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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

UM ESTUDO DE PROBABILIDADE POR MEIO DE JOGOS

COM APLICAÇÕES PARA O ENSINO MÉDIO

EDVANIA PORTILHO LOPES

PONTAL DO ARAGUAIA - MT

SETEMBRO DE 2017





UM ESTUDO DE PROBABILIDADE POR MEIO DE JOGOS

COM APLICAÇÕES PARA O ENSINO MÉDIO

Trabalho de Monografia apresentado ao Curso de

Licenciatura em Matemática do Campus Univer-

sitário do Araguaia da Universidade Federal de

Mato Grosso, como requisito parcial para con-

clusão do curso de licenciatura em matemática,

sob a orientação do Prof. Ms. Renato

Ferreira da Cruz.


SETEMBRO DE 2017





FOLHA DE APROVAÇÃO

Autor: Edvania Portilho Lopes

Título: Um Estudo de Probabilidade por meio de jogos com aplicações para o Ensino Médio

Data de Apresentação: 13 de setembro de 2017

Banca Examinadora

Prof. Ms. Renato Ferreira da Cruz

Orientador da Monografia

Prof. Dr. Admur Severino Pamplona

Prof. Dr. Adilson Antonio Berlatto

Aprovada em, 13 / 09 / 2017


SETEMBRO DE 2017

DEDICATÓRIA

“À minha avó Januaria, pelo carinho e preocupação ”.

AGRADECIMENTOS

A Deus por todas as coisas que tem me proporcionado durante toda a minha vida.

Ao Prof. Ms. Renato Ferreira da Cruz, orientador deste trabalho, pela paciencia e dedicação.

A todos os professores que contribuíram para minha formação, em especial a Profa. Dra.

Wanderleya Nara Gonçalves Costa, por ser peça chave para com omeu crescimento profis-

sional.

À minha filha Kamilla Lopes, que apesar de sua pouca idade, me ensina muito com seus pe-

quenos atos.

Ao meu esposo Deucione Costa, pelo apoio e companherismo.

À minha mãe Eugenia Portilho, pela educação e dedicação a todos os filhos.

Ao meu pai José Brito, in memorian, pelo exemplo de luta e sacrifício em prol da educação e

provimento da família.

Aos meus irmãos Josimar Portilho e Edna Portilho pelo carinho e companherismo.

Aos meus colegas de curso, em especial a Fernanda Procopio, Ana Lúcia Lemes, Ranyelle

Alcântara e Gisleangela Santos pelo apoio e incentivo sempre acreditando em mim.

RESUMO

Este trabalho de conclusão de curso discorre sobre as origens e os acontecimentos históricos

da teoria de probabilidade, por meio de estudos sobre aspectos básicos em espaços amostrais

equiprováveis, aplicados em diversas situações cotidianas. Também, apresenta alguns jogos

como, os de loterias (mega sena e quina) no Brasil, o jogo de pôquer (modalidade Texas doll)

e o jogo de bozó (em uma versão simplificada mini-bozó), que são sugeridos como propostas

didáticas no ensino médio visando à construção de aprendizado envolvendo os conceitos de

probabilidade. Neste contexto, este trabalho sugere que esta abordagem temática venha propi-

ciar a motivação e criatividade necessária a um bom entendimento destes conceitos.

Palavras-chave:Espaço amostal, eventos, experimentos aleatórios e jogos.

SUMÁRIO

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Origem da Teoria de Probabilidade e suas aplicações. . . . . .. . . . . . . . . . 9

2 Noções Básicas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

2.1 Experimento Aleatório e Determinístico . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15

2.2 Espaço Amostral e Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16

2.3 Algumas Operações com eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 20

2.4 Probabilidade: Conceitos Básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 22

2.5 Definição frequencista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

2.6 Definição Axiomática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Propriedades da probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 26

2.8 Espaços Amostrais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 27

2.9 Cálculo de probabilidade para eventos quaisquer . . . . . . .. . . . . . . . . 28

2.10 Resultados Igualmente Prováveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29

2.11 Probabilidade Condicional e Independência de eventos .. . . . . . . . . . . . 30

2.12 Teorema da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 33

2.13 Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34

3 O cálculo de probabilidades e o uso de jogos: Uma proposta didática. . . . . . . . 36

3.1 O Jogo do Mini-Bozó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 O jogo de pôquer e o cálculo probabilístico . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40

3.3 Os jogos de Loteria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Mega Sena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2 O jogo da Quina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 O Problema de Monty Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 58

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 59

INTRODUÇÃO

A probabilidade é um ramo da Matemática que estuda as chancesassociadas a eventos

aleatórios. Os estudos voltados para a probabilidade e suasaplicações tiveram início por volta

do século XVII, a partir de interesse de jogadores em planejar estratégias de apostas em jogos

de azar. A curiosidade de um cavalheiro de nome Chavalier de Méré levou-o a discutir com

Blaise Pascal (1623 - 1662), matemático francês, sobre as possibilidades de ganhar em jogos de

cartas. Essa discussão despertou em Pascal interesse e disposição para estudar esses fenômenos.

Então, Pascal escreveu uma carta a seu amigo também matemático francês, Pierre de Fermat

(1601 - 1655), falando sobre o problema de Méré em seus jogos.O assunto era novo, porém,

a partir de então, Fermat começa escrever matematicamente as leis de sorte ou azar com maior

precisão. Fermat não tinha real comprometimento sobre o assunto, somente uma curiosidade

sobre esses fenômenos e respondia as cartas do amigo. Nessa época inicia-se a construção de

cálculos combinatórios de chances em jogos de azar e métodospara melhorar a precisão de

estudos astronômicos a respeito de erros observacionais, porém, somente no século XX que a

teoria de probabilidade surge como um tema em si. Os estudos sobre a teoria de probabilidade

que foram feitos inicialmente com intuito de prever jogos deazar, evoluíram e estão presentes na

Estatística, ciência fundamental em diversas áreas como ciências humanas e da saúde, ecologia

e teoria dos jogos. Atualmente, a Teoria de Probabilidade é forte ferramenta em alguns ramos

da Física e da Matemática.

Em vista disto, nos últimos anos, a maioria dos países introduziu conteúdos de

Probabilidade e Estatística em seus programas de matemática da Educação Básica. No Brasil,

as propostas curriculares adotadas pelo Ministério da Educação sugerem que, desde a Edu-

cação Infantil até o Ensino Médio, os conceitos da área sejamabordados. Em especial, os

PCN+ (BRASIL, 2002 ) ressaltam a importância de que os educandospossam desenvolver ha-

bilidades tais como: descrever e analisar um grande número de dados, realizar inferências e

fazer predições com base numa amostra de população, aplicaras ideias de probabilidade e com-

binatória a fenômenos naturais e do cotidiano e perceber queesses conteúdos são aplicações da

Matemática em questões do mundo real. Para que isto se efetive, a sugestão é que os professores

utilizem a metodologia de resolução de problemas, sendo estes formulados a partir de situações

cotidianas.

De fato, o conceito de probabilidade dentro do contexto escolar, de acordo com as

7

8

Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, devem ajudar o aluno a compreender

melhor as situações vividas no cotidiano, que são de natureza aleatória. Espera-se que, funda-

mentado em tais compreensões, o aluno desenvolva o raciocínio lógico matemático-dedutivo e

se prepare para solucionar situações hipotéticas e generalizadas, a partir de um senso crítico que

o auxilie na tomada de decisões. Espera-se ainda que o professor possa contribuir eficazmente

para que o aluno desenvolva essas habilidades.

Contudo, muitos professores não se sentem preparados para realizar essa tarefa e a

maioria dos profissionais procura apoio no livro didático. Mas, para Rodrigues e Martins (2016,

p. 8) , grande parte dos livros didáticos adotados nas escolas brasileiras não trazem “em seu

conteúdo uma abordagem significativa e coerente para o tema Probabilidade, uma vez que os

mesmos apresentam quase que exclusivamente o tema simplesmente por sua abordagem clás-

sica”. Essa abordagem clássica, que não se aproxima de problemas cotidianos e que privilegia o

uso de fórmulas, segundo os autores, “não propicia ao aluno aconstrução de forma significativa

do conceito de Probabilidade”. Os autores ainda assinalam:

... o fato de que os livros didáticos ainda apresentarem a Probabilidade apenascomo ferramenta para uso em problemas de ordem estatística, ou seja, a proba-bilidade com o simplório propósito de ferramenta para a análise de inferênciasestatísticas, fato este que limita as possibilidades de exploração de um tematão enriquecedor que, dentre várias características importantes, permite que sedesenvolva pelo indivíduo letrado probabilisticamente uma melhor compreen-são de fatos e acontecimentos do nosso cotidiano, o que nos exige uma rápidatomada de decisão, visto que os próprios documentos oficiais já apontarampara estas possibilidades. (RODRIGUES e MARTINS, 2016, p. 9).

Diante de tal situação, surgiu a proposta de realizar estudos que possam subsidiar o

professor do Ensino Médio em seu trabalho docente, no que dizrespeito ao ensino da proba-

bilidade. No cumprimento desse objetivo, esse trabalho traz algumas considerações e notas

históricas sobre o surgimento da teoria de probabilidade, constantes no capítulo 1, seus con-

ceitos e definições no capítulo 2, abordando algumas propostas de ensino da probabilidade por

meio de jogos no capítulo 3.

Espera-se que as situações que ilustram cada um desses capítulos sejam capazes de

estimular a reflexão e a criatividade dos professores, de modo que estes percebam possibilidades

de melhorar sua prática pedagógica no sentido de tornar a aprendizagem da Probabilidade mais

estimulante e participativa.

CAPÍTULO 1

Origem da Teoria de Probabilidade e suas aplicações

Há registros de que a origem da probabilidade se dá por volta de 3000a.C., no Egito.

Nessa época já havia jogos utilizando ossinhos muito semelhante ao jogo de dados atual. Os

Romanos também eram apaixonados por jogos de cartas e jogos dedados que tiveram origem

na Índia e Mesopotâmia, e é uma evolução do jogo de ossos. Mesmo em1200a.C., um pedaço

de osso do calcanhar (astragalus) teria sido utilizado formando faces como as de um dado,

sendo a probabilidade se iniciando como ciência empírica e aparecendo suas raízes nos jogos e

apostas. O jogo de ossos, conhecido como astrágalo, era jogado por várias civilizações, entre

estas polinésios e siberianos. Porém, os ossos não tinham lados iguais ou semelhantes assim

como as de um dado. Por esse motivo historiadores afirmam que,as probabilidades de obter

cada um dos lados em um lançamento não são iguais: usa-se, portanto, aproximações de10%

para dois dos lados e de40% para os outros dois. Este jogo possuía uma jogada cujo “A jogada

de Vênus”, a mais importante, consistia em jogar4 astrágalos e cada um destes cair em um lado

diferente (MOREIRA, 2015).

A Teoria da Probabilidade apareceu como ramo da Matemática em meados do século

XV, porém, no século XVI, o matemático italiano Girolamo Cardanop1501 ´ 1576q, com o

seu hábito de jogar começou a formular as primeiras regras dateoria da probabilidade, estudou

muito e analisou as probabilidades de se ganhar em vários jogos de azar, cujo nome jogos de

azar é assim definido porque o resultado final não depende somente da habilidade do jogador,

mas exclusiva ou predominantemente do acaso.

Cardano fez um estudo dos jogos em que ele mesmo apostava: dados, gamão, cartas,

astrágalos e até xadrez, dividindo esses jogos em dois grupos: estratégicos e regidos pelo puro

acaso, com o propósito de facilitar seus estudos sobre tais jogos. Desenvolveu pesquisas sobre

as probabilidades de retirar azes de um baralho de cartas e deobter a soma7 com a utilização

de dois dados e ainda publicou os resultados dessas pesquisas em um manual para jogadores,

um tratado de32 capítulos chamado “Liber de Ludo Aleae” (O livro dos jogos deazar), um

estudo simplificado, porém de grande valia para o desenvolvimento do cálculo de probabili-

dades. Sendo o primeiro a fazer observações do conceito probabilístico de um dado honesto

e a escrever um argumento teórico para calcular probabilidades, Cardano é considerado inici-

9

10

ador da teoria das probabilidades. Ele afirmou que, ao jogar dados, a chance de se obter um,

três ou cinco era a mesma de se obter dois, quatro ou seis. Ao jogar, Cardano muitas vezes

tinha vantagens sobre seus oponentes, pelo fato de que já havia adquirido uma compreensão da

possibilidade de vencer em diversas situações.

A aptidão para analisar e compreender o funcionamento da aleatoriedade, que Cardano

possuía deu formação a uma nova metodologia e formou a base dadescrição matemática da

incerteza. Seu livro possui erros, pois em alguns pontos Cardano se equivocou, mas, mesmo

assim, sua obra representa um primeiro avanço na tentativa humana de compreender a natureza

de tal pensamento. Como a época em que Cardano escreveu suas considerações era uma época

em que os encantos místicos eram mais importantes e valiososque cálculos matemáticos, por

vezes, ele mesmo se deixava levar por crenças: acreditava que sequências de derrotas ocorriam

porque a sorte estava adversa e que uma das maneiras de mudar esse resultado seria jogar os

dados com bastante força (MORREIRA, 2015).

Segundo vários autores e pesquisadores que discorrem sobreesse assunto, como Bayer

et al (2004); Brasil Escola (2013); (LOPES, J.M. 1997) e outros, o físico e matemático francês

Pascal (1623-1662) juntamente com o também matemático francês Pierre de Fermat (1601-

1655), são responsáveis pelos alicerces da teoria do cálculo de probabilidades e da análise

combinatória, que surgiram através de apostas nos jogos de azar e evoluíram ao decorrer dos

séculos.

Com base nos estudos desenvolvidos por Cardano, os trabalhos de Pascal e Fermat

fizeram um aperfeiçoamento da regra geral de Cardano e na aplicação do cálculo combinatório,

sendo de grande significado para o domínio das probabilidades, as correspondências trocadas

entre eles, no qual ambos, seguindo por caminhos distintos chegaram à mesma resposta, para

os questionamentos feitos pelo célebre cavaleiro Méré um jogador inveterado, a respeito dos

jogos de azar. Blase Pascal previu que a associação entre o rigor geométrico e a incerteza do

azar daria início à probabilidade. Porém, para muitos autores, o cálculo de probabilidades se

fortaleceu com os estudos de Pascal, ao tentar resolver o seguinte problema.

“Suponha que duas pessoas estão participando de um jogo, comlançamento de dados,

em que ambos têm a mesma chance de vencer, e o vencedor é quem atingir primeiro uma

determinada quantidade de pontos. O jogo, porém, é interrompido, por algum motivo externo, e

um dos jogadores está na liderança. Qual é a maneira mais justa de dividir o dinheiro apostado?”

Pascal percebeu que os métodos necessários para resolver o problema eram desconhe-

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cidos e decidiu pedir ajuda a outro matemático com quem pudesse discutir suas ideias. Em

1654, Pascal e Fermat, advogado e um dos maiores matemáticosamadores de todos os tempos,

iniciaram o processo de correspondência onde desenvolveram abordagens próprias, resolvendo

diversas versões do problema. Pascal encontrou uma abordagem sistemática e generalizável

que nos permite calcular a resposta a partir de uma expressãomatemática, o famoso triângulo

de Pascal. O triângulo de Pascal pode ser usado quando quisermos saber o número de maneiras

de selecionar um certo número de objetos de uma coleção. Pascal e Fermat foram os pioneiros

no estudo de problemas não numéricos de probabilidade.

A teoria das probabilidades surgiu então, com o uso dos jogosde azar e também com

intenção de prever o futuro. Os algebristas italianos Paccioli (1445-1514), Tartaglia (1499-

1557), Galileo (1564-1642) e outros também se dedicaram ao estudo da aleatoriedade, limitando-

se a resolver problemas concretos, estritamente numéricos, e através disso vários autores como

Jacob Bernoulli (1654-1705), formado em filosofia e teologia,não por sua vontade própria mas

por vontade de seus pais, posteriormente estudou matemática e astronomia, áreas que realmente

o instigava. Bernoulli acreditava que, para tomarmos decisões racionais, precisaríamos de um

método matemático confiável para determinar probabilidades. Para ele, era insanidade pensar

que poderíamos ter alguma espécie de conhecimento prévio sobre as probabilidades, ou a priori,

se tratando de situações de incerteza. Com isso, pensava que em vez de depender de probabi-

lidades que nos foram dadas, deveríamos discerni-las através da observação. Para Bernoulli,

com o aumento do número de observações, as frequências observadas deveriam ser cada vez

mais precisas. Foi ele quem primeiro pensou em quantificar essa ideia, a indagar quantos testes

seriam necessários e quanta certeza poderia ter, a partir darepetição dos experimentos.

Uma das ocupações preferidas de Bernoulli era trabalhar com urnas contendo diversas

pedrinhas coloridas. Conta à história que certo dia, ele vislumbrou com uma urna contendo3

mil pedrinhas brancas e2 mil pedrinhas pretas. Isso o traria uma razão de60% de brancas con-

tra 40% de pretas, e então Bernoulli questionou: ao retirar uma sériede pedrinhas dessa urna,

com reposição, com que precisão devemos esperar que a proporção de pedrinhas brancas reti-

radas se aproxime de60%? E foi através desses experimentos que Bernoulli escreveu a Lei dos

Grandes Números, também conhecida como Teorema de Bernoulliou Teorema Áureo. O Teo-

rema de Bernoulli trata de como os resultados refletem as probabilidades, quando estes podem

ser obtidos de um grande número de observações, sob as mesmascondições. Ele afirma que é

sempre possível tirar um número suficiente de pedrinhas a ponto de termos quase certeza de que

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a porcentagem de brancas retiradas será próxima de60%, por mais exigente que sejamos em

nossa definição de próximo. E ainda, Jacob Bernoulli, com as orientações de Leibniz, escreveu

“ars conjectandi” ou A Arte da Conjectura que só foi publicadoapós seu falecimento, teve

enorme significado para as probabilidades, nela havia, a prova da Lei dos Grandes Números,

resultado que estabelece uma relação entre os conceitos de probabilidade e frequência relativa,

além de conter também demonstrações detalhadas do primeiroteorema da teoria das probabili-

dades, e ainda considerações sobre esperança matemática e probabilidades a priori e a posteriori.

Bernoulli foi um importante contribuinte para que a probabilidade se tornasse uma ciência.

Pierre Simon Laplace (1749-1827), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e Lenis Poisson

(1781-1840) também contribuíram para a origem dessa ciência. O cálculo de probabilidades

foi introduzido definitivamente no mundo matemático por Laplace, físico e matemático francês

que publicou Teoria Analítica das Probabilidades, obra queconsta dos estudos de Cardano

em probabilidade, chamados por ele de princípios. Foi Laplace ( quem deu início ao período

clássico da teoria probabilística, seguido por matemáticos como Poisson, Gauss e Poincaré.

Os fundamentos do cálculo de probabilidades foram colocados por Laplace na forma clássica,

como é conhecida atualmente e manteve-se inalterada até o início do século XX.

O desenvolvimento da Probabilidade obteve grande impulso em 1657, com a publi-

cação do primeiro tratado formal sobre probabilidades escrito pelo físico, geômetra e astrônomo

holandês Christian Hygens (1629-1645), que escreveu o primeiro livro sobre o cálculo das

probabilidades. Depois Leibniz (1646-1716), publicou duas obras “Arte Combinatória” e outra

sobre cálculo da probabilidade nas questões financeiras.

Os estudos sobre a teoria de probabilidade que foram feitos inicialmente com intuito

de prever jogos de azar, evoluíram e atualmente, estão presentes em diversas áreas do conheci-

mento como ciência fundamental, entre elas: estatística, economia, engenharia, física, química,

sociologia, psicologia, biologia, entre outros ramos científicos.

Em estatística, a probabilidade é usada para analisar amostras populacionais. Por meio

de cálculos probabilísticos podemos analisar hipóteses sobre as características da população,

a partir da análise da amostra representativa dessa população. A probabilidade é aplicada nos

censos, nos seguros, nas pesquisas eleitorais, entre outros. Já na medicina e na biologia, os

estudos de probabilidades estão ligados à genética, e são usados na análise da reprodução hu-

mana. O material genético de uma criança, por exemplo, é a combinação aleatória do material

genético de seus pais e, a partir disso pode se saber o sexo do bebê durante a gravidez, a cor dos

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olhos, tipo de cabelo e muitas outras características físicas.

No cotidiano, a probabilidade pode ser aplicada em diversassituações, como por

exemplo, uma empresa de aviação pode utilizar a probabilidade para calcular a possibilidade de

atrasos em seus vôos. Uma companhia de aviação deseja saber otempo médio que seus pas-

sageiros gastam ao desembarcarem no aeroporto, na área de finanças e marketing a

probabilidade é utilizada como importante ferramenta no desenvolvimento de um conjunto de

técnicas matemáticas usadas para quantificar fenômenos econômicos, na avaliação de riscos e

no comércio nos mercado de matérias-primas.

Diariamente usamos o cálculo de probabilidade de uma forma intuitiva. Quando acor-

darmos e olhamos para o tempo, ouvimos e consultamos a internet sobre a possibilidade de

chover e a partir de então decidimos o que fazer: se levamos ounão o guarda-chuva, se colo-

camos ou não uma capa. Calculamos as chances de passarmos em umconcurso de acordo com

o nosso desempenho em se preparar para este. Temos uma noção da hora em que devemos

sair de casa para o trabalho, escola ou lazer num dia em que a probabilidade do trânsito estar

congestionado é grande. As pessoas até calculam as chances de o time de futebol ser campeão.

Em busca de diversão e dinheiro, muitos apostam em loterias,compram os mais diversos jogos

oferecidos pelas Casas Lotéricas.

A teoria da probabilidade também pode se constituir em um poderoso instrumento so-

cial, no ensino médio. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (2002),

o ensino de probabilidade auxilia na compreensão dos acontecimentos do cotidiano, buscando

sempre destacar o acaso e a incerteza que se manifestam intuitivamente. Portanto cabe ao pro-

fessor propor situações em que seus alunos possam realizar experimentos e fazer observações

dos eventos, que são de natureza aleatória, permitindo a identificação de resultados possíveis

desses acontecimentos.

Segundo CARMO (2005), os livros didáticos propostos para o ensino médio que abor-

dam este conteúdo, focam mais em questões voltadas para os jogos de azar, porém poucos

destes livros fazem ligação entre a teoria de probabilidadee os jogos existentes no livro e,

poucos falam do valor histórico deste estudo, uma vez que esta teoria surgiu a partir destes jo-

gos. Estes, trabalham muito com exercícios que praticamente só exige que o aluno decore uma

fórmula e aplique. E ainda destaca que:

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A ideia que em geral se tem é que para estudar matemática não se precisaescrever e muito menos ler. Porém se estudarmos um pouco a história damatemática, observaremos que muitos dos bons matemáticos eram tambémfilósofos, e que tem boa intimidade com a leitura e a escrita. Assim, propomosa inclusão de questões discursivas, ou seja, questões que permitam queo estu-dante de matemática tenha mais intimidade com a escrita, e por consequênciacom a leitura. Não achamos interessante retirar as questões tradicionais abor-dadas pela maioria dos livros do ensino médio, mas acrescentar, uma vez queestas questões têm o seu valor, tanto histórico quanto atual e são questõesmuitoboas para desenvolver o raciocínio lógico matemático, (CARMO, 2005).

De modo geral, os livros disponibilizados pelas escolas aosprofessores de matemática,

segundo o mesmo autor, abordam esse conceito de forma muito limitada e restrita do con-

teúdo fazendo poucas ou nenhuma ligação com a realidade dos estudantes. Os livros possuem

uma gama de exercícios úteis para o aprendizado do conteúdo em estudo. Porém, falta uma

ligação mais direta com o dia-a-dia do aluno. Além disso, os exercícios que os livros trazem

são bem elaborados e envolvem muitos tópicos que eles nem sequer comentam. O ensino e

a aprendizagem de Probabilidade devem ser desenvolvidos demodo mais contextualizado e

interativo, composto de investigações e resoluções de problemas que permitem que o conheci-

mento matemático e probabilístico possibilite ao estudante adquirir habilidades para compreen-

der e lidar adequadamente com os comportamentos aleatóriosconstantes em sua realidade.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil (2002), os jogos constituem

uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de

modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de

soluções. Além disso, propicia a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e

imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude

positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigi-

das de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas. De acordo com essas

ideias, este trabalho traz algumas aplicações a partir do uso de jogos que serão devidamente

expostas posteriormente.

CAPÍTULO 2

Noções Básicas de Probabilidade

Nesse capítulo estudaremos alguns conceitos fundamentaisde probabilidade e ilus-

traremos vários exemplos para melhor compreensão desses conceitos.

2.1. Experimento Aleatório e Determinístico

Um experimento é dito determinístico quando repetido em condições semelhantes con-

duz a resultados essencialmente idênticos. Por exemplo, seligarmos uma bateria em um cir-

cuito simples, o modelo matemático que descreveria o fluxo decorrente elétrica observável

seriaI “E

R, ou seja, a Lei de Ohm. O modelo determina o valor deI quando os valores de

E eR são fornecidos. Se o experimento mencionado for repetido umcerto número de vezes,

toda vez utilizando o mesmo circuito, poderemos esperar observar o mesmo valor paraI. A lei

de Ohm pode ser uma aproximação adequada. No entanto, se as variações forem grandes em

relação ao uso pretendido do dispositivo em estudo, talvez seja necessário modificar o modelo

para incluir a variação.

Um experimento que repetido sob as mesmas condições produzem resultados geral-

mente diferentes são ditos experimentos não-determinísticos ou aleatórios. Fenônemos aleatórios

ocorrem constantemente no nosso dia a dia.

Exemplo 1. O lançamento de uma moeda é um experimento aleatório, uma vezque, em cada

lançamento, mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual das duas faces (cara ou

coroa) cairá para cima. Por outro lado, se colocarmos uma panela com água para ferver e

anotarmos a temperatura de ebulição da água, o resultado será sempre 100oC. Logo, este é um

experimento determinístico.

Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios:

E1: Jogua-se um dado e observa-se o número mostrado na face de cima.

E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras obtido.

E3: joga-se um dado até se obter um seis e conta-se o número de lançamentos.

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E4: Em uma linha de produção, fabrica-se peças em série e conta-se o número de peças de-

feituosas produzidas em um período de 24 horas.

E5: Compra-se uma lâmpada e verifica se ela queima ou não antes de 100h de uso.

E6: Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é testada quanto à duração da vida, pela colocação

em um soquete e anotação do tempo decorrido (em horas) até queimar.

E7: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem

reposição da peça retirada) até que a última peça defeituosaseja encontrada. O número

total de peças retiradas do lote é contada.

E8: A resistência à tração de uma barra metálica é medida.

Os experimentos aleatórios apresentam as seguintes características:

a) cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sobcondições essencialmente

inalteradas.

b) apesar de não ser possível afirmar que resultado particular ocorrerá, podemos descrever o

conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.

c) quando o experimento for realizado repetidamente, os resultados individuais parecerão

ocorrer de forma acidental. No entanto, quando o experimento for repetido um grande

número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade

que torna possível construir um modelo matemático preciso,com o qual se analisará o

experimento.

2.2. Espaço Amostral e Eventos

Conheceremos agora o conceito de probabilidade de um evento ecomo as probabil-

idades podem ser calculadas em certas situações. Sabemos que probabilidade é o ramo da

matemática que estuda resultados incertos. Nesse sentido,pensamos em um experimento cujo

resultado não se pode prever com certeza. Entretanto, embora o resultado do experimento não

seja conhecido com antecedência, sabemos qual o conjunto detodos os resultados possíveis.

Esse conjunto é chamado de espaço amostral do experimento e será representado porΩ.

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Para modelar e analisar experimentos aleatórios, devemos conhecer o conjunto de pos-

síveis resultados do experimento. Nesta introdução à probabilidade, faremos uso dos conceitos

básicos de conjuntos e operações com conjuntos.

Definição 1. O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é de-

nominado Espaço Amostral. Geralmente, o espaço amostral é representado porΩ.

Quando o espaço amostral de um experimento é finito ou infinitoenumerável1 o cha-

mamos de espaço amostral discreto e, quandoΩ é não-enumerável2 , chamamos de espaço

amostral contínuo. Nesse trabalho, traremos varios exemplos de espaço amostral, porém esta-

mos mais focados nos casos em queΩ é discreto e finito.

Exemplo 2. Considere um experimento no qual selecionamos uma peça de plástico moldado,

como por exemplo, um conector, e medimos sua espessura. Os possíveis valores de espessura

dependem da precisão do instrumento de medição, e também doslimites superiores e inferiores

da espessura. No entanto, pode ser conveniente definir o espaço amostral como simplesmente

a reta real positiva:

Ω “ tx P R; x ą 0u

pois a espessura não pode assumir valor negativo.

Se soubermos que todos os conectores terão entre10 e 11 milímetros de espessura, o

espaço amostral poderia ser:

Ω2 “ tx P R; 10 ă x ă 11u

Se o objetivo da análise é considerar apenas se uma determinada parte da peça é

baixa, média ou alta para espessura, o espaço amostral pode ser considerado o seguinte con-

junto de três resultados:

Ω3 “ t baixa,média,altau

Se o objetivo da análise é considerar apenas se uma determinada parte da peça está

ou não conforme as especificações de fabricação, o espaço amostral pode ser simplificado para

o conjunto de dois resultados:

Ω4 “ t sim, nãou

1um conjunto é enumerável se possui finito ou infinitos termos,porém somos capazes de nomear, “contar” cadaum deles.

2um conjunto é não-enumerável se possui uma infinidade tão imensa de termos que não somos capazes de“registrar” todos eles. Um exemplo de conjunto não enumerável é o conjunto dos números reais.

18

que indicam se a peça está ou não conforme as especificações defabricação.

No exemplo acima,Ω1 eΩ2 são espaços amostrais contínuos, enquanto queΩ3 eΩ4

são espaços amostrais discretos.

A melhor escolha de um espaço amostral depende dos objetivosdo estudo. À medida

que as questões específicas ocorrem, discutem-se quais são os espaços amostrais apropriados.

Exemplo 3. Se dois conectores forem selecionados e medidos suas espessuras, então o espaço

amostral será:

Ω1 “ tpx, yq P R2; x ą 0 ey ą 0u

Se o objetivo da análise é considerar apenas se as peças estãoou não conforme com as especifi-

cações de fabricação, qualquer parte pode ou não estar em conformidade. Vamos abreviar sim

e não, respectivamente comoS eN . O par ordenadopS,Nq indicará que o primeiro conector

está em conformidade e o segundo não. O espaço amostral será representado pelos quatro

resultados seguintes:

Ω2 “ tpS, Sq, pS,Nq, pN,Sq, pN,Nqu

Supondo que estamos apenas interessados no número de peças conformes com as es-

pecificações de fabricação, podemos escrever o espaço amostral como:

Ω2 “ t0, 1, 2u

Exemplo 4. Como outro exemplo, considere uma experiência na qual a espessura é medida

até que um conector não atenda às especificações de fabricação. O espaço amostral pode ser

representado da seguinte forma:

Ω “ tN,SN, SSN, SSSN, . . .u

Exemplo 5. Se o resultado de um experimento se refere a percepção do sexode um bebê no

ventre da mãe, então,

Ω “ tf,mu

onde o resultadof significa que o bebê é menina e o resultadom significa que o bebê é menino.

19

Exemplo 6. O lançamento de duas moedas é um experimento aleatório. Não podemos prever

qual face caíra para cima, porém, sabemos todos os resultados possíveis neste caso:

Ω “ tpc, cq; pc, kq; pk, cq; pk, kqu

onde o resultadoc significa cara e o resultadok significa coroa.

Experimentos aleatórios como esses com seus respectivos espaços amostrais podem

variar em sua complexidade matemática dependendo do experimento.

Definição 2. Os subconjuntos deΩ serão chamados de eventos. Os elementos deΩ são os

chamados eventos elementares.

Sendo assim, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral, em outras palavras

eventos são conjuntos formados por possíveis resultados doexperimento. ConsidereA como

sendo um subconjunto deΩ. Se o resultado do experimento está contido emA então dizemos

queA ocorreu. No exemplo, anterior consideremos queA “ tpc, cqu. EntãoA é o evento

em que as duas moedas caíram com a face cara virada para cima. Nesse mesmo exemplo, o

espaço amostral é constituído por:Ω “ tpc, cq; pc, kq; pk, cq; pk, kqu. Logo, os possíveis eventos

aleatórios são:

tHu; tpc, cqu; tpc, kqu; tpk, cqu; tpk, kqu; tpc, cq, pc, kqu; tpc, cq, pk, cqu;

tpc, cq, pk, kqu; tpc, kq, pk, cqu; tpc, kq, pk, kqu; tpk, cq, pk, kqu; tpc, cq, pc, kq, pk, cqu;

tpc, cq, pc, kq, pk, kqu; tpc, cq, pk, cq, pk, kqu; tpc, kq, pk, cq, pk, kqu

tpc, cq, pc, kq, pk, cq, pk, kqu

Os eventos agrupados como conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos

de cada evento são representados por letras minúsculas.

Exemplo 7. Lança - se um dado e observa -se a face que ficará voltada para cima. Um espaço

amostral é:Ω “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u

O número de eventos possíveis é26 “ 64. Entre eles está oH, que não ocorre nunca e o próprio

Ω que ocorre sempre. Outros eventos podem serA “ t1, 3, 5u, que ocorre se, somente se, o

resultado do lançamento for um número ímpar eB “ t2, 3, 5u se o resultado do lançamento

for um número primo. Os eventos elementares desse experimento sãot1u, t2u, t3u, t4u, t5u e

t6u.

20

Exemplo 8. Considere um experimento que consiste na retirada individual de3 bolas coloridas

de uma determinada caixa, nas seguintes cores: vermelho, vinho e branco. Vamos representar

as bolas de acordo com suas cores sendove a bola vermelha,vi a bola vinho eb a bola branca.

O espaço amostral para este experimento pode serΩ “ tve, vi, bu, porém, para este mesmo ex-

perimento o espaço amostralΩ pode ser formado porΩ “ tve, viu, se estivermos interessados

somente nas bolas de cores com iniciaisv. Mas se estivermos interessados no número de bolas

de cores com inicialv, entãoΩ “ t0, 1, 2u.

Percebemos então que um mesmo fenômeno aleatório, pode associar vários espaços

amostrais. A escolha de qual é mais adequado depende do interesse do estudo. Muitas vezes é

possível trabalhar com mais de um espaço amostral.

2.3. Algumas Operações com eventos

Também podemos estar interessados em descrever novos eventos a partir de combi-

nações de eventos existentes. Como os eventos são subconjuntos, podemos usar operações de

conjunto básicas, como uniões, interseções e complementospara formar outros eventos de in-

teresse. Algumas das operações básicas de conjuntos são listadas abaixo em termos de eventos.

SejamA e B eventos definidos em um mesmo espaço amostralΩ. Vejamos agora a

notação utilizada para as operações básicas entre eventos ecomo são representadas.

1♥A união de dois eventos é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos

em qualquer um dos dois eventos e denotamos porA Y B. Esse evento ocorre quando,

ocorreA ou ocorreB. Isso significa que pode ocorrer somenteA, ou somenteB ouA eB

simultaneamente. Algebricamente, sendoω um elemento deΩ, dizemos queω P A Y B,

se, somente se,ω P A ouω P B. Logo, podemos escrever

A Y B “ tω P Ω; x P A ouω P Bu.

2♥A intersecção de dois eventos é o evento que consiste em todosos resultados que estão

contidos em ambos os eventos e denotamos porA X B. Esse evento ocorre se, somente

se, ocorrerA eB ao mesmo tempo, isto é, ambos os eventos devem ocorrer juntos. Se

x P A X B, entãoω P A eω P B e daí:

A X B “ tω P Ω;ω P A eω P Bu.

21

3♥O complemento de um evento é o conjunto de resultados do espaço amostral que não está

no evento e será denotado porAc ouA, esse evento ocorre se, e somente se, o eventoA

não ocorre. Se para qualquerω P Ω, tivermosω P A então,ω não está emA e escrevemos:

A “ tω P Ω;ω R Au.

4♥ConsidereA1, A2, A3, ..., An uma a coleção finita de eventos. Segue então, que a união

desses eventosn

ď

j“1

Aj ocorre se pelo menos um dos eventosAj ocorrer.

5♥ConsidereA1, A2, A3, ..., An uma coleção finita de eventos. Entãon

č

j“1

Aj será o evento

que ocorrerá se, e somente se, todos os eventosAj ocorrerem.

6♥ConsidereA1, A2, A3, ... uma coleção infinita (enumerável) de eventos. Então a união

desses eventos8ď

j“1

Ajocorre, se , e somente se, pelo menos um dos eventosAj ocorrer.

7♥ConsidereA1, A2, A3, ... uma coleção infinita (enumerável) de eventos. Então8č

j“1

Aj será

o evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventosAj ocorrerem.

Exemplo 9. Considere o espaço amostralΩ2 “ tpS, Sq, pS,Nq, pN,Sq, pN,Nqu do Exemplo

3. Suponha que o conjunto de todos os resultados para os quaispelo menos uma parte esteja

em conformidade com as especificações de fabricação seja indicado porA1. Então:

A1 “ tpS, Sq, pS,Nq, pN,Squ

O evento em que ambas as partes não estão em conformidade, representado porA2,

contém apenas um único resultado:

A2 “ tpN,Nqu

Outros eventos são:A3 “ H, o evento nulo, eA4 “ Ω, o próprio espaço amostral. SeA5 “ tpS,Nq, pN,Sq, pN,Nqu, então:

A1 Y A5 “ Ω, A1 X A5 “ tpS,Nq, pN,Squ

Definição 3. Dizemos que dois eventosA eB são mutuamente exclusivos ou disjuntos, se eles

não puderem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, quando ocorrer um deles, não há possibilidade

de ocorrer o outro. Isto significa que os eventosA e B não possuem elementos em comum e

escrevemosA X B “ H.

22

Exemplo 10. Retiram -se4 cartas de um baralho comum. Os eventosA = Todas as cartas

tem o mesmo naipe eB = 4 cartas com mesmo valor numérico são mutuamente exclusivos,

pois não há no baralho comum4 cartas com mesmo valor numérico e mesmo naipe.

Exemplo 11. Estudando o comportamento animal, um cachorro pode ser observado estando

dormindo e latindo. Os eventosdormindoe latindo são mutuamente exclusivos.

Exemplo 12. Os eventosA “ tx P Z; x ą 5u e B “ tx P Z; x ă 8u não são mutuamente

exclusivos, poisx pode assumir outros valores entre5 e8. Por exemplo,6 P A e6 P B.

2.4. Probabilidade: Conceitos Básicos

Quando realizamos experimentos aleatórios não sabemos qual resultado irá ocorrer.

Essa é uma das características fundamentais do conceito de experimentos aleatórios. Nesse

sentido, associamos um número ao eventoA, que medirá de alguma forma quão provável é que

o eventoA venha ocorrer. Esse número que associamos ao evento é chamado de probabilidade

do evento, e esclarecerá melhor a capacidade do evento ocorrer.

Definição 4. Considere que certo experimento seja repetidon vezes e sejaA um evento asso-

ciado a ele. SejanA o número de vezes que o eventoA ocorre nasn repetições. Denominamos

frequência relativa do eventoA nasn repetições do experimento como sendo o número:

fA “nA

n

A frequência relativa do eventoA, apresenta as seguintes propriedades:

1♥0 ď fA ď 1.

Demonstração.SendonA o número de vezes que ocorre o eventoA e n o número de

vezes que o experimento foi realizado, segue que:

0 ď nA ď n

Dividindo todos os membros da desigualdade porn, obtemos:

0 ďnA

nď 1

23

Sabemos quenA

n“ fA. Logo,

0 ď fA ď 1.

2♥fA “ 1 se, somente se,A ocorrer em todas asn repetições.

Demonstração.Observe que:

fA “ 1 ônA

n“ 1 ô nA “ n

Em outras palavras,nA “ n, significa queA ocorreu em todas asn repetições do experi-

mento.

3♥fA “ 0 se, somente se,A nunca ocorrer nasn repetições.

Demonstração.Veja que:

fA “ 0 ônA

n“ 0 ô nA “ 0

Em outras palavras,nA “ 0, significa queA não ocorreu nasn repetições do experimento.

4♥SeA e B forem eventos mutuamente exclusivos e, sefAYB for a frequência relativa

associada ao eventoA Y B, entãofAYB “ fA ` fB.

Demonstração.ComoA eB são mutuamente exclusivos entãoA X B “ H, segue que,

nAXB “ 0. Sabemos queA Y B “ A ` B ´ A X B desse modo temos que:

fAYB “nAYB

n“

nA ` nB ´ nAXB

n“

nA ` nB

n“

nA

n`

nB

n“ fA ` fB

2.5. Definição frequencista

Na prática nem sempre é possível determinar a probabilidadede um evento de forma

simples. Considere os seguintes exemplos:

• Qual a probabilidade de um avião cair na cidade de Barra do Garças?

24

• Qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio?

• Qual a probabilidade de um pneu furar nos primeiros1000 km rodados?

Nesses casos, o que se pode fazer é observar com qual frequência esses fatos ocorrem,

com um número suficientemente grande de observações, obtermos uma estimativa dessas prob-

abilidades. Nosso objetivo é associar um número a cada evento A de um espaço amostralΩ,

o qual nos indicará quão provável será a ocorrência deA quando o experimento for realizado.

Uma maneira seria repetir o experimento um grande número de vezes, calcular a frequência

relativafA e utilizar esse número. De acordo com a definição frenquencista, a probabilidade de

um eventoA é definida como sendo o limite defA quando “n” tende ao infinito, ou seja:

P pAq “ limnÑ`8

fA “ limnÑ`8

nA

n

Frequência relativa e probabilidade não são sinônimos. Na prática, não é possível

realizar um número infinito de vezes o experimento aleatório. Portanto, deve ser estimado

usando um número suficientemente grande de realizações do experimento.

2.6. Definição Axiomática

A definição de frequência tem apelo da intuição e são usadas para resolver inúmeros

problemas. No entanto, elas não servem para formular uma definição matemática de probabili-

dade mais rigorosa.

Por volta de1930, o matemático russo Andrei Nikolayevich Kolmogorov estabeleceu

as condições que uma probabilidade deve satisfazer baseadas nas propriedades da frequência

relativa.

Os axiomas garantem que as probabilidades atribuídas em um experimento por meio

de frequências relativas são consistentes com a nossa compreensão intuitiva. Por exemplo, se

A Ă B, é intuitivo aferir que a chance deA ocorrer é menor ou igual à chance deB ocorrer.

Os axiomas não determinam probabilidade. As probabilidades são atribuídas com base

nos conhecimentos do sistema em estudo. No entanto, os axiomas nos permitem determinar pro-

priedades para calcular facilmente as probabilidades de alguns eventos a partir do conhecimento

das probabilidades de outros eventos.

25

Definição 5. SejaΩ um espaço amostral associado a um experimento aleatório. Para cada

eventoA associaremos um número real denotado porP pAq e denominado probabilidade deA,

que satisfaça às seguintes condições:

(1) 0 ď P pAq ď 1, para todo eventoA Ă Ω.

(2) P pΩq “ 1.

(3) SeA eB são eventos mutuamente exclusivos entãoP pA Y Bq “ P pAq ` P pBq.

Observação: Usando o princípio de indução, do axioma (3), decorre que, seA1, A2, . . . , An

forem eventos mutuamente exclusivos dois a dois (ou seja,Ai X Aj “ H, @ i ‰ j), então para

qualquern, temos:

P

˜

nď

j“1

Aj

¸

“n

ÿ

j“1

P pAjq

O axioma (1) é equivalente à exigência de que uma frequência relativa deve estar entre

0 e1.

O axioma (2) é uma consequência do fato de que um resultado do espaço amostral ocorre em

cada realização do experimento. Consequentemente, a frequência relativa deΩ é1.

O axioma (3) é uma extensão da propriedade (4) de frequência relativa.

Do ponto de vista matemático, a definição axiomática de probabilidade não apresenta

nenhum problema, mas quando desejamos aplicar tal teoria namodelagem de fenênomos do

cotidiano, nos deparamos com o problema de qual valor atribuir para a probabilidade de um

evento de modo que esse modelo reflita o fenônemo modelado.

Exemplo 13. Quando lançamos uma moeda e observamos a face que cai voltadapara cima, o

espaço amostral éΩ “ tcara, coroau e há 4 eventos possíveis:H, A “ tcarau, B “ tcoroau e

Ω. Uma probabilidade que pode ser definida é:

P1pHq “ 0, P1pAq “ 0, 5, P1pBq “ 0, 5 eP1pΩq “ 1

Uma outra probabilidade possível seria:

P2pHq “ 0, P2pAq “ 0, 3, P2pBq “ 0, 7 eP2pΩq “ 1

Observe queP1 constitui um modelo adequado quando acreditamos que o resultado cara sejatão provável quanto o resultado coroa. Já,P2 seria mais adequado se tivéssemos lançado a

moeda um número grande de vezes e obtido o resultado cara em 30% dos lançamentos.

26

2.7. Propriedades da probabilidade

Por enquanto não sabemos como calcular a probabilidade de umeventoP pAq. Antes

disso, veremos algumas propriedades que serão úteis em diversos problemas e que decorrem

das condições acima e não dependem da maneira pela qual se calculaP pAq.

A partir dos axiomas da probabilidade, temos os seguintes resultados:

(1) P pAcq “ 1 ´ P pAq.

(2) P pHq “ 0.

(3) P pA X Bcq “ P pAq ´ P pA X Bq

(4) SeA Ă B, entãoP pAq “ P pBq ´ P pB X Acq.

(5) SeA Ă B, entãoP pAq ď P pBq.

(6) P pA Y Bq “ P pAq ` P pBq ´ P pA X Bq.

Demonstração:

(1) ComoA Y Ac “ Ω eAc X A “ H, @A Ă Ω, então:

P pA Y Acq “ P pΩq ñ P pAq ` P pAcq “ 1 ñ P pAcq “ 1 ´ P pAq

(2) ComoH Y Ω “ Ω e H X Ω “ H, então:

P pH Y Ωq “ P pΩq ñ P pHq ` P pΩq “ P pΩq ñ P pHq “ 0

(3) ComopA X Bcq Y pA X Bq “ A, ondepA X Bcq X pA X Bq “ H, então:

P rpA X Bcq Y pA X Bqs “ P pAq ñ P pA X Bcq ` P pA X Bq “ P pAq ñ

P pA X Bcq “ P pAq ´ P pA X Bq

(4) ComoA Ă B, entãoA Y pB X Acq “ B eA X pB X Acq “ H. Assim,

P rAYpBXAcqs “ P pBq ñ P pAq`P pBXAcq “ P pBq ñ P pBXAcq “ P pBq´P pAq

27

(5) ComoA Ă B, pelo item anterior temosP pAq `P pB XAcq “ P pBq. Além disso, temos

queP pB X Acq ě 0. Assim,

P pBXAcq ě 0 ñ P pAq`P pBXAcq ě P pAq ñ P pBq ě P pAq ñ P pAq ď P pBq

(6) ComoA Y B “ pA X Bcq Y pA X Bq Y pB X Acq, então:

P pA Y Bq “ P pA X Bcq ` P pA X Bq ` P pB X Acq (2.1)

Pelo item (3), temos que:

P pA X Bcq “ P pAq ´ P pA X Bq e P pB X Acq “ P pBq ´ P pA X Bq (2.2)

De (2.1) e (2.2) segue queP pA Y Bq “ P pAq ` P pBq ´ P pA X Bq.

2.8. Espaços Amostrais Finitos

Vamos considerar agora apenas experimentos para os quais o espaço amostralΩ seja

formado por um número finito de elementos, ou seja, admitiremos queΩ possa ser escrito na

forma:

Ω “ tω1, ω2, . . . , ωnu

A fim de determinar o valor deP pAq para este modelo, vamos considerar inicialmente

o evento formado por um resultado simplesA “ tωju. A cada evento simplestωju associare-

mos um númeropj , denominado probabilidade detωju, ou seja,pj “ P ptωjuq. Observemos

que:

Ω “ tω1, ω2, . . . , ωnu “ tω1u Y tω2u Y . . . Y tωnu

onde,tωiu X tωju “ H para todoi ‰ j. Assim,

P pΩq “ P ptω1u Y tω2u Y . . . Y tωnuq ñ 1 “ P ptω1uq ` P ptω2uq ` . . . ` P ptωnuq ñ

p1 ` p2 ` . . . ` pn “ 1

Portanto as probabilidadesp1, p2, . . . , pn, são números reais que devem satisfazer as seguintes

condições:

28

• pj ě 0, j “ 1, 2, ..., n

• p1 ` p2 ` . . . ` pn “ 1

Exemplo 14.Considere o lançamento de um dado. Nesse caso, temos queΩ “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u.

Uma função de probabilidade para os eventos elementares pode ser a seguinte:

ωj 1 2 3 4 5 6

pptωjuq1

6

1

10

1

3

1

4

1

12

1

15

Note que, as duas condições acima são satisfatórias, uma vez que:

•

6ÿ

j“1

pptωjuq “1

6`

1

10`

1

3`

1

4`

1

12`

1

15“ 1

• 0 ď pptωjuq ď 1, @j “ 1, 2, . . . , 6

Do ponto de vista prático, esta função não seria apropriada,pois não temos nenhum

argumento satisfatório para associarmos probabilidade diferentes para os possíveis resultados

do experimento.

Para a obtenção dessa função poderíamos tomar duas atitudes:

1♥Repetir o experimento um número sufucientemente grande de vezes e usarpptωjuq « fj,

ondefj é a frequência relativa da facej.

2♥Considerar o argumento de que nenhuma face é melhor que a outrae daí associar valor

igual para cada um dos resultados. Como o dado é simétrico, isso seria razoável se

soubéssemos de antemão que o dado foi modelado com um mesmo material de forma

homogênea.

2.9. Cálculo de probabilidade para eventos quaisquer

Suponhamos agora, que um eventoA seja constituído pork resultados,1 ď k ď n, a

saber

A “ tωi1u, tωi2u, . . . , tωiku,

ondei1, i2, ..., ik representa qualquer um dosk índices, de1 atén. Consequentemente, como

já visto, seA e B são eventos mutuamente exclusivos entãoP pA Y Bq “ P pAq ` P pBq,

concluímos que:

P pAq “ pi1 ` pi2 ` . . . ` pik (2.3)

29

Resumindo:A atribuição de probabilidadepj a cada evento elementartaju, sujeito às condições

citadas anteriormente, determina unicamenteP pAq para cada eventoA Ă Ω, ondeP pAq é dado

pela Equação (2.3).

Exemplo 15. Suponhamos que somente três resultados sejam possíveis em um experimento,

a saber,a1, a2 e a3. Além disso, suponha quea1 seja duas vezes mais provável de ocorrer

quea2, o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer quea3. Vamos determinar

p1 “ P pta1uq, p2 “ P pta2uq ep3 “ P pta3uq.

Temos quep1 “ 2p2 ep2 “ 2p3. Daí,p2 “p1

2ep3 “

1

4. Comop1 ` p2 ` p3 “ 1, então:

p1 `p1

2`

p1

4“ 1 ñ 4p1 ` 2p1 ` p1 “ 4 ñ p1 “

4

7

Portanto,p1 “4

7, p2 “

2

7ep3 “

1

7.

2.10. Resultados Igualmente Prováveis

Em muitos experimentos, é natural supor que todos os resultados para espaços amostrais

finitos sejam igualmente prováveis, ou seja, tem a mesma chance de ocorrer. Mas essa hipótese

não pode ser tomada como segura. Ela deve ser cuidadosamentejustificada. Há vários experi-

mentos para os quais tal hipótese é verdadeira, mas existem outras situações experimentais nas

quais seria absolutamente errado aceitar tal suposição. Por exemplo, não seria real supor que

seja igualmente provável ocorrerem chamadas telefônicas em um centro entre1 e 2 horas da

madrugada e entre17 e18 horas da tarde.

Se todos osn resultados forem igualmente prováveis, segue-se que cada probabilidade

será igual a uma constantep, ou seja,pj “ p paraj “ 1, 2, ..., n. Consequentemente, a condição

p1 ` p2 ` . . . ` pn “ 1 torna-senp “ 1, isto, ép “1

n. Assim, para qualquer eventoA formado

pork resultados, teremos

P pAq “ pi1 ` pi2 ` . . . ` pik “1

p`

1

p`

1

p` . . . `

1

p“

k

n

Este método de avaliarP pAq é frequentemente enunciado da seguinte maneira:

P pAq “número de resultados favoráveis aA

número total de resultados possíveis“

npAq

npΩq

30

É muito importante compreender que a expressão deP pAq acima é apenas uma con-

sequência da suposição de que todos os resultados sejam igualmente prováveis, e ela só pode

ser aplicada quando essa suposição for atendida. Ela certamente não serve como uma definição

geral de probabilidade.

Exemplo 16. Três moedas são jogadas simultaneamente. Calcularemos a probabilidade de

obter duas caras e a probabilidade de obter pelo menos duas caras.

Vamos indicar comC, cara e comK coroa. Então, o espaço amostral é:

Ω “ tCCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC,KKKu

O número de resultado possíveis énpΩq “ 8.

• SeA “ t obter duas carasu “ tCCK,CKC,KCCu, entãonpAq “ 3 e, portanto,

P pAq “npAq

npΩq“

3

8

• Se B “ t obter pelo menos duas carasu “ tCCK,CKC,KCC,CCCu, então

npBq “ 4 e, portanto,

P pBq “npBq

npΩq“

4

8“

1

2

2.11. Probabilidade Condicional e Independência de eventos

Existem algumas situações em que estamos interessados em descobrir a probabilidade

de ocorrer algum evento posteriormente à ocorrência de um outro evento. Em outras palavras,

existem alguns eventos em que a probabilidade que ele ocorradepende da probabilidade de

ocorrência de outro evento. Essas situações nos permitem estudar as possibilidades de um

acontecimento condicionado a outro. Quando estudamos esteconceito, estamos trabalhando

um dos conceitos mais importantes da teoria das probabilidades, pois, estamos frequentemente

interessados em calcular probabilidades quando temos alguma informação parcial relacionado

ao experimento, em que as probabilidades desejadas são condicionais.

Considere o lançamento de dois dados. Suponha que cada um dos36 resultados pos-

síveis seja igualmente provável e que, portanto tem probabilidade1

36. Sabendo que no lança-

mento do primeiro dado o resultado foi2, qual a probabilidade de que a soma dos resultados

dos dois dados seja um número par? Veja a Figura 2.1.

31

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

1oda

do

2o dado

Figura 2.1: Resultados possíveis obtidos no lançamento de dois dados

Para encontrar essa resposta devemos pensar da seguinte maneira:

Sabendo que saiu2 no primeiro dado, existem6 resultados possíveis para o nosso

experimento, isto é,p2, 1q, p2, 2q, p2, 3q, p2, 4q, p2, 5q e p2, 6q. Como cada um desses resultados

tem a mesma probabilidade de ocorrência, os resultados tendem a ter probabilidades iguais, ou

seja, dado que o resultado no primeiro dado é2, a probabilidade condicional de cada um dos

resultadosp2, 1q, p2, 2q, p2, 3q, p2, 4q, p2, 5q e p2, 6q é1

6, enquanto a probabilidade condicional

dos outros30 pontos no espaço amostral é0. Com isso, a probabilidade desejada de que a soma

dos dois dados seja um número par é igual a3

6“

1

2.

SeB e A representarem, respectivamente, o evento em que a soma dos dados seja

um número par e o evento em que o resultado no primeiro dado é2, então a probabilidade

que acabamos de obter é chamada de probabilidade condicional de queB ocorra dado queA

ocorreu e será representada porP pB|Aq.

Definição 6. Dados dois eventosA e B, sendo queP pAq ą 0, definimos a probabilidade

condicional deB dado queA ocorreu por:

P pB|Aq “P pA X Bq

P pAq

32

No caso em queP pAq “ 0, definimosP pB|Aq “ P pBq. P pAq ‰ 0 quando o evento

é possível eP pAq “ 0 quando o evento é impossível.

Observação:Quando calculamosP pBq estamos nos perguntando quão provável será estarmos

emB, sabendo que devemos estar emΩ. E quando calculamosP pB|Aq estaremos perguntando

quão provável será estarmos emB, sabendo que estamos emA, ou seja, o espaço amostral ficou

reduzido deΩ paraA. O cálculo da probabilidade condicionalP pB|Aq, pode ser feito de duas

maneiras:

(1o) Diretamente, pela consideração da probabilidade deB em releção ao espaço amostral

reduzido aA.

(2o) Empregando a definição acima, ondeP pB X Aq e P pAq são calculadas em relação ao

espaço amostral originalΩ.

Propriedades:

(i) 0 ď P pB|Aq ď 1.

(ii) P pΩ|Aq “ 1.

(iii) P pB1 Y B2|Aq “ P pB1|Aq ` P pB2|Aq, seB1 X B2 “ H.

(iv) P pB1 Y B2 Y ¨ ¨ ¨ Y Bn|Aq “ P pB1|Aq ` P pB2|Aq ` ¨ ¨ ¨ ` P pBn|Aq, seBi X Bj “ H

parai ‰ j.

Exemplo 17. Considere que um metrô possua100 lugares para se sentar. Suponha que este

metrô possua vagões em que os assentos são de cores vermelhapV q e azulpAq, onde alguns

desses assentos são posicionados de frentespF q e outros de costaspCq. Podemos expor uma

tabela com as informações numéricas.

F C TOTAL

V 40 30 70

A 20 10 30

TOTAL 60 40 100

Uma pessoa que irá usar o metrô tem preferência pelos assentos de cor vermelha.

Vamos determinar a probabilidade de que o assento seja de frente.

33

Observe que existem40 assentos de frente com a cor vermelha, e ainda, que são70

assentos vermelhos. Desse modo, temos que:

P pF |V q “P pF X V q

P pV q“

40

70“

4

7

Portanto, a probabilidade de uma pessoa que entrou no metrô se sentar de frente dado

que o assento é vermelho é de4

7.

2.12. Teorema da Multiplicação

Com o conceito de probabilidade condicional podemos encontrar a probabilidade da

intersecção de dois eventosA eB. Esta expressão é denominada de Teorema da Multiplicação

e diz que:

P pA X Bq “ P pAq ¨ P pB|Aq “ P pBq ¨ P pA|Bq.

Esse resultado pode ser generalizado no seguinte teorema.

Teorema 1. SeA1, A2, . . . , An são eventos emΩ, comP pAjq ą 0 para j “ 1, 2, 3, . . .. Então:

P pA1 X A2 X A3 X ¨ ¨ ¨ X Anq “ P pA1q ¨ P pA2|A1q ¨ ... ¨ P pAn|A1 X A2 ¨ ¨ ¨ X An´1q

Demonstração.Paran “ 2, temos pela definição de probabilidade condicional que:

P pA2|A1q “P pA1 X A2q

P pA1qñ P pA1 X A2q “ P pA1q ¨ P pA2|A1q

pois,P pA1q ą 0.

Supondo que vale paran “ k comk P Z ek ě 2, teremos:

P pA1 X A2 X A3 X ... X Akq “ P pA1q ¨ P pA2|A1q ¨ ... ¨ P pAk|A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X Ak´1q

Provemos que é válido parak ` 1.

P pA1 X A2 X A3 X ¨ ¨ ¨ X Ak X Ak`1q “ P rpA1 X A2 ¨ ¨ ¨ X Akq X Ak`1s “

“ P pA1 X A2 X A3 X ¨ ¨ ¨ X Akq ¨ P pAk`1|A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X Akq “

“ P pA1q ¨ P pA2|A1q ¨ ... ¨ P pAk|A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X Ak´1q ¨ P pAk`1|A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X Akq

34

Portanto por indução matemática, segue que:

P pA1 X A2 X A3 X ¨ ¨ ¨ X Anq “ P pA1q ¨ P pA2|A1q ¨ ¨ ¨P pAn|A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X An´1q

2.13. Eventos Independentes

Assim como em alguns experimentos, um evento depende do acontecimento de outro,

existem também os eventos que são independentes. Por exemplo, ao jogar um dado e uma

moeda, o resultado do lançamento do dado não interfere na probabilidade de a moeda cair com

face cara ou coroa voltada para cima. Esses dois eventos são independentes.

Definição 7. SejamA e B dois eventos de um espaço amostralΩ. A e B são ditos indepen-

dentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afeta a probabilidade do outro ocorrer, isto

é, se:

P pA|Bq “ P pAq eP pB|Aq “ P pBq

Proposição 1.Dois eventosA eB são independentes se, e somente se,P pA X Bq “ P pAq ¨

P pBq.

Demonstração.SeA eB são eventos independentes entãoP pA|Bq “ P pAq. Assim,

P pA|Bq “P pA X Bq

P pBqñ P pA X Bq “ P pBq ¨ P pA|Bq “ P pAq.P pBq

Logo,

P pA X Bq “ P pAq ¨ P pBq

Reciprocamente, temos que:

P pA X Bq “ P pAq ¨ P pBq ñ P pBq ¨ P pA|Bq “ P pAq ¨ P pBq ñ P pA|Bq “ P pAq

Portanto,A eB são independentes.

Exemplo 18. Uma moeda é lançada4 vezes. Queremos saber qual a probabilidade de sair

cara nos4 lançamentos.

35

Consideremos o eventoAi= sair cara no i-ésimo lançamento.

Vejamos que, a ocorrência da face “cara” no eventoAi, com1 ď i ď 4, em nada afeta os

demais, os eventos são independentes. Logo:

P pA1 X A2 X A3 X A4q “ P pA1q ¨ P pA2q ¨ P pA3q ¨ P pA4q “

ˆ

1

2

˙4

“1

16

CAPÍTULO 3

O cálculo de probabilidades e o uso de jogos: Uma proposta didática.

Neste capítulo, serão apresentadas algumas propostas parase trabalhar conceitos bási-

cos de probabilidade em sala de aula, de modo que os alunos construam conhecimentos a par-

tir de algumas situações problemas que podem ser utilizadaspara o estudo e compreenssão

dos conceitos, seguido da sistematização do conteúdo matemático, através de definições e pro-

priedades das concepções estudadas.

A utilização de atividades lúdicas é cada vez mais usada, ao que diz respeito as

realizações de aulas diferenciadas, pois há sempre a necessidade em despertar o interesse, a

curiosidade e o senso crítico dos alunos. Afinal, a escola nãodeve se preocupar somente com

o prepararo do bom profissional para que seja rapidamente inserido no mercado de trabalho,

mas também deve preparar seus alunos como cidadões críticos, criativos e participantes na

atual sociedade da informação e do conhecimento, na qual as habilidades de flexibilidade de

raciocínio, a adaptação a novas situações, a persistência ea capacidade de interagir e cooperar

são fundamentais (GOES,2002).

Uma das ferramentas utilizadas nessa busca por aulas diversificadas é o uso de jogos,

por ser um autêntico desafio e por provocar no aluno, interesse e prazer no desenvolver das

atividades relacionadas. O uso dos jogos pode permitir uma abordagem informal e intuitiva

de conceitos matemáticos considerados demasiadamente abstratos, além de ser uma chance

que os professores de matemática têm de vincular teoria à prática. Aduziremos, alguns jogos

que podem ser inseridos em sala de aula com o propósito de priorizar conceitos introdutórios

da probabilidade, especificamente relacionados a eventos mutuamente exclusivos e a eventos

independentes.

3.1. O Jogo do Mini-Bozó

É uma simplificação do jogo de Bozó, bastante popular nos estados brasileiros de Mato

Grosso do Sul e Mato Grosso - Brasil. O jogo proposto “Mini Bozó”utiliza dois dados ao invés

de utilizar cinco dados, como no jogo de Bozó, de preferência que esses dois dados sejam de

duas cores distintas o jogo pode ser disputado por vários jogadores.

36

37

Esse jogo pode ser considerado um jogo de estratégia, mas como se utiliza dados, o

fator sorte não pode ser totalmente desprezado. Também, é impossível a determinação de uma

estratégia sempre vitoriosa. Assim, o jogo nunca perde o sentido como jogo, e cada partida

será, provavelmente, diferente da partida anterior. A sua simplificação (do jogo de Bozó para

Mini-Bozó) foi motivada pelo fato de que o objetivo é utilizaro jogo para ensinar conceitos

básicos de Probabilidade, o que não seria adequado através do jogo Bozó, tendo em vista que

este utiliza cinco dados. Para o jogo, são necessários os seguintes materiais:

- dois dados de cores diferentes,

- um copo

- papel e caneta,

- tabuleiros (um para cada jogador), desenhados no papel conforme o primeiro modelo, abaixo

à esquerda:

General

Quadrada

Seguida

Fú

General

Quadrada

Seguida

Fú

Terno

Duque

Ás

Sena

Quina

Quadra

Figura 3.1: Tabuleiro do jogo do Mini Bozó e Tabuleiro completo do Bozó

O objetivo do jogo é preencher todo o tabuleiro, de modo a obter mais pontos que o(s)

adversário(s), conforme as regras listadas a seguir:

1♥O jogo pode ser disputado por duas ou mais pessoas (sem limitepara o número de

participantes);

2♥Em cada jogada, o jogador poderá efetuar um ou dois lançamentos. O primeiro lança-

mento é obrigatório e deve ser feito com os dois dados. O segundo lançamento é opcional,

e o jogador pode escolher lançar os dois dados ou lançar somente um dos dados. Todos os

lançamentos devem ser feitos com os dados (somente os escolhidos para o lançamento)

dentro do copo. A finalização do lançamento deve ter o copo virado sobre a mesa. Nen-

hum dado pode “escapar” do copo antes deste ser retirado da mesa. Neste caso, todos os

38

dados são recolhidos e novamente arremessados. Antes de a jogada ser realizada, o jo-

gador pode optar pelo “baixo” que consiste em validar os pontos que estão na face oposta

a de cima.

3♥Em cada jogada, o jogador deve exclusivamente:

- marcar no seu tabuleiro a casa correspondente ao resultadodo lançamento, lembrando

que não existe ordem estabelecida para a marcação dos pontos.

- caso não exista possibilidade de marcação (isto é, a casa a ser marcada já está ocupada

ou já foi eliminada), deve-se eliminar uma das casas ainda não marcadas, e cada casa só

pode ser marcada ou eliminada uma única vez, fazendo um X na casa de sua escolha.

4♥Cada casa só pode ser marcada ou cancelada uma única vez.

5♥O jogo termina quando todos os jogadores preencherem suas casas em seus respectivos

tabuleiros. O vencedor será o jogador que obtiver a maior pontuação (soma dos pontos

obtidos).

Pontuação:

- Fú: duas faces distintas, mas não em sequência, valem a somadas faces.

- Seguida: duas faces distintas em sequência valem20 pontos.

- Quadrada: duas faces iguais, mas diferentes de6, valem30 pontos.

- General: duas faces iguais a6 valem50 pontos.

Quando no primeiro lançamento de cada jogador se obtém Seguida, Quadrada ou

General, o resultado é chamado Seguida de boca, Quadrada de boca ou General de boca,

respectivamente. Nesse caso adicionam-se5 pontos ao valor original da casa. Por exemplo,

se o jogador conseguir Quadrada no seu primeiro lançamento,então obtém35 pontos ao invés

de30.

A teoria na Prática

A princípio, pode-se ensinar aos alunos o jogo sem a aplicação dos conteúdos matemáti-

cos, apenas para eles se familiarizarem com as regras e possíveis estratégias. A partir do mo-

mento que os alunos conseguem atingir certa afinidade com esses aspectos, pode-se incentivá-

los a pensar nas melhores escolhas em determinadas jogadas.Poderão também ser trabalhados

39

tópicos de probabilidades, como, espaço amostral, evento,probabilidade de ocorrer um evento,

entre outros. Na utilização do jogo, ao observar algumas possíveis jogadas e também pos-

síveis estratégias, surgem algumas situações-problema que podem servir para a sistematização

do conceito de probabilidade na concepção de Laplace, como éo caso das atividades propostas

a seguir.

Questões:

1♥Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini Bozó, quais são suas

chances de marcar5 pontos na casa Fú? E quais são suas chances de marcar7 pontos

também na casa Fú?

Solução:O Jogador marcará5 pontos nos dois seguintes casos:p1; 4q oup4; 1q. Portanto,

o jogador terá2 chances em36 de marcar5 pontos. Para marcar7 pontos temos os quatro

casos seguintes:p1; 6q, p6; 1q, p2; 5q oup5; 2q. Portanto, o jogador terá4 chances em36 de

marcar7 pontos na casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento dojogo Mini Bozó.

Concluímos que, se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini Bozó,

será mais provável marcar7 do que5 pontos na casa Fú. E com isso, percebe-se que

algumas pontuações da casa Fú ocorrem com maior frequência do que outras, podendo

assim ser uma estratégia de jogo.

2♥Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini Bozó, ele terá mais

chances em marcar a casa Seguida do que a Quadrada?

Solução:

a) Para marcar a casa Seguida o jogador deverá obter um dos seguintes resultados:p1; 2q,

p2; 1q, p2; 3q, p3; 2q, p3; 4q, p4; 3q, p4; 5q, p5; 4q, p5; 6q ou p6; 5q. Assim, terá10 chances em

36 (total de possibilidades) para marcar a casa Seguida, considerando-se que utilizou ape-

nas o primeiro lançamento do jogo Mini Bozó.

b) Para marcar a casa Quadrada o jogador deverá obter um dos seguintes casos:p1; 1q, p2; 2q,

p3; 3q, p4; 4q ou p5; 5q. Assim, terá5 chances em36 para marcar a casa Quadrada, consi-

derando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini Bozó.

Portanto, de (a) e (b) concluímos que o jogador terá mais chances de marcar a casa

Seguida, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini Bozó.

40

3♥Qual a probabilidade de obter um General?

Solução:

Como o objetivo do jogador é marcar a casa General, três casos devem ser considerados:

a) obter duas faces6 no seu primeiro lançamento, ou seja, obtevep6; 6q. Temos neste

caso a probabilidadeppaq “1

36“ 0, 02777.

b) obter uma face6 no primeiro lançamento, ou seja, obteve um dos10 seguintes resulta-

dos:p1; 6q, p6; 1q, p2; 6q, p6; 2q, p3; 6q, p6; 3q, p4; 6q, p6; 4q, p5; 6q ou p6; 5q. Reserva o dado

com a face6. Lança o outro dado e obtém a face6. Temos neste caso a probabilidade:

ppbq “10

36¨1

6“

10

216“ 0, 04629.

c) não obter a face6 no primeiro lançamento, ou seja, obter um dos vinte e cinco seguintes

resultados:p1; 1q, p1; 2q, p1; 3q, p1; 4q, p1; 5q, p2; 1q, p2; 2q, p2; 3q, p2; 4q, p2; 5q, p3; 1q, p3; 2q,

p3; 3q, p3; 4q, p3; 5q, p4; 1q, p4; 2q, p4; 3q, p4; 4q, p4; 5q, p5; 1q, p5; 2q, p5; 3q, p5; 4q ou p5; 5q.

Lança-se novamente os dois dados e obtémp6; 6q. Temos neste caso a probabilidade:

ppcq “25

36¨1

36“

25

1296“ 0, 01929.

Portanto, se ocorrer o caso (a) ou (b) ou (c) o jogador marcaráa casa General. Assim, a

probabilidade pedida será:p “ ppaq ` ppbq ` ppcq “ 0, 09336 ou9, 34%.

Uma motivação para essa etapa é o fato de que a compreensão dassituações-problema

permite que os alunos conheçam estratégias que aumentam as chances de vencer (ou seja, per-

mite que os alunos aprendam a jogar melhor). O jogo deve permitir aos alunos experimen-

tar/manipular intuitivamente conceitos elementares de probabilidade, facilitando a compreensão

da abordagem formal e rigorosa.(ALCANTARA et all,2014).

3.2. O jogo de pôquer e o cálculo probabilístico

O jogo de pôquer, também é uma fonte bastante rica em exemplose problemas inte-

ressantes que podem ser utilizados para ilustrar aulas de Análise Combinatória e Probabilidade

em nível do Ensino Médio.

Discorreremos agora sobre as características do jogo e suasregras básicas. É impor-

tante lembrar que estamos nos referindo à modalidade Texas doll. Essa descrição se limitará a

considerar a forma clássica, o assim chamado pôquer fechadode 5 cartas. O jogo é bastante

41

complexo, envolvendo habilidade, astúcia e uma capacidadede avaliar psicologicamente os

adversários na hora das apostas, qualidades essas que certamente não são adquiridas no estudo

da Teoria das Probabilidades.

No Brasil, o jogo utiliza um baralho comum de52 cartas ou apenas uma parte dele,

dependendo do número de parceiros envolvidos. Assim, por exemplo, quando o número de

participantes é igual ou inferior a quatro, são eliminadas do baralho todas as cartas cujos valores

são2, 3, 4, 5 e 6, restando trinta e duas cartas cujos valores vão do sete até oás. À medida que

o número de participantes vai aumentando, as cartas de valor6, 5, 4 etc. vão sendo introduzidas

até que, com oito participantes, o baralho todo é utilizado.Na formação de sequências, o ás tem

um duplo papel, funcionando como a carta mais alta e também como a carta de menor valor.

Assim, por exemplo, se a menor carta em jogo é o sete, numa sequência o ás poderá valer6.

O objetivo do jogo é combinar as cartas de modo a formar o melhor jogo possível, segundo

uma hierarquia estabelecida pelas regras. Na primeira etapa do jogo, cada participante recebe

cinco cartas seguindo-se uma rodada de apostas, que obedecea um conjunto de regras que não

interessam aos objetivos nesse trabalho. A seguir é facultado a cada jogador desfazer-se de até

no máximo três de suas cartas, recebendo novas dentre aquelas que restaram no baralho. É a

chamada fase das pedidas. Após uma nova rodada de apostas, osparticipantes que permanecem

no jogo, isto é, que pegaram todas as apostas feitas, mostramsuas cartas e o dinheiro arrecadado

vai para aquele que tiver o maior jogo.

Trataremos aqui, o ponto de vista do cálculo de probabilidades que envolve as possi-

bilidades de que determinadas combinações de cartas sejam obtidas “de mão”, isto é, estejam

contidas nas cinco cartas recebidas na primeira fase do jogo. Abaixo será descrito os jogos

em ordem decrescente de seus valores. Alguns nomes foram mantidos em inglês por estarem

consagrados pelo uso (ALCANTARA et all,2014).

“Royal Straight Flush”

É uma sequência formada por um10, um valete, uma dama, um rei e um ás, todos

de um mesmo naipe. Existem apenas quatro “Royal straight flush” no jogo, sendo um de cada

naipe. Utilizando36 cartas, a chance de recebermos um “Royal” de mão é de apenas uma

em 94248, pois sãoC536

“ 376992 jogos possíveis no total. Para aqueles que acharem essa

probabilidade muito pequena, é importante notar que ela é cerca de três vezes maior do que a

de acertarmos a quina da Loto com um jogo de10 dezenas.

42

“Straight Flush”

É qualquer sequência de cartas de um mesmo naipe que não seja um “Royal”. Com

36 cartas, o ás pode ocupar o lugar dos cinco, o que nos dará um total de20 “straight flushes”.

Com o baralho todo, o número de jogos deste tipo é igual a36.

Quadra

É o jogo formado por quatro cartas de mesmo valor e de uma quinta carta qualquer.

Assim, por exemplo, uma quadra de reis poderia ser formada pelos quatro reis e por uma dama.

“Flush”

É um conjunto de cartas de um mesmo naipe que não estão em sequência. Assim, por

exemplo, um “flush” de espadas poderia ser formado pelo7, 9, V (valete), D (dama), A (ás)

todos de espadas.

“Fullhand”

É o jogo composto por um trinca (três cartas de mesmo valor) e um par (duas cartas

de mesmo valor). Assim, por exemplo, um “fullhand” de dama com valete é formado por três

damas e dois valetes. É um jogo distinto de “fullhand” de valete com dama, que é composto

por três valetes e duas damas.

Seguida

É o jogo composto por cinco cartas em sequência, nem todas do mesmo naipe. Exem-

plo: 9 de ouros,10 de paus, valete de copas, dama de ouros, rei de paus.

43

Trinca

É o jogo composto por três cartas de mesmo valor (por exemplo,três reis) e duas outras

cartas quaisquer, que não formam par e que tenham valores distintos das cartas que compõem a

trinca. Exemplos: i)9, 9, 9, D,R; ii) V, V, V, 7, 10.

Dois pares

Como o próprio nome indica é o jogo composto por dois pares e poruma quinta carta

de valor distinto daquelas que compõem os dois pares. Exemplo: A,A,R,R, 8.

Um par

É o jogo composto por um único par e por três outras cartas de valores distintos entre

si e distintos daqueles que compõem o par. Exemplo:7, 7, 8, V,D.

Nada de interesse

São todos os jogos pertencentes ao complementar da união dosjogos descritos acima.

Se você receber um jogo deste tipo, não se julgue um infeliz perseguido pelos deuses, pois, a

probabilidade de que isso ocorra é bastante alta.

Na descrição acima foram apresentados alguns resultados decontagens de totais de

jogos de um determinado tipo e foram feitas afirmações sobre as probabilidades de obtenção

de outros jogos. Nos passos seguintes procuraremos mostrarcomo são feitos esses cálculos.

Em todos eles suporemos que estão sendo usadas32 cartas, das quais um particular jogador

receberá cinco escolhidas ao acaso, por meio do embaralhamento. Em outras palavras, estamos

admitindo que osC532

“32!

5!p32 ´ 5q!“ 201376 jogos possíveis têm todos, a mesma probabili-

dade.

44

Cálculo de totais de “Royal Straight Flusht”

Existem somente4 “Royal Straight Flusht”, sendo um de cada naipe. Utilizando32

cartas, a chance de receber um “Royal de mão” é:

4

C532

“4

201376“

1

50344« 0, 002%

Cálculo de totais de “Straight Flusht”

Este jogo se constitui de qualquer sequência de5 cartas de mesmo naipe e que não

seja um “Royal”. Assim, com32 cartas, existem4 possíveis maneiras de organizar as cartas

7, 8, 9, 10, J, Q,K e A em sequência, pois a carta de menor valor pode ser somente as cartas

entreA e9 (lembrando que o ás pode assumir o menor e o maior valor), sendo uma possibilidade

para as outras4 cartas restantes para formar a sequência de5 cartas de mesmo naipe. Como

são4, naipes o número de “Straight Flusht de mão” é de4 ¨ 4 “ 16 jogos. A probabilidade de

receber um “Straight Flusht” é:

16

C532

“16

201376“

1

12586« 0, 008%

Cálculo de totais de Quadras

Utilizando 32 cartas, uma quadra de reis é um jogo formado pelos quatro reise por

uma quinta carta escolhida dentre as28 restantes. Existem, portanto,28 jogos que contêm uma

quadra de reis. O mesmo raciocínio aplicado às demais cartasnos permite concluir que, com32

cartas, teremos um total de8¨28 “ 224 quadras. Logo, a probabilidade de receber uma quadra é:

224

C532

“224

201376“

1

899« 0, 11%

Cálculo de totais de “Flushes”

Vamos considerar inicialmente os “flushes” de ouros. Existem oito cartas de ouros, de

modo que o número de selecionar cinco cartas de ouro éC58

“ 56. Como o mesmo raciocínio

pode ser feito para os outros três naipes, teríamos aparentemente56 ¨ 4 “ 224“flushes”. No

entanto, é fácil ver que neste total estão incluídos os quatro “Royal straight flushes” e os16

“straight flushes”. Segue-se, portanto que, com32 cartas, existirão204 “flushes” puros.

45

Logo a probabilidade de receber um Flush é:

204

C532

“204

201376“

51

50344« 0, 04%

Cálculo de totais de “Fulhand”

Vamos iniciar com um problema mais simples, contando o número de “fullhands” de

rei com dama. O número de jogos formados por três reis éC34

“ 4 enquanto que, com éC24

“ 6.

Como cada uma das quatro trincas pode ser combinada com qualquer uma dos seis pares para

formar um “fullhand” de rei com dama, segue-se que existem4 ¨ 6 “ 24 jogos distintos deste

tipo. A próxima etapa será calcularmos quantos tipos distintos de “fullhands” existem. Para isto,

vamos observar que, dentre os oito grupos de cartas de mesmo valor, nós teremos que escolher

um no qual será selecionada a trinca e outro do qual sairá o par. Para a primeira escolha existem

8 possibilidades e para a segunda apenas7, o que nos dá8¨7 “ 56 tipos distintos de “fullhands”.

Como cada um deles admite24 jogos diferentes, segue-se que o total de “fullhands” é igual a

56 ¨ 24 “ 1344. A probabilidade de recebermos um “fullhand” de mão será, portanto, dada por:

1344

C532

“1344

201376« 0, 67%

Cálculo de totais de Seguida

Para formar uma sequência, temos5 cartas adequadas para ser a menor carta da sequên-

cia ( 7 ao10 e o às). Como há4 naipes, o número de modos de escolher a menor carta de uma

sequência é5 ¨ 4 “ 20. A partir desta, há4 possibilidades para cada uma das4 cartas restantes

da sequência e, daí o número de sequências possíveis é20 ¨ 4 ¨ 4 ¨ 4 ¨ 4 “ 5120. Excluindo as

sequências de mesmo naipe, os4 “Royal” e os16 “Straight Flusht” obtemos5120´ 20 “ 5100

sequências, nem toda sde mesmo naipe. Logo, a probabilidadede receber uma seguida de mão

é:5100

C532

“5100

201376« 2, 53%

46

Cálculo de totais de Trinca

Esse cálculo pode ser feito diretamente de maneira análoga àque foi utilizada para

contar o número de "fullhands". No entanto, como este número jáfoi obtido, nós podemos

utilizá-lo para contar o número de trincas de um modo indireto e mais rápido. Vamos escolher

uma das quatro trincas de reis e combiná-la com duas cartas quaisquer escolhidas entre as28

que restam, quando excluímos os quatro reis. Isto nos dará umtotal deC34

¨C228

“ 4¨378 “ 1512

jogos. Levando em consideração as demais trincas, teríamos8¨1512 “ 12096 jogos. Neste total

não existem quadras, pois o grupo que fornece a trinca é todo ele excluído na seleção seguinte.

No entanto, é claro que nele estarão incluídos todos os "fullhands". Subtraindo1344 de12096,

encontraremos para o total de trincas o valor10752, o que nos dará para a probabilidade de

obtenção de uma trinca “de mão” o valor de:

10752

C532

“10752

201376« 5, 3%

Cálculo de totais de Dois pares

Começando com um exemplo de um jogo formado por um par de reis e um par de

ás, háC24

“ 6 maneiras de formar o par de reis eC24

“ 6 maneiras de formar o par de ás.

A quinta carta pode qualquer uma das outras vinte e quatro cartas. Desse modo, obteremos

6 ¨ 6 ¨ 24 “ 864 jogos com “dois pares” formados apenas com reis e ás. Como são oito grupos

de cartas (7, 8, 9, 10, valete, dama, reis e ás), então temos:C28

“ 28 tipos de formação de jogos

e o total de jogos com “dois pares” é:28 ¨ 864 “ 24192. A probabilidade de obter um “dois

pares” é:24192

C532

“24192

201376« 12%

Cálculo de totais de Um par

Escolheremos primeiro um grupo para forma um par como são oito grupos, segue

que existem8 possibilidades. O número de modos de formar um par no grupo escolhido é

C24

“ 6 possibilidades. Agora escolhemos três grupos entre os seterestantes, onde será retirada

uma carta de cada grupo temos então,C37

“ 35 possibilidades de escolha dos três grupos.

Escolhemos agora uma carta de cada um dos três grupos, como são 4 naipes existem quatro

possibilidades para cada uma:4 ¨4 ¨4 “ 64. Portanto, o total de jogos “um par” é:8 ¨6 ¨35 ¨64 “

47

107520. A probabilidade para um jogo “um par” em mãos é:

107520

C532

“107520

201376« 53, 4%

Cálculo de totais de Nada de interesse

O número de jogos possíveis com cinco cartas éC532

“ 32!

5!p32´5q!“ 201376. Agora já

sabemos que existem nesse total,4 “Royal Straight Flusht”,16 “Straight Flusht”,224 Quadras,

204 Flushes,1344 Fulhand,5100 Seguida;10752 Trincas,24192 Dois pares e107520 Um par

o que totaliza149356 jogos. Subtraíndo do total temos:201376 ´ 149356 “ 52020 jogos Nada

de interesse. A probabilidade é:

52020

C532

“52020

201376« 25, 8%

Vimos nos cálculos que o número de “flushes” puros é de apenas204, o que justifica

que, com32 cartas, o “flush” é mais difícil de ser obtido de mão do que a quadra. A situação se

inverte quando passamos a usar36 cartas. Adaptando os cálculos de quadras e “flushes” feitos

com32 cartas, passando agora para36 cartas, veremos que para se obter o número de “flushes”,

consideremos o naipe de copas sãoC59

“ 126 “flushes” de copas, aplicando aos outros três

naipes teremos4.126 “ 504 jogos descartando os4 “Royal” e os20 “straight flushes”o número

de “flushes” será igual a480. Para essa situação de36 cartas, vemos que o número de quadras

passa a ser288, pois, considerando as quadras de damas, por exemplo, são asquatro damas e

uma quinta carta entre as32 restantes, com isso há32 quadras de damas, como são9 grupos de

cartas o total de quadras são de32.9 “ 288 quadras.

Podemos perceber que as possibilidades de cada jogo altera conforme o número de

carta, na hierarquia do jogo de pôquer, cada jogo muda de posição em graus de dificuldades de

acordo com o número de cartas.

De modo geral, podemos variar a forma de se trabalhar dentro desses conceitos im-

portantes. Além disso, o pôquer pode promover habilidades de autocontrole, tomar decisões,

saber quando blefar, saber decifrar o comportamento dos outros jogadores. Por isso o pôquer

é considerado o jogo de inteligência artificial. Isso consiste em uma forte ferramenta para o

desenvolvimento dentro de sala de aula promovendo a aprendizagem de forma que permite o

desenvolvimento de novas habilidades aos estudantes.

48

3.3. Os jogos de Loteria

3.3.1. Mega Sena

Outra forma de trabalhar a Teoria das Probabilidades em salade aula é mostrando o

comportamento probabilístico para o sorteio da Mega Sena, por exemplo, e verificar a con-

sistência da Teoria das Probabilidades, dando assim um embasamento matemático para se

jogar. A mega sena no Brasil, seduz milhões de pessoas a cada semana com a esperança de

tornarem-se milionárias. Algumas tentam descobrir segredo estatístico a respeito da “lógica”

dos números que serão sorteados. Até mesmo, numerologistasrevelam às pessoas quais seriam

os seus números da sorte, fazendo propagandas a respeito de clientes que teriam tornado mili-

onários, apostando na loteria. A mega sena é o jogo que atrai omaior número de apostadores,

já que paga o maior prêmio. Isto deve-se ao fato de ser o jogo com a menor probabilidade de

acerto do prêmio máximo com uma aposta simples. Para ganhar oprêmio máximo é necessário

que o apostador acerte os seis números sorteados em um conjunto universo de60 (1 a 60).

Também são pagos prêmios a quem acerta5 números (quina) e4 números (quadra). É permi-

tida a marcação de6 à15 números em um mesmo cartão “com valores diferenciados para cada

aposta”(FRAGA,2013).

Uma proposta interessante é oferecer um modelo matemático probabilístico simples

com o intuito de mostrar o comportamento probabilístico de seus resultados.

A Mega Sena é o que se chama loteria6

60, ou seja, são sorteados6 números de um

conjunto formado pelos números de1 a 60. O total de resultados possíveis é calculado pela

conhecida fórmula de combinações simples den elementos tomadosk ak:

Ckn “

n!

k!pn ´ kq!

Paran “ 60 ek “ 6 temos,C660

“ 50.063.860 combinações possíveis.

Levando em consideração as possibilidades de apostas com diferentes quantidades de

números, como já mencionado anteriormente, é permitida a marcação de6 à 15 números em

um mesmo cartão.

• O número total de combinações possíveis de se formar com os60 números é dado por

C660

. Cabe ressaltar que este valor refere-se ao número de resultados possíveis do espaço

amostral do experimento. Com uma aposta simples de seis números concorre-se com uma

49

única combinação possível, ou seja,C66. Logo, a probabilidade de acerto nestas condições

é dada por:C6

6

C660

“1

50.063.860– 0, 000002%

• Em uma aposta com7 números, o número de combinações possíveis para aposta éC76. O

número de resultados do espaço amostral é o mesmo. Assim, a probabilidade de acerto é:

C76

C660

“7

50.063.860– 0, 000014%

• Em uma aposta com8 números, o total de combinações possíveis para aposta é dadopor

C86. Logo, a probabilidade de acerto é:

C86

C660

“28

50.063.860– 0, 000056%

• Para aposta com9 números, temos que a probabilidade de acerto é:

C96

C660

“84

50.063.860– 0, 00017%

Seguindo o mesmo raciocínio, temos que a probabilidade de ganhar:

• apostando10 números é:

C106

C660

“210

50.063.860– 0, 00042%


C116

C660

“462

50.063.860– 0, 00092%


C126

C660

“924

50.063.860– 0, 0018%

50


C136

C660

“1716

50.063.860– 0, 0034%


C146

C660

“3003

50.063.860– 0, 006%


C156

C660

“5005

50.063.860– 0, 01%

Cálculo da Probabilidade de acertar a quina (acertar exatamente5 números:)

• Com a aposta simples de6 números, o número de modos de formar uma quina éC56.

Formando a quina, a sexta bola poderá ser qualquer uma das54 bolas restantes o que

pode ser feito deC154

modos. O número de resultados do espaço amostral éC660

. Assim,

a probabilidade de ganhar na quina é:

C56

¨ C154

C660

“6 ¨ 54

50.063.860“

324

50.063.860– 0, 0006471%

• Aposta com7 números:

Neste caso, o número de quinas possíveis de se formar éC57. Formando a quina, a

sexta bola poderá ser qualquer uma das53 bolas restantesC153

. Diante do mesmo es-

paço amostral, a probabilidade de ganhar na quina é:

C57

¨ C153

C660

“21 ¨ 53

50.063.860“

1113

50.063.860– 0, 0022%

O raciocínio segue o mesmo para as apostas com números diferentes de8 a15.

Cálculo da Probabilidade de acertar a quadra (acertar exatamente4 números):

• Neste caso, o número de combinações diferentes para formar-se a quadra éC64

“ 15.

Isolando a quadra, as outras duas bolas podem ser escolhidasdentre qualquer uma das54

51

bolas restantes, que dá um total deC542

“ 1431 combinações. Como o espaço amostral é

o mesmo já trabalhado até o momento, a probabilidade de acertar a quadra é:

C46

¨ C254

C660

“15 ¨ 1431

50.063.860“

21365

50.063.860– 0, 043%

• Aposta com7 números:

Com 7 números tomados4 a 4 temos um total deC47

probabilidades de formar uma

quadra. Tendo a quadra formada, passamos para escolha das duas bolas restantes, que

poderão ser escolhidas dentre as53 restantes emC253

possibilidades. Isto gera um total de

1378 combinações. Mantendo o mesmo espaço amostral, conclui-seque a probabilidade

de ganhar é:C4

7¨ C2

53

C660

“35 ¨ 1378

50.063.860“

48230

50.063.860– 0, 096%

O raciocínio segue o mesmo para as apostas com números diferentes de8 a15.

3.3.2. O jogo da Quina

A Quina é também muito popular e, nesse jogo ganha o prêmio máximo o apostador

que acertar os5 números sorteados dentro os80 possíveisp1 a80q. Além disso, é pago prêmio

a quem acerta2 números (duque),3 números (terno) ou4 números (quadra). É permitida a

marcação de5 a 7 números em um mesmo cartão (com valores diferenciados, evidentemente).

Calcularemos a Probabilidade de um jogador acertar a quina, isto é, os5 números sorteados:

• O total de combinações de5 números que podem ser formadas com os80 possíveis é

dado porC580

“ 24.040.016. Com uma aposta única de 5 números, a probabilidade de

ganhar na quina é:C5

5

C580

“1

24.040.016– 0, 0000042%

• Em uma aposta com6 números, o total de combinações que podemos formar é dado por

C56

“ 6. O espaço amostral é o mesmo calculado anteriormente. Logo aprobabilidade de

ganhar apostando6 números é:

C56

C580

“6

24040016– 0, 000025%

52

• Para aposta com7 números, o número de quinas possíveis éC57. Portanto, a probabilidade

de ganhar será:C5

7

C580

“21

24040016– 0, 000087%

Probabilidade de acertar quadra (acertar4 números)

Apostando5 números, seguimos o mesmo raciocínio empregado na Mega Sena. For-

mamos a quadra onde o número de possibilidades éC45

e em seguida podemos utilizar qualquer

uma das75 bolas restantesC175

. O espaço amostral é o mesmo utilizado para calcular a quina.

Logo, a probabilidade de ganhar é:

C45

¨ C175

C580

“5 ¨ 75

24040016– 0, 0016%

Os cáculos são análogos para as apostas com os demais númerosde6 e7.

Probabilidade de acertar terno (acertar3 números)

- Aposta com5 números (aposta simples):

Primeiramente devemos formar os possíveis ternos. Isto é feito combinando os5 números

tomados3 a 3. Em seguida, combinamos os75 números restantes tomados2 a 2. Como o

número de resultados possíveis do espaço amostral é dado porC580

, temos que a probabilidade

de ganhar é:C3

5¨ C2

75

C580

“10 ¨ 2775

24040016– 0, 12%

O mesmo raciocínio segue para as apostas com números de6 e7.

Probabilidade de acertar duque (acertar2 números)

- Aposta com5 números (aposta simples):

Formando os possíveis duques, isto é, combinando os5 números tomados2 a 2. Feito isso,

combinamos os75 números restantes tomados3 a 3. Como o número de resultados possíveis

do espaço amostral é dado porC580

, temos que a probabilidade de ganhar é:

C25

¨ C375

C580

“10 ¨ 67525

24040016“

675250

24040016“ 2, 8%

O mesmo raciocínio segue para as apostas com números de6 e7.

53

A Tabela 3.1 a seguir mostra os valores atuais pagos em cada cartela e as probabilidades

de ganhar algum prêmio na mega sena. O preço de cada aposta com6 números é de R$3, 50.

Quanto mais números marcados, maior o preço da aposta e maiores as chances de ganhar.

Quantidade de números jogadosValor da aposta em reaisProbabilidade de acerto (em%)

Sena Quina Quadra6 3, 50 0, 000002 0, 00065 0, 043

7 24, 50 0, 000014 0, 0022 0, 096

8 98, 00 0, 000056 0, 0058 0, 19

9 294, 00 0, 00017 0, 0013 0, 32

10 735, 00 0, 00042 0, 0025 0, 51

11 1.617, 00 0, 00092 0, 0045 0, 78

12 3.234, 00 0, 0018 0, 076 1, 12

13 6.006, 00 0, 0034 0, 12 1, 54

14 10.510, 50 0, 006 0, 18 2, 07

15 17.517, 50 0, 01 0, 27 2, 7

Tabela 3.1

A Tabela 3.2 a seguir mostra os valores atuais pagos em cada cartela e as probabilidades

de ganhar algum prêmio na quina. O preço de cada aposta com5 números é de R$1, 50. Quanto

mais números marcados, maior o preço da aposta e maiores as chances de ganhar.

Quantidade de nos jogados Valor da aposta em reaisProbabilidade de acerto (em%)

Quina Quadra Terno Duque5 1, 50 0, 0000042 0, 0016 0, 12 2, 8

6 9, 00 0, 000025 0, 0046 0, 22 4, 04

7 31, 50 0, 000087 0, 011 0, 38 5, 43

Tabela 3.2

No próximo exemplo, usaremos o conceito de probabilidade condicional.

Exemplo 19. Um apostador tem mania de acompanhar o sorteio da Mega-Sena.No último

sorteio este apostador fez uma aposta simples e verificou o acerto dos três primeiros números

sorteados. Ele ficou eufórico. Vamos calcular a chance dele ganhar o prêmio máximo.

Considere os eventos,

Aj “ t o apostador acerta osj primeiros números sorteadosu, j “ 1, 2, 3, 4, 5, 6

Observe que o evento ganhar no sorteio na Mega-Sena éA6 e assumimos que

ocorreu o eventoA3, ou seja, que o apostador acertou os3 primeiros números sorteados.

54

Assim,

P pA6|A3q “P pA6 X A3q

P pA3q“

P pA6q ¨ P pA3|A6q

P pA3q“

P pA6q

P pA3q“

1

C660

C36

C360

« 0, 000034 “ 0, 0034%

Exemplo 20. Uma pessoa tem o sonho de ganhar na Mega-Sena. Por isso, ele está disposto a

fazer1000 apostas simples em cada concurso. A probabilidade dessa pessoa realizar o sonho

de ganhar o prêmio máximo é:

P pMq “1000

50.063.860« 0, 0002 “ 0, 002%

Se cada aposta simples custa R$3, 50, então ela teria que desembolsar R$3.500, 00

em cada concurso.

3.4. O Problema de Monty Hall

Ilydio P. Sá, apud, VIANA(2013), apresenta o seguinte problema envolvendo o con-

ceito de probabilidade condicional:

“Em um programa de auditório, o convidado deve escolher uma dentre três portas. Atrás de

uma delas há um carro e atrás de cada uma das outras duas há um bode. O convidado ganhará

o que estiver atrás da porta”.

Inicialmente, o convidado escolherá uma das três portas e então o apresentador do pro-

grama que sabe o que está atrás de cada porta, abre uma das outras duas portas sempre revelando

um dos bodes. O convidado agora tem a opção de permanecer com aporta escolhida ou trocar

pela outra porta que está fechada. Qual estratégia o convidado deverá adotar? Escolhida uma

boa estratégia que probabilidade o convidado tem de ganhar ocarro?

Esse problema aparentemente simples, causou muita controvérsia entre telespecta-

dores, palpiteiros e matemáticos profissionais. Intitulado Let´s Make a Deal, o programa de

televisão foi exibido de 1963 a 1976 nos Estados Unidos, comandado e apresentado por Monty

Hall. Segundo VIANA (2013), esse problema foi sugerido à Marilyn vos Savant, colunista

famosa que, durante anos foi considerada a pessoa com o maiorQI já registrado que era de

228. Marilyn, disse que o mais vantajoso para o convidado era mudar de porta, após o apre-

sentador revelar o primeiro bode. Ela recebeu muitas cartasafirmando, veementemente, que

55

estava errada. Muitos matemáticos e PhDS americanos concordavam que Marilyn estava er-

rada. A intuição diz claramente que se restavam duas portas,a mudança ou permanência não

faz diferença, pois a probabilidade de ganhar o carro que erade1

3passa a ser

1

2.

Segundo MLODINOW, apud VIANA,2013, um matemático da Universidade George

Mason escreveu:

“Você errou feio! Deixe - me explicar: se mostrarmos que uma das portas

não possui o prêmio, essa informação altera a probabilidade das duas escolhas

remanescentes para1

2, e nenhuma das duas apresenta motivos para ter proba-

bilidade maior que a outra. Como matemático profissional estou muito preocu-

pado com a falta de conhecimento matemático do público em geral. Por favor,

ajude a melhorar essa situação confessando o seu erro e sendo mais cuidadosa

no futuro”.

Outro matemático da Universidade Estadual de Dickinson escreveu:

“Estou chocado ao ver que, depois de ser corrigida por ao menos três matemáti-

cos, a senhora ainda não tenha percebido o erro”.

Da Universidade de Georgetown, escreveram: “Quantos matemáticos enfurecidos são

necessários para que a senhora mude de ideia?” As cartas continuavam a chegar e Marilyn

continuava firme em justificar o seu raciocínio, até que em um determinado momento não quis

falar mais nada sobre o assunto. A final, Marilyn estava certa, ou estava mesmo errada? Vamos

solucionar o problema usando probabilidade condicional.

Suponha sem perda de generalidade que o convidado tenha escolhido a portaa, e que

o apresentador abra a portab.

Considere os eventos:

• A “ t o carro está na portaau

• B “ t o carro está na portabu

• C “ t o carro está na portacu

• X “ t o apresentador abre a portabu

56

A dúvida é se a probabilidade independe da mudança ou não da porta por parte do

convidado, ou seja, será queP pA|Xq “ P pC|Xq?

Pela definição de probabilidade condicional e pelo Teorema da Multiplicação, temos

que:

P pA|Xq “P pA X Xq

P pXq“

P pAq ¨ P pX|Aq

P pXqe P pC|Xq “

P pC X Xq

P pXq“

P pCq ¨ P pX|Cq

P pXq

De acordo com o problema, temos queP pAq “ P pBq “ P pCq “1

3. Para calcular

P pXq, observamos que:

1♥Se atrás da portaa, escolhida pelo convidado, tiver o carro, então o apresentador poderá

escolher as portasb ou c para abrir. Logo,P pX|Aq “1

2.

2♥Se atrás da portab tiver o carro, então o apresentador obrigatoriamente deverá abrir a

portac, pois ele não pode não pode abrir a porta escolhida pelo convidade e nem a porta

b. Logo,P pX|Bq “ 0.

3♥Se atrás da portac tiver o carro, então o apresentador só poderá abrir a portab. Logo,

P pX|Cq “ 1.

Agora observemos:

X “ pX X Aq Y pX X Bq Y pX X Cq.

ondeX X A,X X B,X X C são mutuamente exclusivos.

Assim,

P pXq “ P pX X Aq ` pX X Bq ` pX X Cq

“ P pAq ¨ P pX|Aq ` P pBq ¨ P pX|Bq ` P pCq ¨ P pX|Cq

“1

3¨1

2`

1

3¨ 0 `

1

3¨ 1

“1

2

Portanto,

P pA|Xq “P pAq ¨ P pX|Aq

P pXq“

13 ¨ 12

12“ 13

57

e

P pC|Xq “P pCq ¨ P pX|Cq

P pXq“

13 ¨ 1

12“ 23

Concluimos então que, quando o convidado não muda de porta, a probabilidade dele

ganhar o carro é1

3. Mas, fazendo a mudança no momento oportuno, a probabilidade dele

ganhar o carro passa a ser de2

3. Isso ocorre pelo fato de que se não houver a mudança da porta

escolhida, a única forma do convidado ganhar o carro é escolhendo a porta correta na primeira

tentativa. A verificação, caso o convidado tenha escolhido as portasb e c, é feita de forma

análoga.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Transformar o modo como se ensina matemática é tarefa árdua elenta, especialmente

quando se trata do ensino e estudo de probabilidades. Mas, esse processo de mudança de-

pende de nós, professores, desenvolvermos o nosso trabalhopautado nas diversas aplicações,

curiosidades e fatos históricos que incentivem o aluno a aprender esta teoria, buscando sempre

uma relação com o nosso dia - a - dia. Vimos que os livros didáticos que abordam esse assunto,

pouco possibilita essa ligação, sempre nos remetendo a aplicações de fórmulas puramente. Pen-

sando nisso, o presente trabalho procurou visar tanto aos estudantes quanto aos professores de

matemática do ensino médio, uma abordagem que facilite a assimilação de conceitos relativos

à teoria de probabilidades e não somente a aplicação mecânica de fórmulas.

A utilização dos jogos e dos exemplos práticos do cotidiano,como prática pedagógica,

permite que o aluno vivencie situações reais dentro do tema eao mesmo tempo exige que o

discente siga um processo sequencial extremamente importante na construção do conhecimento,

que se inicia com o tratamento das informações, passa pela organização dos dados e faz o

fechamento com o cálculo de probabilidades.

Acreditamos que as propostas apresentadas neste trabalho,acrescentadas às muitas

propostas existentes e que ainda irão surgir, possam colaborar para um ensino melhor e mais

contextualizado a cerca desse conteúdo que é tão rico em aplicações.

58

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universidade federal de mato grosso campus...

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