1

Unidade 7

Integrais

Função primitiva

No estudo da derivada tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, outra, a que chamamos de derivada. Nesta seção, faremos o caminho inverso, isto é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original que chamaremos primitiva. Você deve observar que é importante conhecer bem as regras de derivação e as derivadas de várias funções, estudadas anteriormente, para determinar primitivas. O que acabamos de mencionar nos motiva a seguinte definição.

Definição 7.1. Uma função ( )F x é chamada uma primitiva da função ( )f x em um

intervalo I , se para todo x I∈ , tem-se

'( ) ( )F x f x= .

Exemplo 7.1. A função 5

( )5

xF x = é uma primitiva da função 4( )f x x= , pois

45 '( )

5

xF x = = 4 ( )x f x= , x R∀ ∈

Exemplo 7.2. As funções 5 5

( ) 9 , ( ) 25 5

x xT x H x= + = − também são primitivas da

função 4( )f x x= , pois '( ) '( ) ( )T x H x f x= = .

Observação. Seja I um intervalo em R. Se :F I R→ é uma primitiva

de :f I R→ , então para qualquer constante real k , a função ( )G x

dada por ( ) ( )G x F x k= + é também uma primitiva de ( )f x .

Se , :F G I R→ são primitivas de :f I R→ , então existe uma constante real k tal que

( ) ( )G x F x k= + , para todo x I∈ .

Exemplo 7.3. Encontrar uma primitiva ( )F x , da função 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= − + − , para

todo x R∈ que satisfaça a seguinte condição (1) 4F = .

Resolução: Pela definição de função primitiva temos '( ) ( )F x f x= para todo Rx ∈ ,

assim, ( )F x será uma função cuja derivada será a função ( )f x dada. Logo, 3 2

42( ) 4 5

4 3 2

x xF x x x k= − + − + ,

pois 2

32'( ) 4 4 3 5 2 1 0

4 3 2

x xF x x= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +

3 22 4 5 1 ( )x x x f x= − + − = ,

ou seja,

2

3 241

( ) 4 52 3 2

x xF x x x k= − + − + .

Como ( )F x deve satisfazer a condição (1) 4F = , com isto, vamos calcular o valor da

constante k , fazendo 1x = na função ( )F x ,

isto é,

( ) ( ) ( )3 2

4 1 11(1) 1 4 5 1 4

2 3 2F k= − − − + =

e resolvendo temos 10

4k = .

Assim, 3 2

41 10( ) 4 5

2 3 2 4

x xF x x x= − + − + .

Portanto, 3 2

41 10( ) 4 5

2 3 2 4

x xF x x x= − + − + ,

é uma função primitiva de 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= − + − ,

que satisfaz condição (1) 4F = .

Exemplo 7.4 A função 4 21( )

4F x x x= + é uma primitiva da função, 3( ) 2f x x x= + pois

3'( ) 2F x x x= + ( )f x= , x R∀ ∈

Integral indefinida

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral mostrada sua relação com a derivada.

Definição 7.2. Se a função ( )F x é primitiva da função ( ),f x a expressão ( )F x C+ é

chamada integral indefinida da função ( )f x e é denotado por

( ) ( )f x dx F x C= +∫

onde

∫ − é chamado sinal de integração;

( )f x − é a função integrando; dx – a diferencial que serve para identificar a variável de integração;

C – é a constante de integração.

Lê-se: Integral indefinida de ( )f x em relação a x ou

simplesmente integral de ( )f x em relação a x .

3

O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado integração.

Observações

Da definição de integral indefinida, temos as seguintes observações:

(i) ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x= + ⇔ =∫ .

(ii) ( ) f x dx∫ representa uma família de funções, isto é, a família

ou o conjunto de todas primitivas da função integrando.

(iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

d d df x dx F x C F x F x f x

dx dx dx= + = = =∫ .

Exemplo 7.5

(i) Se ( )4 34d

x xdx

= então 3 44 + x dx x C=∫ .

(ii) Se ( ) 1

2

dx

dx x= então

1

2dx x C

x= +∫ .

(iii) Se

5 2

3 33

5

dx x

dx

=

então

2 5

3 33

5

x dx x C= +∫ .

Observação. Pelos exemplos acima temos:

( )( ) ( ) ( ) ( )d

f x dx F x C f x dx f xdx

= + ⇒ =∫ ∫ .

Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para

diferenciação.

Propriedades da integral indefinida

Sejam ( ) e ( )f x g x funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real.

Então:

a) ( ) ( ) k f x dx k f x dx=∫ ∫ .

Exemplo 7.6 6 6

5 52 2 26 3

x xx dx x dx k k= = + = +∫ ∫

b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ .

Exemplo 7.7

( )4 2

3 3 3

1 23 2 3 2 3 2 3 24 2

x xx x dx x dx x dx x dx x dx C C+ = + = + = + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

423

4

xx C+ +

4

� Integrais imediatas

Nesta subseção, apresentaremos a tabela de integrais imediatas para que, aplicando as propriedades da integral indefinida, você possa calcular uma integral imediata de uma função. Daremos a seguir algumas fórmulas de integrais simples e imediatas. A tabela completa é dada no final deste capítulo. A seguir apresentaremos tabela de integrais.

(i) dx x C= +∫ .

(ii) 1

, 11

nn xx dx C n

n

+

= + ≠ −+∫ .

(iii) ln , 0.dx

x C para xx

= + >∫ .

(iv) , 0, 1ln

xx a

a dx C a aa

= + > ≠∫ .

(v) x xe dx e C= +∫ .

(vi) 2 2

2 2

1ln ,

2

dx x aC x a

x a a x a

−= + >

− +∫ .

Exemplo 7.8 . O custo fixo de produção da empresa “Sorriso e Esperança” é

R$8.000,00. O custo marginal é dado pela função 2'( ) 0,03 0,12 5C x x x= + + .

Determinar a função custo total.

Resolução: Sabemos que o custo marginal '( )C x é a derivada da função custo total

( )C x . Assim, para encontrarmos ( )C x devemos calcular a integral indefinida da função

custo marginal, ou seja,

( )C x = '( ) C x dx∫ = ( )20,03 0,12 5 x x dx+ +∫

= 20,03 0,12 5 x dx x dx dx+ +∫ ∫ ∫

= 20,03 0,12 5x dx x dx dx+ +∫ ∫ ∫

= 3 20,03 0,125

3 2x x x K+ + + .

Logo,

( )C x = 3 20,01 0,06 5x x x k+ + + .

Quando a produção for nula, 0x = , o custo fixo será R$8.000,00, ou seja,

( ) ( ) ( )3 28.000 0,01 0 0,06 0 5 0 k= + + + e 8.000k = .

Portanto, a função custo total é

3 2( ) 0,01 0,06 5 8.000C x x x x= + + + .

5

Exemplo 7.9. Sabendo-se que o custo marginal '( ) 0,08 3C x x= + e que o custo fixo é

100, CF =100 obtenha a função custo total. Resolução. Sabemos que

( )C x = '( ) C x dx∫ = ( ) 20,08 3 0,04 3x dx x x k+ = + +∫ .

2( ) 0,04 3C x x x k= + + . 2(0) 0,040 30 100 100C k k= + + = ⇔ = .

Logo, 2( ) 0,04 3 100C x x x= + + .

Exemplo 7.10. Sabendo-se que o custo marginal 2'( ) 6 6 20C x x x= − + e o custo fixo é

400, obtenha. a) a função custo total;

b) o custo médio para 5x = . Resolução.

a) Sabemos que ( )2 3 2( ) '( ) 6 6 20 2 3 20C x C x dx x x dx x x x k= = − + = − + +∫ ∫ .

3 2( ) 2 3 20C x x x x k= − + + . 3 2(0) 2 0 3 0 20 0 400 400C k k= × − × + × + = ⇔ = .

Logo, 3 2( ) 2 3 20 400C x x x x= − + + .

b) O custo médio (CM) é ( )

( )C x

CM xx

= ,logo,

3 2

22 3 20 400 400( ) 2 3 20

x x xCM x x x

x x

− + += = − + + .

2 400( ) 2 3 20CM x x x

x= − + + . Para 5x = , vem

2 400(5) 2 5 3 5 20 135

5CM = × − × + + = .

Portanto, (5) 135CM = .

Exemplo 7.11. Sabendo-se que a receita marginal '( ) 20 2R x x= − , obtenha.

a) a função receita; b) a função receita média. Resolução. a) Analogamente, tem-se

( ) 2( ) '( ) 20 2 20R x R x dx x dx x x k= = − = − +∫ ∫ , ou seja

2( ) 20R x x x k= − +

b) A receita média (RM) é 220

( ) 20 , 0.x x k k

RM x x xx x

− += = − + >

Logo, ( ) 20 , 0k

RM x x xx

= − + > .

� Exercícios propostos

1) Determinar a função primitiva ( )F x da função ( )f x , onde

6

a) 2( ) 5 7 2f x x x= + + . b) 5

4( ) f x x−

= .

c) 1

( )

f xx x

= . d) 1

( ) para 11

f x xx

= >−

.

e) 4( ) xf x e= .

2) Encontrar uma função primitiva ( )F x da função ( )f x dada, que satisfaça a

condição inicial dada, onde

a) 2

31

( ) tal que (1) 2

f x x x F−

= + = .

b) 3( ) tal que (0) 2xf x x x e F= + = .

3) Calcular as integrais

a) ( ) ( )2 22 2x x dx− × +∫ . b)

1

3

3 2

2 x

dxx

−+

∫ .

c)

1-

5 2

2

2 3

x xdx

x

+ +

∫ . d) ( )24 x x dx− −∫ .

e) 3

1dx

x∫ .

Integral definida

A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo. Outro conceito também muito importante é o de integral.

Existem dois problemas fundamentais em cálculo. O primeiro é encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a curva. O conceito de derivada está ligado ao problema de traçar a tangente a uma curva.

Agora, você verá que a integral está ligada ao problema de determinar área de uma figura plana qualquer. Assim, a derivada e a integral são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o cálculo.

A integral

Nesta subseção daremos a definição da integral que nasceu com a formulação dos problemas de áreas e citaremos as suas propriedades. Já sabemos que a integral e a derivada, estudada anteriormente, são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o Cálculo. Conforme terminologia introduzida anteriormente, temos a seguinte definição.

7

Definição 7.3. Seja ( )f x uma função limitada definida no intervalo fechado [ , ]a b e

seja P uma partição qualquer de [ , ]a b . A integral de ( )f x no intervalo [ , ]a b ,

denotada por ( ) b

a

f x dx∫ , é dada por

1

( ) lim ( ) . b n

i in

ia

f x dx f c x→ + ∞

=

= ∆∑∫ ,

desde que o limite do segundo membro exista.

� Na notação ( ) b

a

f x dx∫ , ( )f x é chamada função integrando,

∫ é o símbolo da integral, e os números a e b são

chamados limites de integração onde a é o limite inferior e

b é o limite superior da integração.

� Se ( ) b

a

f x dx∫ existe, diz-se que f é integrável em [ , ]a b e

geometricamente a integral representa a área da região

limitada pela função ( )f x , às retas e x a x b= = e o eixo

x , desde que ( ) 0f x ≥ [ ], x a b∀ ∈ .

Chamamos a atenção do leitor para o fato de que a integral não significa necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas como volume, quantidade de bactérias presentes em certo instante, trabalho realizado por uma força, momentos e centro de massa (ponto de equilíbrio).

A definição acima pode ser ampliada de modo a incluir o caso em que o limite inferior seja maior do o limite superior e o caso em que os limites inferior e superior são iguais, senão vejamos.

Definição 7.4. Se a b> , então

( ) b

a

f x dx∫ = ( ) a

b

f x dx−∫

se a integral à direita existir.

Definição 7.5. Se e ( )a b f a= existe, então

( ) 0a

a

f x dx =∫ .

Teorema 7.1. Se ( )f x é uma função contínua no intervalo fechado [ , ]a b , então ( )f x é

integrável em [ , ]a b .

� Propriedades da integral definida

8

As propriedades da integral definida não serão demonstradas, pois foge do objetivo do nosso curso.

P1 - Se a função ( )f x é integrável no intervalo fechado [ , ]a b e se k é uma constante

real qualquer, então

( ) ( ) b b

a a

k f x dx k f x dx=∫ ∫ .

P2 - Se as funções ( )f x e ( )g x são integráveis em [ , ]a b , então ( ) ( ) f x g x± é

integrável em [ , ]a b e

( )( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ .

P3 - Se a c b< < e a função ( )f x é integrável em [ , ]a c e em [ , ]c b , então ( )f x é

integrável em [ , ]a b e

( ) ( ) ( ) b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

P4 - Se a função ( )f x é integrável e se ( ) 0f x ≥ para todo x em [ , ]a b , então

( ) 0b

a

f x dx ≥∫ .

P5 - Se as funções ( )f x e ( )g x são integráveis em [ , ]a b e ( ) ( )f x g x≥ para todo x

em [ , ]a b , então

( ) ( ) b b

a a

f x dx g x dx≥∫ ∫ .

P6 - Se ( )f x é uma função integrável em[ ], a b , então ( )f x é integrável em [ ], a b e

( ) ( ) b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫ .

Observação. Calcular uma integral através do limite das Somas de Riemann (definição

7.3) é geralmente uma tarefa árdua. Por isso nosso próximo objetivo é estabelecer o

chamado Teorema Fundamental do Cálculo, o qual nos permite calcular muitas

integrais de forma surpreendentemente fácil!

Teorema fundamental do cálculo

Esta subseção contém um dos mais importantes teoremas do cálculo. Este teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva da mesma, e por isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo uma função primitiva de

uma função ( )f x integrável no intervalo fechado [ , ]a b , podemos calcular a sua

integral.

9

As considerações acima motivam o teorema a seguir.

Teorema 7.2 (Teorema fundamental do cálculo). Se a função ( )f x é integrável no

intervalo fechado [ , ]a b e se ( )F x é uma função primitiva de ( )f x neste intervalo,

então

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a= −∫ .

Costuma-se escrever ( )b

aF x para indicar ( ) ( )F b F a− .

O Teorema fundamental do cálculo (TFC) não só torna o cálculo de

integrais mais simples, como também contém em si a relação entre a

derivada, o limite e a integral. Isto porque o Teorema Fundamental

afirma que o valor da integral, ( ) b

a

f x dx∫ , pode ser calculado com o

auxílio de uma função primitiva F tal que a derivada de F seja

igual a f , possibilitando encontrar o valor de uma integral utilizando

uma primitiva da função integrando.

Exemplo 7.12. Determinar 2

0

x dx∫ .

Resolução: Sabemos que 2

( )2

xF x = é uma primitiva da função ( )f x , pois

'( ) 2 ( )2

xF x x f x= × = = .

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem

2 22 2

0 00

( ) (2) (0) 2

xx dx F x F F= = = −∫

= 2 22 0 4 0

= = 2 0 = 22 2 2 2− − − .

Portanto, 2

0

2x dx =∫ .

Exemplo 7.13. Calcular

( )3

2

1

4 x dx+∫ .

Resolução: Aqui, temos 3

( ) 43

xF x x= + que é uma primitiva de 2( ) 4f x x= + , pois

22'( ) 3 4 1 4 ( )

3

xF x x f x= × + × = + = .

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem

10

( )3 3 3

2

11

4 4 (3) (1)3

xx dx x F F

+ = + = −

∫

( )3 33 1 1

4 3 4 1 9 12 ( 4) 3 3 3

= + × − + × = + − +

1 12 13 63 13 50

=21 = 21 = 3 3 3 3

+ − − − =

.

Portanto,

( )3

2

1

504

3x dx+ =∫ .

Observe que podemos calcular a integral ( )3

2

1

4x dx+∫ usando as propriedades P1 e P2

da integral definida e o teorema fundamental do cálculo, o resultado será o mesmo. De fato,

( )3 3 3

2 2

1 1 1

4 4 x dx x dx dx+ = +∫ ∫ ∫

= 3 3 3 3 3

2

1 11 1

4 4 3

xx dx dx x+ = +∫ ∫

= ( )3 33 1 27 1

+ 4 3 1 = + 4 2 3 3 3 3

− × − − ×

= 26 26 + 24 50

+ 8 = = 3 3 3

.

Assim,

( )3

2

1

504

3x dx+ =∫ .

Portanto, usando propriedades da integral definida e o TFC chegamos ao mesmo valor

no cálculo da integral ( )3

2

1

4 x dx+∫ que é 50

3, você pode usar sempre este fato.

Exemplo 7.14 . O custo ( )C x para produzir a x ésima− TV digital num programa de

produção diária da fábrica GL é dado por 50

( )C xx

= , 200x ≤ . Determinar o custo

para se produzirem as 100 primeiras TVs.

Resolução: Vamos considerar C o valor exato do custo total de produção das 100

primeiras TVs, assim

(1) (2) ... (100)C C C C= + + + .

Esta soma pode ser calculada aplicando o TFC como segue

100

0

( )C C x dx= ∫ = 100

0

50dx

x∫

11

= 100 100 100 1

21

0 0 02

1 150 50 50dx dx x dx

xx

−⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫

( )1

12 100 1002

0 050 50 2 100 100 0 1000

1

2

xx= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − = .

Portanto, o custo C para produzir as 100 primeiras TVs é de R$1.000,00.

Exemplo 7.15 . O administrador de uma empresa estima que a compra de um certo equipamento irá resultar em uma economia de custos operacionais. A economia dos

custos operacionais dado pela função ( )f x unidades monetárias por ano, quando o

equipamento estiver em uso por x anos, e ( ) 4.000 1.000f x x= + para 0 10x≤ ≤ .

Determinar:

a) a economia em custos operacionais para os cinco primeiros anos;

b) após quantos anos de uso o equipamento estará pago por si mesmo, se o preço

de compra é R$36.000,00.

Resolução: A economia obtida nos custos operacionais para os cincos primeiros anos é

a integral definida de ( ) 4.000 1.000f x x= + no intervalo 0 10x≤ ≤ , logo, respondendo

a letra a), vem

( ) ( )5

52

00

4.000 1.000 2.000 1.000x dx x x+ = +∫

( )2.000 25 1000 5

55.000.

= × + ×

=

Portanto, a economia nos custos operacionais para os 5 primeiros anos é de R$55.000,00. Vamos agora responder a (letra b). Como o preço de compra do equipamento é R$36.000,00, temos que o número de anos requeridos para o equipamento pagar-se por

si mesmo é n que será a integral definida de ( ) 4.000 1.000f x x= + de 0 até n , ou

seja,

0

( ) 36.000n

f x dx =∫ .

Resolvendo a integral acima, vem

( )

0

0

( ) 36.000

4.000 1.000 36.000

n

n

f x dx

x dx

=

⇒ + =

∫

∫

⇒ ( )2

02.000 1.000 36.000

n

x x+ =

⇒ 22.000 1.000 36.000n n+ = ,

⇒ 22 36 0n n+ − = .

12

Resolvendo a equação 22 36 0n n+ − = pela fórmula de Bhaskara , temos 4n = e

9

2n = − .

Portanto, são necessários 4 anos de uso para o equipamento pagar-se por si mesmo.

� Exercícios propostos

4) Calcular a integral 3

0

( )f x dx∫ onde 7 , 2

( )3, 2

x se xf x

x se x

− <=

+ ≥.

5) Determinar o valor das seguintes integrais aplicando o Teorema Fundamental do

Cálculo.

a) ( )1

3

0

6 8 x x dx− +∫ . b) 2

0

xe d x∫ .

Integração por substituição

Veremos nesta seção uma técnica utilizada com o objetivo de desenvolver o cálculo de integrais indefinidas de funções que possuem primitivas. A esta técnica damos o nome de integração por substituição ou mudança de variável.

Suponha que você tem uma função ( )g x e outra função f tal que ( )( )f g x esteja

definida ( e f g estão definidas em intervalos convenientes). Você quer calcular uma

integral do tipo

( )( ) '( ) f g x g x dx×∫ ,

Logo,

( ) ( )( ) '( ) ( ) .f g x g x dx F g x C× = +∫

Fazendo ( ) '( ) '( ) du

u g x g x du g x dxdx

= ⇒ = ⇒ = e substituindo na equação acima, vem

( ) `( ) ( ) ( ) ( ) . f g x g x dx f u du F u C× = = +∫ ∫

Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral indefinida de uma função aplicando a técnica da mudança de variável ou substituição. Exemplo 7.16. Calcular a integral

( )32 5 2x x dx+ ×∫ .

Resolução: Fazendo a substituição de 2 5x + por u na integral dada, ou seja,

2 5u x= + , vem

13

2 5 2 0 2du

u x x xdx

= + ⇒ = + = ⇒ 2 du x dx= .

Agora, vamos em ( )32 5 2 x x dx+ ×∫ , substituímos 2 5x + por u e 2 x dx por du e

temos

( )4

32 35 2

4

ux x dx u du C+ × = = +∫ ∫ ,

Como

( )4242

55

4 4

xuu x C C

+= + ⇒ + = + .

Portanto,

( )32 5 . 2 x x dx+∫ = ( )42 5

4

xC

++ .

Exemplo 7.17. Calcular

2

3

3

1

xdx

x+∫ .

Resolução: Fazendo a substituição de 31 x+ por u na integral dada, ou 31u x= + , vem

3 2 21 0 3 = 3du

u x x xdx

= + ⇒ = + ⇒ 2 = 3du x dx .

Agora, vamos em 2

3

3

1

xdx

x+∫ , substituímos 31u x= + por u e

23 x dx por du e temos

2

3

3 ln1

x dx duu C

x u= = +

+∫ ∫ . (Pela fórmula (iii) da tabela de integrais).

Como 3 31 ln ln 1u x u C x C= + ⇒ + = + + .

Portanto, 2

3

3

1

xdx

x+∫ 3ln 1 x C= + + .

� Exercícios propostos

Calcular as seguintes integrais abaixo:

6) ( )3

4

7 5dx

x−∫ . 7) 2

1 dx

x∫ .

8) 2 42 x x dx−∫ . 9)

4 5

1

ln

tdt

t∫ .

10)

3

20

1

xdx

x +∫ .

14

Integração por partes

Na seção anterior, estudamos como calcular integrais usando o método da substituição.

Mas, existem algumas integrais tais como: ln x dx∫ , xx e dx∫ , 3 cosx x dx∫ , etc. que não

podem ser resolvidas aplicando o método da substituição. Necessitamos de alguns conhecimentos mais. Neste caso, iniciaremos apresentando a técnica de integração por partes.

Sejam ( )u x e ( )v x funções diferenciáveis num intervalo ( , )a b . Então podemos

escrever

( )uv uv vu′ ′ ′= + ,

ou seja,

( )vu uv uv′ ′ ′= − .

Integrando os dois membros da igualdade acima, temos

( )b b b

a a avu dv uv dx uv dx′ ′ ′= −∫ ∫ ∫ ,

ou, b bb

aa avdu uv udv= −∫ ∫ .

E para a integral indefinida tem-se

b bb

aa avdu uv udv= −∫ ∫ ,

ou simplesmente,

vdu uv udv= −∫ ∫ .

A expressão acima é conhecida como a fórmula de integração por partes. Quando

aplicarmos esta fórmula para resolver a integral ( )f x dx∫ , devemos separar o

integrando dado em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente com dx , sendo dv . Por essa razão o cálculo de integral utilizando a fórmula é chamado integração por

partes. Para escolher u e dv , devemos lembrar que:

A parte escolhida como dv , deve ser facilmente integrável;

v du∫ deve ser mais simples que u dv∫ .

Exemplo 7.18. Calcular a integral

xx e dx∫ .

Resolução: Sejam u x= e xdv e dx= . Assim, teremos du dx= e xv e= . Aplicando a

fórmula udv uv v du= −∫ ∫ , obtemos

15

.

x x x

x x

x e dx x e e dx

x e e C

= −

= − +

∫ ∫

Exemplo 7.19. Calcular a integral

ln .x dx∫

Solução. Sejam lnu x= e dv dx= . Assim, teremos 1

du dxx

= e .v x= Aplicando a

fórmula (2), obtemos

1ln ln

ln .

x dx x x x dxx

x x x c

= −

= − +

∫ ∫

� Exercícios propostos

Calcular as seguintes integrais usando o método de integração por partes.

11) ( )21xe x dx+∫ . 12) 2 lnx x dx∫ .

13) lnx x dx∫ . 14) ln x

dxx∫ .

15) xx e dx−∫ .

Integrais impróprias

Sabemos que toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo,

ou seja, se f é uma função contínua em [ , ]a b então existe ( )b

af x dx∫ . Quando f não

está definida num dos extremos do intervalo [ , ]a b , digamos em a , mas existe

( )b

tf x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , podemos definir ( )

b

af x dx∫ como sendo o limite

lim ( )b

tt af x dx

+→ ∫ quando este limite existe. Para os outros casos a situação é análoga.

Nestes casos as integrais são conhecidas como integrais impróprias. A seguir apresentaremos a definição e o procedimento para calcular integrais impróprias. Analisaremos cada caso separado.

(i) Dado : ( , ]f a b R→ , se existe ( )b

t

f x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , definimos

( ) lim ( ) ,b b

t aa t

f x dx f x dx a t b+→

= < <∫ ∫ ,

quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos que a integral

( )b

a

f x dx∫ não existe, ou não converge.

Graficamente,

16

y

y = f x( )

a bx

(ii) Dado :[ , )f a b R→ , se existe ( )t

a

f x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , definimos

( ) lim ( ) ,b t

t ba a

f x dx f x dx a t b−→

= < <∫ ∫ ,

quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos que ( )b

a

f x dx∫ não

existe, ou não converge. Graficamente,

y

y = f x( )

a b x

(iii) Dado : ( , )f a b R→ , escrevemos

( ) ( ) ( ) ,b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b= + < <∫ ∫ ∫ ,

quando as duas integrais do 2o membro existem.

17

As integrais do segundo membro foram definidas em (i) e (ii) respectivamente.

(iv) Quando : [ , ]f a b → � é descontínua em algum ( , )c a b∈ e não existe algum

limite lateral perto de c , então escrevemos

( ) ( ) ( ) ,b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b= + < <∫ ∫ ∫ ,

sempre que as integrais do 2o membro existam.

As integrais do segundo membro foram definidas em (ii) e (i) respectivamente.

Quando uma integral imprópria existe, ou seja, o limite envolvido tem valor finito, dizemos que ela é convergente caso contrário é divergente. Exemplo 7.20. Calcular, se existir

1

0 1

dx

x−∫ .

Resolução: Observemos que a função ( )1

dxf x

x=

− não está definida no ponto 1.x =

Neste caso calculamos o limite, usando (ii)

1

2

1 10 0

lim lim (1 )1

t t

t t

dxx dx

x− −

−

→ →= −

−∫ ∫

Fazendo 1u x du dx= − ⇒ = − , pelo método de substituição, vem

1 11/ 22 2(1 ) 2x dx u du u

− −− = − = −∫ ∫ ,

ou seja,

1/ 2 1/ 2

00

(1 ) 2(1 )t

t

x dx x−− = − −∫

1/ 22 (1 ) 1t = − − − .

Logo,

1/ 2

1 10

lim lim 2 (1 ) 11

t

t t

dxt

x− −→ →

= − − − −∫

2[0 1] 2= − − =

Portanto, a integral converge e temos

1

0

21

dx

x=

−∫ .

Exemplo 7.21. Calcular se existir

18

1

2

0

1dx

x∫

Resolução. Observemos que a função 2

1( )f x

x= não está definida no ponto 0.x =

Neste caso, calculamos o limite, usando (i)

1

20

limt

t

dx

x+→ ∫1

1

0lim

1tt

x+

−

→=

−

0

1lim 1t t+→

= − +

= ∞ .

Portanto, a integral 1

2

0

dx

x∫ diverge ou não existe.

Exemplo 7.22. Determinar, se existir, 4

02

dx

x −∫ .

Resolução: Observemos que 1

( )2

f xx

=−

não é contínua em 2.x = Assim,

4 2 4

0 0 22 2 2

dx dx dx

x x x= +

− − −∫ ∫ ∫ ,

se as integrais do segundo membro convergirem.

4

2 20

lim lim2 2

t

t tt

dx dx

x x− +→ →+

− −∫ ∫

4

02 2lim ln 2 lim ln 2

t

tt tx x

− +→ →= − + −

( ) ( )2 2

lim ln 2 ln 2 lim ln 2 ln 2t t

t t− +→ →

= − − − + − − .

Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado ∞ , logo podemos concluir que a integral proposta não existe, ou seja, a integral é divergente.

� Exercícios propostos

Calcular, se existirem, as seguintes integrais impróprias, indicar se converge ou diverge.

16) x

e dx

∞−

−∞∫ . 17)

1

0

lnx x dx∫ .

18) 3

20 9

dx

x−∫ . 19)

1

2

1

dy

y−∫ .

19

Aplicações

Nesta seção abordaremos algumas aplicações importantes da integral definida. Principalmente cálculo de área de uma região plana e fechada e também calcular comprimento de arco dado no plano.

Cálculo de área

Vamos considerar sempre a região que está entre os gráficos de duas funções.

Suponhamos então que ( )f x e ( )g x sejam funções contínuas no intervalo

fechado [ ], a b e que ( ) ( )f x g x≥ para todo x em [ ], a b . Então a área da região

limitada acima por ( )y f x= , abaixo por ( )y g x= à esquerda pela reta x a= e à direita

pela reta x b= , conforme ilustra a figura abaixo, é

( )( ) ( ) b

a

A f x g x dx= −∫ .

0

y

x

f(x)

g(x)

a b

A

[ ]

Quando a região não for tão simples como a da figura 8.1, é necessária uma reflexão cuidadosa para determinar o integrando e os limites de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.

Passo 1. Você faz o gráfico da região para determinar qual curva limita acima e qual limita abaixo.

Passo 2. Você determina os limites de integração. Os limites a e b serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas

( )y f x= e ( )y g x= . Para tanto iguala-se ( )f x e ( )g x , ou

20

seja, faz ( ) ( )f x g x= e resolve-se a equação resultante em

relação a x.

Passo 3. Calcule a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas.

Observação. Consideremos agora a área da figura plana limitada pelo gráfico

de ( )f x , pelas retas e x a x b= = e o eixo x, onde ( )f x é uma função contínua sendo

( ) 0f x ≤ , para todo x em [ ], a b , conforme figura abaixo.

0

y

x

f x( )

a b

A

O cálculo da área A é dado por

( ) b

a

A f x dx= ∫ ,

ou seja, basta você calcular a integral definida e considerar o módulo ou valor

absoluto da integral definida encontrada.

Exemplo 7.23. Determinar a área da região limitada entre as curvas:

2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = .

Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos.

Passo 1. Esboço da região

-2 -1 0 1 2 3

2

4

6

8

10

x

y

21

Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazemos ( ) ( )f x g x= , isto é, 2 26 ou 6,x x x x+ = = + que fornece 2 6 0x x− − = . Pela fórmula de Bhaskara

encontramos as raízes da equação acima, 2 e 3x x= − = , que serão os limites de

integração. Observe pelo gráfico acima, que 26x x+ ≥ , para todo x em [ ]2, 3− .

Passo 3. Calculando a área da região limitada por ( ) 6y f x x= = + e 2 ( )y g x x= = em

[ ]2, 3− temos

( )( ) ( ) b

a

A f x g x dx= −∫

= ( ) ( )3 3

2 2

2 2

6 6 x x dx x x dx− −

+ − = + − ∫ ∫

= 3

2 3

2

62 3

x xx

−

+ −

=

2 3 2 33 3 ( 2) ( 2)6 3 6 ( 2)

2 3 2 3

− −+ × − − + × − −

= 29 4 8 + 18 3 12

2 2 3

− − − − −

= 9 8 + 18 9 2 12 +

2 3

− − −

= 9 8 9 18 30 89 10

2 3 2 3

+ − + + − − + = −

=27 22 27 22

2 3 2 3

−− = + =

81 + 44 125

6 6= u.a.

Portanto, a área limitada por 2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = em [ ]2, 3− é 125

6

unidades de área.

Exemplo 7.24. Determinar a área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as

retas 1 e 3x x= = .

Resolução. Temos os seguintes passos.

Passo 1. Esboço da região.

22

1 1,5 2 2,5 3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

y

x

Passo 2. Os limites de integração são 1 e 3a b= = .

Passo 3. A área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as retas 1 e 3x x= =

será

( )3

3 3 22

1 1

5 5 3 2

x xA x x dx

= − = − ×

∫

= 3 2 3 23 3 1 1

5 53 2 3 2

− × − − ×

= 27 9 1 1

5 5 3 2 3 2

− × − − ×

= 45 1 5 18 45 2 15

92 3 2 2 6

− − − − − = −

= 27 13 27 13

2 6 2 6

− − − − = +

= 81 + 13 68 34 34

6 6 3 3

− − −= = = u.a.

Portanto, a área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as retas 1 e 3x x= =

é 34

3

unidades de área.

� Exercícios propostos

20) Determinar a área da região limitada por 2( ) e ( )y f x x y g x x x= = = = − .

21) Determinar a área da região limitada por ( ) 1y f x x= = − + , o eixo x e as retas

2 e 0x x= − = .

22) Determinar a área da região limitada por 2( )y f x x= = e ( )y g x= 2 4x x= − +

23

23) Calcular a área da região limitada por 1

( )y f xx

= = , o eixo x e as retas

1 e 4x x= = .

Comprimento de arco

A seguir apresentaremos o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas

cartesianas. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [ , ]a b . Consideremos o

gráfico da função ( )y f x= .

y

y = f x( )

A ( ( ))= a,f a

B ( ( ))= b,f b

a b x

Sejam ( ), ( )A a f a e ( , ( ))B b f b dois pontos na curva ( )y f x= . Seja s o comprimento

da curva �AB do gráfico da função ( )y f x= . Então s é dado por

( )21 '( )b

a

s f x dx= +∫ .

Exemplo 7.20. Determinar o comprimento de arco da curva 12

xy = + , 0 3x≤ ≤ .

Resolução. Temos,

11 '

2 2

xy y= + ⇒ = .

Logo,

( )2

3

0

33

0

0

1 '( )

11

4

5 5 35.

4 4 2

b

a

s f x dx

dx

dx x

= +

= +

= = =

∫

∫

∫

Portanto, o comprimento de ( ) 12

xf x = + , para 0 3x≤ ≤ é dada por

35

2s = u.c.

� Exercícios propostos

24

Determine o comprimento das curvas dadas por:

24) 2 1

ln , 2 42 4

xy x x= − ≤ ≤ . 25) 3/ 2y x= de 0x = a 4x = .

26) ( )2ln 1y x= − de 1

4x = a

3

4x = . 27) 4

2

1 1

4 8y x

x= + de 1x = a 2x = .

28) ( )1

2

x xy e e−= + de 0x = a 1x = .

� Respostas1) a) 3 25 7

( ) 2 + 3 2

F x x x x K= − + .

b) 1

4( ) 4 F x x K−

= − + .

c) 1

2( ) 2 F x x K−

= − + .

d) ( ) ln ( 1)F x x K= − + .

e) 4

( )4

xeF x K= + .

2) a)

1 2

3( ) 3 2

xF x x K= + + e 3K = − .

b) 7

33

( ) 7

xF x x e K= + + e 1k = .

3) a) 5

38 16

5 3

xx x C− + + .

b)

1

3ln 6 x x C+ + .

c) 4

3

2

4 3 4

3

xC

xx

− − + .

d) 2 3

42 3

x xx C− − + .

e) 2

1

2C

x− + .

4) 31

2.

5) a) 21

4;

b) 2 1e − .

6) ( )2

4

7 -5C

x+ .

7) 1 C

x

−+ .

8) ( )3

2 21 1

6x C

−− + .

9) ( )25ln 4

2× .

25

10) 10 1− .

11) 2x xe x e C+ + .

12) 3

31ln

3 9

xx x C− + .

13) 3/ 2

3/ 22 4ln

3 9

xx x C− + .

14) ( )21ln

2x C+ .

15) x xx e e C− −− − + .

16) 2 .

17) 1

4− .

18) 2

π.

19) ∞ .

20) 4

3unidades de área.

21) 4 unidades de área.

22) 8

3 unidades de área.

23) 2 unidades de área.

24) 1

6+ ln2 6,1734

= u.c.

25) 21 1

ln5 2

−

u.c.

26) 123

32 u.c.

27) 1ln 2 ln 2 2 ln 2 3

2− + + + u.c.

28) ( )211

2e

e− u.c