min z= 3x1 -4x2 + x3 x1+x2+x3

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  • Min Z= 3x1 -4x2 + x3 x1+x2+x3
  • Modelo Equivalente Maximizar ( -Z ) = -3x1 +4x2 x3 sa: x1+x2+x3
  • Problema da varivel livre Se alguma varivel do modelo no possuir a condio de no negatividade, podemos substitu-la pela diferena de outras variveis no negativas. Um nmero qualquer pode ser escrito como a diferena de dois nmeros positivos. Max Z = x1 + 2x2 + x3 sa: x1 + x2 + x3 < = 10 2x1 + 3x2 =0, x2 livre
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  • Varivel livre X2 livre, logo X2 = X4 - X5 ( ambos >= 0) Substituindo no modelo anterior, temos o modelo equivalente: Max X1 + 2X4 2X5 + X3 sa : x1 + x4 x5 + x3 = 0, x5>= 0, x3 >=0
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  • Mtodo Simplex Modelos estudados at o momento se utilizaram de restries do tipo = Neste caso a varivel de folga subtrada e seu valor negativo. 2) Restrio do tipo = Neste caso no introduziremos a varivel de folga. 3) Para as situaes 1 e 2 acrescentaremos variveis auxiliares ai, formando um novo modelo
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  • Exemplificao Max Z = x1 + x2 + x3 2X1+ X2 + X3 = 20 2X1 + X2 + 3X3 = 60 A) Introduzindo as variveis de folga: 2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10 X1 + X2 + 2X3 - XF2 = 20 2X1 + X2 + 3X3 = 60
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  • Exemplo B) Introduzindo as variveis auxiliares ai ( a2 e a3), correspondentes s 2 e 3 restries do tipo ( >= e = ), respectivamente. 2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10 X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 20 2X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60 C) Reescrevendo a funo Objetivo pelo mtodo do M grande. Neste caso, acrescentamos as variveis auxiliares com coeficientes M2 e M3, sendo M2 e M3 nmeros grandes. Z = X1 + X2 + X3 ( original) Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande )
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  • Mtodo do M grande Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande ) O modelo passa a ser maximizado medida que z cresce e por conseqncia as variveis auxiliares A2 e a3 deixam a base. Modelo auxiliar (M grande ) Max Z = X1 + X2 +X3 -M2a2 - M3a3 2X1+ X2 - X3 + XF1 = 10 X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 20 2X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60
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  • Soluo bsica inicial : variveis bsicas XF1=10, a2=20, a3=60 e todas as outras variveis no bsicas todas nulas ( x1=0, x2=0, x3=0 e XF2=0 ZX1X2X3XF1XF2a2a3b 1 1 00M2M30 021 1 100010 011201020 0213000160
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  • Retorno ao Modelo Original 1)Deveremos nesta modelagem eliminar as variveis auxiliares ( a2 e a3 ) 2)Retornar ao modelo original que apresenta soluo bsica, composto pelas variveis originais. 3)Variveis bsicas ( coeficientes nulos na linha de Z) variveis no bsicas ( coeficientes diferentes de zero na linha de Z)
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  • Quadro inicial para a nova soluo: Vb ( XF1=10,a2=20,a3=60) e VNB (x1=x2=x3=XF2=0) ZX1X2X3XF1XF2a2a3b 1 00M2M30 021100010 011201020 0213000160
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  • Clculo da Nova soluo Varivel que entra na base X3 ( coef. ( -1) ) Neste caso escolhemos qq uma das variveis. varivel que sai : 10 : -1 = -10 20 : 2 =10 sai varivel da 3 linha 60 : 3 = 20 LP: 3 linha ; piv =2 NLP = LP / 2 = 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10
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  • Nova soluo:CCULO DA NOVA 1 LINHA NL P 00,5 10-0,50,5010 X (1) 00,5 10-0,50,5010 + 1 lin ha 1 00M2M30 S=n ova 1 lin ha 1-0,5 00 M2M30
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  • Clculo da nova 2 linha: coficiente da varivel que entra ( X3) - 1 NLP00,5 10-0,50,5010 X( 1)00,5 10-0,50,5010 +2 l021100010 S02,51,501-0,50,5020
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  • Novo quadro incluindo todas as linhas Zx1x2x3XF1XF2a2a3b 1-0,5 00 M2M30 02,51,501-0,50,5020 00,5 10-0,50,5010 00,5-0,5001,5-1,5130
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  • Soluo: Variveis bsicas: X3=10 XF1= 20 e a3=30 Variveis no bsicas X1=X2=XF2=a2=0 Z=10 O processo ter continuidade, pois a2 e a3 continuam na base
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  • Clculo da nova soluo Varivel que entra: entra XF2 ( coeficiente -0,5) Varivel que sai : 20 / - 0,5 = -40 no 10 / -0,5 = - 20 no 30 / 1,5 = 20 ----- sai varivel da quarta linha. LP : 4 linha Piv : 1,5 NLP ( j / por 1,5) 0 0,333 - 0,333 0 0 1 -1 0,667 20ida A partir deste instante todos os clculos incluem seqncias j conhecidas pelo estudante.
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  • Novo quadro considerando todas as novas linhas Zx1x2x3XF1XF2a2a3b 1-0,333-0,667000M2M320 02,6671,33301000,33330 00,6670,3331000 20 00,333-0,3330010,6720
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  • Soluo do quadro anterior VB : X3 = 20 XF1 =30 XF2 = 20 VNB : X1=X2=a2=a3=0 Como a2= a3= 0, logo A soluo bsica formada pelas variveis originais. Portanto podemos abandonar as variveis a2 e a3 auxiliares.
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  • Variveis auxiliares excludas, a2=a3=0 Zx1x2x3XF1XF2 b 1-0,333-0,66700020 02,6671,33301020 00,6670,33310020 00,333-0,33300120
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  • Clculo da soluo tima Observando o quadro anterior verifica-se: Varivel que entra X2 coeficiente -0,667 ) Varivel que sai : 30/ 1,3333 = 22,5 sai var. de 2 linha XF1 Lp: segunda linha Piv : 1,3333 NLP( LP/1,333) : 0 2 1 0 0,75 0 22,5 Os passo seguintes envolvem os clculos da 1, 3 e 4 linhas:
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  • Quadro final do modelo otimizado Zx1x2x3XF1XF2 b 11000,5035 02100,75022,5 0001-0,25012,5 01000,25127,5
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  • Soluo tima VB : X2 = 22,5 X3 = 12,5 XF2 = 27,5 VNB : X1 = 0 XF1 = 0 Z = 35 A soluo tima
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  • Digitao do programa Max x1 + x2 + x3 2x1 + x2 - x3 = 20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 Min = Minimizao
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  • Quadro inicial do software ----- ITERAO 0 DA FASE I ******* SOLUO BSICA ******* F1 = 10 A2 = 20 A3 = 60 ##### W = -80 VARIVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 A2 A3 F.OBJETIVO: -3 -2 -5 0 1 0 0 RESTR. 1 : 2 1 -1 1 0 0 0 RESTR. 2 : 1 1 2 0 -1 1 0 RESTR. 3 : 2 1 3 0 0 0 1 VARIVEL ENTRANTE : X3 VARIVEL SAINTE : A2
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  • Quadro final utilizando programa ******* SOLUO BSICA ******* X2 = 45/2 X3 = 25/2 F2 = 55/2 ##### Z = 35 VARIVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 F.OBJETIVO: 1 0 0 1/2 0 RESTR. 1 : 2 1 0 3/4 0 RESTR. 2 : 0 0 1 -1/4 0 RESTR. 3 : 1 0 0 1/4 1 A LTIMA SOLUO TIMA
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  • Anlise Econmica No programa de produo para o prximo perodo, a empresa Beta Ltda., escolheu Trs produtos P1,P2 e P3. O Tableau a seguir mostra os valores solicitados por unidade de produo.
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  • ProdutoContribuio Lucro/unidade. Horas de trabalho Horas de Uso de mquina Demanda Mxima P12.100612800 P21.20046600 P360062 Anlise Econmica: Modelo
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  • Modelo de Produo Os preos de venda foram fixados por deciso poltica e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preos. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o perodo de processamento e pressupe-se usar trs mquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa timo de produo para o perodo.
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  • Modelagem da programao da produo A) Modelo linear: VD: x1=qtde de produo de P1 x2=qtde de produo de P2 x3=qtde de produo de P3 Objetivo maximizar o L =2100x1 + 1200x2 + 600x3 sa : HT) 6x1 + 4x2 + 6x3 + xF1 =4800 HM) 12x1 + 6x2 +2x3 +xF2 =7200 DM) x1 + xF3 = 800 DM) x2 +xF4 =600 DM) x3 +xF5 =600
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  • Variveis de Folga XF1 = sobra de recursos de horas de trabalho Xf2 = sobra de recursos de hora/mquina XF3=sobra de recurso mercado P1 XF4=sobra de recurso mercado P2 XF5=sobra de recurso mercado P3
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  • Quadro inicial do simplex Zx1x2x3xF1xF2xF3xF4xF5b 1-2100-1200-6000o0000 0646100004800 01262010007200 010000100800 001000010600 000100001
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  • Quadro final: soluo tima Zx1x2x3xF1xF2xF3xF4xf 5 b 10005015001000 1.380.000 00010,2-0,10-0,20 120 0100-0,030,10-0,470 280 00000,03-0,110,470 520 001000010 600 00000,20,100,21 480
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  • Quadro final otimizado 1) apresenta VB e VNB 2)A funo Objetivo est escrita em termos das variveis no bsicas 3) vb (coefs. Nulos) 4)O valor das variveis bsicas esto na coluna b 5) ) O coeficiente da varivel no bsica na f objetivo mede a tendncia do objetivo para aquela varivel um valor marginal, indica a variao proporcional no objetivo para pequenos aumentos ou diminuies unitrias na varivel.
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  • Posteriormente, em anlise de sensibilidade poderemos verificar at quantas unidades podemos aumentar ou diminuir da varivel, sem alterar a informao contida em seu coeficiente. Esses coeficientes so chamados de preos de oportunidade. No quadro final, a soluo tima. Um aumento de zero para 1 na varivel no bsica prejudica o objetivo: Lucros diminuem Custos aumentam
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  • Soluo Otimizada X1= 280 unidades de P1 X2= 600 unidades de P2 X3= 120 unidades de P3 Recursos disponveis aps o programa: 520 unidades do mercado P1 :( Dm=800)-(x1=280)=520 0 unidades do mercado P2 : (Dm=600)-(x2=600)=0 120 unidades do mercado P3: (Dm=600)-(x3=120)=480
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  • XF1 = 50 - igual ao preo de oportunidade do recurso horas de trabalho ( coeficiente de XF1 no quadro = 50) e indica que: Se conseguirmos mais uma hora de trabalho aos custos correntes poderemos aumentar nosso lucro em 50, isto , poderemos obter uma nova soluo tima com lucro de 13.080.050. Se uma hora a mais de trabalho acarreta o pagamento de adicional extra,o valor 50 indica o limite mximo deste adicional Zx1x2x3xF1xF2xF3xF4xF5b 100050150010001380000
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  • Anlise de xF1 Exemplificando: se o adicional for de 20, a nova hora de trabalho implicar uma nova soluo com lucro de 30 a mais que o anterior, determinando um lucro de $13.0