00 e no terceiro são de R$ 8.000,00. Qual o
montante no final do terceiro ano, após fazer o 36º depósito? (VERAS: 2005. pg.
174)
5) Um pai, interessado em fazer uma poupança para seu filho, resolveu
depositar mensalmente R$ 500,00, durante 21 anos, com o primeiro depósito a ser
efetuado daqui a um mês. Determinar o montante disponível para o filho, ao final
do período, sabendo que a taxa de juros é de 6% ao ano. (SILVA: 2008. pg. 83)
104
6) Uma pessoa planejando a compra de um terreno prevê dispêndios
(pagamento) mensais de R$ 5.000,00 nos meses de setembro/outubro e novembro.
Quanto deve ser depositado de janeiro a agosto do mesmo ano, para que seja
possível efetuar tais retiradas. Considerar uma remuneração em todo o período
de 3,5% ao mês.
7) Uma pessoa deposita mensalmente R$ 900,00, por um período de dois anos e
meio, em uma aplicação que rende 1,5% ao mês de juros. Pede-se.
a) Se a pessoa ao final dos depósitos continuar com o dinheiro aplicado, qual o
valor que ela poderá retirar mensalmente em 8 saques, sendo o primeiro 30 dias,
após o último depósito e não sobrar saldo algum ao final da 8º retirada?
b) (Se a pessoa ao final dos depósitos continuar com o dinheiro aplicado, qual o
valor que ela poderá retirar trimestralmente em 8 saques, sendo o primeiro 90
dias após o último depósito e não sobrar saldo algum ao final da 8º retirada?
105
UNIDADE 4
AMORIZAÇÃO DE DÍVIDA
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:
o Diferenciar os sistemas de amortização utilizados
o Calcular os valores de amortização
106
107
UNIDADE IV AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDA
Os financiamentos de capital, imóvel, veículos, entre outros, são operações
que envolvem a devolução do valor financiado mais os juros, conforme o tempo
e a forma pré-estabelecida. O cliente deve analisar pelo menos três pontos:
1º A taxa de juros cobrada, pois é ela que onera a opção de pagar a
prazo;
2° Valores a serem desembolsados. Não adianta ter uma excelente taxa
de juros ou sistema de amortização se não tiver caixa para pagar o
compromisso. Analisando de um outro prisma, muitos leigos que desejam
financiar algo decidem comprar um determinado bem se a parcela
“couber no bolso”, independente dos números de parcelas;
3° Taxas, impostos, tarifas e quaisquer outros valores que onerem a
operação, além da taxa de juros. Muitas vezes, o agente sabendo que o
cliente geralmente faz uma analise simples apenas da taxa de juros,
embute outros valores alheios como: taxa de abertura de crédito (TAC) e
taxa de cadastro.
Existem várias formas de amortizar (pagar) uma dívida. Desde que se
pague a dívida (capital) e seus respectivos juros. No entanto, existem formas
sistematicamente pré-definidas que serão descritas no decorrer da unidade.
4.1 Sistema Do Montante Ou Bullet (Silva 2008 p. 108)
Conceito: A amortização, devolução do capital emprestado e juros
acumulados, em um único pagamento.
108
FV = PV (1+i)n
FV = 10.000(1+0,1)4
FV = 10.000 x (1,1)4
FV = 10.000 x 1,4641
Na Calculadora Financeira HP 12-C
f fin 10.000 CHS PV
4 n
10 i
FV = 14.641,00
Cálculo: Utiliza-se a função FV na calculadora HP 12 C, ou utilizando a
fórmula FV = PV (1 + i)n.
Exemplo: Um empresário empresta RS 10.000,00 para ser devolvido após
quatro meses, pagando juros de 10% ao mês pelo sistema do montante.
As tabelas de amortização são utilizadas para mostrar a evolução de um
financiamento ao longo do tempo, exibindo os juros, a amortização do principal,
as prestações e o saldo devedor em cada período.
1.641,00
10.000,00
1 2 3 4
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Saldo Devedor
0 10.000,00 1 1.000,00 11.000,00 2 1.100,00 12.100,00 3 1.210,00 13.310,00 4 14.641,00 1.331,00 13.310,00 -
109
J = 10.000 x 0,1 J = 1.000,00
(juros periódicos, neste caso mensal)
Observações:
Os juros são demonstrados periodicamente. O saldo devedor aumenta
devido aos juros acumulados. No último período é pago o saldo devedor e o juro
do mês. Neste tipo de amortização de dívida, a tabela é importante para
averiguarmos o quanto de juros periodicamente tem-se de despesa na operação.
4.2 Sistema de Amortização Americano (SAM ou SAA)
Conceito: Consiste em pagar periodicamente os juros, e ao final do período,
os juros do período mais a devolução do principal (capital).
Cálculo: Em cada período é calculado os juros na fórmula Valor Presente
vezes a taxa de juros (J = PV x i)
Exemplo: Um empresário empresta R$ 10.000,00 para ser devolvido após 4
meses pagando-se juros de 10% ao mês pelo sistema de amortização americano.
0
1 2 3 4
10.000
1.000 1.000 1.000 11.000
110
Tabela de amortização.
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização Saldo Devedor
0 10.000,00
1 1.000,00 1.000,00 10.000,00
2 1.000,00 1.000,00 10.000,00
3 1.000,00 1.000,00 10.000,00
4 11.000,00 1.000,00 10.000,00 -
Observações:
Os juros são pagos periodicamente. O saldo devedor continua constante
devido ao pagamento dos juros. No último período são pagos o saldo devedor e os
juro do mês. Neste tipo de amortização de dívida, a tabela é importante para
averiguarmos que os juros não se acumulam devido ao pagamento dos mesmos.
4.3 Sistema de Amortização Price “Francês”.
Conceito: Consiste em pagar prestações constantes.
Cálculo: Como já foi visto anteriormente no capítulo de séries uniformes,
utiliza-se função PMT na calculadora HP 12 C, ou utilizando a fórmula do valor
atual de séries uniformes postecipadas PV = PMT (1 + i) n- 1
i x (1 + i)n
Exemplo: Um empresário empresta R$ 10.000,00, para ser devolvido após 4
prestações mensais, iguais e consecutivas, pagando-se uma taxa de juros de 10%
ao mês pelo sistema price.
111
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
0 10.000,00
1 R$ 3.154,71 1.000,00 R$ 2.154,71 R$ 2.154,71 7.845,29
2 R$ 3.154,71 784,53 R$ 2.370,18 R$ 4.524,89 5.475,11
3 R$ 3.154,71 547,51 R$ 2.607,20 R$ 7.132,08 2.867,92
4 R$ 3.154,71 286,79 R$ 2.867,92 R$ 10.000,00 0,00
Em tópicos anteriores calculavam-se as prestações, mas não se chegava a
reflexões mais profundas como: pagando-se 4 parcelas de 3.154,71 serão pagos os
juros de 10% ao mês e devolvido o principal de 10.000,00? Se 3.154,71 é o valor da
prestação, será que na prestação parte é pagamento de juros e parte é principal?
Será que os juros, na primeira prestação, são maiores que na última? Para
responder e provar estas questões, completar-se-á a tabela de amortização.
Tabela de amortização.
0
1 2 3 4
10.000
3.154,71 3.154,71 3.154,71 3.154,71
Na Calculadora Financeira
f fin 10.000
CHS PV
4 n
10 i
PMT =
3.154,71
PV = PMT (1 + i) n- 1
i x (1 + i)n
10.000 = PMT (1 + 0,1)4- 1
0,1 x (1 + 0,1)4
PMT = 10.000 = 3.154,71
3,169865
112
Observações:
Os juros são calculados com base no saldo anterior (do que ainda se devia).
No primeiro mês são R$ 10.000 x 10% = R$ 1.000, no segundo mês R$ 7.845,29 x
10% = R$ 784,53.
Como as prestações são constantes e o juro calculado sobre o saldo devedor,
então, a amortização é a diferença entre ambos. No primeiro mês, R$ 3.154,71 – R$
1.000,00 = R$ 2.154,71, no segundo mês R$ 3.154,71 – R$ 784,53 = R$ 2.370,18.
A amortização acumulada é a soma da amortização do mês mais o que já
tinha sido amortizado. No primeiro mês é a repetição da amortização, enquanto
que no segundo mês, é a soma de R$ 2.154,71 + R$ 2.370,18, pois, no final, deve-se
acumular o total do principal, no caso os R$ 10.000,00.
O saldo devedor é calculado, sempre diminuindo a amortização do período.
No primeiro mês, o saldo é R$ 10.000,00 – R$ 2.154,71 = R$ 7.845,29, note que, no
último período, o saldo devedor tem que ser zero, ou seja, toda dívida deve ser
paga.
Com esta tabela de amortização, chegamos às seguintes conclusões das
reflexões anteriores: Pagando-se 4 parcelas de R$ 3.154,71 paga-se os juros de 10%
ao mês e devolve-se o principal de R$ 10.000,00. Se R$ 3.154,71 é o valor da
prestação, parte é pagamento dos juros e o restante do principal.
Os juros, na primeira prestação, são maiores que na última, pois o saldo
devedor (dívida) é maior.
4.4 Sistema de Amortização Constante (SAC).
Conceito: Consiste em pagar em amortizações constantes, como próprio
nome já enfatiza.
Cálculo: Como as amortizações são constantes, pega-se o valor principal e
divide-se pelo número de amortizações para saber o valor da amortização.
113
Exemplo: Um empresário empresta R$ 10.000,00 para ser devolvido após 4
prestações, mensais e consecutivas pagando-se uma taxa de juros de 10% ao mês
pelo sistema SAC.
Tabela de amortização
Observações:
Os juros são calculados com base no saldo anterior (do que ainda se devia).
No primeiro mês, são o R$ 10.000 x 10% = R$ 1.000, no segundo mês, R$ 7.500,00 x
10% = R$ 750,00.
Como as amortizações são constantes e o juro calculado sobre o saldo
devedor, então, a prestação é a soma entre ambos. No primeiro mês, R$ 2.500,00 +
R$ 1.000,00 = R$ 3.500,00, no segundo mês, R$ 2.500,00 + R$ 750,00 = R$ 3.250,00.
0
1 2 3 4
10.000
3.500,00 3.250,00 3.000,00 3.250,00
A = Amortização
PV = Valor Presente/principal
n = Número de parcelas
A = PV = 10.000 = 2.500
n 4
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
0 10.000,00
1 R$ 3.500,00 1.000,00 R$ 2.500,00 R$ 2.500,00 7.500,00
2 R$ 3.250,00 750,00 R$ 2.500,00 R$ 5.000,00 5.000,00
3 R$ 3.000,00 500,00 R$ 2.500,00 R$ 7.500,00 2.500,00
4 R$ 2.750,00 250,00 R$ 2.500,00 R$ 10.000,00 -
114
A amortização acumulada é a soma da amortização do mês mais o que já
tinha sido amortizado. No primeiro mês é a repetição da amortização, enquanto
que no segundo mês é a soma de R$ 2.500,00 + R$ 2.500,00, pois, no final, deve-se
acumular o total do principal, no caso, os R$ 10.000,00.
O saldo devedor é calculado sempre diminuindo a amortização do período.
No primeiro mês, o saldo é R$ 10.000,00 – R$ 2.500,00 = R$ 7.500,00, note que, no
último período, o saldo devedor tem que ser zero, ou seja, toda dívida deve ser
paga.
1) Um estudante adquiriu um computador por R$ 4.000,00, com pagamentos
em 6 prestações mensais postecipadas, a uma taxa de juros de 12% ao ano
capitalizados mensalmente. Montar as tabelas de amortização e determinar os
valores das prestações nos seguintes sistemas: (a) Americano;(b) Francês: (c) SAC.
(SILVA: 2008. pg. 123)
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
0123456
Sistema de Amortização Americano
Atividades de Aprendizagem
115
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
0123456
Sistema de Amortização Francês
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
0123456
Sistema de Amortização Constante
2) Um empresário adquiriu um equipamento por R$ 50.000,00, para ser pago
no final de 1 ano à taxa de 24% ao ano, capitalizado mensalmente, pelo sistema de
amortização Bullet. Descreva a planilha de amortização demonstrando os detalhes
da operação.
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
0123456789
101112
Sistema de Bullet
116
3) Uma empresa recebe um financiamento de R$ 300.000,00, em 31/12/X5,
para ser pago em seis prestações semestrais pelo sistema francês. Desejando-se
saber quais serão as parcelas de juros anuais, construir planilha, considerando-se a
taxa de juros efetiva de 30% ao ano.
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
0123456
Sistema de Amortização Francês
4) Um imóvel está sendo vendido à vista por R$ 150.000,00, ou, cobrando-se
uma taxa de 60% ao ano capitalizada mensalmente, para ser liquidado em 4
pagamentos anuais consecutivos. Elaborar os planos de amortização da dívida,
price e SAC.
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
01234
Sistema de Amortização Francês
PeríodoPrestação
(pagamento)Juros Amortização
Amortização acumulada
Saldo Devedor
01234
Sistema de Amortização Constante (SAC)
117
UNIDADE 5
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:
o Entender o siginficado de Investimento Pay Back
o Calcular valores como retorno de investimento e valor
presente líquido
118
119
UNIDADE V – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Grande parte dos empresários e administradores, com o espírito
empreendedor que lhes é peculiar, estão sempre atentos e em busca das melhores
oportunidades do mercado, como um novo investimento, compra de outros
grupos ou expansão de seus empreendimentos. Todas estas opções devem ser
avaliadas em projetos que possam refletir as possíveis situações futuras.
Os cálculos de análise de investimentos são regidos por princípios, segundo
Kuhnen & Bauer (2001 p. 389:391) são:
o principais princípios da engenharia econômica;
o não existe decisão com alternativa única;
o só se podem comparar alternativas homogêneas;
o apenas as diferenças de alternativas são relevantes;
o os critérios para decisão de alternativas econômicas devem
reconhecer o valor do dinheiro no tempo;
o não se pode esquecer o problema do capital escasso;
o as decisões devem levar também em consideração os eventos
qualitativos não quantificáveis monetariamente.
Os projetos resumem-se em duas grandes avaliações uma qualitativa e
outra quantitativa, esta em fluxos financeiros de investimentos e retiradas em
ciclos periódicos (mensais, anuais etc.) em determinado período em que o
empresário “consegue enxergar no futuro”. Partindo-se do princípio que o
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
um projeto consiste em um conjunto de informações de natureza
quantitativa e qualitativa que permitem estimar um cenário com
base em uma alternativa escolhida. (KASSAI ET. ALL. 2000, P.57)
120
25.000
12.000 11.000 10.000 9.000 24.000
1 2 3 4 5
0
empresário investe recurso financeiro, pois deseja ter um retorno percentual e
consequentemente financeiro, demonstrar-se-ão os principais métodos de
avaliação de investimento.
5.1 PAYBACK
Esta é uma das formas mais simples de se analisar um investimento, baseia-
se no tempo de recuperação do capital investido. Apesar da forma simplista, não
deixa de ser uma forma de analisar um investimento.
Conceitos de PAYBACK
“O payback corresponde ao tempo necessário para que os fluxos de
caixa positivos recuperem os fluxos de caixas negativos, e é
normalmente expresso em anos. Seu cálculo é obtido a partir dos fluxos
de caixa nominais e a decisão de aceitar ou não um projeto é tomada
com base em algum período limite arbitrário (o período de payback
deverá ser inferior a este limite), sem considerar o custo de capital”
(SILVA 2002, p.146-147)
“É o período de recuperação de um investimento e consiste na
identificação do prazo em que o montante do dispêndio de capital
efetuado seja recuperado por meio de fluxos líquidos de caixa gerados
pelo investimento” (KASSAI. 2002, p.84)
Exemplo, (KASSAI 2002: p. 84)
121
Ano Investimento Retorno Saldo a Recuperar
Zero 25.000 (25.000)
1º 12.000 (13.000)
2º 11.000 (2.000)
3º 10.000 8.000
4º 9.000 17.000
5º 24.000 41.000
A recuperação do investimento será no terceiro ano, porém deverá ser feito numa
proporção do que falta para o que houve de retorno, da seguinte forma:
Payback é de 2,2 anos
Observam-se as seguintes limitações segundo Kassai et all (2000, p.86):
“Não leva em consideração a magnitude dos fluxos de caixa e sua
distribuição nos períodos que antecedem ao período de payback;
Não levam em consideração os fluxos de caixa que ocorrem após o
período de payback.
A maior limitação é que os valores são tratados nominalmente, ou seja,
não se leva em consideração o valor do dinheiro no tempo.”
2.000 = 0,2
10.000
122
Calcule o Payback do fluxo a seguir MERCHEDE. (2001, p. 346).
Este projeto tem uma vida estipulada em sete anos.
5.2 Taxa Interna de Retorno
Quando um investidor aplica recursos em um determinado banco
geralmente o que ele pergunta primeiro ao funcionário é: Qual a aplicação que
está rendendo a melhor taxa de juros?
O investidor sabe que, se aplicar na operação que tem a melhor taxa de
juros, o retorno financeiro será maior.
Então, a pergunta é: será que, depois de mensurado o fluxo financeiro
constante de investimentos e retiradas em determinado período, não haveria uma
taxa que resumisse todo o fluxo?
220.000
5.000
30.000
36.000
295.000
40.000 36.000 36.000
0 1
2 3 4 5 6 7
Investimento
Retiradas
123
0 = FCo + __FC1___ + __FC2_ + __FC3___ + __FC4___ ... + __FCn___ (1+TIR)1 (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)n
A TIR (Taxa Interna de Retorno) é uma das soluções deste problema.
Seguem alguns conceitos de autores.
“A taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que iguala, em determinado
momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com
os das saídas (pagamentos) previstas em caixa. Geralmente, adota-se a
data de início da operação - momento zero - como data focal de
comparação dos fluxos de caixa.” ASSAF NETO. (2001, p. 271)
É a taxa que anula o saldo dos valores atuais do fluxo de caixa. Quando
analisamos diversas alternativas de investimentos pelo método de Taxa Interna de
Retorno, é necessário equipararmos o investimento inicial, ou seja, aplica-se a
diferença de investimento pela taxa mínima de atratividade nas mesmas condições
do investimento base. ”KUHNEN & BAUER (2001, pg. 415)
“Nos casos de análise de aplicações de projetos de investimento, têm-se
na data zero, uma entrada, que representa o investimento inicial (ou o
empréstimo ou o financiamento) e diversos fluxos futuros de caixa. A
TIR equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas) com o
valor presente de um ou mais recebimentos (entradas). (MERCHEDE.
2001, p. 345)
124
Exemplo de Taxa Interna de Retorno MERCHEDE (2001, pg. 346)
Este projeto tem uma vida estipulada em sete anos.
Destina-se à introdução do fluxo de caixa inicial
Destina-se à introdução de fluxos de caixa
Destina-se à introdução da frequência dos fluxos de caixa
Calcula a taxa interna de retorno.
220.000
5.000
30.000
36.000
295.000
40.000 36.000 36.000
0 1
1 2 3 4 5 6
Investimentos
Retiradas
125
Solução:
considerando os investimentos como negativo e retiradas positivo temos:
Isso quer dizer que o retorno deste projeto é de 13, 919039% ao ano, nestes sete
anos.
Calcule a Taxa Interna de retorno a seguir
5.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
O valor presente líquido é uma técnica que apresenta a resposta em valores
monetários, diferente da TIR em que a resposta é percentual, podendo dizer que o
VPL e a TIR se complementam em termos de decisão. Citam-se, a seguir, conceitos
de autores:
220.000 CHS g CFo
5.000 CHS g CFj
30.000 g CFj
36.000 g CFj 3 g Nj
40.000 g CFj
295.000 g CFj
f IRR 13, 919039% ao ano
126
VPL = FCo + __FC1__ + __FC2_ + __FC3__ + __FC4__ ... + __FCn__ (1 + i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)n
“O método do Valor Presente Líquido para análise dos
fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente
dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor
presente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do
empréstimo ou do financiamento).” ASSAF NETO (2001, p.
278)
“Consiste em calcular o valor presente de uma série de
pagamentos (ou recebimentos), iguais ou diferentes, a uma
dada taxa, e deduzir deste valor o fluxo inicial (valor do
investimento, financiamento ou empréstimo). Em outras
palavras, é a diferença entre os valores atuais dos fluxos de
recebimento e os valores atuais dos pagamentos.”
MERCHEDE (2001, p. 336)
“Consiste em determinar o valor atual do fluxo de caixa
(receitas e despesas), empregando a taxa mínima de
atratividade. Calculando os valores atuais das alternativas
apresentadas, encontramos a melhor delas pela diferença
entre os valores atuais das receitas e despesas. A que
apresentar melhor resultado a favor do investidor será a
alternativa preferida.” KUHNEN & BAUER (2001, p. 394)
“O valor presente líquido (VPL) ou net present value (NPV)
de um fluxo de caixa corresponde a trazer todos os fluxos
futuros para o valor atual, descontando-se uma taxa de juros,
que corresponde ao custo de capital, também chamada de
custo de oportunidade ou taxa mínima de atratividade. Esta
taxa representa o retorno que o investidor poderia obter em
uma aplicação no mercado com risco comparável.” SILVA
(2009, p. 141)
127
Na calculadora
Destina-se a introdução do fluxo de caixa inicial
Destina-se a introdução de fluxos de caixa
Destina-se a introdução da freqüência dos fluxos de caixa
Taxa mínima de atratividade/custo de oportunidade
Calcula o valor presente líquido de um fluxo de caixa
Aplicação de Valor Presente Líquido
MECHEDER (2001, p. 337)
Certo investidor pretende comprar um apartamento por R$ 220.000,00, para ter retorno de no mínimo 12% anuais. Ele espera manter o imóvel por sete anos depois vendê-lo por R$ 250.000,00. Sendo previstos os fluxos de caixa apresentados a seguir, determinar se o investimento renderá os 12% pretendidos.
128
Observa-se que no sétimo ano ele pretende vender por R$ 250.000,00 mais
tem o aluguel do período de R$ 45.000,00, ficando em R$ 295.000,00.
f NPV R$ 22.089,90, ou seja, este valor corresponde ao superávit
financeiro do projeto, pois além dos 12% ao ano pretendidos, o investidor teve um
resultado financeiro positivo no tempo zero.
Faça o mesmo cálculo, ou se estiver ainda com este número de 22.089,90 no
visor, clique em 15 i, ou seja, uma taxa de atratividade de 15% e depois
clique em f NPV, a resposta será de R$ -13.316,92, resposta negativa.
Observa-se que com 15% de taxa de retorno o projeto é inviável, mas qual
seria o mínimo de taxa de juros que esse projeto comportaria?
A resposta é 13,919039% ao ano, correspondendo a TIR (conforme exemplo
anterior).
220.000 CHS g CFo
5.000 CHS g CFj
30.000 g CFj
36.000 g CFj 3 g Nj
40.000 g CFj
295.000 g CFj
129
Conclusão
NPV maior que 0 IRR maior que TMA
Investimento viável. A
taxa interna de retorno
(IRR) é maior que o custo
de oportunidade
NPV igual a 0 IRR igual à TMA
Investimento proporciona
rentabilidade igual ao
custo de oportunidade
NPV menor que 0 IRR menor que a TMA
Investimento inviável. A
taxa interna de retorno
(IRR) é menor que o custo
de oportunidade.
130
Referências
ALMEIDA, Adilson; GUERRA, Fernando. Integrando a Matemática Financeira
com Excel. Florianópolis: Visual Books, 2006.
ASSAF NETO, Alexandre; Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo:
Atlas, 2001.
BAUER, Udibert Reinoldo - Calculadora HP 12C : manuseio, cálculos financeiros
e análise de investimentos. - São Paulo : Atlas 1994.
BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. São Paulo.
Editora Moderna, 1995.
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira: com HP 12C e
Excel. São Paulo: Atlas, 2004.
CASAROTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de
Investimento. São Paulo: Atlas, 2000.
CRES, Fábio Caldas. Matemática Financeira. Brasília: VESTCON, 2005.
FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1994.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financiera. São Paulo:
Saraiva, 2007.
131
KASSAI, José Roberto; KASSAI, Sílvia; SANTOS, Ariovaldo dos; ASSAF NETO,
Alexandre. Retorno de Investimento: abordagem matemática e contábil do lucro
empresarial. São Paulo: Atlas, 2000.
KUHNER, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira
aplicada à análise de investimentos. São Paulo, Atlas,2001
KUHNER, Osmar Leonardo. Matemática financeira empresarial. São Paulo,
Atlas, 2006.
LOCIKS, Júlio. Matemática Financeira para concursos. 9º edição Brasília:
VESTCON, 2005.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. São
Paulo: Atlas, 2009.
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira - para usuários do Excel e da
calculadora HP-12C. São Paulo, Atlas, 2001.
MOTTA, Regis da Rocha; CALÔBA, Guilherme Marques. Análise de
investimento: tomada de decisão em projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2006.
PUCCINI, Abelardo de Lima: . Matemática financeira: objetiva e aplicada. São
Paulo: Saraiva, 2004.
SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo:
Atlas, 2008.
TEIXEIRA, Daniel Mandim. Estatística e Matemática Financeira. 3º edição.
Brasília: VESTCON, 2005.
132
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras,
aplicações ao mercado financeiro, aplicações, introdução à engenharia
econômica, 300 exercícios resolvidos e propostos com respostas. 5º edição, São
Paulo : Atlas, 2005.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. São Paulo: Atlas 1991.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP - 12C. São
Paulo: Atlas 1985.
top related