ESTUDO DAS FUNÇÕES

NOTAÇÃO: f: A B

A é denominado domínio da funçãoB é denominado contra domínio da função

Valor numérico Valor numérico

1) Se f(x) = 2x – 1, calcule f(100).

f(x) = 2x – 1 f(100) = 2(100) – 1 f(100) = 200 – 1

f(100) = 199

100 199

A B

2) Se f(x) = x2 – 6x + 8, calcule os valores de x tal que f(x) = 0

f(x) = x2 – 6x + 8

0 = x2 – 6x + 8

(Equação do 20 grau)

a = 1 b = - 6 c = 8

= b2 – 4ac

= (-6)2 – 4.1.8

= 36 – 32

= 4 2

26x

2a

bx

Logo temos: x1 = 2 e x2 = 4

ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

EXEMPLOS:

1) f(x) = x2 - 5x + 6

Valores de x para os quais existe y

Domínio:

2) f(x) = 3x

5

62x1x

Domínio: denominador 0

x – 3 0x 3

3) f(x) =

Domínio: 2x – 6 0 2x 6

x 3

4) f(x) = 5xDomínio: radicando 0

x – 5 0x 5

FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR

FUNÇÃO PAR

VALORES SIMÉTRICOS DE X

IMAGENS IGUAIS

FUNÇÃO ÍMPAR

VALORES SIMÉTRICOS DE X

IMAGENS SIMÉTRICAS

EXEMPLOS:

a) f(x) = x2 – 4 f(-3) = (-3)2 – 4 =

f(3) = (3)2 – 4 =

5

5

Logo f(x) é par

b) g(x) = 2xg(-4) = 2(-4) =

g( 4) = 2(4) =

-8

8

Logo g(x) é ímpar

NOTAÇÕES

f(g(x)) = fog (x)g(f(x)) = gof (x)f(f(x)) = fof(x)

1) Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = 4x – 3. Determinar f(g(x))

f(x) = 2x + 1

f(…) = 2(…) + 1

f(g(x)) = 2g(x) + 1

f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1

f(g(x)) = 8x – 6 + 1

f(g(x)) = 8x – 5

2) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x + 3, g(x) = 2x – 1. O valor de f(g(5)) é:

1o Modo

Vamos obter primeiramente a f(g(x))

f(x) = x + 3

f(…) = (…) + 3

f(g(x)) = g(x) + 3

f(g(x)) = 2x – 1 + 3

f(g(x)) = 2x + 2

Se f(g(x)) = 2x + 2, então:f(g(5)) = 2.5 + 2

f(g(5)) = 12

2o Modo

Vamos “abrir a função”

Como queremos calcular f(g(5)) ,procedemos assim:

f(x) = x + 3 g(x) = 2x – 1 g(5) = 2.5 – 1

g(5) = 10 – 1 g(5) = 9

f(9) = 9 + 3

f(9) = 12

Portanto f(g(5)) = 12

3) Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))

f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1

h(3) = 3.3 – 1h(3) = 9 – 1 h(3) = 8

g(8) = 8 – 5 g(8) = 3

f(3) = 2.3 + 3f(3) = 6 + 3f(3) = 9

Portanto f(g(h(3)) = 9

4) ( CEFET – PR ) Sendo f(x) = x + 2 e f(g(x)) = 2x – 3, então g(x) é igual a:

f(x) = x + 2

f(g(x)) = g(x) + 2

2x – 3 = g(x) + 2

2x – 3 – 2 = g(x)

2x – 5 = g(x)

Para encontra a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e em seguida isolar y.

1) Seja f(x) = 2x + 3. Obtenha f -1(x).

f(x) = 2x + 3

x = 2y + 3x – 3 = 2y

yx

2

3

2

3)(1 x

xf

3x 1-2x

f(x)

2) Encontre a inversa da função

3x1-2x

f(x)

x = 3

12

y

y

x(y – 3) = 2y – 1

xy – 3x = 2y – 1

xy – 2y = 3x – 1

xy – 2y = 3x – 1

y(x – 2) = 3x – 1

y = 2

13

x

x

2x13x

(x)f 1

3) ( UFSC ) Seja a função f(x) = 2x

2x

2

2)(

x

xxf

2

2

y

yx

Determine f -1(2)

PASSO 1: determinar a inversa de f(x)

x(y – 2) = – 2y xy – 2x = – 2y

xy + 2y = 2x

xy + 2y = 2x

y(x + 2) = 2x

2

2

x

xy

2x2x

(x)f 1

PASSO 2: determinar f-1 (2)

2x2x

(x)f 1

22

2

.2)2(1f

4

4)2(1 f

Portanto f-1(2) = 1