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  • 7

    1

    Parbola

    Sumrio

    7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    7.2 Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    7.3 Formas cannicas da parbola . . . . . . . . . . . . 4

    7.3.1 Parbola com vrtice na origem e reta focal co-

    incidente com o eixo OX . . . . . . . . . . . . . 4

    7.3.2 Parbola com vrtice na origem e reta focal co-

    incidente com o eixo OY . . . . . . . . . . . . . . 5

    7.3.3 Parbola com vrtice V = (xo, yo) e reta focal

    paralela ao eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    7.3.4 Parbola com vrtice V = (xo, yo) e reta focal

    paralela ao eixo OY . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    7.4 A equao geral do segundo grau com B = 0 e AC = 0 10

    7.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    7.6 Exerccios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . 19

  • Unidade 7 Introduo

    7.1 Introduo

    Figura 7.1: Trajetria parablica

    Como dissemos na introduo do captulo

    5, a origem da teoria das sees cnicas est

    intimamente ligada ao problema de duplicao

    do cubo que consiste em, dada a aresta de um

    cubo, construir, com uso de rgua e compasso,

    a aresta de um segundo cubo cujo volume o

    dobro do primeiro. Hipcrates de Chios (470

    410 a.C.) provou que o problema se reduz ao

    seguinte: dados segmentos de comprimentos a

    e b, determinar segmentos de comprimentos x e

    y tais quea

    x=

    x

    y=

    y

    b. Segundo Hipcrates, a

    soluo do problema se obtm tomando b = 2a

    pois, isolando e eliminando y nas identidades, se tem x3 = 2a3. Na notao

    atual isso se traduz em resolver duas das equaes: x2 = ay, y2 = 2ax ou

    xy = 2a2. Como veremos adiante, as duas primeiras representam parbolas e

    a terceira uma hiprbole. Menaechmus fez a descoberta dessas curvas por

    volta de 360 a.C. e mostrou que a interseo delas daria as mdias requeridas

    no problema, ainda que no construdas com rgua e compasso.

    Figura 7.2: Telescpio reetor de Newton

    Muitos matemticos estudaram as pro-

    priedades da parbola, como Arquimedes

    (287 212 a.C.) que calculou a rea delimi-

    tada por uma reta e uma parbola, e Galileu

    Galilei (1564 1642) que provou que a tra-

    jetria de um projtil uma parbola. A

    propriedade reetora da parbola, da qual

    trataremos mais adiante, a mais explorada

    nas aplicaes prticas, como na modelagem

    de espelhos para telescpios, antenas parablicas ou faris reetores. Isaac

    Newton desenhou e construiu o primeiro telescpio reetor parablico.

    O objetivo deste captulo estudar a equao

    Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

    nos casos em que exatamente um dos coecientes A ou C nulo.

    2

  • Unidade 7Parbola

    7.2 Parbola

    Definio 1Sejam L uma reta e F um ponto do plano no pertencente a L. Aparbola P de foco F e diretriz L o conjunto de todos os pontos do planocuja distncia a F igual sua distncia a L.

    P = {P | d(P, F ) = d(P,L) } .

    `FA V

    L

    / /

    Figura 7.3: Posio do vrtice em relao a F e a L

    Terminologia

    Como j dissemos, o ponto F ofoco e a reta L a diretriz da parbolaP . A reta focal ` da parbola P areta que contm o foco e perpendi-

    cular diretriz.

    O ponto V da parbola P que per-tence reta focal o vrtice de P .

    Em particular, se A o ponto onde

    L intersecta `, ento V o ponto mdio do segmento AF . O nmero 2p = d(F,L) o parmetro da parbola P . Note que d(V, F ) =d(V,L) = p.

    Observao 2Toda parbola simtrica em relao sua reta focal.

    `FA V

    L

    Q

    B

    B

    P

    P

    Figura 7.4: Simetria de P em relao reta focal

    De fato, seja P uma parbola defoco F , vrtice V , diretriz L e retafocal ` (Figura 7.4).

    Seja P P e seja P o pontosimtrico de P em relao reta `.

    O segmento PP ` intersectaa reta focal ` num ponto Q que o

    ponto mdio do segmento PP .

    Os tringulos 4PQF e 4P QFso congruentes (LAL). Em particular,

    d(P, F ) = d(P , F ).

    3

  • Unidade 7 Formas cannicas da parbola

    Alm disso, d(P,L) = d(Q,L) = d(P ,L), pois BPQA e AQP B soretngulos.

    Como P P , temos d(P, F ) = d(P,L). Portanto, d(P , F ) = d(P ,L),isto , P P .

    7.3 Formas cannicas da parbola

    Vamos obter as formas cannicas da parbola em relao a um sistema de

    coordenadas OXY . Comeamos com os casos em que o vrtice da parbola

    a origem e a reta focal um dos eixos coordenados. Depois trataremos dos

    casos em que o vrtice um ponto qualquer e a reta focal paralela a um dos

    eixos coordenados.

    7.3.1 Parbola com vrtice na origem e reta focal co-

    incidente com o eixo OX

    Caso I. O foco F est direita da diretriz L (Figura 7.5).

    `F

    (p, 0)

    (p, 0) V

    Y

    X

    LP

    Figura 7.5: Parbola P : y2 = 4px

    Como o vrtice da parbola P aorigem V = (0, 0), temos que o foco

    o ponto F = (p, 0) e a diretriz a

    reta L : x = p, onde 2p = d(F,L).Logo,

    P = (x, y) P

    d(P, F ) = d(P,L)

    (x p)2 + y2 = |x+ p|

    (x p)2 + y2 = (x+ p)2

    x2 2px+ p2 + y2 = x2 + 2px+ p2

    2px+ y2 = 2px

    y2 = 4px

    Caso II. O foco F est esquerda da diretriz L (Figura 7.6).Neste caso, F = (p, 0) e L : x = p, onde 2p = d(F,L).

    4

  • Unidade 7Parbola

    `F

    Y

    X

    (p, 0)

    (p, 0) V

    LP

    Figura 7.6: Parbola P : y2 = 4px

    Ento,

    P = (x, y) P

    d(P, F ) = d(P,L)

    (x+ p)2 + y2 = |x p|

    (x+ p)2 + y2 = (x p)2

    x2 + 2px+ p2 + y2

    = x2 2px+ p2

    2px+ y2 = 2px

    y2 = 4px

    7.3.2 Parbola com vrtice na origem e reta focal co-

    incidente com o eixo OY

    Caso I. O foco F est acima da diretriz L (Figura 7.7).Neste caso, F = (0, p) e L : y = p, onde 2p = d(F,L). Logo,

    P = (x, y) P x2 + (y p)2 = |y + p| x2 = 4py

    `

    F

    Y

    X

    (p, 0)

    (p, 0)

    V

    L

    P

    Figura 7.7: Parbola P : x2 = 4py

    `

    F

    Y

    X

    (p, 0)

    (p, 0)

    V

    L

    P

    Figura 7.8: Parbola P : x2 = 4py

    Caso II. O foco F est abaixo da diretriz L (Figura 7.8).Neste caso, F = (0,p) e L : y = p, onde 2p = d(F,L). Logo, P =

    (x, y) P se, e somente se,x2 + (y + p)2 = |y p| x2 = 4py

    5

  • Unidade 7 Formas cannicas da parbola

    Exemplo 1 Determine a equao da parbola P com vrtice V na origem, cujo foco o ponto:

    (a) F = (3, 0).

    Soluo. Temos p = d(V, F ) = 3 e reta focal = eixo OX. Como o foco F

    est direita do vrtice, temos que a diretriz a reta L : x = 3 e a equaoda parbola P : y2 = 12x.(b) F = (0,2).Soluo. Temos p = d(V, F ) = 2 e reta focal = eixo OY . Como o foco F

    est abaixo do vrtice, temos que a diretriz a reta L : y = 2 e a equao daparbola P : x2 = 8y.

    Exemplo 2

    `

    F

    Y

    X

    2

    2

    V

    L : y=2

    (4,2)

    4

    P

    Figura 7.9: Parbola P : x2 = 8y

    Uma parbola P passa pelo ponto(4,2), tem vrtice V na origem e oeixo OY como reta focal. Encontre

    sua equao, seu foco F e a equao

    da sua diretriz L.

    Soluo. Temos

    P : x2 = 4py,com p = d(V, F ) > 0.

    Como (4,2) P , vemos queP : x2 = 4py e 16 = 8p. Logo,p = 2, F = (0,2), L : y = 2 e P :x2 = 8y a equao da parbola.

    Exemplo 3 Um crculo C, centrado no ponto C = (4,1), passa pelo foco F daparbola P : x2 = 16y. Mostre que a diretriz L da parbola tangenteao crculo C.

    Soluo. A reta focal da parbola P o eixo OY , o vrtice a origem, o focoest abaixo da diretriz e 4p = 16. Ento, F = (0,4) e L : y = 4.

    A equao do crculo :

    C : (x 4)2 + (y + 1)2 = r2.Como F = (0,4) C, temos 16 + 9 = r2, ou seja, r = 5. Ento,

    6

  • Unidade 7Parbola

    (x, y) C L (x 4)2 + (4 + 1)2 = 52

    (x 4)2 = 0 x = 4 (x, y) = (4, 4).Logo, L tangencia C no ponto (4, 4) (Figura 7.10).

    `

    F

    Y

    X

    4

    4

    4

    1

    V

    L : y=4

    (4,1)

    P

    C

    Figura 7.10: Parbola P e crculo C tangenciando a diretriz L

    7.3.3 Parbola com vrtice V = (xo, yo) e reta focal pa-

    ralela ao eixo OX

    Da mesma forma como zemos para a elipse e a hiprbole nos captulos

    anteriores, para obtermos a forma cannica da parbola P de vrtice no pontoV = (xo, yo) e reta focal paralela ao eixo OX, vamos considerar o sistema de

    eixos ortogonais OX Y , com origem O = V = (xo, yo) e eixos OX e OY que

    tm a mesma direo e mesmo sentido dos eixos OX e OY , respectivamente.

    Caso I. O foco F est direita da diretriz L.Sabemos que, no sistema de coordenadas OX Y , a equao da parbola

    P : y2 = 4px; o foco F = (p, 0); o vrtice V = (0, 0); a diretriz L : x = p e a reta focal ` : y = 0.

    7

  • Unidade 7 Formas cannicas da parbola

    PL

    `

    X

    X

    Y Y

    O

    O

    V F

    P

    xo

    xo+p

    xop

    yo

    y+yo

    x+xo

    y

    x

    Figura 7.11: P : (y yo)2 = 4p(x xo)

    Como

    x = x+ xo e y = y + yo,

    a equao da parbola P :

    P : (y yo)2 = 4p(x xo)

    e seus elementos so:

    foco: F = (xo + p, yo); vrtice: V = (xo, yo); diretriz: L : x xo = p, ouseja, L : x = xo p; reta focal: ` : y yo = 0, ou seja, ` : y = yo.

    Caso II. O foco F est esquerda da diretriz L.Neste caso, a equao da parbola no sistema OX Y y2 = 4px, e seus

    elementos so: foco F = (p, 0); vrtice V = (0, 0); diretriz L : x = p ereta focal ` : y = 0. Passando para as coordenadas x, y do sistema OXY , a

    equao da parbola ca na forma:

    LP

    `

    X

    X

    Y Y

    O

    O

    V F

    P

    xo

    xo+p

    xop

    yo

    y+yox+xo

    y

    x