GABARITO

1Matemática A

Matemática A – Extensivo – V. 7

Exercícios

01) B

(4x)2 = 16 . 22x

((22)x)2 = 24 . 22x

2 24 42x x=

+

4x = x2 + 4x2 – 4x + 4 = 0Resolvendo a equação acima, obtemos:x' = x'' = 2Portanto,xx = 22 = 4.

02) D

ERRATA: Para a resolução considere a equação

(22)x = 12

−x y

.

Trabalhando separadamente as equações, temos:

3x = 13

4

+y

3x = 3 1 4− +( )y

3 34x y

=− −

x = – y – 4y = – x – 4 (i)Temos ainda,

(22)x = 12

−x y

(22)x = (2–1)x – y

2 22x y x=

−

2x = y – xy = 3x (ii)

De (i) e (ii), temos: y x i

y x ii

=− −=

4

3

( )

( )

Fazendo, (i) – (ii), obtemos:0 = – 4x – 44x = – 4

x = –44

x = – 1Substituindo x = –1 em (ii), temos:y = 3 . (–1)y = –3Portanto,x . y = – 1 . (–3) = 3.

03) A

34x – 1 + 9x = 63– 1 . 34x + (32)x = 63– 1 . (32x)2 + 32x = 6Seja y = 32x (i)3– 1 . y2 + y = 613

y2 + y – 6 = 0 .(3)

y2 + 3y – 18 = 0

Resolvendo a equação acima, teremos:y' = 3 ou y'' = –6Substituindo y' = 3 em (i):

3 32

=x

1 = 2x

x = 12

Substituindo y'' = – 6 em (i):–6 = 32x (Absurdo!)De fato, 32x = (3x)2 > 0 ∀ x ∈ R.Portanto,

xx = 12

12

= 1

2

2

2⋅ = 2

2.

04) E

Trabalhando separadamente as equações, temos:(0,2)5x + y = 5

15

5

+x y

= 5

(5–1)5x + y = 5

5 55− −=

x y

– 5x – y = 1 (i)Temos ainda:(0,5)2x – y = 2

12

2

−x y

= 2

(2–1)2x – y = 2

2 22y x−=

y – 2x = 1 (ii)De (i) e (ii), temos o seguinte sistema:− − =− + =

5 1

2 1

x y i

x y ii

( )

( )

Fazendo (i) + (ii), obtemos:– 7x = 2

x = – 27

GABARITO

2 Matemática A

Substituindo x = – 27

em (ii), teremos:

– 2 (– 27

) + y = 1

47

+ y = 1

y = 1 – 47

y = 7 47−

y = 37

05) E

2 23 843 8

3xxx

−+−

=

2 23 8

43 8

3x

xx−

+−

=

3 84

3 83

xx

x−+

=−

3 84

3 83

xx

x−+( )

=−

14

13x+

=

x + 4 = 3x = 3 – 4x = – 1S = {–1}

06) E

Trabalhando as equações separadamente:

4a+b = 116

4a+b = 142

4 42a b+ −

=a + b = –2a = – 2 – b (i)Temos ainda:

2a+2 + 2b–1 = 32

22 . 2a + 22

b

= 32

.(2)

23 . 2a + 2b = 32a+3 + 2b = 3 (ii)Substituindo (i) em (ii), obtemos:2– 2– b + 3 + 2b = 32– b + 1 + 2b = 322b

+ 2b = 3

Seja y = 2b

2y

+ y = 3

2 2+ yy

= 3

2 + y2 = 3yy2 – 3y + 2 = 0Resolvendo a equação acima, temos:y' = 2 ou y'' = 1Substituindo y' = 2 em y = 2b

2 = 2b ⇒ b = 1.Substituindo y'' = 1 em y = 2b

1 = 2b ⇒ b = 0.Agora, para b = 1, temos:a = – 2 – ba = – 2 – 1 = – 3

Note que para a = –3 e b = 1 não serve, pois 2b – a ⇒ 2 . 1 – (– 3) = 5 (não possui alternativa). Para b = 0, temos:

a = – 2 – 0 = – 2Então:2b – a ⇒ 2 . 0 – (– 2) = 2. (ok!)

07) B

ERRATA: Alternativa b é dada por 25 5.4x – 4x–1 = 24

4x – 44

x

= 24

4 4 44

⋅ −x x

= 24

4 . 4x – 4x = 4 . 243 . 4x = 96

4x = 963

4x = 32(22)x = 25

2 22 5x=

2x = 5

x = 52

Logo,

(2x)x = 25

2

52

⋅

= 552 = 5 5 55 4= ⋅

(2x)x = 52 5

(2x)x = 25 5

08) D

39

2 2

−x

= 1

27

GABARITO

3Matemática A

381

2 2

−x

= 1

27

127

2 2

−x

= 1

27

127

12

2 2

−x

= 1

27

127

127

12

2 2

=−( )x

1

22 2x−( )=1

x – 1 = 1x = 2Portanto, x é múltiplo de 2.

09) C

935

x y

y

+= 243

3

3

2

5

( ) +x y

y= 35

33

2

5

x y

y

+( )= 35

3 2(x + y) – 5y = 3 5

2 (x + y) – 5y = 5

2x + 2y – 5y = 52x – 3y = 5Temos ainda:

42

x

x y+= 8

22

2x

x y+= 23

2 2x–(x + y) = 2 3

2x – (x + y) = 32x – x – y = 3x – y = 3Daí obtemos o seguinte sistema:

2 3 5

3 2

x y

x y

− =− = −

.( )

2 3 5

2 2 6

x y i

x y ii

− =− + =−

( )

( )

Fazendo (i) + (ii), teremos:– y = – 1 .(–1)y = 1Substituindo y = 1 em (i), temos:2x – 3 . 1 = 5

2x – 3 = 52x = 5 + 32x = 8

x = 82

x = 4Portanto,x . y = 4 . 1 = 4.

10) C

42x – 2 – 24 . 4x – 2 + 8 = 0 .(16 = 42)42 . 42x – 2 – 42 . 24 . 4x – 2 + 8 . 16 = 042x – 2 + 2 – 24 . 4x – 2 + 2 + 128 = 042x – 24 . 4x + 128 = 0(4x)2 – 24 . 4x + 128 = 0Seja y = 4x:y2 – 24y + 128 = 0Resolvendo a equação acima, temos:y' = 16y'' = 8Substituindo y' = 16 em y = 4x, temos:16 = 4x

2 4 = 2 2x

4 = 2x

x = 42

x = 2Substituindo y'' = 8 em y = 4x, temos:8 = 4x

2 3 = 2 2x

3 = 2x

x = 32

Portanto, o produto é:

23

2⋅ = 3

11) B

ERRATA: para a resolução do exercício, considere a equação 3x–1 + 3x–2 – 3x–3 + 3x–4 = 750.

3 . 3x + 33

33

332 3 4

x x x

− + = 750

3 . 3x + 39

327

381

x x x

− + = 750

243 3 9 3 3 3 381

⋅ + ⋅ − ⋅ +x x x x

= 750

250 381⋅ x

= 750

250 . 3x = 750 . 81

3x = 750 81

250

⋅

3x = 3 . 81

GABARITO

4 Matemática A

3x = 3 . 34

3 x = 3 5

x = 5Portanto,

x = 5.

12) B

9x+3 = 127

x

9x+3 = 133

x

(32)x+3 = (3–3)x

3 2(x+3) = 3 –3x

2 (x + 3) – 3x2x + 6 = – 3x2x + 3x = – 65x = – 6

x = – 65

13) B

Trabalhando separadamente a equação, temos:3x + y = 1

3 x + y = 3 0

x + y = 0x = –y (i)Temos ainda,

2 x + 2y = 2x + 2y = 1 (ii)Substituindo (i) em (ii), obtemos:x + 2(–x) = 1x – 2x = 1–x = 1 .(–1)x = –1Substituindo x = –1 em (i), teremos:–1 = –y .(–1)y = 1Portanto, x = –y.

14) C

(5x – 5 3) (5x + 5 3) = 50

(5x)2 – (5 3)2 = 5052x – 25 . 3 = 5052x = 50 + 7552x = 125

5 2x = 5 3

2x = 3

x = 32

15) 18

3x + 31 – x = 4

3x + 33x

= 4

3 3 33

x x

x

⋅ + = 4

(3x)2 + 3 = 4 . 3x

Seja y = 3x : (i)y2 + 3 = 4yy2 – 4y + 3 = 0Resolvendo a equação acima, teremos:y' = 1 ou y'' = 3Substituindo y' = 1 em (i), obtemos:1 = 3x

3 0 = 3 x

x = 0Substituindo y'' = 3 em (i), obtemos:

3 = 3 x

1 = xLogo, A = {0, 1}.

Portanto, A ⊂ {–1, 0, 1, 2} e se B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos A ∩ B = {0, 1}. Assim, os itens 02 e 16 estão corretos.

16) D

2(2 + cos x) + 2(1 – cos x) = 6

22 . 2cos x + 22cos x

= 6

4 2 2 22

⋅ ⋅ +cos cos

cos

x x

x

= 6

4.(2cos x)2 + 2 = 6 . 2cos x

Seja y = 2cos x : (i)4y2 + 2 = 6y4y2 – 6y + 2 = 0Resolvendo a equação acima, temos:

y' = 12

ou y'' = 1

Substituindo y' = 12

em (i), teremos:

12

= 2cos x

2 –1 = 2 cos x

cos x = –1Logo, x = π.Substituindo y'' = 1 em (i), teremos:1 = 2cos x

2 0 = 2 cos x

0 = cos x

Logo, x = π2

e x = 32π .

Portanto, existem apenas 3 soluções distintas.

17) D

GABARITO

5Matemática A

18) 26

52x + 125 = 6 . 5x + 1

52x + 125 = 6 . 5 . 5x

(5x)2 + 125 = 30 . 5x

(5x)2 – 30 . 5x + 125 = 0 Seja y = 5x. y2 – 30y + 125 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 5 ou y'' = 25 Substituindo y' = 5 em y = 5x, temos: 5 = 5 x

1 = x Substituindo y'' = 25 em y = 5x, temos: 25 = 5x

5 2 = 5 x

2 = x Logo, a = 2 ou b = 1.

01. Incorreta.

ba

= 12

02. Correta. a . b = 2 . 1 = 2 (par)04. Incorreta. a = 2 > 0 e b = 1 > 008. Correta. a + b = 2 + 1 = 3 < 516. Correta.

ab

= 21

= 2 ∈ N

19) B

2 . 4x + 42 = 3 . 2x + 2

2 . (2x)2 + 16 = 3 . 22 . 2x

Seja y = 2x

2y2 + 16 = 12y 2y2 – 12y + 16 = 0 (÷2) y2 – 6y + 8 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 2 ou y'' = 4 Substituindo y' = 2 em y = 2x, teremos: 2 = 2 x

1 = x Substituindo y'' = 4 em y = 2x, teremos: 4 = 2x

2 2 = 2 x

2 = x Portanto: a5 + b5 = 15 + 25 = 1 + 32 = 33

20) 14

01. Incorreta. 4x – 5 . 2x + 4 = 0 (2x)2 – 5 . 2x + 4 = 0 Seja y = 2x

y2 – 5y + 4 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 1 ou y'' = 4 Substituindo y' = 1 em y = 2x, teremos: 1 = 2x

2 0 = 2 x

0 = x Substituindo y'' = 2 em y = 2x, teremos: 4 = 2x

2 2 = 2 x

2 = x Logo, 2 + 0 = 2 ≠ 5.

02. Correta. f(a + b) = 2(a + b) = 2a . 2b = f(a) . f(b).

04. Correta.

08. Correta. 0,72x = 0,491 – x

0,72x = [(0,7)2]1 – x

0 7 0 72 2 1, ( , ) ( )x x= −

2 x = 2 (1 + x)

2x = 2 – 2x 2x + 2x = 2 4x = 2

x = 24

x = 12

16. Incorreta. Seja a = 2 e x = –1. Então:

f(–1) = 2–1 = 12

< 1

21) A

22 1x − ≤ 4

2x

22 1x − ≤ 4 . 2 2

−x

2 22 1

22x

x− − +≤

x2 – 1 ≤ – x2

+ 2 .(2)

2x2 – 2 ≤ – x + 4 2x2 + x – 2 – 4 ≤ 0

GABARITO

6 Matemática A

2x2 + x – 6 ≤ 0

+ + + + + + + +

– – – ––2 3

2

Portanto, a solução é dada por:

S = {x ∈ R/ – 2 ≤ x ≤ 32

}

22) D

5

32 2 2+ −x x

≤ 15 (÷ 5)

1

32 2 2+ −x x

≤ 3

32 2 2− + −( )x x

≤ 3 – (2 + 2x – x2) ≤ 1 x2 – 2x – 2 – 1 ≤ 0 x2 – 2x – 3 ≤ 0

+ + + + + + + +

– – – ––1 3

Portanto, a solução é dada por: S = {x ∈ R / – 1 ≤ x ≤ 3}

23) C

( )( )2 23 3x x− + > 4x

22

3

3x x− +

> 4x

2 22

33 2

xx x

−⋅ +

>( )

x−23

. (x + 3) > 2x

( ).( )x x− +2 33

– 2x > 0

x x x2 6 63

+ − − > 0

x2 – 5x – 6 > 0

+ + + + + + + +

– – – ––1 6

Portanto, a solução é dada por: S = {x ∈ R / –1 > x ou x > 6}

24) C

15

2 2

−x

> 125

15

15

2 2 2

>

−x

x2 – 2 < 2 x2 < 4 | x | < 4

| x | < 2 Logo, – 2 < x < 2. Portanto, S = (–2; 2).

25) E

( , )0 042 2

2x x−

> 0,008

0 2

22

2

2

,( )

−x x

> (0,2)3

0 2 0 22 2 3

, ,x x−

>

x2 – 2x < 3 x2 – 2x – 3 < 0

+ + + + + + + +

– – – ––1 3

Portanto, a solução é dada por: S = {x ∈ R / – 1 < x < 3}.

26) A

52

x

≥ 0,16

25

−x

≥ 0,16

( 0 4, )–x ≥ ( 0 4, )2

– x ≤ 2 .(–1) x ≥ – 2

GABARITO

7Matemática A

27) A

339

2

1 3x x x

≥

− −

313

21

3xx

x( )−

−

≥

3 321 1 3

xx x( )

( )− − −≥

3 321 3

xx x( ) ( )− − −≥

x2

(x – 1) ≥ – (x – 3)

x (x – 1) – 2 (x – 3)≥ x2 – x ≥ – 2x + 6 x2 – x + 2x – 6 ≥ 0 x2 + x – 6 ≥ 0

+ + + + + + + +

– – – ––3 2

Portanto, a solução é: S = {x ∈ R / x ≤ – 3 ou x ≥ 2}.

28) C

I. Verdadeira.

Se a > 1: a x > ax2

x > x2

x2 – x < 0

+ + + + + + + +

– – – –0 1

S = (0, 1)

II. Falsa. Se 0 < a < 1:

a x > ax2

x < x2

x2 – x > 0

+ + + + + + + +

– – – –

S = (– ∞, 0) ∪ (1, ∞)

III. Falsa. Calculado no item I.

IV. Falsa. Calculado no item II.

29) D

ERRATA: considere o item d sendo o intervalo [3, 10].

πx2

– π4 > 0

πx2

> π4

x2 > 4 | x | > 4

| x | > 2 Logo, x < –2 ou x > 2. Portanto, o conjunto de soluções é: S = (– ∞; –2) ∪ (2; ∞). Assim, um intervalo que é solução da equação [3, 10].

30) D

2x – 3 > 22–x

2x – 3 > 22 . 2–x

2x – 3 – 4 . 2–x > 0

2x – 3 – 42x

> 0

( )2 3 2 4

2

2x x

x

− ⋅ − > 0

(2x)2 – 3 . 2x – 4 > 0 Seja y = 2x

y2 – 3y – 4 > 0

+ + + + + + + +

– – – ––1 4

Logo, y < –1 (não serve, pois y < 0) ou y > 4. Substituindo y = 2x em y > 4, teremos: 2x > 4 2 x > 2 2

x > 2 Portanto, a solução é: S = ]2, ∞[.

GABARITO

8 Matemática A

31) ]5, +∞[

f(x) = 1

3 243x − O domínio da função f(x) é dado por: 3x – 243 > 0 3x > 243 3 x > 3 5

x > 5 Portanto, Df = ]5, ∞[.

32) C

12

3

−x

≤ 14

12

3

−x

≤ 12

2

x – 3 ≥ 2 x ≥ 2 + 3 x ≥ 5 Portanto, S = [5, ∞[.

33) E

ERRATA: alternativa correta letra E.

12

3 1

+( )x

. 4 1 2 2( )+ −x x ≥ 18

1

−( )x

12

3 1

+x x.( )

. 22 1 2 2.( )+ −x x ≥ 12

3 1

−( )x

12

3 1

+x x.( )

. 12

2 1 2 2

− + −( )x x

≥ 12

3 1

−( )x

12

3 1 2 1 2 2

+ − + −x x x x.( ) ( )

≥ 12

3 1

−.( )x

x (3x + 1) – 2 (1 + 2x – x )2 ≥ 3 . (x – 1)

3x2 + x – 2 – 4x + 2x2 ≥ 3x – 3 5x2 – 3x – 2 – 3x + 3 ≥ 0 5x2 – 6x + 1 ≥ 0

+ + + + + + + +

– – – –1

5

1

Portanto, o conjunto solução é:

S = {x ∈R / x ≤ 15

ou x ≥ 1}.

34) E

logx + 5 x x

x

2

2

5 41

+ +−

Condição de existência:

x xx

2

2

5 41

+ +−

> 0 e x + 5 > 0

Segue,

x xx

2

2

5 41

+ +−

> 0

+ + + + + + + +

–4

+ + + +

–1

+ + + + + + + +– – – – –+ + + +

–1 1

+ + + + + + + +

–4 –1 1

– – – – –

– – – – –– – – – –

x + 5x + 42

x – 12

Logo, S1 = ] – ∞, –4[ ∪ ]1, ∞[. Temos ainda: x + 5 > 0 x > – 5. Logo, S2 = ]–5, ∞[. Portanto,

–4

–5

–5 4 1

S1

S2

S = S S1 2

∩

1

Portanto, S = {x ∈R / –5 < x < – 4 ou x > 1}.

35) D

log L

15

= – 0,08 . x

Para x = 12,5 cm, temos:

log L

15

= – 0,08 . 12,5

log L

15

= –1

10–1 = L15

L = 15 . 10–1

L = 1510

L = 1,5 lumens.

GABARITO

9Matemática A

36) D

M = 23

. log10 EE0

Para M = 9 e E0 = 104,5, temos:

9 = 23

. log10 E

104 5,

9 32. = log10

E104 5,

272

= log10 E

104 5,

10272 = E

104 5,

E = 10272 . 104,5

E = 10272

4 5+ ,

E = 1027 9

2+

E = 10362

E = 1018 joules

37) E

log(a + 1) (b + 2a) = 2 (a + 1)2 = b + 2a a2 + 2a + 1 = b + 2a a2 + 1 = b (i) Substituindo (i) em 1 + loga (b – 1) = a, teremos: 1 + loga (a

2 + 1 – 1) = a 1 + loga a

2 = a 1 + 2 . loga a = a 1 + 2 . 1 = a a = 3 Substituindo a = 3 em (i), obtemos: 32 + 1 = b 9 + 1 = b b = 10 Portanto, log3a (3b – a) = log3.3 (3 . 10 – 3) = log9 27 = x ⇒ 9x = 27 3 2x = 3 3

2x = 3

x = 32

38) D

logx – 3 (6 – x) Condição de existência: 6 – x > 0 e x – 3 > 0 e x – 3 ≠ 1 x < 6 x > 3 x ≠ 1 + 3 x ≠ 4

6

3

3 6

x 6≤

x > 3

Portanto, 3 < x < 6 e x ≠ 4.

39) B

log3 x = a ⇒ 3a = x (i) log3 (x + 16) = a + 2 ⇒ 3a + 2 = x + 16 (ii) Substituindo (i) em (ii), teremos: 3a . 32 = x + 16 x . 9 = x + 16 9x – x = 16 8x = 16

x = 168

x = 2 40) A

a + b = log 2 + log 4 = log 2 . 4 = log 8 = C Portanto, a + b = C, e assim a alternativa a está

incorreta.

41) B

x2 – 7x + 10 = 0 Resolvendo a equação acima, obtemos: a = 2 ou b = 5.

Segue, log 1ab

= log 1

2 5.

= log 110

= log 10–1

= – log 10 = – 1

GABARITO

10 Matemática A

42) D

80 666, … – log2 0,5

= 82 3/ – log2 0,5

= ( ) /23 2 3 – log2

12

= 23

23

.– log2 2

–1

= 22 – (– log2 2)

= 4 + log2 2

= 2 + 1 = 3

43) C

Do enunciado, temos: log3 x = a ⇔ 3a = x (ii) log3 (x + 16) = a + 3 ⇔ 3a + 3 = x + 16 (ii) Segue, 3a + 3 = x + 16 3a . 33 = x + 16 (3a = x) x . 9 = x + 16 9x – x = 16 8x = 16

x = 168

x = 2

44) 07

01. Correta. logm 1 = 0 = logn 102. Correta.

log 1b

= log b–1 = –1 . log b = – log b

04. Correta.

log amn = log amn =

mn

log a

08. Incorreta.

logb a . loga b = loglog

logbb

b

ab

a⋅ = logb b = 1

16. Incorreta.(m + n) log a = log a( m + n) = log (am . an) = log am + log an

45) A

A = log5 52 – 2 = 2 log5 5 – 2 = 2 . 1 – 2 = 2 – 2 = 0

46) A

log2

2 = b

( 2 )b = 2

(2½)b = 2 2 b/2 = 2

b2

= 1

b = 2 Temos ainda,

log2 2

2= c

2c = 22

2c . 2 = 2

2 c + 1 = 2 ½

c + 1 = 12

c = 12

– 1

c = –12

Logo,

–12

< 12

< 2

c < a < b

47) A

4 2 9log = ( )log22 92 = 22 92log = 2 229log= 92 = 81

48) A

H+ do refrigerante PH = 3 ⇒ 3 = –log H+ .(–1) – 3 = log H+

H+ = 10–3

H+ do estômago PH = 1 ⇒ 1 = –log H+ .(–1) – 1 = log H+

10–1 = H+ Logo, H+ do estômago é 100 vezes maior que do refri-

gerante.

49) D

I. Correta. Para resolução do exercício, considere log2 x – log x3 = 0.

log2 x – log x3 = 0 (log x)2 – 3 log x = 0 Seja log x = y:

GABARITO

11Matemática A

y2 – 3y = 0 y(y – 3) = 0 y = 0 ou y – 3 = 0 ⇒ y = 3 Substituindo y = 0 em log x = y, temos: 0 = log x ⇔ x = 100 ⇔ x = 1 Substituindo y = 3 em log x = y, temos: log x = 3 x = 103 = 1000 Portanto, a soma das raízes é 1000 + 1 = 1001.II. Incorreta.

log 20 – log 2 = log 202

= log 10 ≠ log 18.

III. Correta. log (2x2 + 1) = 1 2x2 + 1 = 101

2x2 = 10 – 1 2x2 = 9

x2 = 92

x = 92

x = 3

2

Logo, x' = 3

2 ou x'' = –

3

2.

IV. Correta. log 64 = log 26 = 6 log 2.

50) C

15x = 1000 (101,176)x = 103

10 1,176x = 10 3

1,176x = 3

x = 31176,

x = 2,551

51) 10

( ) ( ) ( )

( )

a b a b i

a b ii

+ = ⋅ −

− =

3

2 2

1000

10

De (ii) temos: a2 – b2 = 10 (a + b) . (a – b) = 10

(a – b) = 10a b+

(iii)

Substituindo (iii) em (i), obtemos:

(a + b)3 = 103 . 10a b+

(a + b)3 . (a + b) = 104

(a + b)4 = 104

Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os lados, teremos:

log (a + b)4 = log 104

4 . log (a + b) = 4 . log 10 4 . log (a + b) = 4 . 1 4 . log (a + b) = 4

log (a + b) = 44

log (a + b) = 1 (alternativa 01 incorreta) a + b = 101

a + b = 10 (alternativa 04 incorreta) Substituindo a + b = 10 em (i), teremos: 103 = 1000 . (a – b)

103 = 103 . (a – b) a – b = 1 (alternativa 16 incorreta) Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os lados,

teremos: log (a – b) = log 1 log (a – b) = 0 (alternativa 02 correta) Temos ainda o seguinte sistema:

a b iv

a b v

+ =− =

10

1

( )

( )

Somando (iv) e (v), obtemos: 2a = 11

a = 112

Substituindo a = 112

em (iv), temos:

112

+ b = 10

b = 10 – 112

b = 20 112−

b = 92

Assim,

4a – 2b = 411

22

9

2

2⋅ − ⋅ = 2 . 11 – 9 = 22 – 9 = 13.

Logo, a alternativa 08 é a correta.

52) 09

01. Correta. log3 162 = log3 2 . 34 = log3 2 + log3 3

4

= log3 2 + 4 . log3 3 = log3 2 + 4 = a + 4

GABARITO

12 Matemática A

02. Incorreta.

log3 75 = log3 3 52⋅ = log3 5 3 = log3 5 . 3½

= log3 5 + log3 3½

= log3 5 + 12

. log3 3

= log3 5 + 12

. 1

= b + 12

04. Incorreta. log15 12 (mudança de base)

= log

log3

3

12

15

= log

log3

2

3

3 2

3 5

⋅⋅

= log log

log log3 3

2

3 3

3 2

3 5

++

= 1 2 2

1 53

3

+ ⋅+

log

log

= 1 21++

ab

08. Correta. 5x = 10 log5 10 = x

x = log

log3

3

10

5 (mudança de base)

x = log

log3

3

2 5

5

⋅ = log log

log3 3

3

2 5

5

+

x = a bb+ =

ab

+ bb

= ab

+ 1

16. Incorreta. log 72 = log 23 . 32 (mudança de base)

= log

log3

2 3

3

3 2

10

⋅

= log log

log3

23

3

3

3 2

2 5

+⋅

= 2 3 3 2

2 53 3

3 3

⋅ + ⋅+

log log

log log

= 2 1 3⋅ + ⋅+

aa b

= 2 3++

aa b

53) 15

ERRATA: gabarito 15. 3x + 1 + 34 – x – 36 = 0

3x . 3 + 33

4

x– 36 = 0

3 3 3 3 36 3

3

4⋅ ⋅ + −x x x

x

.= 0

3(3x)2 – 36 . 3x + 34 = 0 Seja y = 3x

3y2 – 36y + 81 = 0 (÷3) y2 – 12y + 27 = 0 Resolvendo a equação acima, obtemos: y' = 3 ou y'' = 9 Substituindo y' = 3 em y = 3x, temos:

3 = 3 x

x = 1 Substituindo y'' = 9 em y = 3x, temos: 9 = 3x

3 2 = 3 x

x = 2 Logo, a = 1 e b = 2, pois a < b. Segue:

01. Correta. log3 (a + b) = log3 (1 + 2) = log3 3 = 102. Correta.

log4 a + log4 b = log4 1 + log4 2 = 0 + 12

= 12

04. Correta. log (b – a) = log (2 – 1) = log 1 = 008. Correta.

log ab

= log 1

2 = log 2–1 = – log 2 = – log b

54) D

I. Incorreta. Pois log 6 + log 7 = log (6 . 7).

II.

log (42 ÷ 7) = log 427

= log 42 – log 7

(logaritmo do quociente) Temos ainda: log (42 ÷ 7) = log 6 Portanto, log (42 ÷ 7) = log 42 – log 7 = log 6.

III. Correta. log 49 = log 72 = 2 log 7

IV. Correta. log 42 = log 6 . 7 = log 6 + log 7

GABARITO

13Matemática A

55) E

loga (b . c2) = loga b + loga c2

= loga b + 2 loga c = 2 + 2 . 3 = 2 + 6 = 8

56) E

log 72 = log (23 . 32) = log 23 + log 32

= 3 log 2 + 2 log 3 = 3 . 0,3 + 2 . 0,4 = 0,9 + 0,8 = 1,7

57) D

logb ( ab5 ) = logb (a.b)1/5 = 15

logb (a.b)

= 15

(logb a + logb b)

= 15

(logb a + 1)

Daí,

15

(logb a + 1) = 5

logb a + 1 = 5 . 5 logb a + 1 = 25 logb a = 25 – 1 logb a = 24

58) E

x = log 12

+ log 2

3

+ log 34

+ log 45

+ log 56

+

log 67

+ log 78

+ log 89

+ log 910

x = log 1 – log 2 + log 2 – log 3 + log 3 – log 4 + log 4 – log 5 + log 5 – log 6 + log 6 – log 7 + log 7 – log 8 + log 8 – log 9 + log 9 – log 10

x = log 1 + (– log 2 + log 2) + (– log 3 + log 3) + (– log 4 + log 4) + (– log 5 + log 5) + (– log 6 + log 6) + (– log 7 + log 7) + (– log 8 + log 8) + (– log 9 + log 9) – log 10

x = log 1 – log 10x = 0 – 1x = –1

59) A

log R = 3 log a – 13

log b – 53

log c + log 7

log R = log a3 + log b–1/3 + log c–5/3 + log 7

log R = log a3 + log 13 b

+ log 153 c

+ log 7

log R = log (a3 . 13 b

. 153 c

. 7)

log R = log 7 3

3 53

a

b c⋅

log R = log 7 3

53

a

b c⋅

R = 7 3

53

a

b c⋅

60) A

log3 ( )a ba b

2 2+⋅

= log3 a ab ba b

2 22+ +⋅

= log3 ( )a b aba b

2 2 2+ +⋅

= log3 28 2ab aba b+⋅

= log3 30 ab

ab = log3 30 (mudança de base)

= loglog

303

= loglog

3 103⋅

= log loglog3 10

3+

=

1225

1

1225

+=

37251225

= 3712

GABARITO

14 Matemática A

61) A

Número de habitantes de hoje (t = 0): N = 40 000 (1,02)0

N = 40 000 O valor de t(tempo) para que a população dobre é:

2 40000 40000 102⋅ = ( , )t

2 = (1,02)t

Aplicando o logaritmo na base 10 em ambos os lados, temos:

log 2 = log (1,02)t

log 2 = t . log (1,02)

t = loglog ( , )

2102

62) A

f(x) = 9 . 4x – 6 . 2x + 1 9 . 4x – 6 . 2x + 1 = 0 9 . (2x)2 – 6 . 2x + 1= 0 Seja y = 2x: 9 y2 – 6y + 1= 0 Resolvendo a equação acima, temos:

y' = y'' = 13

Substituindo y = 13

em y = 2x, obtemos:

13

= 2x

3–1 = 2x

log2 3–1 = x

– log2 3 = x

x = –loglog

32

x = – log

log

622

x = – (log log )log6 2

2−

x = – log log

log

6105

105

−

x = – log (log log )

log log

6 10 5

10 5

− −[ ]−

x = log log loglog log6 10 5

5 10− +−

x = q pp− +−1

1

x = pp

qp

−−+−

11 1

x = 1 + qp−1