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FICHA DE REVISÃO 3NOVO ÍPSILON12

FICHA DE REVISÃO 3

ESCOLA: ___________________________________________________________________ ANO LETIVO: _____ / _____

NOME: ______________________________________________ N.º: _____ TURMA: _______ DATA: ____ / ____ / _____

TÓPICOS: Sucessões monótonas, sucessões limitadas e limites de sucessões; limites (segundo Heine) de funções reais de variável real; função contínua num ponto e num subconjunto do respetivo domínio.

1. Mostra que as sucessões (an) e (bn) de termos gerais an=¿ e bn=n2−6n não são monótonas.

2. Estuda, quanto à monotonia, as sucessões:

2.1 un :n↦n−12n 2.2vn :n↦

nn+1 2.3 wn: n↦( 23 )

n

2.4 t n:n↦n+2n+1

3. Mostra que são limitadas as sucessões (un) definidas por:

3.1 un :n↦8+1n

3.2 un :n↦{3−2n se né ímpar1 se né par

3.3 un :n↦4−2n+1

3.4 un :n↦n+2n

4. Determina os limites seguintes:

4.1lim ( 12+n) 4.2 lim 1n+5

4.3 lim (n2+2 )

4.4lim (√n−4 ) 4.5 lim ( −12√n ) 4.6lim 2n−3

n+5

4.7 lim10√n

4.8 lim ( −37√n ) 4.9 lim n

5n+1

4.10lim ( 2n3n−2 )

−2

4.11 lim n7 4.12 lim √3n−5

4.13 lim √9−1n 4.14 lim 1

√4−3n 4.15 lim n3−n2

3n4−1

1

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4.16 lim n2−4n+4

4.17 limn√n

4.18 lim n3−1n−1

4.19 lim (√4n+3−2√n ) 4.20 lim2n+14n2−1

4.21 lim 2n+1+3n

2n+3n+1

5. Seja f a função r.v.r. definida por:

f (x)={ 1x+3

se x<−3

4 x se x≥−3

5.1 Determina lim xn e lim f (xn) , sendo a sucessão (xn)definida por xn=−3n−1n

5.2 Determinalim wn e lim f (wn) , sendo a sucessão (wn) definida por wn=−3+ 1n2.

5.3 Existe limx→−3

f (x) ? Justifica a tua resposta.

6. Nas figuras que se seguem estão representados os gráficos das funções reais de variável real f , g , h e i. Para cada uma, indica, caso exista, o limite da função quando x tende para 1 .

6.1 6.2

6.3 6.4

2

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7. Seja f a função r.v.r., de domínio [−2 ,5], representada graficamente na figura ao lado.

7.1 Indica os valores dos seguintes limites, sugeridos pela representação gráfica:

a. limx→−2+¿ f (x)¿

¿ b. limx→ 1−¿ f (x)¿

¿

c. limx→1+¿ f (x)¿

¿ d. limx→2−¿ f (x)¿

¿

e. limx→2+¿ f (x)¿

¿ f. limx→ 5−¿ f (x)¿

¿

7.2 Indica, caso exista, o valor de limx→1

f (x ) e o valor de limx→2

f (x ) .

Em caso de não existência, justifica esse facto.

8. A expressão que se segue define uma função real de variável real, hk , para cada valor real de k .

hk( x)={ x3+k2 se x<2−kx2+4 se x>2

8.1 Determina, em função de k , os limites laterais de hk no ponto2 .

8.2 Determina o valor de k para o qual existe limite de hkem x=2 . Indica o valor desse limite.

9. Calcula os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.

9.1 limx→+∞

(x¿¿3+x2¿)¿¿ 9.2 limx→−∞

(x¿¿3+ x2¿)¿¿

9.3 limx→+∞

−2 x2+5xx2+1

9.4 limx→−∞

x3−x2+3x2+5 x−7

9.5 limx→+∞

¿ x+1∨ ¿x+1

¿ 9.6 limx→−∞

¿ x+1∨ ¿x+1

¿

9.7 limx→−∞

¿ x2+1∨ ¿x+1

¿ 9.8 limx→−∞

¿9−x2∨ ¿3x2−9

¿

3

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9.9 lim

x→3+¿( 1x2−9

−1x−3 )¿

¿9.10

limx→1−¿( x

x2−3x +2−

xx−1 )¿

¿

9.11 lim

x→0+¿( 1√ x−x

√ x+1 )¿¿

9.12 limx→+∞

√x+1−√x

9.13 limx→+∞

√x2−3−¿ x¿ 9.14 limx→+∞

x+1√x2−1

9.15 limx→−∞

x+1√x2−1 9.16 lim

x→−∞√ x2−3−¿√2 x2¿

9.17 limx→+∞

√x2−¿√x ¿ 9.18 limx→+∞

√x−1+√2x2+2x−1

9.19 limx→−∞

x+1√x2−1+√x2+1 9.20 lim

x→−∞

√x2−1−√ x2+1√ x2−1+√x2+1

9.21 limx→−∞ ( 1x+2 (x2−x+1)) 9.22 lim

x→+∞ ( 1x2+2

(3 x2−x+1))9.23

limx→1+¿ x

x2−1¿

¿9.24

limx→1−¿ x

x2−1¿

¿

9.25 limx→1

x−1x2−1

9.26 limx→−3

x2+2 x−3x3+x2−6 x

9.27 limx→−1 ( 1

x+1(x3+1)) 9.28

limx→−1

+¿

2¿2x+ 1∨ ¿

4x2+1¿¿

¿

9.29 limx→+∞ ( 1

√ x+2×√ x2−4) 9.30 lim

x→+∞ ( 1√ x × 3√ x+1)9.31lim

x→ 4

x2−16√x−4

9.32limx→ 4

√ x2−16x−4

4

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9.33 limx→√3

√ x2−3√3−x

9.34 limx→2 √ x2+ x−6

x3−2 x2−3 x+6

9.35limx→2

√2x−1−√ x+1x2−2x

9.36 limx→−1

¿ x+1∨ ¿√x+x2

¿

10. Averigua se as funções f e g , definidas como se segue, são contínuas no ponto indicado.

10.1 f (x)={2x−4x2−4se x>2

¿ 14x se x≤2

10.2 f (x)={x2−x−2x+1

se x<−1

¿√x+1 se x≥−1

em x=2 . em x=−1 .

11. Na figura ao lado, está representado o gráfico

da função g de domínio ¿−2 ,2¿∪{3 }∪ [4 ,5].Qual é o valor lógico das seguintes proposições?Justifica a tua resposta.

11.1 A função g é contínua no ponto 3.

11.2 A função g é contínua no intervalo [−2 ,2] .

11.3 A função g é contínua no intervalo [4 ,5].11.4 A função g é contínua.

12. Determina o valor de k , real, tal que a função real de variável real definida por

f (x)={√ x−2x−4se x>4

¿kx se x≤4

seja contínua em x=4 .

13. Estuda a continuidade da função real de variável real definida por:

f (x)={ 2 x+2x2−1se x<−1

¿|x|+x se x≥−1

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SOLUÇÕES DA FICHA DE REVISÃO 3

1. A sucessão (an) é não monótona, pois a10>a11 mas a11<a12 .A sucessão (bn) é não monótona, pois b2>b3mas b3<b4.

2.

2.1 (un)é crescente.

2.2 (wn)é crescente.

2.3 (vn)é decrescente.

2.4 (t n)é decrescente.

3.

3.1 ∀ n∈N ,8<un≤93.2 ∀n∈N ,1≤un<33.3 ∀ n∈N ,3≤un<43.4 ∀n∈N ,1<un≤3

4.

4.1 +∞ 4.8 0 4.15 0

4.2 0 4.9 15 4.16 +∞

4.3 +∞ 4.1094

4.17 +∞

4.4 +∞ 4.11+∞ 4.18 +∞4.5 0 4.12 0 4.19 04.6 2 4.13 3 4.20 0

4.7 0 4.14 12 4.21

13

5.

5.1 lim xn=−3¿

5.2lim wn=−3¿

lim f (wn)=lim [4×(−3+ 1n2 )]=4×(−3)=−12

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5.3Não existe limx→→−3

f (x ), pois lim xn=lim wn=−3 e lim f (xn)≠ lim f (wn).

6.6.1 Não existe. 6.2 Não existe.

6.3 1 6.4 2

7.7.1

a. 14

c. 1 e. 1

b. 1 d.+∞ f.2

7.2limx→1

f (x )=1 ;

limx→2

f (x )não existe, pois lim

x→2−¿ f (x)≠ limx→2+¿ f( x)¿

¿¿¿

8.

8.1 limx→2+¿ hk(x )=−4 k+4¿

¿

limx→2−¿ hk(x)=8+k

2¿¿

8.2k=−2

lim x→2h−2(x )=12

9.

9.1+∞ 9.13 ∞−∞;0 9.2500; 12

9.2∞−∞;−∞ 9.14 ∞∞;1 9.26

00;− 415

9.3∞∞;−2 9.15

∞∞;−1 9.270×∞;3

9.4∞∞;−∞ 9.16 ∞−∞;−∞ 9.28

00;−12

9.5 ∞∞;1 9.17 ∞−∞;+∞ 9.290×∞;+∞

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9.6 ∞∞;−1 9.18

∞∞;√2 9.300×∞;0

9.7 ∞∞;−∞ 9.19

∞∞;−12

9.3100;0

9.8 ∞∞; 13

9.20 ∞−∞;0 9.3200;+∞

9.9∞−∞;−∞ 9.21 0×∞;−∞ 9.3300;−∞

9.10∞−∞;+∞ 9.220×∞;3 9.3400;√5

9.11 +∞ 9.23+∞ 9.3500; √312

9.12∞−∞;0 9.24−∞ 9.3100;0

10.

10.1 Comolim

x→2−¿ f (x)=¿ limx→2+¿ f( x)= f (2)=1

2¿

¿¿¿¿, existe lim

x→2f (x )e, portanto, f é contínua em x=2 .

10.2 Comolim

x→−1−¿ g (x)≠ limx →−1+¿ g(x) ¿

¿ ¿¿

, não existe lim x→−1

g (x)e, portanto, g não é contínua em x=−1 .

11.

11.1 Verdadeiro. Como 3∈D g e limx→3

g (x) existe, a função g é contínua no ponto 3.

11.2 Falso.−2 não é um ponto de continuidade da função g , pois −2∉Dg .

Assim, a função g não é contínua no intervalo [−2 ,2].11.3 Verdadeiro. A função g é contínua em todos os pontos desse intervalo, contido no domínio, pois tem limite em cada um deles.11.4 Verdadeiro. A função g é contínua em todos os pontos do seu domínio.

12. k= 116

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13.f é contínua no conjunto ¿−∞ ,−1[∪]−1 ,+∞¿

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