matemática a – extensivo – v. 6 - energia.com.br · g abarito 6 encontrando as raízes de x²...
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GABARITO
1Matemática A
Matemática A – Extensivo – V. 6
Exercícios
01) B
Reescrevendo a equação:
8811
− 1x ≤ 25
100
8 − 1x ≤ 5
10
8 − 1x ≤
12
8 − 1x −
12 ≤ 0
16 22
x xx− − ≤ 0
15 2
2xx−
≤ 0
A raiz do numerador é 2
15 e do denominador é zero.
Fazendo um quadro de sinais:
15x–2
2
15
– – +
2x – + +
Q + – +
O que nos dá como solução x R x∈ < ≤
| 02
15.
02) 30
01. Falso. x² < 9 x² − 9 < 0 Encontrando as raízes temos: x² − 9 = 0 ⇒ x² = 9
⇒ x = ± 9 ⇒ x = ± 3
Fazendo o estudo dos sinais:
–3 3
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
Solução: S = {x ∈ R| − 3 < x < 3}
02. Verdadeiro. −5x² − 14x + 3 ≥ 0 Encontrando as raízes temos:
x = 14 196 60
10± +−
x = 14 256
10±−
x = −14 16
10∓
= x
x
1
2
14 1610
3010
3
14 1610
210
0 2
=− −
=−
=−
=− +
= =
,
–3 0,2
– – – – – – – – – – – – – – – –+ + + + + + + +
Então a solução da inequação é: S = {x ∈R| − 3 ≤ x ≤ 0,2}04. Verdadeiro. (5x − 8)² = −21 25x² − 80x + 64 +21 = 0 25x² − 80x + 85 = 0 ∆ = 6 400 − 8 500 ∆ = −2 100 Não tem raiz real. S1 = ∅
|5x − 3| = −8 ⇒ S2 = ∅
Assim, (S1 ∪ S2) ⊂ A08. Verdadeiro. |2x − 5| = |8x + 3|
2x − 5 = 8x + 3 ⇒ x = −43
ou
2x − 5 = −(8x + 3) ⇒ x = 15
∴ S ⊂ A
16. Verdadeiro. x² ≤ 9 x² − 9 ≤ 0 x1 = −3 e x2 = 3
–3 3
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
Então a solução da inequação é: S1 = {x ∈R| −3 ≤ x ≤ 3}
GABARITO
2 Matemática A
Encontrando as raízes de x² −7x + 10 = 0, temos:
x = 7 49 40
2± −
x = 7 9
2±
x = 7 32± =
x
x
1
2
7 32
102
5
7 32
42
2
=+= =
=−= =
2 5
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
Então a solução da inequação é: S2 = {x ∈ R| x < 2 ou x > 5}. Note que o −3 está em S1 ∩ S2
32. Falso. x² − 7x + 10 ≤ 0. Encontrando as raízes, temos: x1 = 5 e x2 = 2
2 5
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
Então a solução da inequação é: S = {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 5}.
Fazendo a intersecção, temos:
–3 3
A
2
S
2 3
A S∩5
A ∩ S = {x ∈R| 2 ≤ x ≤ 3}
03) D
−x² + 13x − 40 ≥ 0 Encontrando as raízes de −x² + 13x − 40 = 0, temos:
x = − ± −−
13 169 1602 1. ( )
x = − ±−
13 92
x = − ±−
13 32
x = 13 3
2∓
= x
x
1
2
13 32
102
5
13 32
162
8
=−= =
=+= =
5 8
+ + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x
S = {x ∈ R| 5 ≤ x ≤ 8}
Fazendo S ∩ I, temos:
8
S
I
5 8
S I∩10
5
2
S = [5, 8], logo 5, 6, 7 e 8 são as soluções inteiras da inequação.
04) 16
5m + 24 > 5 500 5m > 5 500 − 24 5m > 5 476
m > 54765
m > 1095,2
− 85m
+ 700 > 42 − m
700 − 42 > −m + 85m
658 > −m + 85m
multiplicando toda a inequação por 5:
3 290 > −5m + 8m 3 290 > 3m
3 290
3 > m
1096,66 > m
Então 1095,2 < m < 1096,66. Logo o único inteiro que satisfaz esse intervalo é 1096: 1 + 0 + 9 + 6 = 16
GABARITO
3Matemática A
05) B
x² − 32x + 252 < 0 Encontrando as raízes de x² − 32x + 252 = 0, temos:
x = 32 1024 1008
2± −
x = 32 16
2±
x = 32 42± =
x
x1
2
18
14
=
=
14 18
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
06) D
(x −3)² > x − 3 x² − 6x + 9 > x − 3 x² − 6x + 9 − x + 3 > 0 x² − 7x + 12 > 0
Encontrando as raízes de x² − 7x + 12 = 0, temos:
x = 7 49 48
2± −
x = 7 12±
x = 7 1
2±
= x
x1
2
4
3
=
=
3 4
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
S = {x ∈ R| x < 3 ou x > 4}.
07) D
2x + 1 ≤ x + 3 ≤ 4x Parte I: 2x + 1 ≤ x + 3 2x − x ≤ 3 − 1 x ≤ 2 Parte II: x + 3 ≤ 4x 3 ≤ 4x − x 3 ≤ 3x 1 ≤ x
S = {x ∈ Z| 1 ≤ x ≤ 2} 1 + 2 = 3
08) C
−1 ≤ 3x − 2 ≤ 1 Parte I: −1 ≤ 3x − 2 −1 + 2 ≤ 3x 1 ≤ 3x
13 ≤ x
Parte II: 3x − 2 ≤ 1 3x ≤ 1 + 2 3x ≤ 3 x ≤ 1
Logo: 13 ≤ x ≤ 1, então a =
13 e b = 1 a + b =
13 + 1 =
43.
09) D
2x + 3 ≤ x + 7 ≤ 3x + 1 Parte I: 2x + 3 ≤ x + 7 2x − x ≤ 7 − 3 x ≤ 4 Parte II: x + 7 ≤ 3x + 1 7 − 1 ≤ 3x − x 6 ≤ 2x 3 ≤ x
S = {x ∈ Z| 3 ≤ x ≤ 4}.
10) A
53( )x−
> 3 ⇒ 53( )x−
− 3 > 0 ⇒ 5 3 3
3− −−( )
( )x
x > 0 ⇒
⇒ 14 33−−
xx
> 0
Fazendo o estudo dos sinais:
14x –3
14
33
+ + + + + – –
x –3 – – – + + + +
Q – – – + + – –
Logo, S = x R x∈ < <
| 3143
.
O maior inteiro que satisfaz a inequação é 4.
GABARITO
4 Matemática A
11) C
Primeiro jovem: 2t − 3 960 ≥ 0 2t ≥ 3 960
t ≥ 3960
2 t ≥ 1 980 Segundo jovem: 3t − 6 000 ≤ 0 3t ≤ 6 000
t ≤ 6000
3 t ≤ 2 000
Então 1 980 ≤ t ≤ 2 000. Isso significa que os jovens viveram simultaneamente em SP de 1980 até 2000.
12) D
Note que g(x) é não negativa no intervalo −2 ≤ x ≤ 2 e
que f(x) = g x( ). Sabendo que não existe raiz negativa
de índice par, é possível afirmar que o domínio de f(x) é {x ∈ R| −2 ≤ x ≤ 2}
13) S = {x ∈ R| 1 < x ≤ 2}
A = {x ∈ R| x² − 6x + 5 < 0} Encontrando as raízes de x² − 6x + 5 = 0, temos:
x = 6 36 20
2± −
x = 6 16
2±
x = 6 4
2±
= x
x1
2
5
1
=
=
1 5
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
A = {x ∈ R| 1< x <5}
B = {x R| −x² + 2x + 3 > 0} Encontrando as raízes de −x² + 2x + 3 = 0, temos:
x = − ± +
−2 4 12
2 1. ( )
x = − ±−
2 162
x = − ±−2 4
2
x = 2 4
2∓
= x
x1
2
1
3
=−
=
–1 3
+ + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x
B = {x ∈ R| −1 < x < 3} C = {x ∈ R| x² − 8x + 12 ≥ 0} Encontrando as raízes de x² − 8x + 12 = 0, temos:
x = 8 64 48
2± −
x = 8 16
2±
x = 8 4
2±
= x
x1
2
6
2
=
=
2 6
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
C = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 6}
Determinando a intersecção, temos:
1
A
5
–1
B
3
2
C
6
1
A B C∩ ∩2
Então S = {x ∈ R| 1 < x ≤ 2}.
GABARITO
5Matemática A
14) D
A: x − 2y + 6 = 0 x + 6 = 2y
x2 + 3 = y
B: x − 3y + 15 = 0 x + 15 = 3y
x3 + 5 = y
A > B
x2 + 3 >
x3 + 5 multiplicando toda a inequação por 6:
3x + 18 > 2x + 30 3x − 2x > 30 − 18 x > 12
15) C
A: 500 + 40x B: 400 + 60x A = B 500 + 40x = 400 + 60x 500 − 400 = 60x − 40x 100 = 20x
10020
= x
5 = x
16) D
LT (q) = FT(q) − CT(q) 0 = 5q − (2q + 12) 0 = 5q − 2q − 12 12 = 3q
123
= q
q = 4
17) B
Tipo I: 3x (em que 3 é o preço e x os quilos de arroz) Tipo II: 4y (em que 4 é o preço e y os quilos de arroz)
x + y =75 (*)
Sabemos que o preço por quilo da mistura é R$3,40, então: 75 . 3,4 = 255. Logo, temos a seguinte equação para o preço: 3x + 4y = 255 (**)
Montando um sistema com (*) e (**), temos:
x y
x y
+ =+ =
75
3 4 255 multiplicando a primeira linha por −3:
− − =−+ =
+
=
3 3 225
3 4 255
30
x y
x y
y Substituindo y em (*), temos: x + 30 = 75 x = 75 − 30 x = 45
18) B
C = 50 + 2x + 0,1x² função do custo diário R = 6,5x função do preço de venda L = R − C função do lucro L = 6,5x − (50 + 2x + 0,1x²) L = 6,5x − 50 − 2x − 0,1x² L = −0,1x² + 4,5x − 50
Encontrando as raízes de −0,1x² + 4,5x − 50 = 0, temos:
x = − ± −
−4 5 20 25 20
2 0 1, ,
. ( , )
x = − ±−
4 5 0 250 2
, ,,
x = − ±−
4 5 0 50 2
, ,,
x = 4 5 0 5
0 2, ,
,∓
= x
x1
2
20
25
=
=
20 25
+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x
S = {x ∈ N| 20 ≤ x ≤ 25}.
19) C
x − y = 2 x − 2 = y (*)
A ≤ 24 cm² xy ≤ 24 (**)
Substituindo (*) em (**), temos:
x . (x − 2) ≤ 24 x² − 2x ≤ 24 x² − 2x − 24 ≤ 0
GABARITO
6 Matemática A
Encontrando as raízes de x² − 2x − 24 = 0, temos:
x = 2 4 96
2± +
x = 2 100
2±
x = 2 10
2±
= x
x1
2
6
4
=
=−
Não convém um lado com valor negativo. Note que x > 2, pois a diferença entre os lados é de 2
cm.
20) B
(x − 1)(x − 4) ≤ 0 Note que a inequação é do 2o grau na forma fatorada,
com x1 = 1 e x2 = 4. Podemos escrever a inequação x² − 5x + 4 ≤ 0. Pelo estudo de sinais, temos:
1 4
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
Somando os valores inteiros desse intervalo, temos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
21) B
xx
xx x
+−−+−≤−
33
11
33
multiplicando toda a inequação por (x − 3)(x − 1):
(x + 3)(x − 1) − (x + 1)(x − 3) ≤ 3 . (x − 1) x² − x + 3x − 3 − (x² − 3x + x − 3) ≤ 3x − 3 x² + 2x − 3 − x² + 2x + 3 ≤ 3x − 3 4x ≤ 3x − 3 4x − 3x ≤ −3 x ≤ −3
Notem que o novo denominador é (x − 3)(x − 1), que é uma equação de 2o grau com raízes x1 = 3 e x2 = 1, então:
1 3
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
{x ∈ R| x ≤ −3 ou 1 < x < 3}
22) B
f(x) = 16 − x² e g(x) = x − 4 f xg x( )( )
≤ 0
Encontrando as raízes de 16 − x² = 0 e x − 4 = 0, temos:
16 − x² = 0 16 = x² ± 16 = x
x = ± 4
–4 4
+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x
x − 4 = 0 x = 4
4
++++ + + + + +– – – – – – – – – –
Fazendo o estudo de sinais, temos:
–4
f(x) – –+
4
g(x) – – +
4
–4
f(x)
g(x)+ – –
4
Então x ≥ −4 e x ≠ 4
23) A
f(x) = x + 2 e g(x) = 2x − x² f(x) . g(x) ≤ 0 Encontrando as raízes de x + 2 = 0 e 2x − x² = 0, temos:
x + 2 = 0 x = −2
–2
++++ + + + + +– – – – – – – – – –
GABARITO
7Matemática A
2x − x² = 0 x (2 − x) = 0 x = 0 ou x = 2
0 2
+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x
Fazendo o estudo de sinais, temos:
–2
f(x) – ++
g(x) – – –+
0 2
–2
f(x) . g(x) + – –+
0 2 Então, {x ∈ R| −2 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2} Logo, a = − 2, b = 0 e c = 2 a² + b² + c² = (−2)² + 0² + 2² = 4 + 0 + 4 = 8
24) A
f(x) = x² − 2x − 3 e g(x) = x − 2 f xg x( )( )
≥ 0
Encontrando as raízes de x² − 2x − 3 = 0 e x − 2 = 0, temos:
x² − 2x − 3 = 0
x = 2 4 12
2± +
x = 2 16
2±
x = 2 4
2±
x1 = 3 ou x2 = −1
–1 3
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
x − 2 = 0 x = 2
2
++++ + + + + +– – – – – – – – – –
Fazendo o estudo de sinais, temos:
2
+ +–
g(x)
g(x)
– – ++
–1 3
2
f(x)
f(x)
– + +–
–1 3
Então, S = [ −1, 2) ∪ [3, + ∞)
25) B
f(x) = 3 − x, g(x) = x² − 1 e h(x) = x + 2
f x g x
h x( ) . ( )
( ) ≥ 0
Encontrando as raízes de 3 − x = 0, x² − 1 = 0 e x + 2 = 0, temos:
3 − x = 0 3 = x
3
++++ + + –––––––––––––
x² − 1 = 0 x = ± 1
–1 1
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
x + 2 = 0 x = −2
–2
++++ + + + + +– – – – – – – – – –
Fazendo o estudo de sinais:
1) Para f(x) . g(x):
–1
f(x) + –+
g(x) + – ++
1
3
–1
f(x) . g(x) + – –+
1 3
GABARITO
8 Matemática A
2) Para f x g x
h x( ) . ( )
( ):
–2
+ + ––+
h(x)
h(x)
– + + ++
–1 1 3
–2
f(x) .
f(x) .
g(x)
g(x)
– + + ––
–1 1 3
1
Então, S = {x ∈ R| −2 < x ≤ 1 ou 1 ≤ x ≤ 3}. Os números naturais pertencentes à solução são 1, 2 e 3. Logo,
1² + 2² + 3² = 14
26) A
f(x) = 5 − x² e g(x) = 2 − x f xg x( )( )
≤ 0
Encontrando as raízes 5 − x² = 0 e 2 − x = 0, temos:
5 − x² = 0 5 = x² ± 5 = x
5 5
+ + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x–
2 − x = 0 2 = x
2
++++ + + –––––––––––––
Fazendo o estudo de sinais, temos:
– + + –
g(x)
g(x)
+ + – –
2
f(x)
f(x) – + – +
2
5 5
5 5
–
–
S = ]−∞, − 5] ∪ ]2, 5]
27) C
Seja f(x) = 1 − x, g(x) = (x − 8)² e h(x) = (x + 4)³. f(x) . g(x) . h(x) > 0
Encontrando as raízes:
1) Para f(x): 1 − x = 0 x = 1
1
++++ + + –––––––––––––
2) Para g(x): Note que podemos reescrever g(x) = x² − 16x + 64, ou seja, (x − 8)(x − 8), então x − 8 = 0 x = 8
8
+ + + + + + +
x
+ + + + + + +
3) Para h(x): Note que h(x) = (x + 4)(x + 4)(x + 4), então x + 4 = 0 x = −4
– +(x + 4)
–4
– +(x + 4)
– +(x + 4)
– +h(x)
–4
Fazendo o estudo de sinais, temos:
+ + – –
g(x) + + + +
1
f(x)
h(x)
f(x)g(x)h(x)
–
–
+
+
+ +
– –
1
–4
–4
8
8
S = (−4, 1). Então, os números inteiros são: −3, −2, −1, 0.
GABARITO
9Matemática A
28) A
f(x) = (−x² + x − 20)³ e g(x) = x²(x−1)5 f xg x( )( )
< 0
Encontrando as raízes:
1) Para f(x): Note que podemos escrever como (−x² + x − 20)(−x² + x − 20)(−x² + x − 20). Calculando
as raízes da equação do 2° grau −x² + x − 20 = 0, en-contramos Δ = −79.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
x
2) Para g(x): x² = 0 0 = x
0
+ + + + + + +
x
+ + + + + + +
(x − 1)5 = ( ) ... ( )x x− ⋅ ⋅ −1 15
� �������� ��������
x − 1 = 0 x = 1
1
++++ + + + + +– – – – – – – – – –
Então, g(x):
+ + + +
– – – +
g(x) – – – +
0
1
0 1
Logo, f xg x( )( )
:
– – – –
– – – +
f(x)
g(x)
g(x)
f(x)
+ + + –
0 1
0 1
S = ]1, +∞)
29) C
f(x) = 2x² + 5x − 3 e g(x) = 1 − 5x f xg x( )( )
< 0
Encontrando as raízes de 2x² + 5x − 3 = 0 e 1 − 5x = 0, temos:
2x² + 5x − 3 = 0
x = − ± +5 25 24
2 2.
x = − ±5 49
4
x = − ±5 7
4
x1 = 12 e x2 = −3
–3 1
2
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
1 − 5x = 0 1 = 5x
15 = x
1
5
++++ + + –––––––––––––
GABARITO
10 Matemática A
Fazendo o estudo de sinais, temos:
+ – – +
+ + – –
f(x)
g(x)
g(x)
f(x)
+ – + –
1/2
1/5
–3
–3
1/21/5
Então, S = x R x ou x∈ − < < >
| 315
12
30) B
f(x) = −x² − 2x + 8 e g(x) = 2 − x f xg x( )( )
≥ 1
− − +
−x x
x
2 2 82
≥ 1 Note que 22−−
xx = 1, logo:
− − +
−x x
x
2 2 82
≥ 22−−
xx
− − +
−x x
x
2 2 82
− 22−−
xx ≥ 0
− − + − +−
x x xx
2 2 8 22
≥ 0
− − +
−x x
x
2 62
≥ 0
Encontrando as raízes de − x² − x + 6 = 0 e 2 − x = 0, temos:
− x² − x + 6 = 0
x = 1 1 242 1± +−. ( )
x = 1 25
2±−
x = 1 5
2±−
x = −1 5
2∓
x1 = − 3 e x2 = 2
–3 2
+ + + + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x
2 − x = 0 2 = x
2
++++ + + –––––––––––––
Fazendo o estudo de sinais, temos:
– + + –
+ + + –
f(x)
g(x)– + + +
2
–3
–3
2
2
Então, S = [−3, 2[ ∪ ]2, +∞)
31) B
4 3
1xx−+
> 2
4 3
1xx−+
− 2 > 0 multiplicando a inequação por x + 1
4x − 3 − 2 . (x + 1) > 0 4x − 3 − 2x − 2 > 0 2x − 5 > 0 2x > 5
x > 52
Analisando o denominador x + 1: x + 1 = 0 ⇒ x = −1
–1
++++ + + + + +– – – – – – – – – –
Fazendo o estudo de sinais, temos:
– – – +
– + + +
+ – – +
5/2
–1
–1
5/2
Então, S = (−∞, 1) ∪ 52
,+∞
GABARITO
11Matemática A
32) C
x x
x x
2
2
19
13
+ −−
≥−
x x
x x x
2 13 3
13
+ −− +
≥−( )( )
multiplicando a inequação por (3 − x)(3 + x)
x² + x − 1 ≥ 3 + x x² + x − 1 − 3 − x ≥ 0 x² − 4 ≥ 0
Encontrando as raízes de x² − 4 = 0 e −x² + 9 = 0, temos:
x² − 4 = 0 x² = 4 x = ± 4
x = ± 2
–2 2
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
9 − x² = 0 9 = x²
± 9 = x
± 3 = x
–3
+ + + + + +– – – – – – – – – – – – – – – –
x3
Fazendo o estudo de sinais, temos:
+ + – + +–
– + + + –+
– + – + ––
–2 2
3
–3
–3
–2 2 3
Então, S = ]−3, −2] ∪ [2, 3[
33) B
|x − 1| ≤ 2 −2 ≤ x − 1 ≤ 2
I) −2 ≤ x − 1 −2 + 1 ≤ x −1 ≤ x II) x − 1 ≤ 2 x ≤ 2 + 1 x ≤ 3
S = {x ∈ R| −1 ≤ x ≤ 3}, então a = −1 e b = 3 ⇒ b − a = 3 − (−1) = 3 + 1 = 4
34) C
f(x) = ( )x
x
−−
3
3
2
= | |xx−−
33
, através da definição de módu-
lo x x2 =| |
D = {x ∈ R| x ≠ 3}
I) |x − 3| = −(x − 3) se x < 3:
− −−
( )xx
33
= − xx−−
33 = −1
II) |x − 3| = x − 3 se x > 3
xx−−
33 = 1
Im = {−1, 1}
35) A
A = {x ∈ Z| |x + 1| < 5} |x + 1| < 5 − 5 < x + 1 < 5
I) −5 < x + 1 −5 − 1 < x −6 < x II) x + 1 < 5 x < 5 − 1 x < 4
A = {x ∈ Z| −6 < x < 4} ⇒ A = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
B= {x ∈ Z| |x| > 3} |x| > 3 −3 > x > 3
B = {x ∈ Z| x < −3 ou x > 3} ⇒ B = (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
Então, A ∩ B = {−5, −4}
GABARITO
12 Matemática A
36) B
f(x) = −2x + 4 −2x + 4 = 0 4 = 2x
42 = x
2 = x
2
++++ + + –––––––––––––
g(x) = x² − 9 x² − 9 = 0 x² = 9
x = ± 9
x = ± 3
–3 3
+ + + + + – – – – – – – – – – – – + + + + +
x
Fazendo o estudo de sinais temos:
f(x) + + ++ – –
g(x) + – – – +–
2
3
–3
f(x)
g(x)+ – – + ––
2 3
–3
Note que f(x) = f xg x( )( )
, então a divisão das duas funções
anteriores não pode ser negativa, pois não tem raiz negativa de índice par para os reais. Logo:
D = {x ∈R| x < −3 ou 2 ≤ x < 3}
37) D
h−15322
≤ 1
−1 ≤ h−153
22 ≤ 1
−1 . 22 ≤ h − 153 ≤ 1 . 22 −22 ≤ h − 153 ≤ 22 − 22 + 153 ≤ h ≤ 22 + 153 131 ≤ h ≤ 175
Então, a altura máxima é de 175 cm, ou 1,75 m.
38) D
f(x) = 4x − 3 − − + −x x2 10 25
Analisando o sinal de −x² + 10x − 25 = 0:
x = − ± −
−10 100 100
2 1. ( )
x = − ±−
10 02
x = − ±−
10 02
= −−102
= 5
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
x5
Logo, D= {5}. Calculando a imagem, temos:
f(5) = 4 . 5 − 3 − − + −5 10 5 252 .
f(5) = 20 − 3 − − + −25 50 25
f(5) = 17 − 0
f(5) = 17
Então Im = {17}.
39) B
f(x) = ( )x x5 3−
Achando as raízes:
x5 − x³ = 0 x³ . (x² − 1) = 0
I) x³ = 0 ⇒ x = 0 II) x² − 1 = 0 x² = 1 x = ± 1
x = ± 1
GABARITO
13Matemática A
Analisando os sinais:
(I) – – + +
(II) + – – +
0
1
–1
f(x) – + – +
0 1
–1
Então, D = [−1, 0] ∪ [1, +∞)
40) B
11
2−−x
≤ 4
11
2−−x
= 2 1
2− −( )x
= − + +x 1 2
2 = − +x 3
2
Então:
−4 ≤ − +x 32
≤ 4
−4 . 2 ≤ − x + 3 ≤ 4 . 2 −8 ≤ −x + 3 ≤ 8 −8 −3 ≤ −x ≤ 8 − 3 −11 ≤ −x ≤ 5 multiplicando por −1: −5 ≤ x ≤ 11
41) B
|x + 1| ≤ |2x − 3|
Caso I) x + 1 ≤ 2x − 3 1 + 3 ≤ 2x − x 4 ≤ x x ≥ 4
Caso II) x + 1 ≤ − (2x − 3) x + 1 ≤ −2x + 3 x + 2x ≤ 3 − 1 3x ≤ 2
x ≤ 23
42) D
f(x) = 2 3
1−−
xx| |
Analisando o numerador:
2 − 3x ≥ 0 2 ≥ 3x
23 ≥ x
Logo, x ≤ 23.
Analisando o denominador:
|x| ≠ 1 ⇒ x ≠ 1 ou x ≠ −1
Porém, no numerador x ≤ 23, então o domínio é
D = x R x ou x∈ ≤ ≠−
|23
1
43) C
|x − 2|< |x − 5|
Caso I) x − 2 < − (x − 5) x + x < 5 + 2 2x < 7
x < 72
Caso II) − (x − 2) < x − 5 −x − x < −5 − 2 −2x < −7
x < 72
44) C
|x − 2| < 0,01 −0,01 < x − 2 < 0,01
− 1
100 + 2 < x <
1100
+ 2
199100
< x < 201100
1,99 < x < 2,01
Então, para encontrar o menor valor de N, x > 1,99. Logo, para x = 1,99, temos:
|x² − 4| < N ( , )199 42 − < N
|3,9601 − 4| < N |−0,0399| < N 0,0399 < N
GABARITO
14 Matemática A
45) S = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 9}
1° Modo: |x² − 10x + 21| = |3x − 15| ⇔ ⇔ x² − 10x + 21 = 3x − 15 ou x² − 10x + 21 = − 3x + 15 ⇔ x² − 13x + 36 = 0 ou x² − 7x + 6 = 0 Segue um esboço dos gráficos das funções dadas por f(x) = |x² − 10x + 21| e g(x) = |3x − 15|.
y = g(x)
y
x
y = f(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Desse esboço, podemos concluir que: f(x) ≤ g(x) ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤9. Resposta: 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤9
2° Modo: |x² − 10x + 21| ≤ |3x − 15|, x ∈ R x² − 10x + 21 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 7 3x − 15 = 0 ⇔ x = 5
x3
x –10x + 21 –3x + 152 ≤ –x +10x – 21 –3x + 152 ≤ –x +10x – 21 3x – 152 ≤x –7x + 6 02 ≤ –x +13x – 36 02 ≤ –x +7x – 6 02 ≤
x –13x + 36 02 ≥ x –7x + 6 02 ≥1 x 6≤ ≤ x 4 ou x 9≤ ≥ x 4 ou x 9≤ ≥x 3≤ 3 x 5≤ ≤ 3 x 5≤ ≤
1 x 3≤ ≤ 3 x 4≤ ≤ 3 x 4≤ ≤
+
–
5
–
–
7
– + x – 10x + 212
3x – 15+ +
x –10x + 21 3x – 152 ≤x –13x + 36 02 ≤
4 x 9≤ ≤x 7≤
6 x 7≤ ≤
1 x 4 ou 6 x 9.≤ ≤ ≤ ≤Resposta:
x
3 4 91 6 7
S = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 9}
GABARITO
15Matemática A
46) C
Domínio de f(x) = x
x3 1−
x
x3 1− ≥ 0
+ – +
– – – – – – – – – – – + + + + + + + +
– +– – – – – + + + + + + + + + + + + + + +
0 1D = {x R/x 0 ou x > 1}∈ ≤
0
1
f(x) = x ⇒
g(x) = x – 13 ⇒
f/g ⇒
Domínio de f(x) = 1
1− x
1 − |x| > 0 − |x| > − 1 |x| < 1 D = {x ∈ R| −1 < x < 1}
Domínio de f(x) = tg (2x)
2x ≠ π2 + kπ
x ≠ π4
+ kπ2
x ≠ π2 .
12+
k
x ≠ π2 .
1 22+
k
D = x R xk
k z∈ ≠+
∈
/( )
,2 1
4π
Domínio de f(x) = sen 1
1x−
x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 D = {x ∈ R| x ≠ 1}
Domínios coerentes: D = {x ∈ R| x ≠ 1}; D = {x ∈ R| x ≤ 0 ou x > 1} ;D = {x ∈ R| −1 < x < 1}
GABARITO
16 Matemática A
47) E
Sabendo que o volume é igual ao produto das três dimensões, temos então a seguinte função:
V = (20 − 2x) . (10 − 2x) . x, tal que C = 20 − 2x é a equação do comprimento, então:
20 − 2x = 0 20 = 2x
202
= x
x = 10
10
++++ + + –––––––––––––
L = 10 − 2x é a equação da largura, então: 10 − 2x = 0 10 = 2x
102
= x
x = 5
5
++++ + + –––––––––––––
H = x é a equação da altura, então: x = 0
0
++++ + + + + +– – – – – – – – – –
Analisando o sinal temos que os intervalos positivos são (0, 5) e (10, +∞). Porém, como estamos analisando os lados de uma figura, C > 0, L > 0, H > 0 e V > 0. Logo, o domínio da função é (0, 5).
48) 19
01. Verdadeiro.f(f(x)) = 3f(x) + 2 f(f(x)) = 33 2x+ + 2 Calculando f(f(0)) temos: f(f(0)) = 33 20+ + 2 f(f(0)) = 31 + 2 + 2 f(f(0)) = 33 + 2 f(f(0)) = 27 + 2 f(f(0)) = 29
02. Verdadeiro. Por definição, sabemos que a imagem de uma função g(x) = ax é igual a R+
∗ , porém a f(x) = 3x + 2 terá sua imagem deslocada duas uni-
dades, então Im = ]2, +∞[.04. Falso. f(a + b) = 3a + b + 2 = 3a . 3b + 2 f(a) = 3a + 2 f(b) = 3b + 2
⇒ f(a) + f(b) = 3a + 2 + 3b + 2 ⇒ f(a) + f(b) = 3a + 3b + 408. Falso. f(x) é crescente, pois a base é maior que 1.16. Verdadeiro. f(x + 1) = 3x + 1 + 2 e f(x) = 3x + 2, então:
f(x + 1) − f(x) = 3x + 1 + 2 − (3x + 2) f(x + 1) − f(x) = 3x + 1 + 2 − 3x − 2 f(x + 1) − f(x) = 3x + 1 − 3x
f(x + 1) − f(x) = 3x . 31 − 3x
f(x + 1) − f(x) = 3x . (3 − 1) f(x + 1) − f(x) = 3x . 2 = 2 . 3x
49) C
Por definição, temos que y = ax > 0 para todo x real, ou seja, y > 0 (Im = R+
∗ ) e para a > 1, então f(x) = ax é crescente.
50) D
f(n + 2) = 10n + 2 = 10n . 10² = 10n . 100 f(n + 1) = 10n + 1 = 10n . 10¹ = 10n . 10 f(n) = 10n
f(n − 1) = 10 1n− =
10101
n
= 1010
n
f n f n
f n f n( ) ( )
( ) ( )+ − +− −2 1
1 =
10 100 10 10
101010
n n
nn
. .−
−
f n f n
f n f n( ) ( )
( ) ( )+ − +− −2 1
1 =
10 100 10
10 11
10
n
n
. ( )
.
−
−
f n f n
f n f n( ) ( )
( ) ( )+ − +− −2 1
1 =
909
10
= 90 . 109
= 100 = 10²
51) a) (x) = 2 . 32
x
; a = 32
e k = 2
f(x) = k . ax, A = (1, 3) e B = 292
,
Quando x = 1, temos y = 3: 3 = k . a¹ 3 = k . a
3a = k aplicando a propriedade a
an
n− =
1
3 . a−1 = k (*)
GABARITO
17Matemática A
Quando x = 2, temos y = 92
92 = k . a² substituindo (*)
92 = 3 . a−1 . a² aplicando a propriedade anam = an + m
92 = 3 . a
92 3.
= a
96 = a
a = 32
(**)
Substituindo (**) em (*):
k = 3 . 32
1
−
k = 3 . 23
k = 2
b) f(0) = 2 e f(3) = 274
f(x) = 2 . 32
x
Quando x = 0, então f(0) = 2 . 32
0 = 2 . 1 = 2
Quando x = 3, então f(3) = 2 . 32
3 = 2 .
278
= 274
52) D
Por definição, sabemos que a imagem de uma função g(x) = ax é igual a R+∗ . Porém, a f(x) = 5x + 3 terá a sua imagem
deslocada três unidades, então Im = ]3, +∞[
53) A
n(t) = 100 . 23t
Quando n(t) = 51 200, então:
51 200 = 100 . 23t
dividindo toda a equação por 100:
512 = 23t
fatorando:
29 = 23t
9 = t3
27 = t
Então, t = 27h, ou seja, 1 dia e 3 horas.
GABARITO
18 Matemática A
54) D
f(x) = a2x − 1
Quando x = −12; y =
19
19 = a
212
1−−
aplicando a propriedade aa
nn
− =
1
9−1 = a−1 − 1
9−1 = a−2 fatorando: (3²)−1 = a−2 aplicando a propriedade (an)m = an . m: 3−2 = a−2
3 = a
55) B
P = 6 + 6 . (36)n
Quando P = 7 782, então: 7 782 = 6 + 6 . (36)n
7 782 − 6 = 6 . (36)n
7 776 = 6 . (36)n
7 776
6 = (36)n
1 296 = 36n fatorando: 24 . 34 = (2² . 3²)n aplicando a propriedade an . bn = (a . b)n: (2 . 3)4 = ((2 . 3)²)n aplicando a propriedade (an)m = an . m: (2 . 3)4 = (2 . 3)2n
4 = 2n
42 = n
2 = n
56) 13
01. Verdadeiro. t = 0 ⇒ N(0) = 500 . 206
N(0) = 500 . 20
N(0) = 500 . 1 N(0) = 500
02. Falso. t = 3 ⇒ N(3) = 500 . 236
N(3) = 500 . 212 aplicando a propriedade a a
nm nm= :
N(3) = 500 . 2
N(3) ≅ 707 < 800
04. Verdadeiro. t = 12 ⇒ N(12) = 500 . 2126
N(12) = 500 . 2² N(12) = 500 . 4 N(12) = 2 000 = 4 . N(0)
08. Verdadeiro. t = 6 ⇒ N(6) = 500 . 266
N(6) = 500 . 2¹ N(6) = 500 . 2 N(6) = 1 000 = 2 . N(0)
57) C
f(x) = abx
Quantidade inicial: 125 ⇒ f(0) = 125 ⇒ ab0 = 125 ⇒ ⇒ a = 125. Sabendo que a quantidade dobra a cada 2h, temos:
f(2) = 250 ⇒ 125 . b2 = 250 ⇒ b2 = 2 ⇒ b = 2.
Logo, f(x) = 125 . ( 2)x = 125 . 212
x
= 125 . 22x
.
Então:
256 000 = 125 . 22x
⇒ 22x
= 2 048 ⇒ 22x
= 211 ⇒
⇒ x2 = 11 ⇒ x = 22
58) B
f(t) = k . 12
2
t
Quando k = 128; f(t) = 2. Então:
2 = 128 . 12
2
t
dividindo a equação por 128:
2
128 =
12812
128
2.
t
1
64 =
12
2
t
aplicando a propriedade aa
nn
− =
1 :
64−1 = 2 2−
t
fatorando:
(26)−1 = 2 2−
t
aplicando a propriedade (an)m = an . m:
2−6 = 2 2−
t
−6 = − t2 multiplicando por −1:
6 = t2 multiplicando por 2:
6 . 2 = t 12 = t
59) D
f(t) = a . bt
Quando t = 0; f(t) = 104. Então: 104 = a . b0
10 000 = a . 1 10 000 = a (*)
Quando t = 3, f(t) = 8 . 104. Então, 8 . 104 = a . b3
8 . 10 000 = a . b3 substituindo (*) 8. 10 000 = 10 000 . b³ dividindo a equação por 10 000:
GABARITO
19Matemática A
8 10 000
10 000.
= 10 00010 000
3. b
8 = b³ fatorando: 2³ = b³ 2 = b
Reescrevendo a função, temos: f(t) = 10 000 . 2t
Quando t = 30 min = 12 h, então:
f12
= 10 000 . 2
12 aplicando a prop. a a
nm nm= :
f12
= 10 000 . 2 usando 2 = 1,4:
f12
= 10 000 . 1,4
f12
= 14 000
60) B
f(x) = 4 4
2
x x+ −
e g(x) = 4 4
2
x x− −
Reescrevendo as funções, temos:
f(x) = 4 4
2
x x+ −
fatorando:
f(x) = ( ) ( )2 2
2
2 2x x
+−
aplicando a prop. (an)m = an . m:
f(x) = 2 2
2
2 2x x+ −
separando as frações:
f(x) = 22
22
2 2x x
+−
aplicando a prop. an ÷ am = an − m:
f(x) = 22x − 1 + 2−2x − 1
g(x) = 4 4
2
x x− −
fatorando:
g(x) = ( ) ( )2 2
2
2 2x x− −
aplicando a prop. (an)m = an . m:
g(x) = 2 2
2
2 2x x− −
separando as frações:
g(x) = 22
22
2 2x x
−−
aplicando a prop. an ÷ am = an − m:
g(x) = 22x − 1 − 2−2x − 1
Elevando as funções ao quadrado:
[f(x)]² = (22x − 1 + 2−2x − 1)² de (a + b)² = a² + 2ab + b² [f(x)]² = (22x − 1)² + 2 . (22x − 1) . (2−2x − 1) + (2−2x − 1)² [f(x)]² = 24x − 2 + 2−1 + 2−4x − 2
[g(x)]² = (22x − 1 − 2−2x − 1)² de (a − b)² = a² − 2ab + b² [g(x)]² = (22x − 1)² − 2 . (22x − 1) . (2−2x − 1) + (2−2x − 1)² [g(x)]² = 24x − 2 − 2−1 + 2−4x − 2
Calculando [f(x)]² − [g(x)]², temos:
[f(x)]² − [g(x)]² = 24x − 2 + 2−1 + 2−4x − 2 − (24x − 2 − 2−1 + 2−4x − 2) [f(x)]² − [g(x)]² = 24x − 2 + 2−1 + 2−4x − 2 − 24x − 2 + 2−1 − 2−4x − 2
[f(x)]² − [g(x)]² = 2−1 + 2−1 aplicando a prop. aa
nn
− =
1
:
[f(x)]² − [g(x)]² = 12 +
12 = 1
61) E
f(x) = 19 1x−
e h(x) = 3x + 1
f(x) = h(x)
19 1x−
= 3x + 1 aplicando a propriedade aa
nn
− =
1 :
(9x − 1)−1 = 3x + 1 aplicando a prop. (an)m = an . m: 9−x + 1 = 3x + 1 fatorando: (3²)−x + 1 = 3x + 1
3−2x + 2 = 3x + 1
−2x + 2 = x + 1 2 − 1 = x + 2x 1 = 3x
13 = x
Substituindo x em uma das funções, temos:
h13
= 3
13
1+
13
11 3
343
+ =+=
h13
= 3
43 aplicando a propriedade a a
nm nm= :
h13
= 343
h13
= 3 333 .
h13
= 333 . 33
h13
= 3 33
GABARITO
20 Matemática A
62) C
f(x) = 13
4 2
−x x
Como o expoente é uma equação de segundo grau, precisamos encontrar o valor de máximo:
xv = −b
a2
xv = −−4
2 1. ( )
xv = −−
42
xv = 2
Note que a base da função está entre 0 e 1 (0 < a < 1), então essa função é decrescente, isto é, quando o expo-ente tiver o valor máximo, a potência terá o valor mínimo. Então, quando x = 2, temos:
f(2) = 13
4 2 22
−.
f(2) = 13
8 4
−
f(2) = 13
4
f(2) = 181
63) A
A função exponencial M(t) pode ser representada pela equação M(t) = 2m
tn+
com m ∈ N e n ∈ N* e seu gráfico
passa pelos pontos A = (0, 16) e B= (150, 4).
Para A temos:
16 = 20
mn+
16 = 2m + 0
16 = 2m fatorando: 24 = 2m
4 = m
Para B temos:
4 = 24
150+
n
2² = 24
150+
n
2 = 4 + 150
n multiplicando a equação por n:
2n = 4n + 150 −150 = 4n − 2n −150 = 2n
−150
2 = n
−75 = n