Resolução de Problemas

Matemáticos

Aluno

Caderno de Atividades

Pedagógicas de

Aprendizagem

Autorregulada - 01 8º Ano | 1° Bimestre

Disciplina Curso Bimestre Ano

Resolução de Problemas Matemáticos

Ensino Fundamental 1° 8°

Habilidades Associadas

Resolver problemas envolvendo números reais

Compreender as propriedades dos triângulos

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A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o

envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem

colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes

preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.

A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma

estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar suas

competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma,

por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da

contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.

Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das

habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas.

Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na

medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.

Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também,

equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar

consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.

Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior domínio

daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o

desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da

autorregulação.

Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para

o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-

conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.

A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da

Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual.

Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os

professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas.

Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer

esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.

Secretaria de Estado de Educação

Apresentação

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Caro aluno,

Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas

habilidades e competências do 1° Bimestre do Currículo Mínimo de Resolução de Problemas

Matemáticos do 8º Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos

durante o período de um mês.

A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma

autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas de

conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso.

Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e independência

indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do conhecimento do

século XXI.

Nesse Caderno de atividades, iremos estudar um pouco sobre as operações com

Números reais e algumas propriedades do triângulo. Os pré-requisitos para a leitura deste

módulo são as habilidades básicas referente às quatro operações elementares e a resolução

de equação do primeiro grau.

Este documento apresenta 03 (três) Aulas. As aulas podem ser compostas por uma

explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas

às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas.

Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As Atividades são referentes a

dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, temos uma avaliação e uma pesquisa

sobre o assunto.

Um abraço e bom trabalho!

Equipe de Elaboração

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Introdução ..............................................................................................

03

Aula 01: Números Reais: Operações .......................................................

Aula 02:Comparação e operações com números reais ..........................

Aula 03: Propriedade dos triângulos .......................................................

Avaliação .................................................................................................

Pesquisa....................................................................................................

.

Referências: .............................................................................................

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Sumário

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Olá, Alunos! Nesta aula, iremos trabalhar situações-problema envolvendo as

operações com os números reais. No entanto, para conseguirmos atingir tal objetivo,

precisamos relembrar como são compostos os números reais. Vamos lá?

1 ─ CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS:

O conjunto dos números reais é composto pela união entre os conjuntos estudados

até o momento (natural, inteiro, racional e irracional). Em outras definições, é apresentado

como a união do conjunto dos racionais e irracionais. Observe o diagrama abaixo:

No conjunto dos números reais, podemos operar os elementos normalmente,

efetuando qualquer tipo de operação. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 01: Um quadrilátero possui as seguintes medidas:

cm 4 e cm 3 cm, 22 cm, 2 . Calcule o perímetro desse quadrilátero.

Aula 1: Números Reais: Operações

O Conjunto dos Números reais pode

ser representado pela união entre os

conjuntos Q e I.

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Resposta:

Observe que temos números inteiros e irracionais como medidas do quadrilátero.

Sendo assim, o cálculo do perímetro não ficará exato. No entanto, é possível que seja

efetuado, através de alguma aproximação, sabendo que o cálculo do perímetro é feito pela

soma dos lados. Lembre-se de que só podemos operar radical com radical e número inteiro

com número inteiro. Teremos, então:

O perímetro do quadrilátero será cm.

Exemplo 02: Sabendo que o valor aproximado de 7,13 e 1,42 , calcule a área de um

retângulo de 2 cm de base e 3 cm de altura.

Resposta:

Nesse exemplo, estamos trabalhando com a multiplicação de dois números

irracionais. Já que a área do retângulo é calculada através do produto da base pela altura,

temos:

A = Base x Altura = 2 x 3

Como o exercício nos fornece os valores aproximados, podemos substituí-los.

Então, o cálculo se resume a 1,4 x 1,7 = 2,38.

Logo, a Área do retângulo é 2,38 cm2.

Agora chegou a hora de exercitar! Qualquer dúvida, retorne aos exemplos!

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01. Uma sala em formato retangular tem medidas como expressas abaixo. Calcule a sua

área.

02. Utilizando dados da questão anterior, calcule o perímetro de uma sala com as mesmas

dimensões.

03. Um triângulo possui, respectivamente, as seguintes dimensões de base e altura:

52 e 5 . Calcule sua área.

DICA: A área do triângulo é calculada por

04. Um pentagrama regular é um polígono que possui cinco lados iguais. Sabendo que a

medida de um dos lados dele é igual a 72 cm, calcule o perímetro do mesmo.

Atividade 1

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Olá, Alunos! Vamos estudar agora o caso de comparações e operações que

envolvem os números irracionais. Vamos considerar nesse caso os valores aproximados

(que são números racionais). Vamos lá?

1 ─ APROXIMAÇÃO DE NÚMEROS REAIS:

Você sabe o que significa o simbolo ? Este simbolo significa “aproximadamente”.

É muito importante conhecê-lo, pois o usaremos com frequência nesta aula.

Vamos considerar, nesse estudo, os seguintes arredondamentos: ;

; .

Observe que, ao fazemos os arredondamentos necessários, conseguimos comparar

dois valores de conjuntos distintos, os irracionais e os racionais.

Exemplo 01:

Sabendo que , e , determine o valor aproximado da

expressão: 21153121318 .

Resposta:

Nessa atividade, deseja-se que as aproximações sejam utilizadas, fazendo as

substituições necessárias. Sendo assim, temos um problema simples. Basta substituir os

valores dos radicais pelos valores aproximados. Observe:

Aula 2: Comparação e operações com números reais

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Agora já podemos exercitar! Vamos lá?

01. Adotando e , coloque os sinais de > ou <:

a) _____

b) - _____

c) - ______

02. Sabendo que , e calcule as expressões abaixo:

a) - 2

b) - + -

c) - + -

03. Adotando e calcule o perímetro do triângulo abaixo.

Atividade 2

Um número que não

podemos esquecer, através

de aproximação é o

,

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04. Sabendo que a base do triângulo é igual a cm e a altura relativa à base é igual a

cm, utilize a as aproximações do exercício anterior e calcule a área dessa figura.

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Caros alunos, nesta aula iremos trabalhar situações-problema envolvendo duas

propriedades importantes do triângulo: a soma dos ângulos internos e a classificação dos

triângulos quanto aos seus lados.

1 - SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO :

A soma dos ângulos internos de um polígono qualquer é calculada pela fórmula:

. No caso dos triângulos, é fácil provarmos isso:

Considere o triângulo acima e os ângulos , e . Podemos provar que a soma

desses três ângulos internos mede 180º ao projetarmos os ângulos na reta paralela ao lado

BC. Como teremos três ângulos formando uma semicircunferência, teremos que seus

valores somados equivalem a 180º. Vejamos alguns exemplos de aplicação:

Exemplo 01:

Calcule o valor do ângulo desconhecido:

Aula 3: Propriedades dos Triângulos

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Resposta:

Sabendo que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, temos que os três ângulos

somados são iguais a 180°, donde:

45°+ 70° + x = 180°

115° + x = 180°

X= 180° - 115°

X= 65°

Exemplo 02:

Sabendo que o os ângulos internos de um triângulo são: 2x, 2x+ 20° e x, calcule o valor de

cada ângulo.

Resposta:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos

que os três ângulos somados são iguais a 180°, donde:

2x + 2x+ 20° + x = 180°

5x + 20 = 180º

5x = 180° ─ 20°

5x = 160°

x =

x = 32°

Daí, temos os ângulos: 2x = 2 x 32° = 64º; 2x + 20 = 2 x 32 + 20 = 84°; x = 32°.

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2 ─ CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO QUANTO AOS LADOS:

Um triângulo pode ser classificado em relação aos seus lados de três diferentes

formas: Equilátero, Isósceles e Escaleno. Observe:

IMPORTANTE:

1ª) No triângulo equilátero, os três ângulos internos possuem a mesma medida.

2ª) No triângulo isósceles, os dois ângulos internos da base possuem a mesma medida.

3ª) No triângulo escaleno, nenhum lado tem a mesma medida, bem como todos os ângulos

internos são diferentes.

Vamos apresentar, agora, alguns exemplos de aplicação:

Exemplo 03: A medida da base de um triângulo isósceles é 8cm. Determine as medidas dos lados congruentes, sabendo que o perímetro é 20 cm.

Resposta:

Como o triângulo é isósceles, ele possui dois lados congruentes. Como um dos lados

mede 8cm e o perímetro é 20 cm, temos:

x = 6

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Exemplo 04:

Num triângulo isósceles, um dos ângulos mede 120°. Calcule a medida dos outros dois

ângulos desse triângulo.

Resposta:

Como é um triângulos isósceles, o mesmo possui dois ângulos congruentes e um terceiro

diferente. Se o triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a 180º, não podemos ter

dois ângulos de 120º. Sendo assim, esse é o ângulo diferente dos outros dois iguais, então:

01. Calcule o valor de cada ângulo abaixo .

a)

b)

Atividade 3

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02. Classifique os triângulos em equilátero, isósceles e escaleno.

(A)

03. Em um triângulo isósceles, um dos ângulos da base mede 25°. Quais as medidas dos demais ângulos do triângulo?

04. Se os lados de um ABC isósceles são AB = 4,2 cm, AC = 4,2 cm e AB = 6,7 cm, calcule o seu perímetro.

(B) (C)

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Caro aluno, chegou a hora de avaliar tudo o que nós estudamos nas aulas

anteriores. Leia atentamente cada uma das questões e faça os cálculos necessários. Vamos

lá, vamos tentar?

01. Em um triângulo isósceles, um dos ângulos da base mede 35°. A medida dos outros

dois ângulos são:

(A) 45°, 100°

(B) 55°, 90°

(C) 35°, 110°

(D) 45°,110°

(E) 55°, 100 °

02. Num triângulo isósceles, um dos ângulos mede 100°. Calcule a medida dos outros dois

ângulos desse triângulo.

(A) 40°, 40°

(B) 30°, 50°

(C) 35°, 55°

(D) 45°,35°

(E) 55°, 25°

03. Sabendo que os ângulos internos de um triângulo medem 3x, x+ 20° e x, calcule o valor

de cada ângulo:

(A) 75°, 60° e 25°

(B) 65°, 70° e 25°

(C) 55°, 80° e 45°

(D) 55°, 25°, 100°

(E) 75°, 70° e 25°

Avaliação

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03. : A medida da base de um triângulo isósceles é 15 cm. O ângulo não congruente mede:

(A) 45°

(B) 55°

(C) 60°

(D) 70°

(E) 65°

05. Em um triangulo equilátero, o perímetro vale 180cm. Sabendo que cada lado vale x,

calcule a medida de cada lado.

(A) 60 cm

(B) 50 cm

(C) 40 cm

(D) 55 cm

(E) 65 cm

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Caro aluno, agora que já estudamos os principais assuntos relativos ao 1° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então, vamos lá? Iniciamos este estudo operando os números reais e algumas propriedades dos triângulos. Leia atentamente as questões a seguir e, através de uma pesquisa, responda cada uma delas de forma clara e objetiva. ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites que foram utilizados. I – Apresente alguns exemplos de situações reais onde trabalhamos arredondamento de valores, ou aproximação. __________________________________________________________________________

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II – A matemática está presente em muitas obras, em toda nossa vida. Um exemplo disso é a número π, com seus milhares de casas decimais. Pesquise como se dá o cálculo do número Pi e depois descreva algumas situações de como você fez o cálculo do mesmo: __________________________________________________________________________

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Pesquisa

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[1] GIOVANNI, José Ruy, 1937 – A conquista da Matemática: a + nova / José Ruy Giovanni,

Benedito Castruci, José Ruy Giovanni Júnior. - São Paulo: FTD, 2002. – (Coleção a conquista

da matemática)

[2] DANTE, Luiz Roberto, Tudo é Matemática: 9ª ano. 2ª. Edição. São Paulo: Atica, 2007.

[3] IEZZI , Gelson, 1939, Matemática e Realidade: 9ª ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce,

Antonio Machado. – 5 ed. – São Paulo : Atual, 2005.

[4] ANDRINI, Álvaro, Novo, Praticando Matemática: / Álvaro Andrini, Maria José C. de V.

Zampirolo. – 1ª ed. - São Paulo: Editora do Brasil, 2004.

Referências

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COORDENADORES DO PROJETO

Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Maurício Lessa

Coordenação de Áreas do Conhecimento

Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento

Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva

Ivete Silva de Oliveira Marília Silva

COORDENADORA DA EQUIPE

Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática

PROFESSORES ELABORADORES

Alan Jorge Ciqueira Gonçalves

Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves

Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva

Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro

Jonas da Conceição Ricardo José Cláudio Araújo do Nascimento

Reginaldo Vandré Menezes da Mota Weverton Magno Ferreira de Castro

Equipe de Elaboração