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Aula 13: Calculo de limites. Derivadas.

1. Limites notaveis

Estudamos agora tres limites importantes.1 Sao eles

Teorema 1 (Limites notaveis):

limx→0

senx

x= 1 lim

x→1

lnx

x− 1= 1 lim

x→

expx− 1

x= 1

Demonstracao. Comecemos com o logaritmo. Sabemos que

(1)x− 1

x≤ lnx ≤ x− 1

Dividindo por x− 1 obtemos

1

x≤ lnx

x− 1≤ 1 (se x > 1) 1 ≤ lnx

x− 1≤ 1

x(se x < 1)

Pelo teorema dos limites enquadrados obtemos

limx→1

lnx

x− 1= 1

Passemos a exponencial. Substituindo x = ey na equacao (1) obtemos 1−e−y ≤ y ≤ey−1. Multiplicando a primeira desigualdade por ey obtemos tambem ey−1 ≤ y ey.Assim

y ≤ ey − 1 ≤ y ey

Dividindo por y obtemos

1 ≤ ey − 1

y≤ ey (se y > 0) ey ≤ ey − 1

y≤ 1 (se y < 0)

Pelo teorema dos limites enquadrados obtemos

limy→0

ey − 1

y= 1

Finalmente temos o seno. Seja θ ∈[0, π

2

], e sejam A,B,C,D ∈ R

2 os pontos

A = (cos θ, sen θ), B = (1, 0), C = (1, tan θ), D = (cos θ, 0)

representados na figura 1:

A

B

C

D

θ

Figura 1. Demonstracao do teorema 1

1Assumimos aqui que 0 e um ponto de acumulacao do domınio do seno e da exponencial.

2

θ e igual ao comprimento do arco AB, que e menor que o comprimento do segmentotangente BC = tan θ e maior que AB. Mas sen θ = AD ≤ AB logo

sen θ ≤ θ ≤ tan θ =sen θ

cos θpara θ ∈

[0, π

2

].

Dividindo tudo por sen θ,

1 ≤ θ

sen θ≤ 1

cos θo que e equivalente a

1 ≥ sen θ

θ≥ cos θ

Como as funcoes sen θθ e cos θ sao pares, esta desigualdade e tambem valida para

θ < 0. Pelo teorema dos limites enquadrados, como cos θ → 1 obtemos

limθ→0

sen θ

θ= 1 �

2. Limites e composicao

Vamos supor que queremos calcular limx→a

f(g(x)

). Seja u = g(x). Se soubermos

que

(1) limx→a

g(x) = b

ou seja, que u → b quando x → a, e

(2) limu→b

f(u) = c

e natural esperar quelimx→a

f(g(x)

)= lim

u→bf(u) = c

De facto, se f for contınua, (2) diz-nos que f(b) = c e

limx→a

f(g(x)

)= f

(limx→a

g(x))= f(b) = c

Em geral no entanto, nao e verdade que limx→a

f(g(x)

)= c, como podemos ver no

proximo exemplo!

Exemplo 1. Seja g(x) = 1 a funcao constante igual a 1 e seja

f(u) =

®2 u 6= 1

3 u = 1

Entaolimx→0

g(x) = 1 e limu→1

f(u) = 2

Mas o limite limx→0

f(g(x)) nao e dois! De facto f ◦g e constante: f(g(x)) = f(1) = 3

logo limx→0

f(g(x)) = 3. �

O problema no exemplo anterior e que o facto de limu→b

f(u) = c nao nos diz nada

sobre o que acontece para u = b. Se f(b) 6= c podemos ter problemas. Para evitaresta situacao supomos que g(x) 6= b para x 6= a:

Aula 13: Calculo de limites. Derivadas. 3

Teorema 2: Seja a um ponto aderente ao domınio de f ◦ g tal que

(1) limx→a

g(x) = b;

(2) limu→b

f(u) = c;

(3) g(x) 6= b para x 6= a.

Entaolimx→a

f(g(x)

)= lim

u→bf(u) = c

Demonstracao. Definimos a funcao

f(u) =

®f(u) u 6= b

c u = b

Entao f e contınua em b e f(u) = f(u) para u 6= b logo

limx→a

f(g(x)

)= lim

x→af(g(x)

)(pois g(x) 6= b para x 6= a)

= f(limx→a

g(x))

(pois f e contınua)

= f(b) = c

�

Exemplo 2. O limite

limx→2

ln(x2 − 3)

x2 − 4

conduz a uma indeterminacao 00 . Para o calcular vamos usar o limite notavel do

logaritmo. Fazendo a substituicao u = x2 − 3 obtemos

ln(x2 − 3)

x2 − 4=

lnu

u− 1(u = x2 − 3)

Quando x → 2, u = x2 − 3 → 1 logo

limx→2

ln(x2 − 3)

x2 − 4= lim

u→1

lnu

u− 1= 1 �

Exemplo 3. Para calcular limx→0

e4x − 1

x, observamos que:

e4x − 1

x= 4

e4x − 1

4x= 4

eu − 1

ucom u = 4x

Quando x → 0, u → 0 logo

limx→0

e4x − 1

x= lim

u→04eu − 1

u= 4 . �

4

Exemplo 4. Para calcular limx→0

sen(x2)

x, observamos que

senx2

x= x

senx2

x2

logo

limx→0

sen(x2)

x= lim

x→0x · lim

x→0

senx2

x2

= limx→0

x · limu→0

senu

u(u = x2)

= 0 · 1 = 0 �

Observacao: O teorema so se aplica se os limites de f e g existirem. Se esteslimites nao existerem, o limite de f ◦ g pode ou nao existir.

Exemplo 5. Seja H a funcao de Heaviside e seja g(x) = x2. Entao H ◦ g(x) =H(x2) e constante igual a um portanto tem limite em x = 0 apesar do limite de Hnao existir em g(0) = 0. �

3. Interpretacao geometrica dos limites notaveis

Vamos agora ver como interpretar geometricamente os limites notaveis do seno edo logaritmo. Comecamos com o limite do seno:

limθ→0

sen θ

θ= 1

Observemos a figura 2:

θ A

C

D

B

Figura 2. Comparacao entre 2θ e 2 sen θ para θ = π/6

sen θ e o comprimento AD do segmento entre A e D e θ e o comprimento BD doarco unindo B a D. Assim,

2 sen θ = CD e 2θ = CD logosen θ

θ=

CD

CD

Estamos assim a comparar os comprimentos do segmento e do arco unindo os pontosC e D. Queremos agora tomar o limite quando θ tende para zero. Na proxima


figura tomamos θ = π/48. Para ver melhor o que se esta a passar ampliamos aimagem:

θ = π/48

Ampliacao ×8

C

D

Figura 3. Ampliacao por um factor 8 para o angulo θ = π/48.

Ao ampliar uma imagem por um factor k, todos os comprimentos sao multiplicados

por k. Assim, o quociente CD/CD nao muda pois o numerador e o denominadorsao ambos multiplicados por k, pelo que a formula

sen θ

θ=

CD

CDpermanece valida apos ampliacao. Comparando o segmento e o arco entre C e De geometricamente claro que o quociente converge para um quando θ tende parazero, que e precisamente o que nos diz o limite notavel.

Vamos agora estudar o limite notavel do logaritmo:

limx→1

lnx

x− 1= 1

Observemos a figura 4:

1 1.5

y = 1/x

Figura 4. Comparacao dos valores de ln(x− 1) e de x− 1 para x = 1.5

Para x > 1, lnx e a area da regiao por baixo da hiperbole y = 1/x e por cima dointervalo [ 1, x ] (zona sombreada), ao passo que x − 1 e a area do rectangulo dealtura um com base no intervalo [ 1, x ].

Queremos tomar o limite quando x tende para um. Para ver melhor o que se estaa passar vamos de novo ampliar a figura, mas desta vez apenas na direccao x.

6

Ampliacao: ×10

Figura 5. Comparacao entre ln(x− 1) e x− 1 para x = 1.05

Se esticarmos uma figura na direccao do eixo dos xx por um factor k, as areassao multiplicadas por k. Assim o quociente ln x

x−1 nao e alterado pois o numerador

e o denominador sao ambos multiplicados por k. E agora geometricamente claroque o quociente das areas vai convergir para um quando x tende para um, que eprecisamente o que nos diz o limite notavel.

Estes dois exemplos ilustram dois princıpios fundamentais que estao na base docalculo integral e do calculo diferencial. Sao eles:

• Seja f uma funcao contınua e positiva, definida numa vizinhanca de a. Parax proximo de a, a regiao por baixo do grafico de f e por cima do intervalo[ a, x ] e aproximadamente um rectangulo de area f(a)(x− a);

• A medida que vamos ampliando uma circunferencia, esta vai-se aproximandocada vez mais duma linha recta. De facto o mesmo acontece com o graficode certas funcoes, ditas diferenciaveis. O estudo destas func oes e o nossoproximo objectivo.

4. Taxa de variacao

A nocao de derivada de uma funcao e uma das mais fundamentais do Calculo, ee uma das principais razoes para a introducao da nocao de limite. Tem multiplasaplicacoes noutras areas cientıficas e tecnologicas, onde e rotinamente utilizadapara a definicao de conceitos basicos, como os de velocidade e aceleracao. Apesarda variedade de aplicacoes, todas elas nos conduzem ao calculo do mesmo tipo delimite. Este limite aparece naturalmente no estudo de rectas tangentes ao graficoduma funcao. Aparece tambem naturalmente sempre que consideramos problemasenvolvendo taxas de variacao.

A variacao duma funcao f : D → R num intervalo [ a, b ] ⊂ D e

∆f = f(b)− f(a)

Representando a variacao da variavel x por ∆x = b− a temos a

Definicao 3: Chamamos taxa de variacao media de f em [ a, b ] ao quociente

∆f

∆x=

f(b)− f(a)

b− a


Exemplo 6. Se v(t) representa a velocidade duma partıcula entao a velocidademedia entre t = a e t = b e dada por

vm =∆v

∆t=

v(b)− v(a)

b− a�

Exemplo 7. Seja f(x) = mx+ b. Entao a taxa de variacao de f e igual ao declivem, independentemente do intervalo considerado:

∆f

∆x=

f(b)− f(a)

b− a=

mx1 + b−mx2 − b

x1 − x2= m �

Geometricamente, a taxa de variacao e o declive da recta que passa pelos pontos(a, f(a)

)e(b, f(b)

)do grafico de f .

Algumas observacoes:

• A taxa de variacao e positiva se f(b) > f(a) e negativa se f(b) < f(a);

• Se f e decrescente, a taxa de variacao e negativa, sendo o valor absoluto∣∣∆f∆x

∣∣tanto maior quanto mais depressa a funcao decrescer.

• Analogamente, a taxa de variacao e positiva para funcoes crescentes, sendo oseu valor uma medida do crescimento de f ;

• A definicao faz sentido tambem para b < a. De facto

f(b)− f(a)

b− a=

f(a)− f(b)

a− b

Queremos agora definir a chamada taxa de variacao instantanea de f em cada pontoa ∈ D. Duma forma pouco rigorosa, consideramos uma “variacao infinitamente pe-quena” da variavel x, que representamos por dx. Tomamos entao a correspondentevariacao de f , df = f(a+ dx)− f(a) e formamos o “quociente” df/dx.

Usando limites podemos tornar estas ideias rigorosas. Definimos

df

dx= lim

∆x→0

f(a+∆x)− f(a)

∆x

se o limite existir. E muitas vezes conveniente escrever este limite doutra forma,usando a substituicao x = a+∆x. Quando ∆x → 0, x → a e obtemos

df

dx= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a

Portanto tomamos a taxa de variacao media ∆f/∆x sobre intervalos [ a, x ] (ou[x, a ] se x < a) cada vez mais pequenos, e tomamos o limite quando x → a.

E importante notar que df/dx nao representa o quociente de duas quantidades dfe dx pois df e dx nao foram definidos.2

Exemplo 8. A velocidade instantanea duma partıcula num instante t = a e dadapor

dv

dt= lim

t→a

v(t)− v(a)

t− a�

2Ver no entanto a seccao 11.

8

Chegamos assim a nocao de derivada, que nao e mais que a taxa de varicao ins-tantanea da funcao:

Definicao 4 (Derivada): Seja f : D → R uma funcao e a ∈ D um ponto deacumulacao de D. Dizemos que f e diferenciavel no ponto a ∈ D se existir em R olimite

df

dx= lim

∆x→0

f(a+∆x)− f(a)

∆x= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a.

Chamamos a este limite a derivada de f em a.

Ha varias notacoes frequentemente usadas para representar a derivada duma funcao.As mais frequentes sao

df

dx(a),

df

dx

∣∣∣∣x=a

,d

dxf(a), f ′(a)

Exemplo 9. Se f(x) = mx + b, a taxa de variacao media de f e igual ao declivem, independente do intervalo considerado. Assim, em qualquer ponto a temos

df

dx= lim

x→a

∆f

∆x= lim

x→am = m �

Exemplo 10. Seja f(x) = x2. Entao a derivada de f no ponto a = 2 e o limite

f ′(2) = limx→2

x2 − 22

x− 2= lim

x→2(x+ 2) = 4 �

Exemplo 11. Os limites notaveis podem ser vistos como derivadas. A derivadado seno em a = 0 e

limx→0

senx− sen 0

x− 0= lim

x→0

senx

x= 1

A derivada da exponencial em a = 0 e

limx→0

ex − e0

x− 0= lim

x→0

ex − 1

x= 1

A derivada do logaritmo em a = 1 e

limx→1

lnx− ln 1

x− 1= lim

x→1

lnx

x− 1= 1 �

Aula 14: Derivadas 9

Aula 14: Derivadas

5. Recta tangente

Consideremos agora o problema de determinar a recta tangente ao grafico dumafuncao f num ponto P = (a, f(a)). Ja abordamos esta questao quando falamos delimites, no caso particular da parabola y = x2. Retomemos essa discussao.

A equacao da recta tangente, se nao for vertical, e certamente da forma

y − f(a) = m(x− a),

e portanto o problema reduz-se ao calculo do declive m da recta. A ideia, consisteem aproximar a recta tangente tomando pontos Q sobre o grafico de f proximosde P , calculando o declive da recta que passa por P e por Q e tomando o limitequando Q tende para P (ver figura 6):

(1) Tomamos um ponto Q = (x, f(x)) sobre o grafico proximo de P = (a, f(a));

(2) Calculamos o declive da recta que passa pelos pontos P e Q, que e dado por

mx =f(x)− f(a)

x− a

(Repare que mx e a taxa de variacao de f no intervalo [ a, x ].)

(3) Determinamos o limite do declive desta recta quando o ponto Q tende para

P , ou seja, quando x → a. E este limite, quando existe, que e o declive darecta tangente:

m = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

Reconhecemos de imediato que m e a derivada f ′(a) de f em x = a.

a x3 x2 x1

P

f

Figura 6. A recta tangente

Consideracoes geometricas conduziram-nos a formula m = f ′(a) para o declive darecta tangente ao grafico de f em (a, f(a)). A derivada e na verdade utilizada paradefinir a propria nocao de recta tangente. Por outras palavras,

10

Definicao 5 (Recta tangente): Seja f : D ⊂ R → R uma funcao diferenciavelnum ponto a ∈ D. A recta tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)) e a rectacom equacao

y − f(a) = f ′(a) · (x− a).

Exemplo 12. Seja f(x) = x2 − 3. Para calcular a equacao da recta tangente a fem x = 2 calculamos a derivada

f ′(2) = limx→2

(x2 − 3

)− (22 − 3

)

x− 2

= limx→2

x2 − 22

x− 2= lim

x→2(x+ 2) = 4

Assim, a equacao da recta tangente e

y = f(2) + f ′(2)(x− 2) = 1 + 4(x− 2)

Escrito doutra forma, y = 4x− 7. �

6. Diferenciabilidade e derivadas laterais

Recorde que uma funcao e diferenciavel num ponto a se a sua derivada existir nesseponto.

Teorema 6: Se f : D → R e diferenciavel em a ∈ D entao f e contınua em a.

Demonstracao. Basta observar que

limx→a

(f(x)− f(a)

)= lim

x→a

Åf(x)− f(a)

x− a(x− a)

ã

=

Ålimx→a

f(x)− f(a)

x− a

ã·(limx→a

(x− a))

= f ′(a) · 0 = 0

logo limx→a

f(x) = f(a) pelo que f e contınua em a. �

E importante notar que uma funcao pode ser contınua num ponto sem ser dife-renciavel nesse ponto. Os proximos tres exemplos ilustram esse facto.

Exemplo 13. A funcao f(x) = 3√x e contınua mas nao e diferenciavel em x = 0

pois

limx→0

3√x− 3

√0

x− 0= lim

x→0

13√x2

= +∞ �


Exemplo 14. Seja

f(x) =

®x sen

(1x

)x 6= 0

0 x = 0

f e o prolongamento por continuidade de x sen(1x

)a x = 0. Em particular f e

contınua em x = 0. Para x 6= 0,

f(x)− f(0)

x− 0=

x sen(1x

)

x= sen

(1x

)

Portanto o limite

limx→0

f(x)− f(0)

x− 0nao existe. Concluimos que f nao e diferenciavel em x = 0. �

Exemplo 15. Seja

f(x) = |x| =®−x , se x < 0,

x , se x ≥ 0,

O grafico de f esta representado na figura 7. Para x = 0 temos

limx→0−

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0−

−x− 0

x= −1 e

limx→0+

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0+

x− 0

x= 1 .

Logo, apesar de ser contınua, a funcao modulo nao e diferenciavel em x = 0. �

-2 -1 1 2

1

2

Figura 7. Grafico da funcao modulo.

O exemplo 15 conduz-nos a

Definicao 7 (Derivadas laterais): Chamamos derivada a direita e derivada a

esquerda de f em x = a aos limites

f ′d(a) = lim

x→a+

f(x)− f(a)

x− ae f ′

e(a) = limx→a−

f(x)− f(a)

x− a

Exemplo 16. Como vimos no exemplo 15, as derivadas a direita e a esquerda de|x| em x = 0 sao respectivamente 1 e −1. �

Resumindo, quando e que uma funcao nao e diferenciavel num ponto?

12

(1) O teorema 6 mostra que se f nao e contınua em a entao f tambem nao ediferenciavel em a.

(2) O exemplo 13 ilustra outra situacao: a funcao f(x) = 3√x e contınua em x = 0

mas tem derivada infinita na origem, indicando que o declive da recta tangentee infinito, ou seja, a recta tangente e vertical em x = 0.

(3) O exemplo 15 ilustra outra situacao: se f for contınua em a e as derivadas

a esquerda e a direita existirem mas forem diferentes, entao o limite lim ∆f∆x

nao existe logo f nao e diferenciavel em x = a. Podemos pensar no grafico def como tendo duas semirectas tangentes, uma a esquerda e outra a direita,formando um bico em x = a.

(4) Finalmente temos o caso em que as derivadas a direita ou a esquerda nao

existem em R. Estas derivadas sao limites laterias, que so nao existem se a

taxa de variacao f(x)−f(a)x−a oscilar muito numa vizinhanca de a. O exemplo 14

ilustra essa situacao.

Figura 8. Funcoes nao diferenciaveis

7. A funcao derivada

O calculo da derivada de f produz uma nova funcao, a que chamamos a funcaoderivada, ou simplesmente a derivada de f . O seu domınio e o conjunto dos pontosem que f e diferenciavel.

Exemplo 17. Se f(x) = mx+ b, a derivada de f e m em qualquer ponto a. Assima derivada e a funcao constante f ′(x) = m. �

Exemplo 18. Seja f(x) =√x. Entao, para a > 0

f ′(a) = limx→a

√x−√

a

x− a= lim

x→a

(√x−√

a)(√x+

√a)

(x− a)(√x+

√a)

= limx→a

x− a

(x− a)(√x+

√a)

= limx→a

1√x+

√a

=1

2√a

Para a = 0

limx→0

√x−

√0

x− 0= lim

x→0

1√x= +∞


portanto√x nao e diferenciavel em x = 0. Assim, a derivada de f e a funcao

f ′ : ]0,+∞[→ R dada por f ′(x) = 12√x. �

Exemplo 19. Para diferenciar a funcao exponencial, observamos que

(ex)′

= limh→0

ex+h − ex

h= lim

h→0

ex(eh − 1)

h= ex lim

h→0

eh − 1

h= ex

A funcao exponencial tem assim a propriedade muito especial de ser igual a suapropria derivada. �

A derivada de f e uma funcao f ′, que podemos tambem derivar. A esta derivadachamamos a segunda derivada de f e escrevemos f ′′ = (f ′)′.

Exemplo 20. A derivada de f(x) = mx+ b e f ′(x) = m. A segunda derivada e aderivada duma constante logo f ′′(x) = 0. �

Exemplo 21. Como vimos, a derivada de f(x) = ex e f ′(x) = ex. Assim, asegunda derivada e de novo f ′′(x) = ex. �

Podemos continuar indefinidamente derivando uma funcao, desde que as derivadasexistam, obtendo a terceira derivada, quarta derivada, e assim sucessivamente, cha-madas de derivadas de ordem superior. Voltaremos a este assunto posteriormente.

8. Regras de Derivacao

Teorema 8:

(1) (mx+ b)′ = m

(2) (xn)′ = nxn−1

(3) (√x)′ =

1

2√x

(4) (lnx)′ =1

x

(5) (ex)′ = ex

Demonstracao. Ja provamos (1), (3) e (5) nos exemplos da seccao 4. A derivadade xn no ponto a e dada por

limx→a

xn − an

x− ax = a e uma raiz do polinomio xn−an pelo que, usando a regra de Rufini chegamosfacilmente a

xn − an = (x− a)(xn−1 + a · xn−2 + a2 · xn−3 + · · ·+ an−2 · x+ an−1)

igualdade que se verifica tambem facilmente multiplicando os factores. Assim,

limx→a

xn − an

x− a= lim

x→a

(xn−1 + a · xn−2 + a2 · xn−3 + · · ·+ an−2 · x+ an−1

)= nan−1

14

Para provar (4) temos que calcular

limx→a

lnx− ln a

x− a= lim

x→a

ln(x/a)

x− a

Fazendo a substituicao u = x/a, quando x → a, u → 1 logo

limx→a

lnx− ln a

x− a= lim

u→1

lnu

ua− a=

1

alimu→1

lnu

u− 1=

1

a�

Exemplo 22. Tomando m = 0 em (1) vemos que a derivada duma constante e

zero. �

Exemplo 23. A derivada de xn inclui como casos particulares

n = 0 : A derivada de x0 = 1 e zero. Como ja referimos, a derivada de qualquerconstante e zero.

n = 1 : A derivada de x1 = x e um que e o declive da recta.

n = 2 : A derivada de x2 e (x2)′ = 2x.

n = 3 : A derivada de x3 e (x3)′ = 3x2. �

9. Derivadas e operacoes algebricas

As seguintes regras de derivacao sao de utilizacao constante:

Teorema 9: Sejam f, g funcoes diferenciaveis num ponto a de acumulacao deDf ∩Dg e seja c uma constante. Entao, as funcoes

f ± g, c f, f g

e f/g (se g(a) 6= 0) sao tambem diferenciaveis em a com derivada dada por

(1) (f ± g)′ = f ′ ± g′

(2) (cf)′ = cf ′

(3)(f · g

)′= f ′ · g + f · g′ (Regra de Leibniz)

(4)

Å1

g

ã′= − g′

g2

(5)

Åf

g

ã′=

f ′ · g − f · g′g2


Demonstracao. (1) fica como exercıcio. Comecamos por provar (3). (f · g)′(a) edado por:

(f · g)′(a) = limx→a

f(x) · g(x)− f(a) · g(a)x− a

= limx→a

f(x) · g(x)− f(a) · g(x) + f(a) · g(x)− f(a) · g(a)x− a

= limx→a

Åg(x) · f(x)− f(a)

x− a+ f(a) · g(x)− g(a)

x− a

ã

= limx→a

g(x) · limx→a

f(x)− f(a)

x− a+ f(a) · lim

x→a

g(x)− g(a)

x− a

= g(a) · f ′(a) + f(a) · g′(a)onde na ultima igualdade se usou o facto de f e g serem diferenciaveis em a, bemcomo o facto de g ser tambem contınua em a. (2) e um caso particular da regra deLeibnitz quando g e uma constante. Provamos agora (4):

Å1

g

ã′(a) = lim

x→a

1g(x) − 1

g(a)

x− a

= − limx→a

Åg(x)− g(a)

x− a· 1

g(a) · g(x)

ã

= − limx→a

g(x)− g(a)

x− alimx→a

1

g(x) · g(a)

= − g′(a)

g(a)2

Usando a regra de Leibnitz obtemos (5):Åf

g

ã′=

Åf · 1

g

ã′= f ′ · 1

g+ f ·

Å− g′

g2

ã

=f ′

g− f · g′

g2=

f ′ · g − f · g′g2

�

Exemplo 24. Recorde que o logaritmo de base a e dado por loga x = ln xln a . Pela

propriedade (2),(loga(x)

)′=

1

ln a

(lnx

)′=

1

x ln a�

Exemplo 25. Podemos facilmente derivar um polinomio:(3x4 + 5x2 + 7x

)′=

(3x4

)′+(5x2

)′+ (7x)′ por (1)

= 3(x4

)′+ 5

(x2

)′+ 7 por (2)

= 3 · 4x3 + 5 · 2x+ 7

�

Exemplo 26. Seja

f(x) =lnx+

√x

x ex

16

Entao, usando (5) obtemos

(i) f ′(x) =

(lnx+

√x)′x ex −

(lnx+

√x)(x ex

)′(x ex

)2

Usando (1) obtemos

(ii)(lnx+

√x)′

=(lnx

)′+(√

x)′

=1

x+

1

2√x

e usando (3) obtemos

(iii)(x ex

)′= (x)′ex + x

(ex)′

= 1 ex + x ex

Substituindo (ii) e (iii) em (i) obtemos

f ′(x) =

Ä1x + 1

2√x

äx ex −

(lnx+

√x)(ex + x ex

)

x2 e2x�

10. Derivadas das funcoes trigonometricas

Vamos agora calcular as derivadas do seno e do coseno. Vamos primeiro motivar oresultado geometricamente, tomando para tal um angulo θ0 no primeiro quadrantee uma variacao ∆θ positiva. Observemos a figura:

θ0

∆θ

sen θ0

sen(θ0 +∆θ)

cos θ0cos(θ0 +∆θ)

P0

RP

O

Figura 9. Derivadas do seno e do coseno

Consideremos o triangulo rectangulo com vertices P, P0, R e seja α o angulo ∡PP0R.Entao

∆ sen = P0R = P0P cosα e ∆ cos = −PR = −P0P senα


∆θ e o comprimento P0P do arco unindo os pontos P0 e P logo

(2)∆ sen

∆θ=

P0P

P0Pcosα e

∆ cos

∆θ= − P0P

P0Psenα

Tomamos agora o limite quando ∆θ tende para zero. Entao o quociente P0P/P0Pconverge para um. O angulo α e o angulo entre a recta vertical passando por P0

e a recta passando por P e por P0. A medida que P se aproxima de P0, a rectapassando por P e por P0 converge para a recta tangente a circunferencia em P0.

θ0

θ0

Figura 10. Quando ∆θ → 0, α → θ0

Assim, o angulo α converge para θ0 quando ∆θ tende para zero (ver figura 10) eportanto cosα → cos θ0 e senα → sen θ0. Assim,

d sen

dθ= lim

∆θ→0

P0P

P0Pcosα = cos θ0 e

d cos

dθ= − lim

∆θ→0

P0P

P0Psenα = − sen θ0

Para tornar este argumento rigoroso comecamos por provar o

Teorema 10: Para cada θ ∈ R seja Pθ = (cos θ, sen θ) ∈ R2 o ponto correspon-

dente sobre o cırculo trigonometrico. Entao

limθ→θ0

Pθ0Pθ

∆θ= lim

θ→θ0

Pθ0Pθ

Pθ0Pθ

= 1

Demonstracao. Faremos uma demonstracao geometrica. Tracamos a bissectrizdo angulo ∆θ e tomamos φ = ∆θ/2. Entao (ver figura 11)

Pθ0Pθ = 2 senφ e Pθ0Pθ = 2φ

pelo que basta aplicar o limite notavel senφ/φ → 1. �

∆θ

φ

Pθ0

Pθ

18

Figura 11. Demonstracao do teorema 10

Podemos agora provar o

Teorema 11: As funcoes seno e coseno sao diferenciaveis com derivadas

(sen θ)′ = cos θ e (cos θ)′ = − sen θ

Demonstracao. Vamos apenas calcular a derivada do seno pois o calculo para ocoseno e completamente analogo.

Vamos primeiro calcular o limite de∣∣∆sen

∆θ

∣∣. Tomando os pontos P = (cos θ, sen θ)e P0 = (cos θ0, sen θ0) temos

limθ→θ0

∣∣∣∣∆sen

∆θ

∣∣∣∣ = limθ→θ0

|∆sen |PP0

PP0

|∆θ| = limθ→θ0

|∆sen |PP0

poisPP0

|∆θ| → 1

Agora:3

PP0 =»(cos θ − cos θ0)2 + (sen θ − sen θ0)2

= | sen θ − sen θ0|�Å

cos θ − cos θ0sen θ − sen θ0

ã2+ 1

pelo que

limθ→θ0

|∆sen |PP0

= limθ→θ0

1…Äcos θ−cos θ0sen θ−sen θ0

ä2+ 1

Para calcular este limite usamos a igualdade

cos θ − cos θ0sen θ − sen θ0

= − sen θ + sen θ0cos θ + cos θ0

cuja demonstracao deixamos ao cuidado do leitor. Entao, para cos θ0 6= 0 temos

limθ→θ0

Åcos θ − cos θ0sen θ − sen θ0

ã2=

Åsen θ0cos θ0

ã2= tan2 θ0

e para cos θ0 = 0 o limite e 1/0+ = +∞. Verificamos entao facilmente que

limθ→θ0

1…Äcos θ−cos θ0sen θ−sen θ0

ä2+ 1

=1√

tan2 θ0 + 1=

1√sec2 θ0

= | cos θ0|

Repare que esta identidade permanece valida para cos θ0 = 0, pois nesse caso olimite e 1/∞ = 0, igual a cos θ0. Assim, provamos que

(3) limθ→θ0

∣∣∣∣∆sen

∆θ

∣∣∣∣ = | cos θ0|

Para tirar os modulos temos que estudar os sinais de ∆sen∆θ e de cos θ0. Vamos

apenas ver o que se passa para θ0 ∈[− π

2 ,3π2

]. Como o seno e o coseno sao

periodicos de perıodo 2π, os mesmos argumentos funcionam para qualquer θ0 ∈ R.

3Assumimos aqui que sen θ 6= sen θ0. O leitor pode verificar que qualquer θ0 ∈ R tem uma vizinhancana qual sen θ 6= sen θ0 desde que θ 6= θ0


• No intervalo]− π

2 ,π2

[o seno e crescente logo ∆sen

∆θ > 0. O coseno tambem epositivo neste intervalo logo

∣∣∣∣∆sen

∆θ

∣∣∣∣ =∆sen

∆θe | cos θ| = cos θ

donde tiramos de imediato que

limθ→θ0

∆sen

∆θ= cos θ0

• No intervalo]π2 ,

3π2

[o seno e decrescente logo ∆sen

∆θ < 0. O coseno tambem enegativo neste intervalo logo

∣∣∣∣∆sen

∆θ

∣∣∣∣ = −∆sen

∆θe | cos θ| = − cos θ

donde tiramos de imediato que

limθ→θ0

∆sen

∆θ= cos θ0

• Para θ0 = −π2 ,

π2 ,

3π2 , cos θ0 = 0 logo

∣∣∆sen∆θ

∣∣ → 0. Mas entao ∆sen∆θ → 0 logo

(sen)′(θ0) = 0 = cos θ0

Provamos assim que (sen)′(θ0) = cos(θ0) para qualquer θ0 ∈ R. �

Podemos agora facilmente calcular as derivadas das outras funcoes trigonometricas:

Teorema 12: As funcoes tangente e secante sao diferenciaveis com derivadas

(tan θ)′ = sec2 θ e (sec θ)′ = sec θ tan θ

Demonstracao. Como tan θ = sen θcos θ , e as funcoes seno e coseno sao diferenciaveis

em R, a tangente e tambem diferenciavel no seu domınio, e

(tan θ)′ =(sen θ)′ cos θ − sen θ(cos θ)′

cos2 θ=

cos2 θ + sen2 θ

cos2 θ= sec2 θ

Como sec θ = 1cos θ e o coseno e diferenciavel, a secante e diferenciavel no seu

domınio, e

(sec θ)′ = − (cos θ)′

cos2 θ=

sen θ

cos2 θ= tan θ sec θ �

Resumindo temos

Derivadas das funcoes trigonometricas:

• (sen θ)′ = cos θ • (tan θ)′ = sec2 θ

• (cos θ)′ = − sen θ • (sec θ)′ = sec θ tan θ

20

11. Aproximacoes lineares e diferenciais

E geometricamente claro que a recta tangente ao grafico de f num ponto x = a euma aproximacao muito boa do grafico para valores de x proximos de a. Assim,podemos calcular aproximadamente f(x) para x ≈ a substituindo f pela sua rectatangente. Recordemos que a equacao da recta tangente e

y = f(a) + f ′(a)(x− a)

e o grafico de f e dado por

y = f(x)

Chamamos a aproximacao

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a)

aproximacao linear de f em x = a. A ideia e que por vezes e facil calcular f(a)e f ′(a) mas difıcil calcular f(x) para outros valores de x proximos de a.

Antes de tornarmos mais preciso o que se entende pela expressao “boa aproximacaopara x proximo de a”, vamos ver alguns exemplos.

Exemplo 27. Para calcular aproximadamente√50 notamos que 50 esta proximo

de 49 = 72. Assim, tomando f(x) =√x e a = 49 podemos aproximar

√50 = f(50)

por

f(50) ≈ f(49) + f ′(49)(50− 49)

f ′(x) = 12√xlogo, substituindo os valores,

√50 ≈

√49 +

1

2√49

(50− 49) = 7 +1

14=

99

14= 7.0714 . . .

Podemos aproveitar esta aproximacao para aproximar tambem√2: como 50 = 2·25,√

50 = 5√2:

5√2 ≈ 99

14logo

√2 ≈ 99

70= 1.41429 . . . �

Exemplo 28. Em fısica a aproximacao linear senx ≈ x (valida para x ≈ 0) efrequentemente usada. Por exemplo, a equacao dum pendulo de comprimento Ldiz-nos que θ′′ = − g

L sen θ, em que g e a aceleracao da gravidade. Para oscilacoespequenas esta equacao e aproximada por θ′′ = − g

Lθ. Uma solucao desta ultimaequacao e

θ = sen(»

gL · θ

)�

O que queremos dizer quando afirmamos que a recta tangente e uma boa apro-ximacao do grafico de f para x proximo de a? Vamos ver posteriormente comoestimar o erro cometido ao aproximar o valor duma funcao pela recta tangente.Para ja vamos interpretar a aproximacao geometricamente. Para tal vamos am-pliar o grafico de f ao pe de (a, f(a)). Observemos a figura 12:


f

Ampliacao ×10 Ampliacao ×100

Figura 12. Comparacao entre o grafico e a recta tangente (a tracejado)

Olhando para o grafico “ao microscopio”, quanto maior a ampliacao mais o graficoe a recta tangente se aproximam. No limite, a funcao e a sua recta tangentecoincidem.

Para tornarmos esta ideia precisa comecamos por notar que o grafico e a rectatangente sao os pontos no plano da forma

(x, f(x)

)e

(x, f(a) + f ′(a)(x− a)

)

Vamos ver como ampliar o grafico. Comecamos por fazer uma translaccao paracolocar o ponto

(a, f(a)

)na origem:

(x− a , f(x)− f(a)

) (x− a , f ′(a)(x− a)

)

Uma ampliacao por um factor k consiste em multiplicar ambas as coordenadas pork. Obtemos portanto

(k(x− a) , k(f(x)− f(a))

) (k(x− a) , k f ′(a)(x− a)

)

Fazemos agora a substituicao u = k(x− a). Entao x = a+ u/k e temos(u , k(f(a+ u/k)− f(a))

) (u , f ′(a)u

)

que sao os graficos das funcoes

fk(u) = k(f(a+ u/k)− f(a)) e Tk(u) = f ′(a)u

Como seria de esperar, a ampliacao da recta tangente e tambem uma recta com omesmo declive. Podemos agora tornar precisas as ideias acima referidas. Queremostomar k cada vez maior. Para tal fazemos h = 1/k. e tomamos o limite quandoh → 0:

Teorema: Para cada u temos limh→0

f1/h(u) = T1/h(u).

Demonstracao: Fazendo a substituicao y = hu, se h → 0 entao y → 0 logo

limh→0

f1/h(u) = limh→0

f(a+ hu)− f(a)

h= lim

y→0

f(a+ y)− f(a)

yu = f ′(a)u

portanto f1/h(u) → T1/h(u).

12. Infinitamente pequenos

A nocao de limite foi introduzida apenas no inıcio do seculo XIX. Nos 150 anosprecedentes o Calculo foi desenvolvido com base na nocao pouco precisa de numeros“infinitamente pequenos”. Esta maneira de pensar, embora nao rigorosa,4 pode seruma grande ajuda a intuicao.

4E possıvel tornar estas ideias rigorosas mas tal involve matematica sofisticada

22

Ja referimos brevemente variacoes infinitamente pequenas ao introduzir a nocao dederivada: df/dx seria o “quociente” dos infinitamente pequenos df e dx. Retome-mos essa discussao. Recorde que a taxa de variacao ∆f/∆x duma funcao f numintervalo [ a, x ] e o declive da recta passando por (a, f(a)) e por (x, f(x)). A figura13 representa a taxa de variacao da funcao f(x) = ex − 2x no intervalo [ 1 , 1.5 ].

f

∆x

∆f

1 1.5

1

1.5

Figura 13. Taxa de variacao de f .

Para variacoes ∆x mais pequenas e conveniente ampliar a imagem. Uma ampliacaopor um factor k multiplica todos os comprimentos por k. Assim, o quociente ∆f/∆xpermanece inalterado apos uma ampliacao pois o numerador e o denominador saoambos multiplicados por k.

∆x

∆f

Ampliacao: ×5∆x = 0.2

1 1.2

0.75

∆x

∆f


1 1.1

∆x

∆f


1 1.05

Figura 14. Ampliacoes sucessivas.

Na ultima seccao vimos que ao ampliar sucessivamente o grafico duma funcao dife-renciavel f ao pe dum ponto (a, f(a)), este converge para a sua recta tangente ema. Se prosseguirmos tomando variacoes ∆x cada vez mais pequenas e ampliacoescada vez maiores, no limite o grafico de f converge para a sua recta tangente, comovimos na ultima seccao. Assim, tomando uma variacao “infinitamente pequena”dx e a correspondente variacao df = f(a+ dx)− f(a) obtemos um triangulo:


dx

df

Ampliacao: ×∞

Figura 15. Variacao infinitesimal dx.

Como aplicacao destas ideias vamos interpretar geometricamente as formulas dasderivadas da tangente e da secante. Comecamos por observar a figura:

1 sec θ0

θ0

∆θ

P0

P

R

Figura 16. Derivadas da secante e da tangente

O cırculo tem raio sec θ0 logo P0P = sec θ0 ∆θ. Por outro lado, ∆ tan = P0R e∆ sec = PR e assim

(4)∆ tan

∆θ= sec θ0

P0R

P0Pe

∆ sec

∆θ= sec θ0

PR

P0P

Tomando uma “variacao infinitamente pequena” dθ obtemos a figura:

P0

P

R

dθ

π2 − θ0

θ0

Figura 17. Variacao infinitesimal dθ

E entao claro que

P0R

P0P= sec θ0 e

PR

P0P= tan θ0

Substituindo em (4) obtemos (tan θ)′ = sec2 θ e (sec θ)′ = sec θ tan θ.

24

13. Diferenciais

Vamos agora ver como interpretar rigorosamente a variacao infinitesimal df . Aideia e definir df nao so para variacoes “infinitamente pequenas” dx da variavel x,mas tambem para qualquer variacao ∆x de x.

Definicao 13: Chamamos a funcao

df = f ′(a)∆x

o diferencial de f em x = a

Exemplo 29. O diferencial de f(x) =√x em x = 49 e dado por

df(∆x) = f ′(49)∆x =1

14∆x �

dx e entao interpretado como o diferencial da funcao identidade I(x) = x:

dx = I ′(a)∆x = ∆x

Podemos entao interpretar df/dx como um quociente de funcoes:

df = f ′(a)dx edf

dx= f ′(a)

a a+∆x

∆x

∆fdf

Figura 18. Aproximacao de ∆f por df


Aula 15: Derivadas

14. Derivada de funcoes compostas e de funcoes inversas

Continuamos com o nosso estudo de tecnicas para o calculo de derivadas, estudandoa diferenciacao de uma funcao composta, a que corresponde uma regra de derivacaofrequentemente chamada “regra da cadeia”.

Teorema 14 (Regra da Cadeia): Sejam f, g funcoes, a ∈ Dg um ponto deacumulacao de f ◦ g, tal que

• g e diferenciavel em a ∈ Dg;

• f e diferenciavel em b = g(a) ∈ Df .

Entao (f ◦ g) e diferenciavel em a e

(f ◦ g)′(a) = f ′(b) · g′(a) = f ′(g(a)) · g′(a) .

A notacao de Leibnitz e particularmente adequada para calculos desta naturezapois, se escrevermos y = f(u) e u = g(x), a regra da cadeia diz-nos que:5

dy

dx=

dy

du

du

dx

Passemos a demonstracao da regra da cadeia:

Demonstracao. A ideia da demonstracao e simples: escrevendo u = g(x),

∆f

∆x=

∆f

∆u· ∆u

∆x

e tomando limites obtemos dfdx = df

dududx . Mas ha um problema com este raciocınio:

∆u = g(x) − g(a) pode ser zero para x 6= a e nesse caso nao podemos dividir porg(x)− g(a). Para resolver esse problema note que, para g(x) 6= g(a) temos

(5)∆f

∆x=

f(g(x))− f(g(a))

x− a=

f(g(x))− f(g(a))

g(x)− g(a)· g(x)− g(a)

x− a

e fazendo a substituicao u = g(x),

limx→a

f(g(x))− f(g(a))

g(x)− g(a)= lim

u→g(a)

f(u)− f(g(a))

u− g(a)= f ′(g(a))

Definimos

T (u) =

®f(u)−f(g(a))

u−g(a) se u 6= g(a)

f ′(g(a)) se u = g(a)

Repare que T e contınua. Podemos entao reescrever a equacao (5) como

f(g(x))− f(g(a))

x− a= T (g(x)) · g(x)− g(a)

x− a

(g(x) 6= g(a)

)

5Claro que cometemos aqui alguns abusos da notacao: por exemplo, y representa ambas as funcoes f(u)e f(g(x))

26

Verificamos entao facilmente que esta igualdade permanece valida quando g(x) =g(a) (desde que x 6= a). Entao

limx→a

f(g(x))− f(g(a))

x− a= lim

x→aT (g(x)) · lim

x→a

g(x)− g(a)

x− a= f ′(g(a))g′(a) �

Exemplo 30. Queremos diferenciar y = sen(x2 + 1), que e a composicao

x → x2 + 1 → sen(x2 + 1)

Escrevendo u = x2 + 1 temos y = senu logo

dy

dx=

dy

du

du

dx= cos(u) · 2x = cos(x2 + 1) · 2x �

Exemplo 31. Vamos calcular a derivada de y = sen5(x). Para tal escrevemosu = senx. Entao y = u5 logo

dy

dx=

dy

du

du

dx= 5u4 cos(x) = 5 sen4(x) cos(x). �

Exemplo 32. ax = exp(x ln a) e a composicao

x → x ln a → exp(x ln a)

Assim, escrevendo u = x ln a temos ax = eu e

dax

dx=

deu

du

du

dx= eu · ln a = ax ln a �

Exemplo 33. Ja vimos que(xn

)′= nxn−1 para n ∈ N. Podemos generalizar

agora esta formula. Para a ∈ R e x > 0 temos xa = exp(a lnx). Pondo u = a lnx,xa = eu logo

dxa

dx=

deu

du

du

dx= eu · a

x=

axa

x= axa−1

�

A formula obtida no ultimo exemplo e importante:

Teorema 15: Para qualquer a ∈ R e x > 0 temosddx xa = axa−1

15. Derivada de funcoes inversas

Vamos agora ver como diferenciar a inversa duma funcao. Seja f uma funcaoinjectiva diferenciavel em a e seja b = f(a). Entao

- O grafico de f−1 e a reflexao no eixo y = x do grafico de f logo

- A recta tangente ao grafico de f−1 em b e a reflexao no eixo y = x da rectatangente ao grafico de f em a.

Teorema 16: A reflexao na diagonal y = x duma recta de declive m tem declive1/m. Se m = 0 a reflexao e uma recta vertical.


Demonstracao. Se y = mx + b, a reflexao em y = x e o grafico da inversa.Resolvendo em ordem a x obtemos x = y/m − b/m que e uma recta de declive1/m. �

Daqui tiramos que

- Se f ′(a) 6= 0, a recta tangente ao grafico de f−1 em b tem declive 1/f ′(a).

- Se f ′(a) = 0 a recta tangente ao grafico de f−1 em b e vertical.

E este o conteudo do proximo teorema:

Teorema 17: Seja f : I → R uma funcao contınua e injectiva num intervalo I,e seja f−1 a sua inversa. Se f e diferenciavel num ponto a ∈ I e f ′(a) 6= 0, entaof−1 e diferenciavel no ponto b = f(a) e

(f−1

)′(b) =

1

f ′(a)=

1

f ′(f−1(b)

)

Observacao: f estar definida num intervalo garante que f−1 e contınua e que be um ponto de acumulacao de f(I) = Df−1 .

Demonstracao. Queremos calcular

(f−1

)′(b) = lim

y→b

f−1(y)− f−1(b)

y − b

Para tal fazemos a substituicao x = f−1(y). Como f−1 e contınua, se y → b entaox → f−1(b) = a. Como b = f(a) obtemos

(f−1

)′(b) = lim

y→b

f−1(y)− f−1(b)

y − b= lim

x→a

x− a

f(x)− f(a)=

1

f ′(a)�

Observacao: Em notacao de Leibnitz, se y = f−1(x) e x = f(y) o teorema diz-nos

quedy

dx=

1dxdy

.

Exemplo 34. A exponencial y = ex e o logaritmo x = ln y sao inversas uma daoutra. Sabendo a derivada do logaritmo podemos deduzir a derivada da exponen-cial:

(ex)′ =1

(ln y)′=

1

1/y= y

Como y = ex recuperamos a formula (ex)′ = ex. Analogamente, sabendo a derivadada exponencial, podemos deduzir a derivada do logaritmo:

(ln y)′ =1

(ex)′=

1

ex

Como ex = y recuperamos a formula (ln y)′ = 1y . �

Exemplo 35. (Derivada da raız-n): Ja sabemos que a derivada de n

√x = x

1n e

1nx

1n−1. Vamos confirmar este resultado usando a formula da derivada da inversa.

28

Neste caso f−1(x) e a funcao y = n

√x logo f(y) e a funcao x = yn, restringida a

[ 0,+∞[ se n for par. A derivada de f e dada por f ′(y) = nyn−1, que so se anulaem y = 0, que corresponde a x = f(0) = 0. Portanto a funcao inversa f−1(x) ediferenciavel para x 6= 0, e temos

(f−1)′(x) =1

f ′(y)=

1

nyn−1=

1

ny1−n

Falta apenas escrever 1ny

1−n em funcao de x. Como y = x1/n obtemos

(f−1)′(x) = 1n

(x

1n

)1−n= 1

nx1n(1−n) = 1

nx1n−1

�

Nos dois ultimos exemplos ja sabıamos a partida qual a derivada de f−1. Vamosver agora como diferenciar as funcoes trigonometricas inversas:

Exemplo 36. (Derivada do arco-tangente): Neste caso, f−1(x) e a funcao θ =arctanx logo f(θ) e a restricao da funcao x = tan θ ao intervalo ] − π/2, π/2[. Aderivada de f e f ′(θ) = sec2 θ = 1/ cos2 θ que nunca se anula. Portanto a funcaoarctanx e diferenciavel em R com derivada

(arctan)′(x) =1

f ′(θ)=

1

sec2 θ=

1

sec2(arctanx)

Podemos simplificar sec2 θ = sec2(arctanx): basta notar que sec2 θ = 1 + tan2 θ =1 + x2 logo

(arctan)′(x) =1

sec2 θ=

1

1 + x2�

Exemplo 37. (Derivada do arco-seno): Neste caso, f−1 : [−1, 1 ] → R e a funcaoθ = arcsenx logo f(θ) e a restricao da funcao x = sen θ ao intervalo

[− π

2 ,π2

]. Neste

intervalo a derivada f ′(θ) = cos θ so se anula nos pontos a = ±π2 , que correspondem

a b = ±1. Portanto a funcao arcsen e diferenciavel em ]− 1, 1[, com derivada

(arcsen)′(x) =1

f ′(θ)=

1

cos(θ)

Para simplificar cos(θ) = cos(arcsenx), observamos que

cos2(θ) = 1− sen2(θ) = 1− x2 logo cos(θ) = ±√

1− x2.

No intervalo[− π

2 ,π2

], cos(θ) > 0, e portanto

(arcsen)′(x) =1

cos(θ)=

1√1− x2

. �

Resumindo:

Teorema 18: A funcao arctan e diferenciavel em R e as funcoes arcsen e arccossao diferenciaveis em ]− 1, 1[ com derivadas

(arctan)′(x) =1

1 + x2, (arcsen)′(x) =

1√1− x2

e (arccos)′(x) = − 1√1− x2


Demonstracao. Ja calculamos as derivadas do arctan e do arcsen. Para cal-cular a derivada do arco-coseno basta recordar que arcsenx + arccosx = π logo(arccos)′(x) = −(arcsen)′(x). �

16. Diferenciacao logarıtmica

Ao derivar certas funcoes, o logaritmo pode ser usado para simplificar as contas.Comecamos por observar que a derivada de y = ln f(x) e f ′(x)/f(x). Porquey = lnu com u = f(x) e

dy

dx=

dy

du

du

dx=

1

uf ′ =

f ′

f

Assim, o metodo consiste em:

(1) Tomar y(x) = ln f(x) e usar as propriedades do logaritmo para simplificar y.

(2) Calcular a derivada y′(x)

(3) A derivada de f pode ser obtida a partir de y′: y′ = f ′/f logo f ′ = f y′.

Exemplo 38. Queremos derivar f(x) = (senx)cos x, x ∈ ]0, π[. Usando as proprie-dades do logaritmo obtemos

ln f(x) = ln(senxcos x

)= cos(x) ln(senx)

Derivando obtemos

f ′(x)

f(x)= − sen(x) ln(senx) + cos(x)

cos(x)

sen(x)

Multiplicando tudo por f(x) = (senx)cos x obtemos

f ′(x) = (senx)cos xÅ− senx ln(senx) +

cos2 x

senx

ã�

Exemplo 39. Queremos calcular a derivada de

f(x) =x

43

√1− x2

4√2x+ 3

Aplicando logaritmos

ln f(x) =4

3lnx+

1

2ln(1− x2)− 1

4ln(2x+ 3)

Derivandof ′(x)

f(x)=

4

3x+

−2x

2(1− x2)− 2

4(2x+ 3)

Logo

f ′(x) =x

43

√1− x2

4√2x+ 3

Å4

3x− x

1− x2− 1

4x+ 6

ã�

30

17. O teorema de Lagrange

O Teorema de Weierstrass garante a existencia de maximo e mınimo de uma funcaocontınua num intervalo [ a, b ]. A grande importancia deste teorema reside na se-guinte observacao (ver figura 19):

Se f(c) e o valor maximo de f , a recta tangente ao grafico de f em c e horizontal

Mais precisamente:

Teorema 19 (Fermat): Seja f uma funcao definida num intervalo aberto ]a, b[ .Se f atinge seu valor maximo ou mınimo num ponto c ∈ ]a, b[ e f e diferenciavelem c, entao f ′(c) = 0.

Demonstracao. Supomos que f tem um maximo no ponto c ∈ ]a, b[ e e di-ferenciavel nesse ponto (a demonstracao e inteiramente analoga para o caso domınimo). Sabemos entao que f(x) ≤ f(c) para qualquer x. Entao, como f ediferenciavel no ponto c,

f ′(c) = f ′e(c) = lim

x→c−

f(x)− f(c)

x− c≥ 0.

pois x− c < 0 e f(x)− f(c) ≤ 0. Analogamente,

f ′(c) = f ′d(c) = lim

x→c+

f(x)− f(c)

x− c≤ 0.

pois x− c > 0 e f(x)− f(c) ≤ 0. Concluimos que f ′(c) = 0. �

Assim, se garantirmos que o maximo e o mınimo de f nao podem ambos ocorrernos extremos do intervalo, podemos concluir que f ′ se anula pelo menos uma vezno intervalo em questao. O Teorema de Rolle formaliza esta ideia:

Teorema 20 (Teorema de Rolle): Seja f uma funcao contınua num intervalolimitado e fechado [a, b], e diferenciavel em ]a, b[. Se f(a) = f(b) entao existe umc ∈ ]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

Demonstracao. Como f esta nas condicoes do Teorema de Weierstrass, sabemosque f tem maximo e mınimo em [a, b]:

M = max[a,b]

f e m = min[a,b]

f .

Se M = m, entao f e uma funcao constante em [a, b] pelo que f ′(c) = 0 paraqualquer c ∈ ]a, b[ . Se M > m, entao a hipotese f(a) = f(b) implica que pelomenos um dos valores M ou m seja assumido por f num ponto c ∈ ]a, b[. Temosentao que f tem um maximo ou um mınimo nesse ponto c. Como f e por hipotesediferenciavel, f ′(c) = 0. �


a c b

Figura 19. Interpretacao geometrica do Teorema de Rolle.

O Teorema de Rolle especializa-se por vezes ao caso em que f(a) = f(b) = 0, deque resulta a seguinte observacao:

Teorema 21: Entre dois zeros de uma funcao diferenciavel, existe sempre pelomenos um zero da sua derivada

Exemplo 40. Vamos ver que para quaisquer valores de a e b, a equacao ex = ax+btem no maximo duas solucoes. Para tal tomamos a funcao f(x) = ex − ax− b. Oszeros de f sao as solucoes da equacao.

Se f tivesse tres zeros x1 < x2 < x3, f′ teria pelo menos dois zeros, um entre x1

e x2 e outro entre x2 e x3. Mas f ′(x) = ex − a tem no maximo um zero pois ex einjectiva. Concluimos que f tem no maximo dois zeros. �

O teorema de Lagrange generaliza o teorema de Rolle para o caso em que f(a) 6=f(b). Este teorema garante que existe uma recta tangente ao grafico paralela arecta que passa pelos pontos Pa = (a, f(a)) e Pb = (b, f(b)) do grafico (ver figura

20). A recta que passa por Pa e Pb tem declive f(b)−f(a)b−a portanto

Teorema 22 (Teorema de Lagrange): Seja f uma funcao definida e contınuanum intervalo limitado e fechado [a, b], e diferenciavel em ]a, b[. Entao, existe pelomenos um ponto c ∈ ]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

E difıcil subestimar a relevancia do Teorema de Lagrange para o calculo, porquee efectivamente um dos seus resultados mais centrais. Muitos dos resultados queiremos encontrar daqui em diante sao uma consequencia mais ou menos directa doteorema de Lagrange.

32

a c b

Figura 20. Interpretacao geometrica do Teorema de Lagrange.

Demonstracao. Seja g a recta que passa pelos pontos(a, f(a)

)e por

(b, f(b)

),

ou seja,

g(x) = f(a) +m(x− a) em que m =f(b)− f(a)

b− aEntao f e g coincidem para x = a, b, portanto a funcao f − g anula-se em a e emb. Assim, pelo teorema de Rolle, a derivada (f − g)′ = f ′ − g′ possui um zero em]a, b[ , ou seja, existe um c ∈ ]a, b[ tal que

f ′(c) = g′(c) = m =f(b)− f(a)

b− a�

Observacao: O quociente f(b)−f(a)b−a e a taxa de variacao media de f no intervalo

[ a, b ]. Assim, o teorema de Lagrange diz-nos que existe um ponto c tal que a taxade variacao instantanea em c, f ′(c), e igual a taxa de variacao media de f em [ a, b ].

aula 13: calculo de limites. derivadas.´ - autenticação · exemplo 5. seja h a fun¸c˜ao de...

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