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Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Educação

Curso de Professores do Ensino Básico

Variante de Matemática e Ciências da Natureza

Ano Lectivo: 2005/2006

Análise Infinitesimal I

Referências Teóricas

e

Actividades

Professor

Carlos M. Mesquita Morais

(Professor-adjunto)

Bragança

Instituto Politécnico de Bragança

Escola Superior de Educação

_____________________________ Carlos Morais (Professor-adjunto) Análise Infinitesimal I (2005/2006)

1

Índice

1. Objectivos (referências teóricas e actividades)------------------------------------- 3 2. Propriedades básicas dos números, conjuntos numéricos e expressões ------ 4

2.1. Propriedades Básicas dos Números-------------------------------------------------- 4 Actividade 1 (Aplicação das propriedades básicas dos números)--------------- 5 Actividade 2 (Condições)------------------------------------------------------------- 6 Actividade 3 (Conceitos relacionados com expressões)-------------------------- 7 Actividade 4 (Trabalhar com o conceito de conjunção) -------------------------- 8 Actividade 5 (Trabalhar com o conceito de sistema de equações literais)----- 9 Actividade 6 (Sistema de equações literais e discussão das soluções) ------- 10

2.2. Axiomas de Corpo e de Ordem ------------------------------------------------------ 11 Axiomas de um Corpo -------------------------------------------------------------- 11 Axiomas de Ordem ------------------------------------------------------------------ 12

2.3. Axiomática de Peano e Indução Matemática ------------------------------------- 13 2.4. Método de indução finita (completa ou matemática) --------------------------- 13

Actividade 7 (Indução Matemática) ----------------------------------------------- 14 2.5. Referência a: intervalos; conjuntos majorados, minorados e limitados;

máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto.--------------------------- 15 Intervalos----------------------------------------------------------------------------- 15 Intervalos ilimitados ----------------------------------------------------------------- 15 Actividade 8 (Intervalo, conjunto majorado, minorado e limitado;

máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto) ------------- 17 3. Funções ------------------------------------------------------------------------------------ 18

3.1. Tópicos Relacionados com Funções------------------------------------------------- 18 3.2. Propriedades das funções ------------------------------------------------------------- 18 3.3. Funções reais de variável real. Generalidades e exemplos--------------------- 19

Noções básicas sobre funções reais ----------------------------------------------- 19 3.4. Noção geométrica de gráfico de uma função real de variável real ----------- 19

Monotonia----------------------------------------------------------------------------- 21 3.5. Operações com funções reais de variável real ------------------------------------ 22

Actividade 9 (Operações com funções)------------------------------------------- 23 Actividade 10 (Domínio e contradomínio de uma função) -------------------- 24 Actividade 11 (Noções básicas sobre funções) ---------------------------------- 25 Definição de algumas funções ----------------------------------------------------- 26 Actividade 12 (Exemplos de funções reais de variável real) ------------------ 27 Actividade 13 (Função inversa)---------------------------------------------------- 28

4. Continuidade de funções: limite de uma função num ponto, função contínua num ponto -------------------------------------------------------------------- 29

Definições----------------------------------------------------------------------------- 29 Limites laterais, continuidade à direita e à esquerda---------------------------- 30 Actividade 14 (Continuidade de funções) ---------------------------------------- 31 Actividade 15 (Continuidade de funções) ---------------------------------------- 32

5. Função derivada------------------------------------------------------------------------- 33




2

5.1. Máximos e mínimos de uma função ------------------------------------------------ 34 Teoremas que relacionam as derivadas com o comportamento das

funções -------------------------------------------------------------------- 35 5.2. Esboçar o gráfico de uma função --------------------------------------------------- 36

Actividade 16 (Aplicação das definições de derivada e de tangente) -------- 37 Actividade 17 (Utilização das derivadas no esboço de um gráfico) ---------- 38 Actividade 18 (Funções e problemas que envolvem derivadas) -------------- 39 Actividade 19 (1ª derivada, 2ª derivada e gráficos de funções com

ramos) --------------------------------------------------------------------- 40 Actividade 20 (Actividades com funções, traçado de gráficos e

problemas)---------------------------------------------------------------- 41 Actividade 21 (Aplicação das derivadas ao estudo de funções)--------------- 42 Actividade 22 (Generalidades sobre funções) ----------------------------------- 43 Actividade 23 (Continuidade e derivabilidade)---------------------------------- 44 Actividade 24 (funções)------------------------------------------------------------- 45 Actividade 25 (Aplicação das derivadas à resolução de problemas) --------- 46 Actividade 26 (Aplicação das derivadas à resolução de problemas) --------- 47 Actividade 27 (Principais conteúdos desenvolvidos na disciplina)----------- 48 Actividade 28 (Principais conteúdos desenvolvidos na disciplina ) ---------- 49 Actividade 29 (Principais conteúdos desenvolvidos na disciplina ) ---------- 50 Actividade 30 (Principais conteúdos desenvolvidos na disciplina ) ---------- 51 Actividade 31 (Conteúdos desenvolvidos na disciplina) ----------------------- 52

6. Bibliografia ------------------------------------------------------------------------------- 53




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Curso de Professores do Ensino Básico-Variante de Matemática e Ciências da Natureza Disciplina: Análise Infinitesimal I (2º ano)

1. Objectivos (referências teóricas e actividades)

Com as referências teóricas e as actividades propostas pretende-se fornecer aos

alunos uma base de trabalho no sentido destes poderem:

- Aprofundar conceitos relacionados com os temas abordados na disciplina;

- Reflectir sobre conceitos matemáticos;

- Interpretar o significado de conceitos matemáticos abordados na disciplina;

- Fundamentar processos de resolução de problemas;

- Analisar, com espírito crítico, possíveis processos de resolução das actividades

propostas;

- Integrar conceitos matemáticos, nos processos de resolução de algumas

actividades.




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2. Propriedades básicas dos números, conjuntos numéricos e expressões

2.1. Propriedades Básicas dos Números As propriedades básicas dos números, baseadas em Spivak (1981), são as

seguintes: P1: a+(b+c)=(a+b)+c, quaisquer que sejam a, b e c (propriedade associativa para a

adição) P2: a+0=0+a=a, qualquer que seja a (existência de elemento neutro para a adição) P3: Para todo o número a existe um número (-a) tal que a+(-a)=0 (existência de

inverso para a adição) P4: a+b=b+a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa para a adição) P5: a.(b.c)=(a.b).c, quaisquer que sejam a, b e c (lei associativa para a

multiplicação) P6: a.1=1.a=a, qualquer que seja a (existência de elemento neutro para a

multiplicação) P7: Para todo o número a ≠ 0 existe um número a-1 tal que a.a-1=a-1.a=1

(existência de inverso para a multiplicação) P8: a.b=b.a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa para a

multiplicação) P9: a.(b+c)=a.b+a.c, quaisquer que sejam a e b (propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição) • Considerando P como o conjunto dos números positivos, podem expressar-se

as outras propriedades em termos de P P10: (propriedade da tricotomia) Qualquer que seja o número a apenas se verifica

uma e só uma das seguintes condições: i) a=0 ii) a pertence ao conjunto P iii) -a pertence ao conjunto P

P11: A adição é uma operação fechada em P. (Se a e b pertencem a P então a+b pertence a P).

P12: A multiplicação é uma operação fechada em P. (Se a e b pertencem a P então a.b pertence a P).

Notas: • As propriedades dos números relacionam-se com: adição, multiplicação, subtracção

divisão, resolução de equações, factorização e outros processos algébricos. • Considera-se a–b como uma abreviatura de a+(-b). • O produto de a e b representa-se por a.b ou ab. • As noções de a<b (a menor do que b) e a>b (a maior do que b) estão relacionadas,

pois, a<b, quer dizer o mesmo que b>a. • Os números a que satisfazem a condição a>0, chamam-se números positivos. • Os números a que satisfazem a condição a<0, chamam-se números negativos. • a<b pode interpretar-se como sendo a-b<0.




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Curso de Professores do Ensino Básico-Variante de Matemática e Ciências da Natureza

Disciplina: Análise Infinitesimal I (2º ano)

Actividade 1 (Aplicação das propriedades básicas dos números)

• Objectivo: Aplicar correctamente as propriedades básicas dos números

1. Utilizando as propriedades básicas dos números, determine o valor numérico

de cada uma das expressões, evidenciando o processo que conduziu à

obtenção do resultado.

1.1. 1+2+3;

1.2. 2+3+4+5;

1.3. 1+2+3+4+5.

1.4. 2+3+4+5+6+7;

1.5. 3+4+5+6+7+8+9.

2. Justifique as seguintes afirmações:

2.1. Se a ≠ 0 e ab = ac, então b = c;

2.2. Se 2x = 6, então x = 3;

2.3. Se 5+x = 13, então x = 8.

3. Calcule:

3.1. 9876×9877 – 9877×9875;

3.2. 333×999 – 333×99 – 333×899;

3.3. 123456×5 + 123456 + 123456 – 2×123456;

3.4. 99999×99999 – 99999×99998.

4. Utilizando as propriedades básicas dos números, resolva as equações:

4.1. 3x+4 = -18;

4.2. 5

3x-16 = 38;

4.3. –x-3=-18x+3.

5. Justifique a afirmação “Não existe qualquer número que seja inverso

multiplicativo de zero”.




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Actividade 2 (Condições)

• Objectivo: Aplicar correctamente as propriedades básicas dos números

1. Caracterize cada um dos seguintes conceitos:

1.1. Condição;

1.2. Domínio de uma condição.

2. Refira o que entende por classificar uma condição.

3. Resolva e classifique, em IR, cada uma das seguintes condições:

3.1. 4-x < 3-2x;

3.2. 5-x2 < 2x;

3.3. 2x < 8;

3.4. x

1+

x−1

1> 0;

3.5. 1

1

+

−

x

x> 0;

3.6. (x- 3 2 )(x- 2 ) > 0;

3.7. x > -x2 ;

3.8. |x| < -x2 ;

3.9. 2x = 2|x|;

3.10. -|x|=|-x|.

Nota:

Classificação das expressões Exemplos

- Sem significado 2+; e/ou; 2/0; Port

- Designatórias 2x; mãe de x

Expressões - Com variáveis Proposicionais

ou

- Possíveis x=3; 2x>8 (em ℜ )

Condições - Com significado - Impossíveis x=x+1; z ≠ z

- Designações 4; Porto; 2+3

- Sem variáveis - Valor lógico Verdade

3+2=5

- Proposições - Valor lógico

Falsidade 7-5=11




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Actividade 3 (Conceitos relacionados com expressões)

• Objectivo: Utilizar o conceito de domínio de uma expressão

1. Sejam A, B, C e D subconjuntos de IR. Determine:

1.1. Em A, o domínio da expressão 2

42

+

+

x

x, sendo A o conjunto solução da

condição |2x-4|-1 < x ;

1.2. Em B, o domínio da expressão 2

42

+

+

x

x, sendo B o conjunto solução da

condição |2x+4|-1 < x+1;

1.3. Em C, o domínio da expressão 1

42 2

−

+

x

x, sendo C o conjunto solução da

condição |2x|-1 < x+1;

1.4. Em D, o domínio da expressão 3

42

x

x −+ x , sendo D o conjunto solução da

condição || x |-1 | < x.

2. Sejam A(x) = 3x4 - 2x2 - 1 e B(x) = x3 + x + 4x2 . Determine:

2.1. Os zeros de )(

)(

xB

xA;

2.2. Os valores reais dos parâmetros p, q, r e s de modo que

(p+q2) x4 – p + qx2 – rx + s = A(x).

3. Sejam A(x) = 2x2 – x - 1 e B(x) = x3 + x + 4x2 - 26 polinómios. Determine:

3.1. Os zeros de A(x)B(x) , sabendo que B(2)=0.

3.2. O conjunto de números reais, constituído por todos os elementos que não

satisfazem a equação, A(x)B(x) = 0.

3.3. Os valores reais dos parâmetros p, q e r de modo que,

(p+q2) x2-p + qx – rx + r = A(x).




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Actividade 4 (Trabalhar com o conceito de conjunção)

• Objectivo: Desenvolver o conceito de conjunção de condições

1. Considere a condição 2x+3y+4z=9 ∧ 3x+4y+5z=12.

1.1. Resolva-a.

1.2. Apresente, caso existam, dois ternos de valores reais que satisfaçam a condição

dada.

2. Considere a condição, nas variáveis x, y e z,

4ax+by+az=2 ∧ ax+by+z=0 ∧ 2ax+2y-4x=0.

2.1. Determine, caso existam, os valores de a e b para os quais a condição admite como

solução um terno de números ímpares e consecutivos, cuja soma é igual a 21.

2.2. Resolva a condição em ordem a x, y e z.

3. Considere a condição, nas variáveis x, y e z,

3x+4by+c=0 ∧ ax+4b+cy=0 ∧ x+y+bz=0.

3.1. Determine os valores possíveis para a, b e c de tal modo que a condição admita

como solução um terno de valores pares e consecutivos cuja soma seja 12.

3.2. Substitua na condição dada, os valores encontrados para a, b e c e resolva-a.

4. Considere o seguinte sistema de equações, nas variáveis x, y e z,

3x+4by+c=0 ∧ ax+4b+cy=0 ∧ x+y+bz=0.

4.1. Determine os valores possíveis para a, b e c de tal modo que o sistema admita como

solução um terno de valores primos distintos e inferiores a 7.

4.2. Substitua no sistema dado os valores encontrados para a, b e c e resolva-o em

ordem a x, y e z.




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Actividade 5 (Trabalhar com o conceito de sistema de equações literais)

• Objectivo: Operar com sistemas de equações literais

1. Considere o sistema:

=−+

=++

=++

0422

0

24

xyax

zbyax

azcyabx

a, b, c ∈ IR

1.1. Determine caso existam, os valores de a, b e c para os quais o sistema admite como solução um terno de números primos cuja soma é igual a 10.

1.2. Substitua a, b e c pelos valores encontrados na alínea anterior e resolva o sistema em ordem a x, y e z.


2x + by + cz = ax + 3y

3ax + 4by = 5y + 5

x + 2by = 3

2.1. Comente a afirmação: "o sistema admite como solução qualquer terno de números reais".

2.2. Atribua a x o valor 2, a y o valor 3 e resolva-o em ordem a a, b e c.

3. Considere o seguinte sistema de equações nas variáveis x, y, e z,

3x + 4by + c = 0

ax + 4b + cy = 0

x + y + bz = 0

a, b, c ∈ IR

3.1. Determine os valores possíveis para a, b e c de tal modo que o sistema admita como solução um terno de valores primos distintos e inferiores a 7.

3.2. Substitua no sistema dado os valores encontrados para a, b, c e resolva-o em ordem a x, y e z.




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Actividade 6 (Sistema de equações literais e discussão das soluções)

• Objectivo: Operar com sistemas de equações literais e discutir a solução


=−+

=++

+=++

0422

0

224

xcyax

czbcyacx

zaxazcyabx

a, b, c ∈ IR

1.1. Determine caso existam, os valores de a, b e c para os quais o sistema admita como

solução qualquer terno de valores reais.

1.2. Escolha valores para a, b e c, de tal forma que o sistema admita uma única solução.

1.3. Resolva o sistema em ordem a x, y e z.

2. Proponha um sistema de equações cuja solução seja:

2.1. O par (1, 2);

2.2. O terno (1, 2, 3);

2.3. O terno (0, 0, 0).

3. Proponha o enunciado de um problema que possa ser traduzido por:

3.1. x=3y+1;

3.2. x+z=13;

3.3. x+y+z=2x+y.




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2.2. Axiomas de Corpo e de Ordem Corpo

Um corpo é um terno (C, +, .) constituído por um conjunto e duas operações tais que (C, +) e (C\{0}, .) são grupos abelianos e a multiplicação é distributiva em relação à adição.

Grupo Um par (G, *) constituído por um conjunto G (não vazio) e uma operação binária GxG ----->G diz-se um grupo se verifica os seguintes axiomas: A1: (Associativa)-Para todo o a, b e c ∈ G, (a*b)*c=a*(b*c) A2: (Existência de elemento neutro)-Existe em G um elemento e tal que, para

todo o a em G, a*e=e*a=a A3: (Existência de inverso)-Para cada a em G existe um a’ em G tal que

a’ * a=a * a’=e • Um grupo (G, *) diz-se comutativo ou abeliano se verifica também A4: (comutativa)-Para todo a, b em G, a * b=b* a

Axiomas de um Corpo

Axioma 1. A adição e a multiplicação são operações comutativas, no conjunto dos reais.

x+y=y+x; xy=yx

Axioma 2. A adição e a multiplicação são operações associativas, no conjunto dos reais.

(x+y)+z=x+(y+z); (xy)z=x (yz)

Axioma 3. A multiplicação é distributiva em relação à adição.

x(y+z)=xy+xz, quaisquer que sejam x, y, z ∈ IR Axioma 4.

A adição e a multiplicação são operações com elemento neutro; os elementos neutros das duas operações são números reais distintos. Axioma 5.

Todo o número real tem simétrico (isto é, qualquer que seja o número real x existe pelo menos um y ∈ IR tal que x+y=0); todo o real distinto de zero tem inverso (qualquer que seja o real x ≠ 0, existe pelo menos um y ∈ IR tal que xy=1).




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Axiomas de Ordem

Axioma 6.

O conjunto dos números positivos IR+, é um subconjunto de IR fechado para as operações de adição e de multiplicação.

Axioma 7.

Qualquer real distinto de zero é positivo ou negativo.

Actividade:

1) Verificar se o par {IR|{0}, ×} é um grupo;

2) Verificar se o terno {IR, +, ×} é um corpo.

Algumas notações

Notação Leitura usual Descrição

a=b a igual a b a e b são designações do mesmo objecto

a ≠ b a diferente de b a e b não designam o mesmo objecto

x∈A x pertence a A O objecto x é um elemento do conjunto A

x∉A x não pertence a A O objecto x não é um elemento do conjunto A

A ⊂ B A está contido em B A é subconjunto de B ou

A é uma parte de B

A ⊃ B A contém B A é um sobreconjunto de B

A=B A igual a B A ⊂ B e B ⊂ A




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2.3. Axiomática de Peano e Indução Matemática

Giuseffe Peano (1858-1932) desenvolveu uma axiomática para os números

naturais constituída por cinco axiomas (A1-A5).

A1-Um (1) é um número natural.

A2-Todo o número natural tem um sucessor que é ainda um número natural.

A3-Um não é sucessor de qualquer número natural.

A4-Os números naturais a e b, a ≠ b, não têm o mesmo sucessor.

A5-Princípio de indução finita (completa ou matemática)

Todo o subconjunto do conjunto IN dos números naturais que contenha o

número um e que contendo um número natural contém o seu sucessor, coincide

com o conjunto IN dos números naturais.

2.4. Método de indução finita (completa ou matemática)

Se num enunciado,

T(1) é verdadeiro e se

T(n+1) é verdadeiro sempre que T(n) o seja.

Então T(n) é verdadeiro para todo o número natural n.

Actividade

1. Comente cada uma das afirmações:

1.1. A importância da indução matemática tem aumentado com a tentativa de

introdução das tecnologias de informação no processo de ensino-aprendizagem;

1.2. O método de indução matemática permite relacionar, com alguma confiança, o

finito com o infinito;

1.3. Existem questões na vida real, cuja resolução implica a utilização do método de

indução matemática.




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Actividade 7 (Indução Matemática)

• Objectivo: Compreender a indução matemática e as suas aplicações

1. Demonstre, utilizando o método de indução matemática, as seguintes proposições:

1.1. 1+...+n=[2

1n(n+1)], ∀n∈ IN;

1.2. 13+...+n3 =(1 +...+ n)2 , ∀n∈ IN;

1.3. ∑=

n

k

k1

2 =6

1n(n+1)(2n+1) , ∀n∈ IN;

1.4. ∑=

−n

k

k1

)12( =n2 , ∀n∈ IN;

1.5. (-1)n+(-1)n+1=0 , ∀n∈ IN;

1.6. 2+7+12+...+(5n-3) = )15(2

−nn

, ∀n∈ IN.

3. Deduza uma fórmula que permita determinar a soma dos n primeiros números

naturais. Prove, utilizando o método de indução matemática, a validade da fórmula

encontrada.

4. Deduza uma fórmula que permita determinar a soma das n primeiras potências

naturais de um número. Prove, utilizando o método de indução matemática, a

validade da fórmula encontrada.




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2.5. Referência a: intervalos; conjuntos majorados, minorados e limitados; máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto.

Intervalos

Sejam a e b ∈ IR, designam-se por intervalos de números reais os conjuntos:

Intervalos limitados

• [a, b]-intervalo fechado de extremos a e b, constituído por x∈IR que satisfazem a

condição: a ≤ x ≤ b;

• ]a, b[-intervalo aberto de extremos a e b, constituído por x∈IR que satisfazem a

condição: a<x<b;

• [a, b[-intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por

x∈IR que satisfazem a condição: a ≤ x<b;

• ]a, b]-intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por

x∈IR que satisfazem a condição: a<x ≤ b;

Intervalos ilimitados

• [a, + ∞ [-intervalo de origem a, fechado, ilimitado à direita, constituído por x∈IR

que satisfazem a condição: x ≥ a;

• ]a, + ∞ [-intervalo de origem a, aberto, ilimitado à direita, constituído por x∈IR que

satisfazem a condição: x>a;

• ]- ∞ , b]-intervalo de extremidade b, fechado, ilimitado à esquerda, constituído por

x∈IR que satisfazem a condição: x ≤ b;

• ]- ∞ , b[-intervalo de extremidade b, aberto, ilimitado à esquerda, constituído por

x∈IR que satisfazem a condição: x<b;

• ]- ∞ , + ∞ [-intervalo ilimitado, geralmente identificado com o conjunto IR dos

números reais.




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Conjuntos majorados, minorados e limitados

Sejam a e b ∈ IR, e K um subconjunto de IR. Diz-se que:

• b é um majorante do conjunto K se e só se (sse) qualquer elemento de K é menor ou

igual a b;

• K é majorado (ou limitado superiormente ou limitado à direita) sse tiver pelo menos

um majorante;

• a é um minorante do conjunto K sse qualquer elemento de K é maior ou igual a a;

• K é minorado (ou limitado inferiormente ou limitado à esquerda) sse tiver pelo

menos um minorante;

• K é limitado sse for majorado e minorado;

• K é ilimitado se não for limitado.

Máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto

Sejam a, b, c, d ∈ IR e K um subconjunto de IR. Diz-se que:

• b é o elemento máximo do conjunto K (max K) sse b∈K e b é um majorante de K;

• a é o elemento mínimo do conjunto K (min K) sse a∈K e a é um minorante de K;

• c é o supremo do conjunto K (sup K) sse c é o mínimo de V, sendo V o conjunto

dos majorantes de K;

• d é o ínfimo do conjunto K (inf K) sse d é o máximo de U, sendo U o conjunto dos

minorantes de K.




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Actividade 8 (Intervalo, conjunto majorado, minorado e limitado; máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto)

• Objectivo: Consolidar os conceitos de: intervalo; conjunto majorado,

minorado e limitado; máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto

1. Considere os seguintes subconjuntos de IR:

A=[-4, 0[ ∪ ]2, 6[ ∪ [10,12] ∪ {-7, 100}; B={x: |x-3|=2|x|}; C={y: y2<2y

1}.

1.1. Determine, caso exista: 1.1.1. o conjunto dos majorantes do conjunto A; 1.1.2. o conjunto dos minorantes do conjunto A; 1.1.3. o máximo, o mínimo o ínfimo e o supremo do conjunto A;

1.2. Verifique se o conjunto A:

1.2.1. é majorado; 1.2.2. é minorado; 1.2.3. é limitado;

1.3. Determine, caso exista:

1.3.1. o conjunto dos majorantes do conjunto B; 1.3.2. o conjunto dos minorantes do conjunto B; 1.3.3. o máximo, o mínimo o ínfimo e o supremo do conjunto B;

1.4. Verifique se o conjunto B:

1.4.1. é majorado; 1.4.2. é minorado; 1.4.3. é limitado;

1.5. Determine, caso exista:

1.5.1. o conjunto dos majorantes do conjunto C; 1.5.2. o conjunto dos minorantes do conjunto C; 1.5.3. o máximo, o mínimo o ínfimo e o supremo do conjunto C;

1.6. Verifique se o conjunto C:

1.6.1. é majorado; 1.6.2. é minorado; 1.6.3. é limitado.




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3. Funções

3.1. Tópicos Relacionados com Funções

• As correspondências podem ser ou unívocas ou não unívocas;

• Chama-se função f de A em B a toda a correspondência unívoca de A para

B, e representa-se por f: A _____> B;

• Uma função é uma colecção de pares de números tais que: se (a, b) e (a, c)

pertencem ambos à colecção então b=c.

• Se f é uma função, o domínio de f é o conjunto de todos os a para os quais

existe algum b, tais que (a, b) pertence a f. Se a pertence ao domínio de f

então existe um único b tal que (a, b) pertence a f. Este b único designa-se

por f(a);

• Seja f: A _____> B, então:

• Domínio de f, Df={a ∈ A: ∃ b ∈ B: f(a)=b};

• Conjunto de chegada de f, Cchf=B;

• Contradomínio de f, Cdf={y ∈ B: ∃ x ∈ A: f(x)=y}

• Caracterizar uma função f, significa conhecer:

• Domínio de f;

• Conjunto de chegada de f;

• Processo pelo qual cada elemento do domínio é transformado num

elemento do conjunto de chegada.

3.2. Propriedades das funções

• Seja f: A _____> B:

• f é injectiva ⇔ f(x)=f(y) ⇒ x=y , ∀ x, y ∈Df

• f é sobrejectiva ⇔ ∀ y∈B, ∃ x ∈ A: f(x)=y;

• f é bijectiva ⇔ f é injectiva e f é sobrejectiva.




19

Curso de Professores do Ensino Básico- Variante de Matemática e Ciências da Natureza


3.3. Funções reais de variável real. Generalidades e exemplos

Noções básicas sobre funções reais

Segundo Ferreira (1985), intuitivamente pode interpretar-se uma função f

definida num certo conjunto D e com valores num conjunto E, como uma regra que faz

corresponder a cada elemento x de D um único elemento f(x) de E. O conjunto D é

chamado domínio de f e o subconjunto C de E formado por todos os elementos f(x),

com x∈D é o contradomínio de f.

Sejam f: D _______ > E, C ⊂ E

- Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assume são números

reais, isto é, se C ⊂ IR (qualquer que seja o conjunto D);

- Diz-se que f é uma função de variável real se D ⊂ IR (qualquer que seja C);

- Uma função real de variável real é qualquer função cujo domínio e

contradomínio sejam subconjuntos do conjunto dos números reais.

3.4. Noção geométrica de gráfico de uma função real de variável real

Fixado num plano um referencial cartesiano (que suporemos sempre de eixos

ortogonais, orientados do modo usual e com a mesma unidade de medida) o gráfico da

função f (no referencial considerado) é o conjunto de todos os pontos do plano

correspondentes a pares (x, f(x)) com x pertencente ao domínio de f.

Exemplos:

- O gráfico da função identicamente nula (com o valor 0 em qualquer ponto x∈IR) é o eixo das abcissas;

- O gráfico da função identidade I(x)=x para qualquer ponto x∈IR é a bissectriz dos quadrantes ímpares;

- O gráfico da função módulo (isto é da função ψ: IR_______> IR, tal que ψ(x)=|x|, qualquer que seja x∈IR) é a reunião das bissectrizes do 1º e do 2º quadrantes.




20



Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto qualquer de D (A ⊂ D):

- Chama-se imagem ou transformado do conjunto A pela função f e designa-se por f(A) o conjunto de todos os valores que f assume em pontos x∈A, ou seja, f(A)={y: ∃ x∈A: f(x)=y};

- Diz-se que a função f é majorada no conjunto A se e só se (sse) f(A) é um conjunto majorado (em IR);

- Diz-se que a função f é minorada no conjunto A se e só se f(A) é um conjunto minorado (em IR);

- Quando se diz que a função f é majorada sem mencionar qualquer conjunto A, pretende-se significar que f é majorada no seu domínio, D, isto é, que o seu contradomínio f(D) é um conjunto majorado;

- Quando se diz que a função f é minorada sem mencionar qualquer conjunto A, pretende-se significar que f é minorada no seu domínio, D, isto é, que o seu contradomínio f(D) é um conjunto minorado;

- No caso de f ser majorada e minorada em A, diz-se que f é limitada nesse conjunto: na hipótese contrária diz-se que f é ilimitada em A;

- Sendo f majorada em A (A ≠ Ø), chama-se supremo da função f no conjunto A ao supremo do conjunto f(A). No caso de f não ser majorada em A convenciona-se que o seu supremo em A é + ∞ ;

- Quando o conjunto f(A) tiver máximo, diz-se que a função f tem máximo no conjunto A .

- Sendo f majorada em A (A ≠ Ø), chama-se ínfimo da função f no conjunto A ao ínfimo do conjunto f(A). No caso de f não ser minorada em A convenciona-se que o seu ínfimo em A é - ∞ ;

- Quando o conjunto f(A) tiver mínimo, diz-se que a função f tem mínimo no conjunto A .




21



Monotonia

Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto qualquer de D

(A ⊂ D):

- Diz-se que f é crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2

∈A, se tiver f(x1) ≤ f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se disser

apenas que f é crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve

entender-se que f é crescente em todo o seu domínio;

- Diz-se que f é estritamente crescente no conjunto A sse quaisquer que

sejam x1, x2 ∈A, se tiver f(x1)<f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se

disser apenas que f é estritamente crescente, sem indicar qualquer

conjunto A, deve entender-se que f é estritamente crescente em todo o

seu domínio;

- Diz-se que f é decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1,

x2 ∈A, se tiver f(x1) ≤ f(x2) sempre que seja x1>x2. Quando se disser

apenas que f é decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve

entender-se que f é decrescente em todo o seu domínio;

- Diz-se que f é estritamente decrescente no conjunto A sse quaisquer

que sejam x1, x2 ∈A, se tiver f(x1)< f(x2) sempre que seja x1>x2.

Quando se disser apenas que f é estritamente decrescente, sem indicar

qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente decrescente

em todo o seu domínio;

- Diz-se que f é monótona em A sse f for crescente ou decrescente nesse

conjunto e que f é estritamente monótona em A sse for estritamente

crescente ou estritamente decrescente em A .




22


3.5. Operações com funções reais de variável real

• Uma função f diz-se real de variável real se e só se o domínio de f é um

subconjunto de IR e o conjunto de chegada de f é igual a IR.

• Sejam f e g funções reais de variável real,

• Soma de f e g, representa-se por f+g, e caracteriza-se:

• D f+g=Df ∩ Dg;

• (f+g)(x)=f(x)+g(x), ∀ x∈ D f+g;

• Cch f+g=IR.

• Diferença de f e g, representa-se por f-g, e caracteriza-se:

• D f-g=Df ∩ Dg;

• (f-g)(x)=f(x)-g(x), ∀ x∈ D f-g;

• Cch f-g=IR.

• Produto de f e g, representa-se por f.g, e caracteriza-se:

• D f.g=Df ∩ Dg;

• (f.g)(x)=f(x) . g(x), ∀ x∈ D f.g;

• Cch f.g=IR.

• Quociente de f e g, representa-se por g

f, e caracteriza-se:

• Dg

f =(Df ∩ Dg)\{x ∈ Dg: g(x)=0};

• (g

f )(x)=)(

)(

xg

xf, ∀ x∈ D

g

f ;

• Cch f/g=IR.

• Composição de f e g, representa-se por fog, e caracteriza-se:

• D fog={x: x∈Dg ∧ g(x)∈Df};

• (fog)(x)=f[g(x)], ∀ x∈D fog;

• Cch fog=IR.




23


Actividade 9 (Operações com funções)

• Objectivo: Explorar conceitos associados a funções reais de variável real.

1. Sejam f e g funções reais de variável real, tais que: f(x)=3x+5 e g(x)=1

1

+x,

1.1. Determine o domínio e o contradomínio da função f;

1.2. Caracterize: f+g, f-g, f.g, g

f, fog.

2. Sejam f e g funções reais de variável real, tais que: f(x)= 42 +x e g(x)=||x|+4|.


2.2. Caracterize: f+g; f-g; f.g; g

f; fog.

2.3. Resolva em IR, a inequação: g(x)>4;

2.4. Estude relativamente à injectividade e à sobrejectividade a função g;

3. Sejam f e g funções reais de variável real tais que:

f(x)=2x-4 e g(x)=x

xx || 2 +.

3.1. Defina função injectiva. Verifique se a função g é injectiva;

3.2. Caracterize gof e determine (gof)(3);

3.3. Resolva as inequações:

3.3.1 g(x)>0;

3.3.2 g(x)<0.




24


Actividade 10 (Domínio e contradomínio de uma função)

• Objectivo: Explorar conceitos associados a funções reais de variável real.

1. Sejam f, g e h, funções reais de variável real, tais que:

f(x)= 44 2 +− x ; g(x)=|x-1| -1 ; h(x)=2

1

x,

1.1. Determine o domínio e o contradomínio da função:

1.1.1. f;

1.1.2. g;

1.1.3. h.

1.2. Caracterize:

1.2.1. fog;

1.2.2. fof;

1.2.3. gog.

1.3. Estude relativamente à injectividade e à sobrejectividade:

1.3.1. f;

1.3.2. g;

1.3.3. h.

1.4. Resolva as equações:

1.4.1. (fof)(x)=2;

1.4.2. (fof)(x)=(fog)(x);

1.4.3. (foh)(x)=(hof)(x).




25



Actividade 11 (Noções básicas sobre funções)

• Objectivo: consolidar conceitos associados a funções reais de variável real.

1. Considere as funções reais de variável real: f, g e h, funções reais de variável real,

tais que:

f(x)= 44 2 +− x ; g(x)=|x-1| -1 ; h(x)=3x+5; i(x)=5x-1.

1.1. Determine, caso seja possível:

1.1.1. O domínio F de f e f(F);

1.1.2. O máximo, o mínimo, o supremo, o ínfimo de f em F.

1.1.3. O domínio G de g e g(G);

1.1.4. O máximo, o mínimo, o supremo, o ínfimo da função g no conjunto G;

1.1.5. O domínio H de h e h(H);

1.1.6. O máximo, o mínimo, o supremo, o ínfimo da função h no conjunto H.

1.2. Verifique se a função:

1.2.1. h é crescente;

1.2.2. i é decrescente;

1.2.3. g é decrescente;

1.2.4. hoi é crescente;

1.2.5. iog é decrescente;

1.2.6. hoh é crescente;

1.2.7. gog é decrescente;

1.2.8. g é monótona;

1.2.9. f é limitada;

1.2.10. g é limitada.




26



Definição de algumas funções

• Funções polinomiais

Designam-se por funções polinomiais, as funções definidas em IR, por

fórmulas do tipo: P(x)= apxp+ ap-1x

p-1+...+ a0 , com p∈IN0 e a0, a1, ..., ap∈IR;

• Se P(x)= a0, então a função P(x) é uma função constante;

• Se P(x)= a1x+a0, então a função P(x) é uma função afim;

• Se P(x)= a2x2+ a1x+a0, (com a2 ≠ 0), então a função P(x) é uma função

quadrática.

• Função racional

Designa-se por função racional, qualquer função que possa ser definida por

uma fórmula do tipo: f(x)=Q(x)

P(x), com P(x) e Q(x) polinómios em x.

• Função par

Uma função real f, definida em IR, diz-se par sse, para cada x∈IR, f(x)=f(-x).

• Função ímpar

Uma função real f, definida em IR, diz-se ímpar sse, para cada x∈IR,

f(x)= -f(-x).

• Função inversa

Seja f uma função real de variável real, tal que: f: D _______> IR é injectiva.

A função inversa de f é por definição, a aplicação g: f(D) _______> IR, tal que

g(f(x))=x, para cada x pertencente a D.

- Toda a função injectiva tem inversa. O domínio da função inversa é o

contradomínio da função dada.




27



Actividade 12 (Exemplos de funções reais de variável real)

• Objectivo: consolidar conceitos acerca de casos particulares de funções reais

de variável real.

1. Considere a função real de variável real, P(x)= apxp+ ap-1x

p-1+...+ a0.

Determine, caso existam, possíveis valores para a0, a1, ..., ap de tal modo que:

1.1. P(x) seja uma função que representa um polinómio de 5º grau;

1.2. P(x) seja uma função cujo contradomínio é o conjunto {4};

1.3. P(x) seja uma função cujo contradomínio é o conjunto {-6};

1.4. P(x) seja uma função constante;

1.5. P(x) seja uma função afim;

1.6. P(x) seja uma função quadrática;

1.7. P(x) seja uma função par;

1.8. P(x) seja uma função ímpar;

1.9. P(x) seja uma função injectiva.

2. Considere a função real de variável real, f(x)= 5

3x+4.

2.1. Mostre que a função f é injectiva;

2.2. Caracterize a função inversa de f;

2.3. Verifique se a função f é crescente;

2.4. Verifique se a função f é decrescente;

2.5. Justifique a afirmação: “a função f é monótona”.

3. Considere a função real de variável real, f(x)= x2-1, resolva, em IR as

seguintes equações:

3.1. 2)f(x)-(x

f(x) =0;

3.2. 2)f(x)-(x

1)f(x)-(2x =0;

3.3. (x2-1)[f(x)]2 =0;




28


Actividade 13 (Função inversa)

• Objectivo: compreender e aplicar conceitos relacionados com a função inversa de uma função dada.

Propriedades:

1. Toda a função injectiva tem inversa. O domínio da função inversa é o contradomínio da função dada;

2. Se f e g são funções bijectivas, então fog é uma função bijectiva;

3. Se fog é uma função injectiva, então (fog) 1− =g 1−of 1− .

Definição: - Chama-se zero ou raiz de uma função f a todo o elemento do domínio de f,

cuja imagem por f é zero.

Exercicíos

1. Seja f uma função real de variável real, tal que: f(x)=x

1, se x ≠ 0 e f(x)=0, se x=0.

Verifique se f é bijectiva.

2. Seja g uma função real de variável real, tal que: g(x)= 22 x+ .

2.1. Estude g relativamente à injectividade no conjunto IR + ;

2.2. Caracterize, caso exista, a inversa da função g restrita ao conjunto IR + .

3. Sejam f e g funções reais de variável real, tais que: f(x)=2x+3; g(x) =x

2;

h(x)=2

42

+

−

x

x.

3.1. Caracterize:

3.1.1. f 1− ;

3.1.2. g 1− ;

3.1.3. (fog) 1− ;

3.1.4. (gof) 1− . 3.2. Determine, caso existam, os zeros de: 3.2.1. g; 3.2.2. h;

3.2.3. (fog) 1− ;

3.2.4. (gof) 1− .

4. Prove que: "se f e g são funções injectivas então gof é uma função injectiva".




29


4. Continuidade de funções: limite de uma função num ponto, função contínua num ponto

Definições

1. Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂ IR, a∈IR um ponto aderente a D e b um número real. Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a (ou que b é o limite de f no ponto a) e escreve-se

ax→lim f(x)=b ou

alim f(x)=b sse, qualquer que seja

o número positivo ε existir δ >0 tal que, qualquer que seja x∈ D verificando a condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-b|<ε . Simbolicamente:

ax→lim f(x)=b ⇔ ∀ ε >0, ∃ δ >0, ∀ x, 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-b|<ε .

Nota: a é aderente a X sse, qualquer que seja ε >0, Vε (a) ∩ X ≠ Ø

2. Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂ IR e seja a um ponto de D. Diz-se que f é uma função continua em a sse, qualquer que seja o número positivo ε existir δ >0, tal que sempre que x seja um ponto de D e verifique a condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-f(a)|<ε . Simbolicamente:

f é contínua no ponto a ⇔ ∀ ε >0, ∃ δ >0, ∀ x (x ∈D ∧ |x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε .

3. Conclui-se que f é contínua em a se ax→

lim f(x)=f(a).

4. Sejam f e g duas funções com domínios Df e Dg , respectivamente. Diz-se que g é um prolongamento de f (ou que f é uma restrição de g) sse Df ⊂ Dg e, para todo o x∈ Df , se verifica a igualdade: f(x)=g(x).

5. Sendo a um ponto aderente ao domínio D da função f (com a∈ D ou a∉ D), diz-se que f é prolongável por continuidade ao ponto a sse existir um prolongamento F de f, com domínio D ∪ {a} e contínuo no ponto a. A função F chama-se prolongamento por continuidade de f ao ponto a. Assim, caso exista, o domínio de F é D ∪ {a}, o

conjunto de chegada é IR e F(x)=

=

∈

→axsexf

Dxsexf

ax...),...(lim

.....),....(




30


Limites laterais, continuidade à direita e à esquerda

1. Teoremas

Se f: D _______> IR e g: E _______> IR têm limite no ponto a, e se este ponto é aderente a D ∩ E, então, têm limite nesse ponto as funções:

i) f+g, verificando-se a igualdade: ax→

lim (f+g)=ax→

lim f+ax→

lim g;

ii) f-g, verificando-se a igualdade: ax→

lim (f-g)=ax→

lim f-ax→

lim g;

iii) f.g, verificando-se a igualdade: ax→

lim (f.g) =ax→

lim f . ax→

lim g;

iv) g

f (se

ax→lim g(x) 0≠ ), verificando-se:

ax→lim

g

f=

g

f

ax

ax

→

→

lim

lim.

2. Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂ IR, a∈IR um ponto aderente a D.

i) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D ∩ ]a, + ∞ [ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a, representa-se por

+→axlim f(x);

ii) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D ∩ ]- ∞ , a[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à esquerda ou limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores a a, representa-se por

−→axlim f(x);

iii) O limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D\{a} (quando existe) chama-se limite de f no ponto a por valores distintos de a, representa-se por

ax→lim

ax

xf≠

)( .

3. Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂ IR, a∈ D.

i) f é contínua à direita no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D ∩ ]a, + ∞ [ for contínua em a;

ii) f é contínua à esquerda no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D ∩ ]-∞ , a[ for contínua em a;

iii) f é contínua no ponto a sse f for contínua à direita e à esquerda no ponto a.

4. Diz-se que f é continua no intervalo aberto ]a, b[ se f é contínua em todos os pontos desse intervalo.

5. Uma função f é continua num intervalo fechado [a, b] se:

i) f é continua no intervalo aberto ]a, b[;

ii) f é contínua à direita no ponto a;

iii) f é contínua à esquerda no ponto b.




31



Actividade 14 (Continuidade de funções)

• Objectivo: compreender e aplicar conceitos relacionados com continuidade de

funções.


f(x)=2x-4 e g(x)=x

xx || 2 +.

1.1. Prove utilizando a definição de limite de uma função num ponto, que

1.1.1. 3

2lim

→x

f(x) =-3

8 ;

1.1.2. 2

1lim

→x

f(x)=-3 .

1.2. Estude g relativamente à continuidade no intervalo [-4, 4] ;

1.3. Apresente, caso exista, um prolongamento por continuidade G, de g a {0}.

2. Prove que, se f e g são funções contínuas no ponto a, então:

2.1. f+g é continua em a;

2.2. f-g é contínua em a;

2.3. f.g é continua em a;

3. Prove que: não existe limite da função f(x)= |x-1|x-1 , quando x tende para 1.

4. Defina uma função h, que seja continua em IR, admita como ponto máximo x=1 e

f(2)=2. Esboce o gráfico da função que definiu.




32



Actividade 15 (Continuidade de funções)

• Objectivo: aplicar conceitos relacionados com continuidade de funções.


f(x)= 44 2 +− x ; g(x)=|x-2| -1 ; h(x)=2

1

x

1.1. Estude a função g relativamente à continuidade;

1.2. Verifique se a função:

1.2.1. f é contínua em cada um dos pontos –1, 0, 1;

1.2.2. h

g é contínua no ponto 2;

1.2.3. f.g é contínua no ponto 0;

1.2.4. g+h é continua no ponto –5.

2. Considere a função f(x)=ax4+bx3+4. Determine, caso existam, os valores de a e b, tais que a função:

2.1. Admite como raízes -2 e 1;

2.2. Determine o limite da função encontrada, na alínea anterior, quando x tende para 2;

2.3. Comente a afirmação “f é uma função contínua”.

3. Defina uma função f, contínua,

3.1. No intervalo [-3, 4], sabendo que faz parte do seu gráfico o ponto (–2, 4);

3.2. No intervalo [0, 6], sabendo que f(0)=-5 e f(6)=5;

3.3. No intervalo [-3, 6], sabendo que f(-3)=5, f(0) =-5 e f(6)=5;

3.4. Em IR, atinge o valor máximo no ponto x=2 e o valor mínimo no ponto x=4;

3.5. No ponto x= 4.




33

Curso de Professores do Ensino Básico-Variante de Matemática e Ciências da Natureza Disciplina: Análise Infinitesimal I

5. Função derivada

• Razão incremental

Seja f uma função definida num conjunto D ⊂ IR e seja a um ponto interior a D. Chama-se razão incremental da função f no ponto a, à função ρ : D\{a} → IR,

definida pela fórmula: ρ (x)=ax

afxf

−

− )()(.

• Derivada de uma função num ponto

Chama-se derivada da função f no ponto a ao limite (quando existe) da função ρ (x) quando x tende para a. A derivada da função f no ponto a representa-se por f ’(a),

f ’(a)=ax→

limax

afxf

−

− )()(.

Pondo x=a+h, obtém-se a fórmula,

f ’(a)=0

lim→h h

afhaf )()( −+, que por vezes é mais cómoda a sua utilização.

• Tangente a um gráfico num ponto

Se f ’(a) existe e é finita, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto P(a, f (a)), à recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ’(a).

• Algumas regras de derivação

Se k é uma constante, u=ϕ (x) e v=ψ (x) são funções para as quais existem derivadas, então:

a) (k)’= 0;

b) (x)’= 1;

c) (u+v)’= (u)’+(v)’;

d) (u-v)’= (u)’-(v)’;

e) (uv)’= u’v+uv’;

f) (v

u)’=

2v

uv'-vu', v 0≠

g) (un)’=nun-1 u’

h) (xn)’=nxn-1




34


5.1. Máximos e mínimos de uma função

• Ponto máximo e valor máximo

Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.

x∈A diz-se ponto máximo de f em A se f(x) ≥ f(y), ∀ y∈A; o valor f(x) chama-se valor máximo de f em A .

• Ponto mínimo e valor mínimo


z∈A diz-se ponto mínimo de f em A se f(z) ≤ f(y), ∀ y∈A; o valor f(z) chama-se valor mínimo de f em A .

• Ponto máximo local


x∈A diz-se ponto máximo local de f em A, se existe algum ∂ >0, tal que x é ponto máximo em A ∩ ]x- ∂ , x+ ∂ [.

• Ponto mínimo local


z∈A diz-se ponto mínimo local de f em A, se existe algum ∂ >0, tal que x é ponto mínimo em A ∩ ]z- ∂ , z+ ∂ [.

• Ponto singular

Chama-se ponto singular de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’(x)=0.

• Ponto de inflexão

Chama-se ponto de inflexão de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’’(x)=0.

• Pontos candidatos a máximos ou mínimos Para determinar os pontos máximos ou mínimos de uma função f no intervalo

[a, b], devem-se considerar três classes de pontos: 1) pontos singulares em ]a, b[; 2) extremos a e b; 3) pontos x∈]a, b[ tais que f não é derivável em x.

• Aplicação

Determinar os pontos máximos e mínimos relativos da função f(x)=x3-3x, no intervalo [-3, 4], bem como os respectivos valores máximos e mínimos.




35


Teoremas que relacionam as derivadas com o comportamento das funções

• Teoremas Sejam I um intervalo, I⊂ Df, f uma função.

1) Se f ’(x)=0, ∀ x∈I, então f é constante em I;

2) Se f ’(x)>0, ∀ x∈I, então f é crescente em I;

3) Se f ’(x)<0, ∀ x∈I, então f é decrescente em I;

4) Se f ’’(x)>0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para cima;

5) Se f ’’(x)<0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para baixo;

6) Se f ’’(x)=0, então o gráfico de f muda o sentido da concavidade;

7) Se f ’(x)=0 e f ’’(x)>0, então f tem um mínimo local em x;

8) Se f ’(x)=0 e f ’’(x)<0, então f tem um máximo local em x.

• Teorema 9

Se f está definida em ]a, b[, tem um máximo ou mínimo local em x∈]a, b[ e f é derivável em x, então f ’(x)=0.

• Teorema 10

Se f é derivável em x, então f é contínua em x.

• Teorema 11

Se g é uma função derivável em a e f é uma função derivável em g(a), então fog é derivável em a, e (fog)’(a)= f ’(g(a))g’(a).

• Aplicação Determinar a expressão da função derivada: 1) f(x)=cos (x2); 2) g(x)=sen2(x); 3) h(x)=sen(sen (x2)); 4) k(x)=sen2(xsen(x)).

• Teorema 12

Se f é uma função contínua em [a, b], derivável em ]a, b[ e f(a)=f(b), então existe x∈]a, b[ tal que f ’(x)=0.

• Teorema 13

Se f é uma função contínua em [a, b], derivável em ]a, b[, então existe x∈]a, b[

tal que f ’(x)=ab

afbf

−

− )()(.




36


5.2. Esboçar o gráfico de uma função

• Esboço do gráfico de uma função f

Para esboçar o gráfico de uma função f devem ser considerados, sempre que possível, os seguintes aspectos:

. O domínio de f;

. Os zeros de f;

. Os pontos singulares de f e valores de f nesses pontos;

. Sinal da 1ª derivada de f;

. Pontos de inflexão de f e valores de f nos pontos de inflexão;

. Sinal da 2ª derivada de f;

. Comportamento de f nos pontos onde não é continua e na vizinhança dos pontos aderentes ao domínio de f nos quais a função não está definida;

. +∞→x

lim f(x) e −∞→x

lim f(x).

• Assimptotas Assimptotas verticais: são da forma x=a (a é ponto de acumulação do domínio de f e, se f está definida em a então f é descontínua em a).

Se ax→

lim f(x)=+ ∞ ou ax→

lim f(x)=- ∞ , então x=a é uma assimptota vertical.

Assimptotas não verticais: são da forma y=mx+b (só pode haver assimptotas não verticais, se existirem pontos do domínio de f em qualquer vizinhança de + ∞ ou de - ∞ , ou seja, se x →+ ∞ existem pontos do domínio de f em ]a, + ∞ [, se x → - ∞ existem pontos do domínio de f em ]- ∞ , a[) Sendo y=mx+b,

m=+∞→x

limx

xf )( ou m=

−∞→xlim

x

xf )(;

b=+∞→x

lim (f(x)-mx) ou b= −∞→x

lim (f(x)-mx).

• Aplicação Esboçar o gráfico de cada uma das funções reais de variável real:

1. f(x)=1

222

−

+−

x

xx;

2. f(x)=x4-2x2 ; 3. f(x)=x5; 4. f(x)=3x4-8x3+6x2 .




37


Actividade 16 (Aplicação das definições de derivada e de tangente)

• Objectivo: Aplicar o conceito de derivada e de tangente

1. Utilizando a definição de derivada num ponto, determine:

1.1. f ’(5), sendo f (x)=-3x+2;

1.2. f ’(-3), sendo f (x)=3

2x+1;

1.3. f ’(x), sendo f (x)=a (a constante);

1.4. f ’(x), sendo f (x)=x;

1.5. f ’(x), sendo f (x)=x2;

1.6. f ’(x), sendo f (x)=x3;

1.7. f ’(x), sendo f (x) = 3 x .

2. Determine uma equação cartesiana, da tangente ao gráfico de cada uma das seguintes funções:

2.1. f (x)=-3x+2, no ponto de abcissa –2;

2.2. f (x)=a (a constante), no ponto de abcissa 500;

2.3. f (x)=x, no ponto de abcissa 0;

2.4. f (x)=x2, no ponto de abcissa 3

2;

2.5. f (x)=x2, no(s) ponto(s) de ordenada 9;

2.6. f (x)=x3, no(s) ponto(s) de ordenada 27;

2.7. f (x) = 3 x , no(s) ponto(s) de ordenada 8.

3. Considere a função, real de variável real, f (x)=x

1. Demonstre que:

3.1. f ’(a)=-2a

1, sendo a 0≠ ;

3.2. a tangente ao gráfico de f no ponto (a, a

1) apenas intersecta o gráfico de f no ponto

(a, a

1).




38


Actividade 17 (Utilização das derivadas no esboço de um gráfico)

• Objectivo: Aplicar as derivadas ao estudo de funções particulares

1. Seja f uma funções real de variável real, f(x)= x4–x2 .

1.1. Determine, caso seja possível:

1.1.1. Os pontos singulares de f;

1.1.2. Os pontos máximos e mínimos locais;

1.1.3. Os valores máximos e mínimos locais;

1.1.4. Os pontos máximos e mínimos;

1.1.5. Os valores máximos e mínimos;

1.1.6. Os pontos de inflexão de f;

1.1.7. Os valores de f nos pontos de inflexão.

1.1.8. Sinal da 1ª derivada de f;


1.1.10.+∞→x


lim f(x);

1.2. Esboço do gráfico de f.

2. Seja f uma funções real de variável real tal que f(x)=x3–x .

2.1. Determine, sempre que possível:

2.1.1. O domínio de f;

2.1.2. Os pontos singulares de f;


2.1.4. Pontos de inflexão de f;

2.1.5. Valores nos pontos de inflexão de f;


2.1.7. +∞→x


lim f(x).

2.2. Esboce o gráfico de f.




39



Actividade 18 (Funções e problemas que envolvem derivadas)

• Objectivo: Aplicar o conceito de derivada ao estudo de funções


f(x)= 44 2 +− x ; g(x)=|x-1| -1 ; h(x)=2

1

x,


1.2. Faça o estudo da função h, relativamente à continuidade;

1.3. Caracterize fog;

1.4. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, determine a expressão da derivada da função h;

1.5. Esboce o gráfico da função h;

1.6. Defina uma equação cartesiana t da tangente ao gráfico de h, no ponto de abcissa 2 e calcule, caso exista, o ponto de intersecção da tangente t com o gráfico da função g;

1.7. Estude a função g, relativamente à monotonia;

1.8. Determine os pontos máximos e mínimos da função g e os respectivos valores.

2. Seja f(x)=x

x

−

−

2

1, uma função real de variável real,

2.1. Utilizando a definição de derivada num ponto, determine f ’(3);

2.2. Defina uma equação cartesiana da tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3.

3. Com um quadrado de cartão de perímetro 4p pretende-se construir uma caixa sem tampa, cortando quatro quadrados iguais, um em cada canto do quadrado e fazendo em seguida as convenientes dobragens. Determine:

3.1. A área do quadrado a recortar em cada canto, para que o volume da caixa seja máximo;

3.2. As expressões referentes à área exterior e ao volume da caixa com volume máximo.

4. Mostre que, de todos os rectângulos de igual perímetro o de maior área é o quadrado.




40


Actividade 19 (1ª derivada, 2ª derivada e gráficos de funções com ramos)

• Objectivo: Aplicar as derivada na representação gráfica de funções particulares

1. Considere a função real de variável real g(x)=

>+−

≤<−−

−≤−

2....,.....12

22.....,.....

2....,....23

2

xsex

xsexx

xsex

1.1. Determine os zeros de g;

1.2. Esboce o gráfico de g;

1.3. Faça o estudo de g relativo à continuidade;

1.4. Apresente a expressão analítica de g’;

1.5. Esboce o gráfico de g’.

2. Considere a função f real de variável real,

f(x)=|9|

|9|2

2

−

−

x

x+|x|

2.1. Determine as expressões da 1ª e 2ª derivadas;

2.2. Esboce o gráfico da função f;

2.3. Esboce o gráfico da função f ’;

2.4. Esboce o gráfico da função f ’’;

2.5. Defina uma equação cartesiana da tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3.

3. Uma fábrica de bebidas está interessada em arranjar vasilhas de volume 54π cm3.

Sabendo que cada vasilha terá a forma de um cilindro de revolução, determine as

dimensões de cada vasilha a construir de tal forma que a sua superfície seja mínima.

4. Um fio com o comprimento de 20 cm parte-se em dois. A uma parte dá-se a forma

de um quadrado e à outra a forma de uma circunferência. Determine o comprimento

de cada porção de fio que torna mínima a soma das áreas do quadrado e do círculo.




41


Actividade 20 (Actividades com funções, traçado de gráficos e problemas)

• Objectivo: Aplicar o conceito de derivada ao estudo de funções particulares

1. Seja f uma função real de variável real, tal que

−>+

−≤−=1..,....23

1..,....4)(2

xsex

xsexxf

1.1. Represente em extensão o conjunto A, sendo A={x∈ IR: f(x)=0 V f(x)>2};

1.2. Determine os elementos do conjunto B, sendo B o conjunto constituído pelos

pontos singulares de f;

1.3. Defina, caso seja possível, uma equação cartesiana da tangente ao gráfico de f,

no ponto de abcissa 1;

1.4. Estude a função f relativamente à monotonia;

1.5. Estude a função f relativamente à concavidade;

1.6. Estude a função f relativamente à continuidade;


2. Sabendo que o volume de um cilindro é igual a V0. Determine em função de V0 as

dimensões do cilindro para que a sua área seja mínima.

3. Pretende-se plantar um jardim rectangular de área igual a A m2.

3.1. Mostre que o perímetro do jardim a plantar é mínimo para a área considerada, se o

rectângulo referido for um quadrado com A m de lado;

3.2. Admita que o jardim de área igual a A é quadrado e que se pretende dividir com uma parede paralela a um dos lados, construindo assim duas zonas rectangulares.

Determine em função de A as dimensões de cada zona para que a área duma seja 23

da área da outra.




42


Actividade 21 (Aplicação das derivadas ao estudo de funções)


1. Sejam g e h, funções reais de variável real, tais que:

g(x)=2- -x2 + 4

x -1 ; h(x)=1

2x-1 ,

1.1. Determine o domínio de g e o contradomínio da função h;

1.2. Caracterize goh;

1.3. Defina uma equação cartesiana da tangente ao gráfico de h, no ponto de abcissa 1.

2. Sejam f e g funções reais de variável real, tais que:

f(x)= -x2 + 1 e g(x)=|x2-1| -1 .


2.2. Faça o estudo da função g, relativamente à continuidade;

2.3. Caracterize fog.

3. Considere f como função real de variável real, tal que f(x)=1

x + x

3.1. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, determine a expressão da derivada da função f;

3.2. Faça o estudo da função f, relativamente à monotonia;

3.3. Esboce o gráfico da função f.

3.4. No conjunto [-2,-12 ] U [

1 2 , 2], determine os pontos máximos e mínimos de f e os

respectivos valores;

3.5. Defina uma equação cartesiana para cada tangente ao gráfico, nos pontos de abcissa

-2 e 1

2 , respectivamente. Calcule caso exista o ponto de intersecção das duas

tangentes.




43


Actividade 22 (Generalidades sobre funções)



f(x)= -x4 + 4 e g(x)=|x2-2| -1 .


1.2. Faça o estudo da função g, relativamente à continuidade;

1.3. Caracterize fog.


f(x)= x2 - 4 x - 2 + 1 e g(x)= x2 - 1 .

2.1. Defina função injectiva. Verifique se a função f é injectiva;

2.2. Caracterize fog e determine (fog)(3);

2.3. Determine os zeros da funções f e g;

2.4. Estude g relativamente à continuidade.


f(x)= -x2 + 1 ; g(x)=x ; h(x)=2

x2 .


3.2. Faça o estudo da função h, relativamente à continuidade;


3.4. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, determine a

expressão da derivada da função h;

3.5. Esboce o gráfico da função h.




44


Actividade 23 (Continuidade e derivabilidade)



f(x)= -x2 + 9

x2 - 4 ; g(x)=

2 x-1 ; h(x)=|x| .




expressão da derivada da função g;

1.4. Defina uma equação cartesiana da tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa 0.

Determine, caso existam, os pontos de intersecção da tangente considerada com o

gráfico da função h;

1.5. Prove que a função h é contínua no ponto de abcissa x=0 e, não é derivável nesse

ponto;

1.6. Represente sob a forma de intervalo (ou reunião de intervalos) de números reais

o conjunto A, sendo A={x∈ IR: g(x).h(x) ≤ x2 };

1.7. Escreva a definição de limite de uma função num ponto. Mostre que o limite da

função h, quando x tende para -5, é igual a 5.




45


Actividade 24 (funções)



f(x)=x2-1 ; g(x)= -x2 + 4 .


expressão da função derivada de f;

1.2. Defina uma equação cartesiana da tangente ao gráfico no ponto de abcissa 3;

1.3. Estude a função f relativamente à monotonia;

1.4. Esboce o gráfico da função f;

1.5. Caracterize gof.

2. Seja f uma função real de variável real, tal que f(x)=|x2-1|-|- x2+9| ,

2.1. Defina f, utilizando expressões onde não figurem valores absolutos;

2.2. Represente em extensão o conjunto A, sendo A={x∈IR: f(x)=0 V f(x)=-8};

2.3. Determine os elementos do conjunto B, sendo B o conjunto constituído pelos

pontos singulares de f;

2.4. Estude a função f relativamente à monotonia e à concavidade;


3. Sabendo que a função h não tem zeros e que h'(x)<0, ∀ x∈IR, estude -2h quanto à

monotonia.

4. Mostre que a operação composição de funções não é comutativa.

5. Defina uma função h continua no intervalo [-2, 5], tal que os pontos, A(-1, 2) e

B(0, 3), façam parte do seu gráfico. Esboce o gráfico da função que definiu.




46


Actividade 25 (Aplicação das derivadas à resolução de problemas)

• Objectivo: Aplicar o conceito de derivada à resolução de problemas

1. Um construtor pretende construir um armazém rectangular com o perímetro de 120

metros. Determine a medida do comprimento de cada lado, para que a área do

armazém seja máxima.

2. Uma bola é lançada verticalmente debaixo para cima. Calcule a altura máxima que a

bola pode atingir, sabendo que a altura y em metros é uma função do tempo traduzida

pela expressão y =-t2

2 + 4t, onde t representa o tempo em segundos.

3. Pretende-se plantar um jardim rectangular de área igual a 81 m2. Determine o

comprimento que deve ter cada lado, para que o perímetro do jardim seja mínimo.

4. Com um quadrado de cartão de 36 cm de lado vai-se construir uma caixa sem tampa,

cortando quatro quadrados iguais um em cada canto do cartão e efectuando as

dobragens convenientes. Determine o comprimento do lado do quadrado a recortar

para que o volume da caixa seja máximo.

5. Numa certa floresta demarcou-se uma região rectangular de 1350 m2, destinando-se à

protecção de duas espécies de animais selvagens distintas. Pretendeu-se fazer um

muro em volta da região, bem como um muro paralelo a um dos lados. Determine as

dimensões de cada zona, para que o comprimento do muro a construir seja mínimo.




47



Actividade 26 (Aplicação das derivadas à resolução de problemas)

• Objectivo: Aplicar o conceito de derivada à resolução de problemas

1. Numa certa floresta demarcou-se uma região, com a forma de um quadrado e, de área

igual a bm2 (b é um número real positivo). Pretendeu-se fazer um muro em volta da

região, bem como um muro paralelo a um dos lados.

1.1. Determine em função de b as dimensões de cada zona, para que a área da zona

menor seja 23 da área da maior.

1.2. Atribua um valor a b e indique as dimensões correspondentes a cada região referida

na alínea anterior.

2. Pretende-se plantar um jardim rectangular de área igual a 144 m2. Determine a

medida do comprimento de cada lado do jardim, para que o perímetro do jardim seja

mínimo. Indique o valor do perímetro, de acordo com as medidas dos lados

encontradas.




48



Actividade 27 (Principais conteúdos desenvolvidos na disciplina)

• Objectivo: Rever os principais conteúdos desenvolvidos na disciplina

1. Refira o que entende por: “condição em IR”, “condição impossível em IR”, “condição possível em IR”. Justifique a afirmação “o conjunto solução de uma condição universal em IR é o conjunto dos números reais”.

2. Determine em A o domínio da expressão 4

2112 3

−

+++−

x

xx, sendo A um

subconjunto de IR constituído por todos os elementos que satisfazem a condição: |2x2 - 4| - 46 <0.

3. Considere o sistema nas variáveis x, y e z:

=−+

=++

=++

0422

0

04

zyax

zbyax

azcyabx

a, b, c ∈ IR

Determine, caso existam, os valores de a, b e c para os quais o sistema admite como solução um terno de números todos iguais e diferentes de zero.

Resolva o sistema em ordem a x, y e z, admitindo que b=0 e c=1.

4. Sejam A(x) = x4 - 2x2 + 1 e B(x) = x3 + x + 2x2 . Determine:

4.1. Os zeros de )(

)(

xB

xA;

4.2. Os valores reais dos parâmetros p, q, r e s de modo que

(p + q2) x4 + p + qx2 - rx -s = A(x).

5. Refira as vantagens da axiomática de Peano na construção dos números naturais.

6. Demonstre, utilizando o método de indução matemática, a seguinte proposição:

∑=

n

k

k1

2 =n(n+1), INn ∈∀ .

7. Considere o subconjunto A de IR, sendo A = [-3, 0[ ∪ ]2, 2

5[ ∪ [10,12] ∪ [15,

200[.

Defina: máximo, mínimo, ínfimo e supremo de um conjunto;

Determine, caso existam, o máximo, o mínimo, o ínfimo e o supremo de A.




49



Actividade 28 (Principais conteúdos desenvolvidos na disciplina )


1. Seja f: A → B, uma função de A em B. Defina o que entende por: caracterizar f; domínio de f; conjunto de chegada de f; contradomínio de f.

2. Sendo f e g funções reais de variável real, caracterize: fog e g

f.

3 Seja f uma função real de variável real, representada por f(x)=|2x2-8|-|-3x2+27|. Represente f, utilizando expressões onde não figurem valores absolutos.

4. Considere a função real de variável real f, sendo

>−

≤−=

3,....se..xx16x

3x4,....se..xf(x)

35

2

4.1. Determine:

4.1.1. Os pontos singulares de f, identificando, caso seja possível, os máximos e os mínimos de f;

4.1.2. A equação da tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa –2.

4.2. Estude f, relativamente:

4.2.1. À monotonia;

4.2.2. À continuidade, no intervalo [0, 5].


5. Apresente, através da sua caracterização e representação gráfica, um exemplo de uma função g, real de variável real, que seja injectiva.

6. Determine o número mínimo de metros de rede que são necessários para limitar um terreno rectangular de área igual a 10 000m2.




50





1. Sendo A um subconjunto de IR, dado pelo conjunto solução da condição

|x2 - 1| < x - 1, determine, em A, o domínio da expressão 2x2 - 4

x + 2 .


f(x) = 6x - 4 e g(x) = |x2 + x|

x +5x.

2.1. Defina função injectiva. Verifique se a função g é injectiva;

2.2. Caracterize gof e determine (gof)(-3);

2.3. Estude g relativamente à continuidade no intervalo [-4, 4] .

3. Sejam f e h, funções reais de variável real, tais que:

f(x) = -4x2 + 4 ; h(x) =2x+ 1

x2 ,

3.1. Determine, em IR, o domínio e o contradomínio da função f;


3.3. Determine, caso existam, os pontos máximos e mínimos da função h e os respectivos valores.



4. Apresente, através da sua caracterização e representação gráfica, um exemplo de uma função g, real de variável real, que seja contínua e atinja o valor mínimo –4 no ponto de abcissa 0.




51





1. Determine, em IR, o conjunto solução da condição |x2 - 2| - x2 –2|x|≤ -2 |x|.


f(x) = 3 x2 - 23 e g(x) =

≥−

<<

=

<+

4x,...x

4x3,...x2

3x,...11

3x,...2x 2

2.1. Defina função sobrejectiva. Verifique se a função f é sobrejectiva;

2.2. Caracterize gof no intervalo [4, + ∞ [ e determine (gof)(-5);

2.3. Estude g relativamente à continuidade no intervalo [3, 5] .


f(x) =3- 1x 2 + ; h(x) = x2+x

1,





4. Apresente, através da sua caracterização e representação gráfica, um exemplo de uma função g, real de variável real, que seja contínua em IR e que o conjunto dos zeros da função g seja: { -1; 0; 4}.

5. Invente o enunciado para um problema que possa ser traduzido pela equação y=3x2 –5. Interprete o sentido de ponto mínimo e de valor mínimo no problema que inventou.




52



Actividade 31 (Conteúdos desenvolvidos na disciplina)


1. Determine, em IR, o conjunto solução da condição |x2 - 4| - x2 –3|x|≤ -3 |x|.


f(x) = 3 x2 - 23 e g(x) =

≥−

<<

=

<+

4x,...x

4x3,...x2

3x,...11

3x,...2x 2

2.1. Defina função injectiva. Verifique se a função f é injectiva;

2.2. Caracterize gof no intervalo [- ∞ , 3 [ e determine, caso seja possível (gof)(3);

2.3. Estude g relativamente à continuidade no intervalo [2, 4] .


f(x) =3- 1x 2 − ; h(x) = x+x

1,





4. Apresente, através da sua caracterização e representação gráfica, um exemplo de uma função g, real de variável real, que seja contínua em IR e que o conjunto dos zeros da função g seja: { -2; 3}.

5. Invente o enunciado para um problema que possa ser traduzido pela equação y=t2–4. Interprete o sentido de ponto mínimo e de valor mínimo no problema que inventou.




53

6. Bibliografia

Demidovitch, B. (1987). Problemas e exercícios de análise matemática (6ª edição).

Moscou: Editora MIR.

Ferreira, J. (1985). Introdução à análise matemática (4ª edição). Lisboa: Serviços de

Educação – Fundação Calouste Gulbenkian.

Palhares, P. (cord.)(2004). Elementos de Matemática: Para professores do ensino

básico. Lisboa: Lidel.

Silva, J. (1994). Princípios de análise matemática aplicada. Lisboa: McGrawHill.

Spivak, M. (1981). Cálculos – Cálculo infinitesimal. Barcelona: Editorial Reverté, S. A.

topicos de analise - ipb.ptcmmm/conteudos/topicos de analise.pdf · - possíveis x=3; 2x>8 ......

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