matemática a – extensivo – v. 3 - energia.com.br · resolva matemática a – extensivo ... x2...
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Gabarito
1Matemática A
Resolva
Matemática A – Extensivo – V. 3
Aula 9
9.01) 3101. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.
E = 3 – 4 . 12
+ 0 + 7 – 2 – ( 7 – 1) =
= 3 – 2 + 7 – 2 – 7 + 1 = 002. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.
Se x < 4, então x – 4 < 0.Assim: |x – 4| = –x + 4.
04. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.Se 2 x 3, então x – 2 0 e x – 3 0.Assim:E = |x – 2| + |x – 3| = x – 2 – x + 3 = 1
08. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.A = {–4, –3, –2, –1, 0}No de subconjuntos: 25 = 32
16. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira. Teoria.
9.02) a) |2x – 5| = 32x – 5 = 32x = 8x = 4ou2x – 5 = –32x = 2x = 1S = {1, 4}
b) |x – 3| = 2x + 6x – 3 = 2x + 6x = –9oux – 3 = –2x – 63x = –3x = –1S = {–1}Se x = –9, teremos o absurdo |–12| = –12.
c) |x2 + x| = |2x + 2|x2 + x = 2x + 2x2 – x – 2 = 0x' = 2x" = –1oux2 + x = –2x – 2x2 + 3x + 2 = 0x' = –2x" = –1S = {–2, –1, 2}
d) x2 + 2|x| – 15 = 0Se x 0, então |x| = x.x2 + 2x – 15 = 0x' = –5x" = 3Nesse caso, ficamos apenas com x = 3. Se x < 0,então |x| = –x.x2 – 2x – 15 = 0x' = 5x" = –3Nesse caso, somente x = –3 satisfaz a equação.S = {–3, 3}
9.03) CInicialmente, observe que:
|2x + 6| = 2 6 2 6 0 3
2 6 2 6 0 3
x se x x
x se x x
,
,
|6 – 3x| = 6 3 6 3 0 2
6 3 6 3 0 2
x se x x
x se x x
,
,
|2x + 6| =
|6 – 3x| =
Assim:I. Para x –3:
|2x + 6| + |6 – 3x| = 20–2x – 6 + 6 – 3x = 20–5x = 20x = –4
II. Para –3 x 2:|2x + 6| + |6 – 3x| = 202x + 6 + 6 – 3x = 20–x = 8x = –8(Não serve, pois –3 x 2.)
III.Para x 2:|2x + 6| + |6 – 3x| = 202x + 6 – 6 + 3x = 205x = 20x = 4S = {–4, 4}Soma: –4 + 4 = 0
Gabarito
2 Matemática A
Aula 10 b) x x2 5 1 – 2x = –1
x x2 5 1 = 2x – 1
x x22
5 1 = (2x – 1)2
x2 + 5x + 1 = 4x2 – 4x + 1–3x2 + 9x = 0 (–3)
x2 – 3x = 0 x
x
’
"
0
3
Verificando na equação inicial, obtemos:S = {3}
c) 2 3 2 5x x x
2 3 2 52 2
x x x
2 2 2 3 3x x x x. . = 2x + 5
5 2 2 3 2 5x x x.
2 62x x = 2x
2 622
x x = (2x)2
4 . (–x2 – x + 6) = 4x2
–4x2 – 4x + 24 = 4x2
–8x2 – 4x + 24 = 0 (–4)
2x2 + x – 6 = 0 x
x
’
"
2
32
Verificando na equação inicial, temos:S = {–2}
10.01) a) x4 – 10x2 + 9 = 0x2 = y
y2 – 10y + 9 = 0 y
y
’
"
9
1
x2 = 9 x = 3x2 = 1 x = 1S = { 3, 1}
b) x4 + 5x2 – 36 = 0x2 = y
y2 + 5y – 36 = 0 y
y
’
"
9
4
x2 = 4 x = 2x2 = –9 (impossível em R)S = { 2}
c) 25x – 6 . 5x + 5 = 05x = y
y2 – 6y + 5 = 0 y
y
’
"
5
1
5x = 5 x = 15x = 1 x = 0S = {0, 1}
d) (x!)2 + 119(x!) – 120 = 0(x!) = y
y2 + 119y – 120 = 0 y
y
’
"
120
1
x! = 1 x = 0 ou x = 1x! = –120 (sem solução)S = {0, 1}
10.02) C2sen2 x – 5sen x + 2 = 0
x 02
,
sen x = y
2y2 – 5y + 2 = 0 y
y
’
"
2
12
sen x = 2 (impossível)
sen x = 12
x = 30º
10.03) a) 1 2x = 3
1 22
x = (3)2
1 – 2x = 9–2x = 8x = –4S = {–4}
Aula 11
11.01) a)É função.b)Não é função. Sobra elemento e um elemento
tem 2 imagens.c) É função.d)Não é função. Reta paralela ao eixo yyyyy corta o
gráfico em mais de um ponto.e) Não é função. Existe uma reta paralela ao eixo yyyyy
que corta o gráfico em mais de um ponto.f) É função.
11.02) Domínio – projeção no eixo xxxxx: [–5, 7]Imagem – projeção no eixo yyyyy: [–2, 4]
11.03) 6101. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.
n(A x B) = n(A) x n(B) = 3 . 3 = 902. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta.
x = –3 y = –5 B04. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.
f(1) + f(2) = 1 + 8 = 9
Gabarito
3Matemática A
08. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.f(x) = ax2 + 2x + bf(0) = –7 b = –7f(1) = –2 a + 2 – 7 = –2 a = 3f(x) = 3x2 + 2x – 7f(3) = 27 + 6 – 7 = 26
16. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.x – 3 0 e x – 6 0x 3 e x 6
32. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.
f(–1) – f 12
+ 4 . f( 3 ) = 1 – 4 + 4 . 4 = 13
Testes
Aula 9
9.01) 3101. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.
E = 5 8 34
0 5 11 4 112
. = 12
02. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.Se –3 < x, então 0 < x + 3.Assim, |x + 3| = x + 3.
04. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.Se x < 2, então x – 2 < 0.Assim, |x – 2| = –x + 2.
08. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.Para –2 x 1, tem-se:E = |x + 2| + |x – 1| == x + 2 – x + 1 = 3
16. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.Teoria.
32. FFFFFalsaalsaalsaalsaalsa.Os valores inteiros que satisfazem a inequação|x – 1| 2 são: –1, 0, 1, 2, 3.Soma: –1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5
9.02) a) |x + 3| = 5x + 3 = 5x = 2oux + 3 = –5x = –8S = {–8, 2}
b) |x2 – 5| = 4x2 – 5 = 4x2 = 9x = 3oux2 – 5 = –4x2 = 1x = 1S = { 1, 3}
c) |x2 – 3| = 1x2 – 3 = 1x2 = 4x = 2oux2 – 3 = –1x2 = 2
x = 2
S = { 2 , 2}d) |x + 3| = 2x – 3
x + 3 = 2x – 3x = 6oux + 3 = –2x + 33x = 0x = 0 (Não satisfaz a equação.)S = {6}
e) |3x – 1| = x – 73x – 1 = x – 72x = –6x = –3(Não satisfaz a equação.)ou3x – 1 = –x + 74x = 8x = 2(Não satisfaz a equação.)S =
f) |3x – 5| = |4 – 2x|3x – 5 = 4 – 2x5x = 9
x = 95
ou3x – 5 = –4 + 2xx = 1
S = 1 95
,
Gabarito
4 Matemática A
g) |4x – 5| = |4x – 5|S = RA igualdade é verdadeira para qualquer valor dexxxxx.
h) Observe que x2 = |x|2.Assim, fazendo |x| = y, temos y2 – 4y + 3 = 0.y' = 3y " = 1|x| = 3 x = 3|x| = 1 x = 1S = { 1, 3}
i) x2 – 5 = 4 . |x|x2 – 4 . |x| – 5 = 0|x| = yy2 – 4y – 5 = 0y' = 5y" = –1|x| = 5 x = 5|x| = –1 (impossível)S = { 5}
9.03) A|x + 1| + |2x – 4| = 9
|x + 1| = x para x x
x para x x
1 1 0 1
1 1 0 1
,
,
|2x – 4| = 2 4 2 4 0 2
2 4 2 4 0 2
x para x x
x para x x
,
,
Para x < –1:|x + 1| + |2x – 4| = 9–x – 1 – 2x + 4 = 9–3x = 6x = –2Para –1 x < 2:|x + 1| + |2x – 4| = 9x + 1 – 2x + 4 = 9–x = 4x = –4 (Não está no intervalo –1 x < 2.)Para x 2:|x + 1| + |2x – 4| = 9x + 1 + 2x – 4 = 93x = 12x = 4Solução: {–2, 4}Soma: –2 + 4 = 2
9.04) BExemplox = 3A = {3, –3}Maior valor: 3 = |3|x = –5A = {–5, 5}Maior valor: 5 = |–5|
9.05) C|5x – 1| = 65x – 1 = 65x = 7
x = 75
ou5x – 1 = –65x = –5x = –1
Soma: 75
1 25
9.06) E|x + 2| = 2 . |x – 2||x + 2| = |2x – 4|x + 2 = 2x – 4x = 6oux + 2 = –2x + 43x = 2
x = 23
Soma: 6 + 23
= 203
9.07) B|3x – 5| = 5x – 13x – 5 = 5x – 1–4 = 2xx = –2(Não satisfaz a equação.)ou3x – 5 = –5x + 18x = 6
x = 34
S = 34
9.08) C|3x – 2| = 3x – 2Observe que |a| = a a 0.Assim, |3x – 2| = 3x – 2.
3x – 2 0 x 23
S = 23
,
9.09) E
24
x = x + 1
24
x = x + 1
Gabarito
5Matemática A
2 – x = 4x + 4–2 = 5x
x = – 25
ou
24
x = –x – 1
2 – x = –4x – 43x = –6x = –2(Não satisfaz a equação.)
S = 25
9.10) E|x – 2| < 5x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
9.11) C3 < x < 8 (I)|2x – b| < 5 (II)–5 < 2x – b < 5–5 + b < 2x < b + 5
b 52
< x < b 52
Assim, para xxxxx satisfazer simultaneamente I e II, de-vemos ter:
b 52
= 3 b = 11
b 52
= 8 b = 11
9.12) B|x|2 – 12|x| + 32 = 0|x| = yy2 – 12y + 32 = 0y' = 8y" = 4|x| = 8 x = 8|x| = 4 x = 4Soma das raízes: +8 – 8 + 4 – 4 = 0
9.13) C|2x + 3| = 1 – x2x + 3 = 1 – x3x = –2
x = – 23
ou2x + 3 = –1 + xx = –4
Produto: 23
. (–4) = 83
9.14) C|3x – 5| < 3–3 < 3x – 5 < 3
2 < 3x < 8
23
< x < 83
9.15) C|x| < 3–3 < x < 3Inteiros: –2, –1, 0, 1, 2
9.16) E|x + y| = |x| + |y| é uma sentença falsa.
Exemplox = –8y = 8|x + y| = |–8 + 8| = 0|x| + |y| = |–8| + |8| = 16
9.17) A = {x N / |x – 2| 5}= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}B = {x Z / |x + 2| > 3}= {..., –8, –7, –6, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}Soma: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27
9.18) E|x| = x – 6x = x – 60 = –6(Absurdo!)oux = –x + 62x = 6x = 3(Não satisfaz a equação.)S =
9.19) D|x|2 – |x| – 6 = 0|x| = y
y2 – y – 6 = 0 y
y
’
"
3
2
|x| = 3 x = 3|x| = –2 (Não tem solução.)S = {–3, 3}Assim, –3 e 3 são raízes da equaçãox2 – ax + b = 0.Soma: a = 3 – 3 a = 0Produto: b = –3 . 3 b = –9
9.20) A|x – 1|2 – 3 . |x – 1| + 2 = 0|x – 1| = y
y2 – 3y + 2 = 0 y
y
’
"
2
1
|x – 1| = 2x – 1 = 2x = 3
Gabarito
6 Matemática A
oux – 1 = –2x = –1
|x – 1| = 1x – 1 = 1x = 2oux – 1 = –1x = 0Produto: (3) . (–1) . (2) . (0) = 0
9.21) C|x – 2| 2x – 2 2x 4oux – 2 –2x 0
9.22) a) ||2x – 4| – 6| = 2|2x – 4| – 6 = 2|2x – 4| = 82x – 4 = 8 ou 2x – 4 = –8x = 6 x = –2ou|2x – 4| – 6 = –2|2x – 4| = 42x – 4 = 4 ou 2x – 4 = –4x = 4 x = 0S = {6, –2, 4, 0}
b) ||x + 3| – 1| = 5|x + 3| – 1 = 5|x + 3| = 6x + 3 = 6 ou x + 3 = –6x = 3 x = –9ou|x + 3| – 1 = –5|x + 3| = –4(Absurdo!)S = {–9, 3}
c) |2x + 2| + |x – 1| = 5
|2x + 2| = 2 2 2 2 0 1
2 2 2 2 0 1
x se x x
x se x x
,
,
|x – 1| = x se x x
x se x x
1 1 0 1
1 1 0 1
,
,
Para x < –1:|2x + 2| + |x – 1| = 5–2x – 2 – x + 1 = 5–3x = 6x = –2
Para –1 x < 1:|2x + 2| + |x – 1| = 52x + 2 – x + 1 = 5x = 2 (Não está no intervalo –1 x < 1.)
Para x 1:|2x + 2| + |x – 1| = 52x + 2 + x – 1 = 53x = 4
x = 43
S = 2 43
,
d) |2x – 3| + |x + 2| = 2
|2x – 3| =
2 3 2 3 032
2 3 2 3 0 32
x se x x
x se x x
,
,
|x + 2| = x se x x
x se x x
2 2 0 2
2 2 0 2
,
,
Para x < –2:–2x + 3 – x – 2 = 2–3x = 1
x = – 13
(Não está no intervalo x < –2.)
Para –2 x < 32
:
–2x + 3 + x + 2 = 2–x = –3x = 3
(Não está no intervalo –2 x < 32
.)
Para x 32
:
2x – 3 + x + 2 = 23x = 3x = 1
(Não está no intervalo x 32
.)
S = e) |x + 2| + |x – 3| = 7
|x + 2| = x se x x
x se x x
2 2 0 2
2 2 0 2
,
,
|x – 3| = x se x x
x se x x
3 3 0 3
3 3 0 3
,
,
Para x < –2:–x – 2 – x + 3 = 7–2x = 6x = –3
Gabarito
7Matemática A
Para –2 x < 3:x + 2 – x + 3 = 75 = 7 (Absurdo!)
Para x 3:x + 2 + x – 3 = 72x = 8x = 4S = {–3, 4}
f) |x – 2| + |x – 5| = 3
|x – 2| = x se x x
x se x x
2 2 0 2
2 2 0 2
,
,
|x – 5| = x se x x
x se x x
5 5 0 5
5 5 0 5
,
,
Para x < 2:–x + 2 – x + 5 = 3–2x = –4x = 2(Não está no intervalo x < 2.)
Para 2 x 5:x – 2 – x + 5 = 33 = 3(Note que a equação é satisfeita para todo x [2, 5]).
Para 5:x – 2 + x – 5 = 32x = 10x = 5Solução: [2, 5]
g) x2 = 2x – 3|x| = 2x – 3x = 2x – 3x = 3oux = –2x + 33x = 3x = 1(Não satisfaz a equação.)S = {3}
h) ( )2 3 2x = |x + 1|
|2x + 3| = |x + 1|2x + 3 = x + 1x = –2ou
2x + 3 = –x – 13x = –4
x = – 43
S = 43
2,
9.23) D|x – 3| 3–3 x – 3 30 x 6
9.24) E|2x – 4| 62x – 4 6x 5ou2x – 4 –6x –1
9.25) A
b = | |.| || |
x xx1 1
2
Se –1 < x < 1, concluímos que:x + 1 > 0 |x + 1| = x + 1x – 1 < 0 |x – 1| = –x + 1x + 2 > 0 |x + 2| = x + 2Assim:
b = | |.| || |
x xx1 1
2 =
= ( ) . ( )x xx1 1
2 =
= 12
2xx
= – xx
2 12
9.26) E|x2 – 8| – 4 = 0|x2 – 8| = 4x2 – 8 = 4x2 = 12
x = 12oux2 – 8 = –4x2 = 4x = 2
Produto: ( 12 ) . (– 12 ) . (2) . (–2) = 48
Gabarito
8 Matemática A
Aula 10
10.01) a) x4 – 29x2 + 100 = 0x2 = y
y2 – 29y + 100 = 0 y
y
’
"
25
4
x2 = 25 x = 5x2 = 4 x = 2S = { 5, 2}
b) x4 – 2x2 – 3 = 0x2 = y
y2 – 2y – 3 = 0 y
y
’
"
3
1
x2 = 3 x = 3x2 = –1 (impossível em R)
S = { 3 }c) 4x – 10 . 2x + 16 = 0
2x = y
y2 – 10y + 16 = 0 y
y
’
"
8
2
2x = 8 x = 32x = 2 x = 1S = {3, 1}
d)3(x!)2 – 4(x!) + 1 = 0x! = y
3y2 – 4y + 1 = 0 y
y
’
"
1
13
x! = 1 x = 0 ou x = 1
x! = 13
(Não tem solução.)
S = {0, 1}e) 25x + 125 = 30 . 5x
5x = y
y2 – 30y + 125 = 0 y
y
’
"
5
25
5x = 5 x = 15x = 25 x = 2S = {1, 2}
10.02) Acos2 x – 5cos x = 0
x 02
,
cos x = y
y2 – 5y = 0 y
y
’
"
0
5
cos x = 0 x = 90ºcos x = 5 (Não tem solução.)
10.03) a)2x + x = 3
x = 3 – 2x
( x )2 = (3 – 2x)2
x = 9 – 12x + 4x2
0 = 4x2 – 13x + 9x' = 1
x" = 94
Verificando na equação inicial, obtemos:S = {1}
b)3 + x 1 = x
x 1 = x – 3
( x 1)2 = (x – 3)2
x – 1 = x2 – 6x + 9
0 = x2 – 7x + 10 x
x
’
"
5
2
Verificando na equação inicial, temos:S = {5}
c) x x1 32 = (2)2
x x x x1 2 1 3 3 4.
2 x x2 2 3 = 0
x x22
2 3 = (0)2
–x2 + 2x + 3 = 0 x
x
’
"
3
1
S = {3, –1}
d) 2 3 72
x x = (1)2
2x + 3 – 2 . 2 3 7x x. + 7 – x = 1
x + 10 – 2 . 2 11 212x x = 1
x + 9 = 2 2 11 212x x
(x + 9)2 = 2 2 11 2122
x x
x2 + 18x + 81 = 4 . (–2x2 + 11x + 21)
9x2 – 26x – 3 = 0 x
x
’
"
3
13
Verificando na equação original, obtemos:S = {3}
Gabarito
9Matemática A
10.04) a) x4 – 13x2 + 36 = 0x2 = y
y2 – 13y + 36 = 0 y
y
’
"
4
9
x2 = 4 x = 2x2 = 9 x = 3Produto: (–2) . (2) . (–3) . (3) = 36
b)2x4 – 32 = 0x2 = y
2y2 – 32 = 0 y
y
’
"
4
4
x2 = 4 x = 2x2 = –4 (impossível em R)Produto: 2 . (–2) = –4
c) (x2 + 12)2 – 49x2 = 0x2 = y(y + 12)2 – 49y = 0y2 + 24y + 144 – 49y = 0
y2 – 25y + 144 = 0 y
y
’
"
16
9
x2 = 9 x = 3x2 = 16 x = 4Produto: (–3) . (3) . (–4) . (4) = 144
10.05) a) 9 182 4x x
= 1
x2 = y
9 182y y
= 1
9 182
2
2
y
y
y
y
0 = y2 – 9y + 18 y
y
’
"
6
3
x2 = 6 x = 6
x2 = 3 x = 3
Soma: – 6 + 6 – 3 + 3 = 0b)6x–2 – 17x–1 + 12 = 0
x–1 = y
6y2 – 17y + 12 = 0
y
y
’
"
3243
x–1 = 32
x = 23
x–1 = 43
x = 34
Soma: 23
+ 34
= 8 912
= 1712
c) 8x–2 – 6x–1 + 1 = 0x–1 = y
8y2 – 6y + 1 = 0
y
y
’
"
1412
x–1 = 14
x = 4
x–1 = 12
x = 2
Soma: 4 + 2 = 6
10.06) D2x4 – 5x2 + 3 = 0x2 = y
2y2 – 5y + 3 = 0 y
y
’
"
1
32
x2 = 1 x = 1
x2 = 32
x = 62
S = 1 62
,
10.07) CI. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Se x = 3, a expressão não é verda-
deira.II. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Se a = 1, |a – 3| = |1 – 3| = 2,
mas a – 3 = 1 – 3 = –2.
III. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. ( )1 2x = |1 – x|
10.08) A
x x23 32 – 15 = 0
x3 = y
y2 – 2y – 15 = 0 y
y
’
"
5
3
x3 = 5 x = 125
x3 = –3 x = –27Soma: 125 – 27 = 98
10.09) 4 1123 3x x – 20 = 0
x3 = y
4y2 – 11y – 20 = 0 y
y
’
"
4
54
x3 = 4 x = 64
x3 = 54
x = 12564
Gabarito
10 Matemática A
Produto: 12564
. 64 = –125
10.10) B
2 3 4 2 32
x x. + 3 = 0
2 3x = y
y2 – 4y + 3 = 0 y
y
’
"
3
1
2 3x = 3 2x – 3 = 9 x = 6
2 3x = 1 2x – 3 = 1 x = 2
S = {2, 6}
10.11) C|x|2 + |x| – 6 = 0|x| = y
y2 + y – 6 = 0 y
y
’
"
3
2
|x| = 2 x = 2|x| = –3 (impossível)S = { 2}
10.12) C|x|2 – 4|x| + 4 = 0|x| = y
y2 – 4y + 4 = 0 y
y
’
"
2
2
|x| = 2 x = 2
10.13) B|x|2 – 12|x| + 32 = 0|x| = y
y2 – 12y + 32 = 0 y
y
’
"
4
8
|x| = 4 x = 4|x| = 8 x = 8
10.14) E
x – 1 = x 11
(x – 1)2 = x 112
x2 – 2x + 1 = x + 11
x2 – 3x – 10 = 0 xx Não satisfaz a equação
’" ( .)== −
52
S = {5}
10.15) B
3 1 1 2 1x x
3 1 1 2 12 2
x x
3x + 1 = 1 + 2 2 1x + 2x – 1
x + 1 = 2 2 1x
(x + 1)2 = 2 2 12
x
x2 + 2x + 1 = 4 . (2x – 1)
x2 – 6x + 5 = 0 x
x
’
"
5
1
S = {1, 5}Produto: 1 . 5 = 5
10.16) x x x1 1 22 2
x + 1 + x 1 = 2x
x 1 = x – 1
x 12 = (x – 1)2
x + 1 = x2 – 2x + 10 = x2 – 3xx' = 0x" = 3Verificando na equação inicial, obtemos S = {3}.
10.17) B
x x x4 22 2
x – 4 2x = x
0 = 4 2x
4x – 2 = 0
x = 12
a + b = 1 + 2 = 3
10.18) x + 2 22x x = 0
2 22x x = –x
2 222
x x = (–x)2
2x2 + x – 2 = x2
x2 + x – 2 = 0 x
x
’
"
2
1
Verificando na equação inicial, obtemosS = {–2}.
10.19) C
x2 – 4 2x = 2
x2 – 2 = 4 2x
(x2 – 2)2 = 4 22
x
Gabarito
11Matemática A
x x x4 2 24 4 4x4 – 3x2 = 0x2 . (x2 – 3) = 0x2 = 0 x = 0
x2 – 3 = 0 x = 3Verificando na equação inicial, obtemos
S = { 3 }.
Soma: – 3 + 3 = 010.20) B
x y
x y y x5
13 13
x y2 = (5)2
x + 2 xy + y = 25
x + y + 2 xy = 25
13 + 2 xy = 25
2 xy = 12
xy = 6
( xy )2 = 62
xy = 36Note que temos um problema de soma e produto.
x y
x y
13
36.
Solução: {(4, 9); (9, 4)}
10.21) E
7x = 7x
7xx = (7x)x
7 = 72x
1 = x2
x = 1S = {–1, 1}
10.22) xx
xx
2
2
2 23
332
xx
xx
xx
xx
2 2
2 2
3 2 33 3
94
. .
xx
xx
2
2
3 23
94
Fazendo xx
2 3 = y, obtemos:
y – 2 + 1 94y
4 8 44
94
2y yy
yy
4y2 – 17y + 4 = 0 y
y
’
"
4
14
Retornando, temos:
xx
2 3 14
(Não satisfaz a equação inicial, pois teríamos
14
4 32
.)
xx
2 3 = 4
x2 + 3 = 4x
x2 – 4x + 3 = 0 x
x
’
"
3
1
S = {3, 1}
10.23) D
11
1 52x x
x x
11
1
11 5
2x x
x x
x xx x.
11
152
x xx x
x x
2 1 52
x
2 1 52
2 2
x
4 . (1 + x) = 254
16 + 16x = 2516x = 9
x = 916
S = 916
10.24) 3x2 – 4x + 3 4 62x x = 18
3x2 – 4x = y
y + y 6 = 18
y 6 = 18 – y
y 62 = (18 – y)2
y – 6 = 324 – 36y + y2
Gabarito
12 Matemática A
0 = y2 – 37y + 330y' = 22y" = 15Retornando, temos:3x2 – 4x = 22(Não satisfaz a equação inicial, pois teríamos
22 + 22 6 = 26.)
3x2 – 4x = 15
3x2 – 4x – 15 = 0 x
x
’
"
3
53
S = 53
3,
10.25) A
( )x x2 44 2 = |3x + 6|
x x2 24
2
2 = |3x + 6|
x x2 22 = |3x + 6|
|x2 + 2x| = |3x + 6|x2 + 2x = 3x + 6x2 – x – 6 = 0x' = 3x" = –2oux2 + 2x = –3x – 6x2 + 5x + 6 = 0x' = –2x" = –3S = {–3, –2, 3}Produto: (–3) . (–2) . (3) = 18
Aula 11
11.01) a)É função.b)Não é função, pois f(1) = 4 e f(1) = 6.c) É função.d)Não é função. Existe uma reta paralela ao eixo yyyyy
que corta o gráfico em 2 pontos.e) Não é função. Veja a justificativa anterior.f) É função.
11.02) Domínio: [–4, 8)Imagem: [–3, 5]
11.03) 2001. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta.
n(B x A) = n(B) . n(A) = 2 . 3 = 6n(B2) = n(B x B) = 2 . 2 = 4
02. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta.Se x = 5, então y = 11.Mas y = 11 B.
04. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.f(1) . f(2) . f(37) = 0 . f(2) . f(37) = 0
08. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta.Se f(0) = 2, então c = 2.f(1) = 3a + 4 + b + 2 = 3a + b = –3f(2) = 248a + 16 + 2b + 2 = 248a + 2b = 6
a b x
a b
3 2
8 2 6
( )
2 2 6
8 2 6
a b
a b
6a = 12a = 2b = –5f(x) = 2x3 + 4x2 – 5x + 2f(–1) = –2 + 4 + 5 + 2 = 9
16. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.6 – x 0–x –6x 6e15 – 3x 0x 5
32. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta.
f( 3 ) = 3 . ( 3 )2 – 2 = 7f(–2) = 3 – 2 . (–2) = 7
f 12
= 3 – 2 12
. = 2
E = 7 – 7 + 3 . 2 = 6
11.04) BR = {(x, y) A x B/xxxxx é divisor de yyyyy}x A; y BPares:(1, 2)(1, 8)(1, 9)(2, 2)(2, 8)(3, 9)(4, 8)
Gabarito
13Matemática A
11.05) Cx + y = 6x A; y BPares:(1, 5)(2, 4)
11.06) BA = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}B = {–1, 0, 1, 2, 3}x A; y Bx2 = (y – 1)2
Pares:(–2, 3)(–2, –1)(–1, 0)(–1, 2)(0, 1)(1, 0)(1, 2)(2, 3)(2, –1)Imagem: {–1, 0, 1, 2, 3}
11.07) DConceito de função.
11.08) Cf(x) = x2 – 3x + 2f(1) = 0 Bf(2) = 0 B
11.09) Af(x) = x – 1f(0) = –1f(1) = 0f(2) = 1Im = {–1, 0, 1}
11.10) DDefinição de função.Nas alternativas aaaaa, bbbbb, ccccc, eeeee, obtemos retas parale-las ao eixo yyyyy que cortam os gráficos em mais deum ponto.
11.11) ARetas paralelas ao eixo yyyyy cortam os gráficos emmais de um ponto.
11.12) AImagem = projeção no eixo yyyyyIm = [0, 4]
11.13) A2x2 + 5x – 3 0x' –3
x" 12
11.14) B
2 13
32
x
4x – 2 = –94x = –7
x = 74
11.15) Ea) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. O máximo ocorreu em outubro.b) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. 200 + 800 + 700 + 1200 + 700 +
1000 = 4600c) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. A diferença entre outubro e fevereiro
foi de 1200 – 100 = 1100.d) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Em fevereiro ocorreu o mínimo.e) CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.
J + A + S = 200 + 800 + 700 = 1700
11.16) f 12
= 14
– 12
+ 2 = 1 2 84
74
g(–1) = 6 + 35
335
f 12
+ 54
. g(–1) =
= 74
54
335
404
. = 10
11.17) E
f 12
116
14
12
1 =
=
1 41612
= 516
21
. = 58
11.18) C
f(36) = 50 . 36 = 300
f(49) = 50 . 49 = 350f(49) – f(36) = 50
11.19) Ea) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Se x = 6, y 2,2.b) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Se x = 6, y 2,2.c) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Se x = 1, y 1,2.d) IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Se x = 6, y 2,2.
11.20) a) f(–1) = 3–2 + k = 3 k = 5
b) f 52
2 52
. + 5 = 0
Gabarito
14 Matemática A
c) f(f(2)) = f(2 . 2 + 5)= f(9) = 2 . 9 + 5 = 23
11.21) B
f(2) = 2 44 4 1
= 6
f(–2) = 2 44 4 1
29
h(2) = f ff f
( ) ( )( ) . ( ) .
2 21 2 2
6 29
1 6 29
569
1 43
=
=
56973
569
37
83
8
3
.
11.22) f 12
= –4 . 12
+ 3 = 5
f(0) = –4 . 0 + 3 = 3f(3) = 3 + 5 = 8
f 12
+ f(0) + f(3) = 16
11.23) Cf(2) = 1
f( 2 ) = 0
f(2 – 2 2 ) = 0
f(2) + f( 2 ) – f(2 – 2 ) = 1 + 0 + 0 = 1
11.24) E
f(x) = 1 xx
q(x) = f x f xf x
( ) ( )( )
=
1 1
1
1 1
1
xx
xx
xx
xx
xx
xx
=
2
12
12
1x
xx
xx
x x.
11.25) f(x + 1) = 2f(x) – 15x = 0f(1) = 2 . f(0) – 1543 = 2 . f(0) – 1558 = 2 . f(0)f(0) = 29
Aula 12
12.01) AA = {2, 3, 4}B = {1, 2, 3, 4, 5}x Ay By = 2x – 3x = 2 y = 1x = 3 y = 3x = 4 y = 5Pares:(2, 1)(3, 3)(4, 5)
12.02) DA = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}x Ay Ay = 2x – 1Pares ordenados:(1, 1)
(2, 3)(3, 5)(4, 7)(5, 9)Domínio: {1, 2, 3, 4, 5}Imagem: {1, 3, 5, 7, 9}
12.03) CConceito de função – ver teoria.
12.04) CEm aaaaa, bbbbb, ddddd existem retas paralelas ao eixo yyyyy quetocam o gráfico em mais de um ponto.Em eeeee há elementos do domínio sem imagem.
12.05) DComo f(2) = 0, temos f(1) . f(2) . f(3) = 0.
12.06) h 12
= 7 – 12
= 132
g(4) = 16 + 8 – 1 = 23
Gabarito
15Matemática A
f(–1) = –3 + 5 = 2
4 12
4
1
4132
23
2
2. ( )
( )
.h g
f =
= 2 . 332
= –33
Em módulo: |–33| = 33
12.07) B
300150
xx
= 75
300x = 11250 – 75x375x = 11250x = 30
12.08) D
f(x) = x x
x x
,
,
8
2 1 7
834 – 5218f(8) = 8f(3) = 5f(4) = 7f(5) = 9f(2) = 3f(1) = 1f(8) = 8Novo número: 8579318
12.09) E(k, 3k)f(x) = x2 – 2x + kk2 – 2 . k + k = 3kk4 – 4k = 0
k . (k – 4) = 0 k
k
’
"
0
4
12.10) Af(x) = x2 + bx + cPar (0, 0): 0 + b . 0 + c = 0 c = 0Par (1, 2): 1 + b + c = 2 b = 1f(x) = x2 + x
f 23
49
23
4 69
29
12.11) Ef(–2) + f(2) + f(4) = 5 + 2 + 5 = 12
12.12) B
f(2) + 2f( 2 ) – 4 . f 12
=
= 4 + 2 . (1 – 2 ) – 4 14
. =
= 4 + 2 – 2 2 – 1 = 5 – 2 2
12.13) C
f( ) + 2 . f( 5 ) + f(–2) == 5 + 2 . (11) + (–5) = 22
12.14) E
Os dois triângulos formarão o retângulo:
cuja área é 2x2.
Área para pipas402 – 2x2 = 1600 – 2x2
12.15) BTirando 3%, restam 97%. Assim, o valor será de:
(97%) . x = 97100
. x = 0,97x
12.16) Bf(x + 3) = x2 + 2Para x = –4, obtemos:f(–4 + 3) = (–4)2 + 2f(–1) = 18
12.17) f(x + 2) = 2f(x) + f(1)f(3) = 6a) x = 1
f(1 + 2) = 2f(1) + f(1)f(3) = 3f(1)6 = 3f(1) f(1) = 2
b) x = 3f(3 + 2) = 2 . f(3) + f(1)f(5) = 2 . 6 + 2f(5) = 14
12.18) Bf(x) = x3
f x h f x hh
x h x hh
( ) ( ) ( ) ( )4 4
3 3 =
= x x h xh h x x h xh hh
3 2 2 3 3 2 2 33 3 3 34
( =
Gabarito
16 Matemática A
= 6 24
2 34
32
2 3 2 2 2 2x h hh
h x hh
x h( )
12.19) Df(a + b) = f(a) . f(b)Para a = b = 1, temos:f(1 + 1) = f(1) . f(1)f(2) = [f(1)]2
Para a = 2 e b = 1, temos:f(2 + 1) = f(2) . f(1)f(3) = [f(1)]2 . f(1)f(3) = [f(1)]3
12.20) Ef(n + 1) = n – 1Vamos trocar nnnnn por n – 2:f(n – 2 + 1) = n – 2 – 1f(n – 1) = n – 3
12.21) Df(2x + 3) = 3x + 2Queremos aplicar na função a expressão 3y + 2.Fazendo 2x + 3 = 3y + 2, temos:2x = 3y – 1
x = 3 12
y
Assim, f(3y + 2) = 3 . 3 12
y + 2 =
= 9 32
y + 2 = 9 3 42
y = 9 12
y = 92y +
12
12.22) Cg(x) = 2x + 3g(1) + g(2) + ... + g(30)= 5 + 7 + ... + 63
Sn = ( )a a nn1
2 =
= ( ) .5 63 302
= 1020
12.23) Bf(n + 1) = f(n) + 2f(0) = 1
n = 0 f(0 + 1) = f(0) + 2
f(1) = 3n = 1 f(1 + 1) = f(1) + 2 f(2) = 5
Assim:f(200) = a200 = a1 + 199r = 3 + 199 . 2 = 401
12.24) D
f(n + 1) = 2 12
f n( )
f(1) = 2
n = 1 f(1 + 1) = 2 1 12
f( )
f(2) = 52
= 2,5
n = 2 f(2 + 1) = 2 2 12
f( )
f(3) = 3
P. A. (2; 2,5; 3;...)
f(1), f(2), ...
f(101) = a101 = a1 + 100r = 2 + 100 . (0,5) = 52
12.25) x0 = 20
= 12
f(x) = x2
x1 = f(x0) = f(20) = 10x2 = f(x1) = f(10) = 5
x3 = f(x2) = f(5) = 52
�x0 + x1 + x2 + ...= 20 + 10 + 5 + ...
S = aq
1
120
1 12
2012
= 40
12.26) Ef(x) = g(x)
x x2 2 1 = x – 1
( )x 12 = x – 1
|x – 1| = x – 1Isso ocorre somente quando x – 1 0, isto é, x 1.Assim, se f = g, então D = [1, + ).