Curso de Matemática Aplicada - MCC03Algebra Linear

Iniciado em 03 de Agosto de 2017Notas de aula e trabalhosMárcio Vital de Arruda

Versão 26 de setembro de 2017

1

Sumário

1 Sistemas de Equações Lineares 41.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Exemplo de um Sistema 2 x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Exemplo de um Sistema 2 x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Exemplo de um Sistema 3 x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Representação Gráfica de um Sistema Linear 2 x 2 . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Forma Matricial de um Sistema de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Exemplo práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Métodos de resolução de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Métodos diretos - Operações elementares sobre matrizes . . . . . . . . . 111.5.2 Métodos diretos - Eliminação de Gauss sem troca de linha . . . . . . . . 14

1.5.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2.2 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3 Métodos diretos - Eliminação de Gauss com troca de linha . . . . . . . . 191.5.4 Métodos diretos - Fatoração ou decomposição LU . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.4.1 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.4.2 Exercício - Decomposição de Doolittle . . . . . . . . . . . . . . 241.5.4.3 Exercício - Decomposição de Doolittle . . . . . . . . . . . . . . 241.5.4.4 Exercício - Decomposição de Crout . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.4.5 Exercício - Decomposição de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . 271.5.4.6 Generalização - Sistemas triangulares inferiores . . . . . . . . . 281.5.4.7 Generalização - Sistemas triangulares superiores . . . . . . . . . 291.5.4.8 Generalização - Decomposição de Doolittle . . . . . . . . . . . . 301.5.4.9 Generalização - Decomposição de Crout . . . . . . . . . . . . . 321.5.4.10 Generalização - Decomposição de Cholesky . . . . . . . . . . . 32

1.5.5 Métodos diretos - Sistemas subdeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.5.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A Algebra Matricial 38A.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.2 Multiplicação por um escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.3 Soma de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

A.4 Subtração de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.5 Matriz Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.6 Inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

B Programas utilizados neste documento em Scilab/Matlab 40B.1 Representação gráfica do sistema de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40B.2 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41B.3 Verificação da matriz L 3x3 do método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . 41B.4 Gauss sem troca de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41B.5 Gauss com pivotamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42B.6 Programa método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43B.7 Programa método de Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45B.8 Programa método de Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47B.9 Armazenamento Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

Capítulo 1

Sistemas de Equações Lineares

1.1 Equações LinearesEquações lineares são todas as equações do tipo:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . .+ an−1xn−1 + anxn = b1 (1.1)

Onde an são os coeficientes de números reais e xn são as variáveis.

1.2 Sistemas de Equações LinearesUm sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares como descrito na

Equação 1.1. Em outras palavras é um sistema de “m” equações e “n” incógnitas e pode serescrito como:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2 (1.2)am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

Com aij, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.A solução de um sistema m × n é uma n-upla ordenada de números(x1, x2, · · · , xn) que

satisfaz todas as equações.

1.2.1 Exemplo de um Sistema 2 x 2

x1 + 2x2 = 52x1 + 3x2 = 8

Cuja solução é: (x1, x2) = (1, 2)

4

1.2.2 Exemplo de um Sistema 2 x 3

x1 − x2 + x3 = 22x1 + x2 − x3 = 4

Cuja solução é: (x1, x2, x3) = (2, 0, 0). Porém é fácil perceber que qualquer número realpara x2 e x3 desde que x2 = x3 também será solução.

Por exemplo, o conjunto de soluções (2,1,1) satisfaz este sistema de equações

1.(2)− 1.(1) + 1.(1) = 22.(2) + 1.(1)− 1.(1) = 4

Neste caso, o sistema tem n soluções possíveis desde que o conjunto de soluções (x1, x2, x3) =(2, α, α) onde α ∈ R

1.2.3 Exemplo de um Sistema 3 x 2

x1 + x2 = 2x1 − x2 = 1

x1 = 4

Cujo sistema não tem nenhuma solução.

1.2.4 Representação Gráfica de um Sistema Linear 2 x 2Vamos analisar graficamente um sistema do tipo 2× 2:

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Cuja solução é do um par ordenado (x1, x2). Assim, vamos utilizar o sistema cartesianopara este sistema, cujo x1 é a abscissa e x2 a ordenada.

Como exemplo, tomamos os seguintes sistemas lineares:Caso:

x1 + x2 = 2x1 − x2 = 2 (1.3)

5

O sistema possui uma única solução.

Caso:

x1 + x2 = 2x1 + x2 = 1 (1.4)

6

O sistema não possui solução.

Caso:

x1 + x2 = 2−x1 − x2 = −2 (1.5)

7

O sistema possui várias soluções.

1.3 Forma Matricial de um Sistema de Equações Linea-res

Podemos escrever um sistema de equações, Equação 1.2, da seguinte forma:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

a31 a32 · · · a3n... ... . . . ...am1 am2 · · · amn

∗

x1x2x3...xn

=

b1b2b3...bm

(1.6)

Ou ainda [A]

m×n={x}

n×1∗{b}

m×1(1.7)

Onde [A] é a matriz de coeficientes, {x} é o vetor de incógnitas e {b} é o vetor dos termosindependentes.

Se o número de equações de um sistema for igual ao número de incógnitas temos um sistemaquadrado com a matriz de incógnitas [A] quadrada.

8

A solução formal de um sistema utilizando matrizes é:

{x}

=(A)−1 {

b}

Para grandes sistemas a solução formal é inviável pois (gera muita conta) gera propagaçãode erro e muito tempo de máquina.

Para que um sistema tenha solução o determinante da matriz de coeficientes deve ser dife-rente de zero:

det[A]

m×n6= 0 (1.8)

Quando o determinante for nulo, existem duas possibilidades:

• Infinitas soluções, ou

• não existe solução

1.4 Exemplo práticos

1.4.1 Exemplo 1Seja o sistema linear:

2x1 + x2 = 5 (R1) (1.9)x1 − 3x2 = 6 (R2) (1.10)

Na sua forma matricial temos:

[2 11 −3

] [x1x2

]=[

56

](1.11)

Calculando o determinante da matriz de coeficientes, temos:

det

[2 11 −3

]= 2 ∗ (−3)− 1 ∗ 1 = −7 6= 0 (1.12)

Logo o sistema possui uma única solução.Calculando os pontos para R1 e R2, respectivamente:

x1 x20 51 3

x1 x20 -26 0

9

Finalmente calculando o conjunto de solução do sistema, isolando x2 em (1.9):

2x1 + x2 = 5x2 = 5− 2x1 (1.13)

Substituindo em (1.10):

x1 − 3 ∗ (5− 2x1) = 6x1 − 15 + 6x1 = 6

7x1 = 21x1 = 3 (1.14)

Substituindo x1 em (1.13) temos:

x2 = 5− 2 ∗ 3x2 = −1 (1.15)

Graficamente, temos:

10

1.4.2 Exemplo 2Seja o sistema linear:

2x1 + x2 = 5 (R1) (1.16)6x1 + 3x2 = 10 (R2) (1.17)

Na sua forma matricial temos:

[2 16 3

] [x1x2

]=[

510

](1.18)

Calculando o determinante da matriz de coeficientes, temos:

det[

2 16 3

]= 2 ∗ 3− 6 ∗ 1 = 0 (1.19)

Logo o sistema não possui solução.

1.5 Métodos de resolução de sistemas linearesExistem dois métodos para resolução de sistemas lineares:

• Métodos diretos: São métodos que conduzem à solução exata a menos de erros de arre-dondamento introduzidos pela máquina

• Métodos indiretos: São métodos interativos que necessitam de convergência para se obtera solução dentro de um critério de parada, por exemplo:

– Método de Jacobi– Método de Gauss-Seidel– Gradiente conjugado

1.5.1 Métodos diretos - Operações elementares sobre matrizesPara entendermos os métodos diretos, vamos entender as operações elementares sobre as

linhas de uma matriz.Dado o sistema de equações:

3x1 + 5x2 + 2x3 = 88x2 + 2x3 = −7 (1.20)

6x3 = 3 (1.21)

11

É fácil notar que pode-se obter o conjunto solução fácilmente. Tal sistema é denominadosistema de equações triangular e também quadrada de 3x3.

Logo, pela equação (1.21) x3 = 12 , por sua vez substituindo x3 na equação (1.20) obtemos

x2 = −7−18 = −8

8 = −1. Finalmente, obtem-se x1 substituindo os valores de x3 e x2, logo:

3x1 + 5 ∗ (−1) + 2 ∗ 12 = 8

3x1 − 5 + 1 = 83x1 = 8 + 4

x1 = 123

x1 = 4 (1.22)

Agora, analisando o seguinte sistema de equações:

x1 + x3 = 0x1 + x2 = 1

2x1 + 3x2 + x3 = 0 (1.23)

Podemos ver que a solução não é trivial como um sistema triangular.

Definição 1 Sistemas Equivalentes são sistemas que possuem o mesmo conjunto de solu-ções

Trataremos o sistema (1.23) de tal forma a obtermos um sistema equivalente na sua formatriangular de fácil resolução.

Logo, escrevendo o sistema (1.23) em sua forma matricial:

1 0 11 1 02 3 1

x1x2x3

=

010

(1.24)

Agregando o vetor de termos independentes a matriz de coeficientes obtem-se uma novamatriz denominada matriz aumentada que facilita o trabalho.

1 0 1 01 1 0 12 3 1 0

(1.25)

Definição 2 Operações Elementares sobre as LinhasI. Trocar duas linhas.II. Multiplicar uma linha por um número real não-nuloIII. Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de outra linha

12

Agora vamos resolver o problema usando as operações elementares sobre as linha da matrizaumentada. Assim, mantendo a primeira linha como linha do pivô e o primeiro elemento dalinha como pivô conforme abaixo:

1 0 1 01 1 0 12 3 1 0

(1.26)

E aplicando a operação elementar III, ou seja subtraindo uma vez a segunda linha daprimeira e subtraindo duas vezes a terceira da primeira temos:

1 0 1 00 1 −1 10 3 −1 0

(1.27)

Agora queremos eliminar o segundo termos da terceira linha assim a linha de pivô agora éa segunda linha da matriz extendida e o pivô o segundo termo desta matriz conforme abaixo:

1 0 1 00 1 −1 10 3 −1 0

(1.28)

Aplicando novamente a operação III subtraindo três vezes a linha 3 da segunda, temos:

1 0 1 00 1 −1 10 0 2 −3

(1.29)

Assim o sistema equivalente do nosso sistema de equações (1.23) é:

x1 + x3 = 0x2 − x3 = 1

2x3 = −3 (1.30)

Agora bem mais fácil de obter-se o conjunto solução.

Observação O método da eliminação de Gauss nada mais que uma generalização da destasequência de resolução por operações elementares sobre as linha de uma matriz.

13

1.5.2 Métodos diretos - Eliminação de Gauss sem troca de linhaAssim, seja A = A(1) = (a(1)

ij ) uma matriz invertível e vamos utilizar apenas a operaçãoelementar III sobre as linhas.

A(1) =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n... ... . . . ...an1 an2 . . . ann

(1.31)

Utilizando a11 como pivô vamos zerar os elementos da primeira coluna abaixo do pivô,assim o novo coeficiente a(2)

21 deve ser a subtração do elemento a(1)21 por um número qualquer

multiplicado pelo coeficiente a(1)11 , logo:

a(2)21 = a

(1)21 −m ∗ a

(1)11 (1.32)

Este novo coeficiente deve necessariamente ser zero, logo:

a(1)21 −m ∗ a

(1)11 = 0⇒ m = a

(1)21

a(1)11

(1.33)

Onde a(1)11 6= 0.

Generalizando o número multiplicador para a primeira interação, temos:

mk1 = a(1)21

a(1)11

(1.34)

E a expressão (1.32):

a(2)kj = a

(1)kj −mk1 ∗ a(1)

1j (1.35)

Para 2 ≤ k ≤ n e 1 ≤ j ≤ n. Agora a nova matriz possui os novos coeficientes abaixo:

A(2) =

a

(1)11 a

(1)12 . . . a

(1)1n

0 a(2)22 . . . a

(2)2n

... ... . . . ...0 a

(2)n2 . . . a(2)

nn

(1.36)

Agora é só repetir o processo colocando pivô em a(2)22

Vamos agora raciocinar em linha. Ou seja, dada a matriz de coeficientes extendida (com ostermos intependentes bi):

14

A(k) =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2... ... . . . ... ...an1 an2 . . . ann bn

(1.37)

Definindo linha como l1 = [a11 a12 . . . a1n b1], l1 = [a21 a22 . . . a2n b2], . . . eln = [an1 an2 . . . ann bn]

Escreveremos o método de Gauss da seguinte forma:

lk+1i = lki −mikl

kk (1.38)

Com li - linha i e k - interação. Lembrando que mik = aik

akke akk 6= 0 é o pivô.

1.5.2.1 Exemplo

Agora vamos resolver o sistema de equação (1.23) pelo método de Gauss sem troca de linha.

1 0 1 01 1 0 12 3 1 0

(1)

(1.39)

l11 = [1 0 1 0]l12 = [1 1 0 1]l13 = [2 3 1 0]

Utilizando a(1)11 como pivô temos, para k=1 e i=2:

mik = aik

akk

m21 = 11

m21 = 1(1.40)

Para k=1, i=3:

m31 = a31

a11

m31 = 21

m31 = 2(1.41)

15

De acordo com (1.38) para a linha dois, temos:

l22 = l12 −m21 ∗ l11= [1 1 0 1]− 1 ∗ [1 0 1 0]= [0 1 − 1 1]

Para a linha 3 temos:

l23 = l13 −m31 ∗ l11= [2 3 1 0]− 2 ∗ [1 0 1 0]= [0 3 − 1 0]

A nova matriz então será:

1 0 1 00 1 −1 10 3 −1 0

(2)

(1.42)

E agora temos:

l11 = [1 0 1 0]l22 = [0 1 − 1 1]l23 = [0 3 − 1 0]

Com o nosso pivô em a(2)22 , temos para k=2 e i=3 temos:

mik = aik

akk

m32 = a32

a22

m32 = 31 = 3

(1.43)

Assim a ultima linha fica:

l33 = l23 −m32 ∗ l22= [0 3 − 1 0]− 3 ∗ [0 1 − 1 1]= [0 0 − 2 − 3]

Consequentemente teremos:

16

l11 = [1 0 1 0]l22 = [0 1 − 1 1]l33 = [0 0 − 2 3]

Logo nossa nova matriz extendida equivalente a nossa matriz inicial é:

1 0 1 00 1 −1 10 0 2 −3

(3)

(1.44)

E o nosso sistema de equação linear torna-se:

x1 + x3 = 0x2 − x3 = 1

2x3 = −3 (1.45)

E podemos facilmente obter o conjunt solução.

1.5.2.2 Exercício

Resolva o seguinte sistema de equações lineares pelo método de Gauss sem troca de linha.

3x1 − 4x2 + 5x3 = −1−3x1 + 2x2 + x3 = 1

6x1 + 8x2 − x3 = 35

Escrevendo o sistema na forma matricial extendida utilizando a11 como pivô, temos:

3 −4 5 −1−3 2 1 16 8 −1 35

(1)

E nossas linhas são:

l11 =[

3 −4 5 −1]

l12 =[−3 2 1 1

]l13 =

[6 8 −1 35

]Lembrando lk+1

i = lki −miklkk onde mik = aik

akk

17

Para k=1, i=2:

l22 = l12 −a21

a11l11

=[

3 2 1 1]−(−3

3

) [3 −4 5 −1

]=[

3 2 1 1]− (−1)

[3 −4 5 −1

]=[

3 2 1 1]

+[

3 −4 5 −1]

l22 =[

0 −2 6 0]

Para k=1, i=3:

l23 = l13 −a31

a11l11

=[

6 8 −1 35]−(6

3

) [3 −4 5 −1

]=[

6 8 −1 35]− (2)

[3 −4 5 −1

]=[

6 8 −1 35]−[

6 −8 10 −2]

l23 =[

0 16 −11 37]

A nova matriz então torna-se:

3 −4 5 −10 -2 6 00 16 −11 37

(2)

Agora com o pivô em a22. Assim, para k=2,i=3:

l33 = l23 −a32

a22l22

=[

0 16 −11 37]−( 16−2

) [0 −2 6 0

]=[

0 16 −11 37]

+ (8)[

0 −2 6 0]

=[

0 16 −11 37]

+[

0 −16 48 0]

l33 =[

0 0 37 37]

A nova matriz então torna-se:

3 −4 5 −10 −2 6 00 0 37 37

(3)

18

E nosso sistema de equações lineares equivalente é:

3x1 − 4x2 + 5x3 = −1−2x2 + 6x3 = 0

37x3 = 37

1.5.3 Métodos diretos - Eliminação de Gauss com troca de linhaO princípio básico desta metodologia é utilizar duas operações elementares, a troca de linha

I e a operação elementar III que já utilizamos para descrever o método de Gauss sem troca delinha.

Utilizaremos como exemplo o mesmo sistema de equações do exercício 1.5.2.2,

3x1 − 4x2 + 5x3 = −1−3x1 + 2x2 + x3 = 1

6x1 + 8x2 − x3 = 35

A troca de linha denominada pivoteamento parcial consiste em selecionar o maior valorabsoluto da coluna que será eliminada, lembrando sempre que o pivô segue na diagonal principal,assim de acordo com nossa matriz extendida

3 −4 5 −1−3 2 1 16 8 −1 35

(1)

O maior valor absoluto da primeira coluna é 6 assim, reordenando temos:

6x1 + 8x2 − x3 = 35−3x1 + 2x2 + x3 = 13x1 − 4x2 + 5x3 = −1

E

l11 =[

6 8 −1 35]

l12 =[−3 2 1 1

]l13 =

[3 −4 5 −1

]Lembrando lk+1

i = lki −miklkk onde mik = aik

akk

Para k=1, i=2:

19

l22 = l12 −a21

a11l11

=[−3 2 1 1

]−(−3

6

) [6 8 −1 35

]=[−3 2 1 1

]+(1

2

) [6 8 −1 35

]=[−3 2 1 1

]+[

3 4 −12

352

]l22 =

[0 6 1

2372

]Para k=1, i=3:

l23 = l13 −a31

a11l11

=[

3 −4 5 −1]−(3

6

) [6 8 −1 35

]=[

3 −4 5 −1]−(1

2

) [6 8 −1 35

]=[

3 −4 5 −1]−[

3 4 −12

352

]l23 =

[0 −8 11

2 −372

]Nossa nova matriz então:

6 8 −1 350 6 1

2372

0 −8 112 −37

2

(2)

Aplicando o critério de seleção de linha pivô agora nas linhas 2 e 3 vemos que a linha 3 temo maior valor absoluto logo:

6 8 −1 350 −8 11

2 −372

0 6 12

372

(2)

Para k=2 e i=3 temos:

l33 = l23 −a32

a22l22

=[

0 6 12

372

]−( 6−8

) [0 −8 11

2372

]=[

0 6 12

372

]+(3

4

) [0 −8 11

2372

]=[

0 6 12

372

]−[

0 −6 338 −111

8

]l33 =

[0 0 37

8378

]

20

E nossa matriz final torna-se:

6 8 −1 350 6 1

2372

0 0 378

378

(3)

1.5.4 Métodos diretos - Fatoração ou decomposição LUConsidere um sistema linear m× n com n variáveis x1, x2, ..., xn:

Ax = b

Onde [A] = [ajk]n×n, xT = [x1, x2, ..., xn] e bT = [b1, b2, ..., bn]Podemos definir a matriz [A] como um produto de duas matrizes:

[A] = [L] . [U ]

Com:

• [L] - matriz triangular inferior

[L] =

l11 0 . . . 0l21 l22 . . . 0... ... . . . 0ln1 ln2 . . . lnn

• [U ] - matriz triangular superior

[U ] =

u11 u12 . . . u1n

0 u22 . . . u2n... ... . . . ...0 0 . . . unn

1.5.4.1 Exemplo 3

Encontre as matrizes L e U da matriz seguinte matriz[

2 38 5

].

Definindo as matrizes LU e multiplicando L× U temos:

21

[2 38 5

]=[l11 0l21 l22

] [u11 u120 u22

]

=[l11.u11 + 0.0 l11.u12 + 0.u22l21.u11 + l22.0 l21.u12 + l22.u22

]

=[l11.u11 l11.u12l21.u11 l21.u12 + l22.u22

]

Igualando os termos temos:

l11.u11 = 2l11.u12 = 3l21.u11 = 8

l21.u12 + l22.u22 = 5

Que é um sistema de 4 equações e 5 variáveis, e para resolver isto se a matriz [A] é nãosimétrica, ou seja [A] 6= [A]T , temos:

1. Decomposição de Doolittle

[A] = [L] . [U ]

Com

[L] =

1 0 . . . 0l21 1 . . . 0... ... . . . ...ln1 ln2 . . . 1

lij = 0; i < jlij = 1; i = j

e

[U ] =

u11 u12 . . . u1n

0 u22 . . . u2n... ... . . . ...0 0 . . . unn

uij = 0; i > j

2. Decomposição de Crout

[A] = [L] . [U ]

22

Com

[L] =

l11 0 . . . 0l21 l22 . . . 0... ... . . . ...ln1 ln2 . . . lnn

lij = 0; i < j

e

[U ] =

1 u12 . . . u1n

0 1 . . . u2n... ... . . . ...0 0 . . . 1

uij = 0; i > juij = 1; i = j

Caso [A] seja simétrica, ou seja [A] = [A]T temos:

1. Decomposição de Cholesky

[A] = [L][L]T

=

l11 0 . . . 0l21 l22 . . . 0... ... . . . 0ln1 ln2 . . . lnn

l11 l21 . . . ln10 l22 . . . ln2... ... . . . ...0 0 . . . lnn

2. Decomposição de Gauss

[A] = [U ]T [D][U ]

Onde

[U ] = (uij)n tal que uij = 1; i = j

[L] = (lij)n tal que lij = 1; i = j

[D] =

d11 0 0 . . . 00 d22 0 . . . 00 0 d33 . . . 0... ... . . . ...0 0 0 . . . dnn

Matriz Diagonal

Agora, voltando ao nosso problema inicial [A]{x} = {b} aplicando a decomposição [A] = [L][U ]temos:

23

[L][U ]{x} = {b}

Fazendo: [U ]{x} = {y} – Sistema Triangular SuperiorLogo: [L]{y} = {b} – Sistema Triangular Inferior

1.5.4.2 Exercício - Decomposição de Doolittle

Vamos resolver a matriz proposta no exemplo por decomposição de Doolittle

[2 38 5

]=[

1 0l21 1

] [u11 u120 u22

]

=[

1.u11 + 0.0 1.u12 + 0.u22l21.u11 + 1.0 l21.u12 + 1.u22

]

=[

u11 u12l21.u11 l21.u12 + u22

]

Igualando os termos temos:

u11 = 2u12 = 3

l21.u11 = 8⇒ l21 = 82 = 4

l21.u12 + u22 = 5⇒ 4.3 + u22 = 5⇒ u22 = −7

E nossa matriz [A] pode ser escrita como o seguinte produto:

[2 38 5

]=[

1 04 1

] [2 30 −7

]

1.5.4.3 Exercício - Decomposição de Doolittle

Resolva o sistema de equações lineares abaixo pelo método da decomposição de Doolittle

3x1 + 5x2 + 2x3 = 08x2 + 2x3 = −7

6x1 + 2x2 + 8x3 = 26

24

Primeiramente vamos obter as matrizes L e U pela decomposição de Doolittle, assim:

A =

3 5 20 8 26 2 8

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

u11 u12 u13

0 u22 u230 0 u33

=

u11 u12 u13l12.u11 l21.u12 + u22 l21.u13 + u23l31.u11 l31.u12 + l32.u22 l31.u13 + l32.u23 + u33

Assim, igualando os termos temos:

u11 = 3u12 = 5u13 = 2

l21u11 = 0⇒ l21 = 0l21u12 + u22 = 8⇒ 0 + u22 = 8⇒ u22 = 8l21.u13 + u23 = 2⇒ 0 + u23 = 2⇒ u23 = 2

l31.u11 = 6⇒ l31.3 = 6⇒ l31 = 63 = 2

l31.u12 + l32.u22 = 2⇒ 2.5 + l32.8 = 2⇒ 8l32 = 2− 10⇒ l32 = −88 = −1

l31.u13 + l32.u23 + u33 = 8⇒ 2.2 + (−1).2 + u33 = 8⇒ 4− 2 + u33 = 8⇒ u33 = 8 + 2− 4 = 6

Assim nossa matriz [A] pode ser decomposta em:

[A] = [L][U ]→

3 5 20 8 26 2 8

=

1 0 00 1 02 −1 1

3 5 2

0 8 20 0 6

Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b temos:

1 0 00 1 02 −1 1

y1y2y3

=

8−726

⇒ y1 = 8y2 = −7

2.8− (−7) + y3 = 26→ y3 = 3

Resolvendo o sistema triangular superior Ux = y temos:

3 5 20 8 20 0 6

x1x2x3

=

8−73

⇒ x3 = 36 = 1

28x2 + 2

(12

)= −7⇒ x2 = −7−1

8 = −13x1 + 5(−1) + 2

(12

)= 8⇒ x1 = 12

3 = 4

25

1.5.4.4 Exercício - Decomposição de Crout

Resolva o sistema de equações lineares abaixo pelo método da decomposição de Crout

3x1 + 5x2 + 2x3 = 08x2 + 2x3 = −7

6x1 + 2x2 + 8x3 = 26

Vamos encontrar as matrizes [L] e [U ]

A =

3 5 20 8 26 2 8

=

l11 0 0l21 l22 0l31 l32 l33

1 u12 u13

0 1 u230 0 1

=

l11 l11u12 l11u13l21 l21u12 + l22 l21u13 + l22u23l31 l31u12 + l32 l31u13 + l32u23 + l33

Igualando os termos temos:

l11 = 3l21 = 0l31 = 6

u12 = 5l11

= 53

u13 = 2l11

= 23

l22 = 8− l21U12 = 8− 0.53 = 8

u23 = 2− l21u13

l22=

2− 023

8 = 14

l32 = 2− l31u12 = 2− 653 = −8

l33 = 8− l31u13 − l32u23 = 8− 623 − (−8)1

4 = 6

Logo:

A =

3 0 00 8 06 −8 6

1 5/3 2/3

0 1 1/40 0 1

Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b temos:

26

3 0 00 8 06 −8 6

y1y2y3

=

8−726

⇒ y1 = 8/3y2 = −7/8

6(

83

)− 8

(−78

)+ 6y3 = 26→ y3 = 1

2

Resolvendo o sistema triangular superior Ux = y temos:

1 5/3 2/30 1 1/40 0 1

x1x2x3

=

8/3−7/81/2

⇒ x3 = 12

x2 + 14

(12

)= −7

8 ⇒ x2 = −1x1 − 5

3(−1) + 23

(12

)= 8

3 ⇒ x1 = 123 = 4

1.5.4.5 Exercício - Decomposição de Cholesky

Decomponha a matriz 3x3 abaixo pelo método de Cholesky

A =

4 2 142 17 −514 −5 83

A condição inicial para o método de Cholesky é que a matriz seja simétrica, ou seja A = AT ,

e podemos facilmente verificar esta condição.Agora vamos aplicar a decomposição de Cholesky para uma matriz 3x3:

4 2 142 17 −514 −5 83

=

l11 0 0l21 l22 0l31 l23 l33

l11 l21 l31

0 l22 l320 0 l33

=

l211 l11l21 l11l31l21l11 l221 + l222 l21l31 + l22l32l31l11 l31l21 + l32l22 l231 + l232 + l233

Igualando ambos os termos temos:

l211 = 4⇒ l11 =√

4 = 2

l11l21 = 2⇒ l21 = 22 = 1

l11l31 = 14⇒ l31 = 142 = 7

l221 + l222 = 17⇒ l22 =√

17− 12 = 4

l21l31 + l22l32 = −5⇒ l32 = (−5− 1× 7)4 = −3

l231 + l232 + l233 = 83⇒ l33 =√

83− (−3)2 − (7)2 = 5

27

Logo nossa matriz L é:

L =

2 0 01 4 07 −3 5

Para verificar se a matriz está correta basta fazer a operação [L][L]T = [A].

1.5.4.6 Generalização - Sistemas triangulares inferiores

Descreveremos a resolução de sistemas triangulares inferiores

Dado o sistema [L]{y} = {b} de ordem n, vamos realizar a multiplicação matricial:

l11 0 0 . . . 0l21 l22 0 . . . 0l31 l32 l33 . . . 0... ... ... . . . ...ln1 ln2 ln3 . . . lnn

y1y2y3...yn

=

b1b2b3...bn

Temos:

l11y1 = b1 ⇒ y1 = b1

l11

l21y1 + l22y2 = b2 ⇒ y2 = b2 − l21y1

l22

l31y1 + l32y2 + l33y3 = b3 ⇒ y3 = b3 − l31y1 − l32y2

l33

Seguindo o raciocínio temos:

y4 = b4 − l41y1 − l42y2 − l43y3

l44

y5 = b5 − l51y1 − l52y2 − l53y3 − l54y4

l55

yn = bn − ln1y1 − ln2y2 − ln3y3 − ln4y4 − . . .− ln(n−1)y(n−1)

lnn

Logo, fazendo i = n e n − 1 = m podemos escrever o conjunto de soluções da seguintemaneira:

28

y1 = b1

l11

yi =

(bi −

i−1∑m=1

limym

)lii

para i = 2, . . . , n

Com lii 6= 0; lij = 0 para i < j; 1 ≤ i, j ≤ n.

1.5.4.7 Generalização - Sistemas triangulares superiores

Descreveremos a resolução de sistemas triangulares superiores

Dado o sistema [U ]{x} = {y} de ordem n:

u11 . . . u1(n−2) u1(n−1) u1n... . . . ... ... ...0 . . . u(n−2)(n−2) u(n−2)(n−1) u(n−2)n0 . . . 0 u(n−1)(n−1) u(n−1)n0 . . . 0 0 unn

x1...

x(n−2)x(n−1)xn

=

y1...

y(n−2)y(n−1)yn

Vamos realizar a multiplicação matricial e igualando os termos temos:

unnxx = yn ⇒ xn = yn

unn

u(n−1)(n−1)x(n−1) + u(n−1)nxn = y(n−1) ⇒ x(n−1) = (y(n−1) − u(n−1)nxn)u(n−1)(n−1)

u(n−2)(n−2)x(n−2) + u(n−2)(n−1)x(n−1) + u(n−2)nxn = y(n−2)

⇒ x(n−2) = (y(n−2) − u(n−2)nxn − u(n−2)(n−1)x(n−1))u(n−2)(n−2)

Assim:Dado [U ]{x} = {y} com uii 6= 0; uij = 0, i > j e 1 ≤ i, j ≤ nTemos:

xn = yn

unn

xi =

yi −n∑

j=i+1uijxj

uii

para i = n− 1, n− 2, . . . , 1

29

1.5.4.8 Generalização - Decomposição de Doolittle

A decomposição de Doolittle possui a forma [A] = [L][U ] com lii = 1. Escrevendo para ntermos temos:

a11 a12 a13 a14 . . . a1n

a21 a22 a23 a24 . . . a2n

a31 a32 a33 a34 . . . a3n

a41 a42 a43 a44 . . . a4n

......

......

. . ....

an1 an2 an3 an4 . . . ann

=

1 0 0 0 0 0l21 1 0 0 0 0l31 l32 1 0 0 0l41 l42 l43 1 0 0...

......

.... . .

...ln1 ln2 ln3 ln4 . . . 1

u11 u12 u13 u14 . . . u1n

0 u22 u23 u24 . . . u2n

0 0 u33 u34 . . . u3n

0 0 0 u44 . . . u4n

......

......

. . ....

0 0 0 0 . . . unn

→ 1a linha de [A]: a1j (manter a primeira linha de [L] e variar a coluna de [U ])

a11 = u11a12 = u12a13 = u13a14 = u14... ...a1n = u1n

⇒ u1n = a1n

u1j = a1jpara j = 1, . . . , n

→ 1a coluna de [A]: ai1, para i = 2, . . . , n (manter a primeira coluna de [U ] e variar a partirda segunda linha de [L])

a21 = l21u11a31 = l31u11a41 = l41u11... ...an1 = ln1u11

⇒ln1 = an1

u11

li1 = ai1u11

para i = 2, . . . , n

→ 2a linha de [A]: a2j para j = 2, . . . , n (manter a segunda linha de [L] e variar a partir dasegunda coluna de [U ])

a22 = l21u12 + u22a23 = l21u13 + u23a24 = l21u14 + u24... ...a2n = l21u1n + u2n

⇒ u2n = a2n − l21u1n

u2j = a2j − l21u1jpara j = 2, . . . , n

→ 2a coluna de [A]: ai2, para i = 3, . . . , n (manter a segunda coluna de [U ] e variar a partir daterceira linha de [L])

30

a32 = l31u12 + l32u22a42 = l41u12 + l42u22... ...an2 = ln1u12 + ln2u22

⇒ln2 = an2−ln1u12

u22

li2 = ai2−li1u12u22

para i = 3, . . . , n

→ 3a linha de [A]: a3j para j = 3, . . . , n (manter a terceira linha de [L] e variar a partir daterceira coluna de [U ])

a33 = l31u13 + l32u23 + u33a34 = l31u14 + l32u24 + u34... ...a3n = l31u1n + l32u2n + u3n

⇒ u3n = a3n − l31u1n − l32u2n

u3j = a3j − l31u1j − l32u2jpara j = 3, . . . , n

→ 3a coluna de [A]: ai3, para i = 4, . . . , n (manter a terceira coluna de [U ] e variar a partir daquarta linha de [L])

a43 = l41u13 + l42u23 + l43u33... ...an3 = ln1u13 + ln2u23 + ln3u33

⇒ln3 = an3−ln1u13−ln2u23

u33

li3 = ai3−li1u13−lj2u23u33

para i = 4, . . . , n

Assim temos:

1a linha : u1j = a1j j = 1, . . . , n

1a coluna : li1 = ai1u11

i = 2, . . . , n

k − esima linha : linha : ukj = akj −k−1∑m=1

lkmumj k = 2, . . . , n

j = k, k + 1, . . . , n

k − esima coluna : lik =

aik−k−1∑m=1

limumk

ukk

k = 2, . . . , ni = k + 1, k + 2, . . . , n

31

1.5.4.9 Generalização - Decomposição de Crout

A decomposição de Crout possui a forma [A] = [L][U ], uii = 1

1a linha : u1j = a1j

l11j = 2, . . . , n

1a coluna : li1 = ai1 i = 1, . . . , n

k − esima coluna : lik = aik −k−1∑m=1

limumk k = 2, . . . , n

i = k, k + 1, . . . , n

k − esima linha : linha : ukj =akj−

k−1∑m=1

lkmumj

lkkk = 2, . . . , n

j = k + 1, . . . , n

1.5.4.10 Generalização - Decomposição de Cholesky

Seja A uma matriz simétrica então por Cholesky L = LT logo:

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n... ... ... . . . ...an1 an2 an3 . . . ann

=

l11 0 0 . . . 0l21 l22 0 . . . 0l31 l32 l33 . . . 0... ... ... . . . ...ln1 ln2 ln3 . . . lnn

l11 l21 l31 . . . ln10 l22 l32 . . . ln20 0 l33 . . . ln3... ... ... . . . ...0 0 0 . . . lnn

Porque A é uma matriz simétrica sabemos que a12 = a21, a13 = a31, . . ., a1n = an1 e a23 = a32

etc.Agora realizando a multiplicação e igualando os termos chegamos:

a11 = l211 ⇒ l11 = √a11

a1n = l11ln1 ⇒ ln1 = a1n

l11Logo lj1 = aj1

l11para j = 2, . . . , n

Seguindo o mesmo raciocínio vamos obter o lnn:

32

a22 = l221 + l222 ⇒ l22 =√a22 − l221

a33 = l231 + l232 + l233 ⇒ l33 =√a33 − l231 − l232

ann = l2n1 + l2n2 + l2n3 + . . .+ l2nn ⇒ lnn =√ann − l2n1 − l2n2 − l2n3 − . . .

ljj =

√√√√ajj −j−1∑

s

ljs para j = 2, . . . , n

Vamos obter a última expressão, lembrando que a2n = an2, etc:

an2 = a2n = ln1l21 + ln2l22 ⇒ ln2 = 1l22

(a2n − ln1l21)

an3 = a3n = ln1l31 + ln2l32 + ln3l33 ⇒ ln3 = 1l33

(a3n − ln1l31 − ln2l32)

ln4 = 1l44

(a4n − ln1l41 − ln2l42 − ln3l43)

ljk = 1lkk

(ajk −k−1∑s=1

ljslks) para j = k + 1, . . . , n e k ≥ 2

Resumindo temos então:

l11 = √a11

lj1 = aj1

l11para j = 2, . . . , n

ljj =

√√√√ajj −j−1∑s=1

l2js para j = 2, . . . , n

ljk = 1lkk

(ajk −k−1∑s=1

ljslks) para j = k + 1, . . . , n e k ≥ 2

1.5.5 Métodos diretos - Sistemas subdeterminadosSeja o seguinte sistema de equações lineares:

[A]m×n {x}n×1 = {b}m×1 onde m < n

E:

• [A] uma matriz retangular

33

• m é o número de linhas ou equações

• n é o número de colunas ou incógnitas

O procedimento para solução de um sistema deste tipo é:

1. Aplica-se o método de Gauss

2. Determinar a consistência do sistema

3. Se o sistema é consistente determinar a solução não trivial

No sistema acima: B indica variáveis básicas e L indica variáveis livres (posso escolher o valor).Assim, faz-se o particionamento do sistema da seguinte forma:

[[A]BB [A]BL

[0] [0]

]=[{x}B

{x}L

] [{b}B

{b}L

]

O teste de consistência é, se {b}L = 0Então a solução do sistema será:

[A]BB{x}B + [A]BL{x}L = {b}B

{x}B = [A]−1BB ({b}B − [A]BL{x}L)

O sistema possui infinitas soluções.

1.5.5.1 Exemplo

Resolva o sistema abaixo pelo método de solução de sistemas subdeterminados.

u+ 3v + 3w + 2z = 12u+ 6v + 9w + 5z = 5−u− 3v + 3w = 5

Pelo sistema de equações observamos que é um sistema de 3 equações e 4 incógnitas. Entãoo sistema acima escrito na forma matricial:

34

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

uvwz

=

155

Vamos aplicar o método de Gauss no sistema acima:

1 3 3 2 12 6 9 5 5−1 −3 3 0 5

(1)

E nossas linhas são:

l11 =[

1 3 3 2 1]

l12 =[

2 6 9 5 5]

l13 =[−1 −3 3 0 5

]Lembrando lk+1

i = lki −miklkk onde mik = aik

akk

Para k=1 e i=2 temos:

l22 = l12 −a21

a11l11

=[

2 6 9 5 5]− 2

[1 3 3 2 1

]=[

2 6 9 5 5]−[

2 6 6 4 2]

l22 =[

0 0 3 1 3]

Para k=1 e i=3 temos:

l23 = l13 −a31

a11l11

=[−1 −3 3 0 5

]− (−1)

[1 3 3 2 1

]=[−1 −3 3 0 5

]+[

1 3 3 2 1]

l23 =[

0 0 6 2 6]

Logo a matriz de interação 2 é:

1 3 3 2 10 0 3 1 30 0 6 2 6

(2)

35

Vamos realizar uma troca de coluna para colocarmos o pivô na coluna 2, assim temos:

1 3 3 2 10 3 0 1 30 6 0 2 6

(2)

Agora para k=2 e i=3 temos:

l33 = l23 −a32

a22l22

=[

0 6 0 2 6]− 2

[0 3 0 1 3

]=[

0 6 0 2 6]−[

0 6 0 2 6]

l33 =[

0 0 0 0 0]

Logo temos:

1 3 3 2 10 3 0 1 30 0 0 0 0

(3)

E nosso sistema matricial torna-se:

1 3 3 20 3 0 10 0 0 0

uvwz

=

130

Assim temos os seguintes termos:

[A]BB =[

1 30 3

]

[A]BL =[

3 20 1

]

{x}B ={uw

}

{x}L ={vz

}

{b}B ={

13

}{b}L = {0}

36

Aplicando o teste de consistência {b}L = {0}: OKLogo a solução do sistema é:

{x}B = [A]−1BB ({b}B − [A]BL{x}L)

{x}B =[

1 30 3

]−1 ({ 13

}−[

3 20 1

]{vz

})

A matriz[

1 30 3

]−1

é[

1 −10 1/3

], logo:

{x}B =[

1 −10 1/3

]({13

}−[

3 20 1

]{vz

})={uw

}{uw

}=[

1 −10 1/3

]({13

}−{

3v + 2zz

})

=[

1 −10 1/3

]({1− 3v − 2z

3− z

})

={

1− 3v − 2z + (−1)(3− z)13(3− z)

}

={

1− 3v − 2z − 3 + z1− z

3

}{uw

}={−2− 3v − z

1− z3

}

Logo temos:

{u = −2− 3v − z

w = 1− z3

Uma solução particular é quando v = y = 0.Reescrevendo o sistema acima temos

37

Apêndice A

Algebra Matricial

Como matriz é uma das ferramentas mais poderosas da matemática, vamos relembrar algu-mas de suas propriedades algébricas.

Todos os elementos de uma matriz, aqui definidos por letras minúsculas são denominadosescalares e normalmente são números ∈ R ou ∈ C. Quando referimos a matriz com todos osseus elementos escrevemos em letras maiúsculas. Podemos simplificar a notação também daseguinte forma: A = (aij).

A.1 IgualdadeDuas matrizes Am×n e Bm×n são ditas iguais se aij = bij para todos i e j.

A.2 Multiplicação por um escalarαA é obtido multiplicando cada elemento de A por α.

A.3 Soma de matrizesSejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m×n então A+B = aij + bij para cada par ordenado

(i,j).

A.4 Subtração de matrizesPodemos definir a subtração A−B como A+(−1)B, e teremos duas operações, multiplicação

por um escalar e soma normal.

A.5 Matriz IdentidadeMatriz identidade é toda matriz cuja diagonal principal é 1

38

A.6 Inversa de uma matrizUma matriz A é dita invertível se e somente se A.A−1 = I

39

Apêndice B

Programas utilizados neste documentoem Scilab/Matlab

Nas seções abaixo, os programas apresentados com comentários utilizando // são utilizadosdiretamente no Scilab, no caso de utilização no Matlab deve-se trocar o // por %. Os programastotalmente compatíveis com o Matlab podem ser rodados utilizando o programa Octave.

B.1 Representação gráfica do sistema de equaçõesclear; //limpa navegador de variáveisclc;x1=[0:0.1:5]; //Cria um vetor de 1 a 6 de um em umx2=2-x1;x3=x1-2;scf(1) //Cria uma janela gráficaplot(x1,x2,x1,x3);legend(’x1+x2=2’,’x1-x2=2’);

x2=2-x1;x3=1-x1;scf(2) //Cria uma janela gráficaplot(x1,x2,x1,x3);legend(’x1+x2=2’,’x1+x2=1’);

x2=2-x1;x3=2-x1;scf(3) //Cria uma janela gráficaplot(x1,x2,x1,x3);legend(’x1+x2=2’,’-x1-x2=-2’);

40

B.2 Exemplo 1clear; //limpa navegador de variáveisclc;x1=[0:1:6]; //Cria um vetor de 1 a 6 de um em umx2=5-2*x1;x3=(1/3)*x1-2;scf(1) //Cria uma janela gráficaplot(x1,x2,x1,x3);legend(’2x1+x2=5’,’x1-3x2=6’);

B.3 Verificação da matriz L 3x3 do método de Choleskyclear; //limpa navegador de variáveisclc;A=[4 2 14; 2 17 -5 ; 14 -5 83]; // Matriz AL=[2 0 0;1 4 0;7 -3 5]; // Matriz LC=L*L’;if C==A then mprintf(’OK \n’);end

B.4 Gauss sem troca de linhasclear; //limpa navegador de variáveisclc;A=[3 -4 5;-3 2 1;6 8 -1] // Matriz Ab=[-1;1;35]

ab=[A,b] // carrega matriz extendida[n,m]=size(A) // Atribui o tamanho da matriz nas variáveis n e m

for k=1:n-1for i=k+1:n

ab(i,:)=ab(i,:)- (ab(i,k)/ab(k,k))*ab(k,:)//Aplica o método da//eliminação de Gauss

endend

for i=1:nfor j=1:nsuperior(i,j)=ab(i,j) //Determina a nova matriz triangular para o calculoend

end

41

for i=1:ny(i)=ab(i,m+1) // Inicializa o novo vetor b e aplica em y para calcular

// o sistema triangular superiorend

// Calcula sistema triangular superior [U][x]=[y]for i=1:1:n //Inicializa X(i)

x(i)=0 //end //x(n)=y(n)/superior(n,n)for i=n-1:-1:1

soma=0;for j=i+1:n

soma=soma+superior(i,j)*x(j)endx(i)=(y(i)-soma)/superior(i,i)

end//Fim

x’

B.5 Gauss com pivotamentoclear //limpa navegador de variáveisclcA=[0 0 2 1 2 ;0 1 0 2 -1 ;1 2 0 -2 0;0 0 0 -1 1; 0 1 -1 1 -1] // Matriz Ab=[1;1;-4;-2;-1]

ab=[A,b] // carrega matriz extendida[n,m]=size(A) // Atribui o tamanho da matriz nas variáveis n e m

ab1=ab

for k=1:n-1v=0v=ab1l=k-1

[minimo,linha_min]=min(abs(v(k:n,k)))[maximo,linha_max]=max(abs(v(k:n,k)))

if minimo==0&linha_min<linha_max thenab1(linha_max+l,:)=v(linha_min+l,:)ab1(linha_min+l,:)=v(linha_max+l,:)

else if linha_max>linha_min thenab1(linha_max+l,:)=v(linha_min+l,:)ab1(linha_min+l,:)=v(linha_max+l,:)

42

endendfor i=k+1:n

ab1(i,:)=ab1(i,:)-(ab1(i,k)/ab1(k,k))*ab1(k,:)//Aplica o método da//eliminação de Gauss

endab=ab1

end

for i=1:nfor j=1:nsuperior(i,j)=ab1(i,j) //Determina a nova matriz triangular para o calculoend

end

for i=1:ny(i)=ab1(i,m+1) // Inicializa o novo vetor b e aplica em y para calcular o// sistema triangular superior

end

// Calcula sistema triangular superior [U][x]=[y]for i=1:1:n //Inicializa X(i)

x(i)=0 //end //x(n)=y(n)/superior(n,n)for i=n-1:-1:1

soma=0for j=i+1:n

soma=soma+superior(i,j)*x(j)endx(i)=(y(i)-soma)/superior(i,i)

end//Fim

x’

B.6 Programa método de Choleskyclear //limpa navegador de variáveisclcA=[4 2 14; 2 17 -5 ; 14 -5 83] // Matriz Ab=[14;-101;155]

[n,m]=size(A)

43

L=zeros(n,m) // Inicializa uma matriz nula nxm

L(1,1)=sqrt(A(1,1)) // Primeira Equacao

for i=2:1:nL(i,1)=A(i,1)/L(1,1) // Segunda Equação

end

for i=2:1:n-1soma1=0for j=1:i-1

soma1=soma1+L(i,j)^2endL(i,i)=sqrt(A(i,i)-soma1)for j=i+1:n

soma2=0for k=1:i-1

soma2=soma2+L(j,k)*L(i,k)endL(j,i)=(1/L(i,i))*(A(j,i)-soma2)

endend

soma3=0for k=1:n-1

soma3=soma3+L(n,k)^2endL(n,n)=sqrt(A(n,n)-soma3)

for i=1:1:n //Inicializa Y(i)y(i)=0 //

end //for i=1:1:n //Inicializa X(i)

x(i)=0//end //

U=L’

if L*U==A then // Confere se L*U=A para calcular os sistemas triangularesmprintf(’L*U=A \n OK \n’)// Calcula sistema triangular inferior [L][y]=[b]for i=1:1:n //Inicializa Y(i)

y(i)=0 //

44

end //y(1)=b(1)/L(1,1) // Calcula Y(1)for i=2:1:n

soma=0for m=1:1:i-1

soma=soma+L(i,m)*y(m)end

y(i)=(b(i)-soma)/L(i,i) // Calcula o resto dos termosend// Calcula sistema triangular superior [U][x]=[y]for i=1:1:n //Inicializa X(i)

x(i)=0 //end //x(n)=y(n)/U(n,n)for i=n-1:-1:1

soma=0for j=i+1:n

soma=soma+U(i,j)*x(j)endx(i)=(y(i)-soma)/U(i,i)

end//Fim

else mprintf(’ERRO \n’)end

x’

B.7 Programa método de Doolittleclear; //limpa navegador de variáveisclc;A=[3 5 2;0 8 2;6 2 8]; // Matriz Ab=[8;-7;26];

[n,m]=size(A); // Atribui o tamanho da matriz nas variáveis n e m

L=eye(n,m); // Le uma matriz identidade nxmU=zeros(n,m); // Carrega uma matriz nula nxm

// Inicia os calculos dos elementos das matrizes L e U

for j=1:1:nU(1,j)=A(1,j); //Calcula os termos da linha 1 da matriz U

end

45

for i=2:1:nL(i,1)=A(i,1)/U(1,1); // Calcula os termos da coluna 1 da matriz L

end

//Calcula os termos retantes da matriz L e Ufor k=2:1:n

for j=k:1:nsoma_lkm_umj=0;for m=1:1:k-1

soma_lkm_umj = soma_lkm_umj + L(k,m)*U(m,j);endU(k,j)=A(k,j)-soma_lkm_umj;

endfor i=k+1:1:n

soma_lim_umk=0;for m=1:1:k-1

soma_lim_umk=soma_lim_umk+L(i,m)*U(m,k);end

L(i,k)=(A(i,k)-soma_lim_umk)/U(k,k);end

end

if L*U==A then // Confere se L*U=A para calcular os sistemas triangularesmprintf(’L*U=A \n OK \n’)// Calcula sistema triangular inferior [L][y]=[b]for i=1:1:n //Inicializa Y(i)

y(i)=0; //end //

y(1)=b(1)/L(1,1); // Calcula Y(1)for i=2:1:n

soma=0;for m=1:1:i-1

soma=soma+L(i,m)*y(m);end

y(i)=(b(i)-soma)/L(i,i); // Calcula o resto dos termosend// Calcula sistema triangular superior [U][x]=[y]for i=1:1:n //Inicializa X(i)

x(i)=0; //end //x(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1

soma=0;

46

for j=i+1:nsoma=soma+U(i,j)*x(j);

endx(i)=(b(i)-soma)/U(i,i);

end//Fim

end

B.8 Programa método de Croutclear; //limpa navegador de variáveisclc;A=[3 5 2;0 8 2;6 2 8]; // Matriz Ab=[8;-7;26];

[n,m]=size(A); // Atribui o tamanho da matriz nas variáveis n e m

U=eye(n,m); // Le uma matriz identidade nxmL=zeros(n,m); // Carrega uma matriz nula nxm

// Inicia os calculos dos elementos das matrizes L e Ufor i=1:n

L(i,1)=A(i,1); // Calcula 1a colunaend

for j=2:nU(1,j)=A(1,j)/L(1,1); //Calcula 1a linha

end

for k=2:nfor i=k:n

soma=0;for m=1:k-1

soma=soma+L(i,m)*U(m,k);end

L(i,k)=A(i,k)-soma; //Calcula n-esima colunaendfor j=k+1:n

soma=0;for m=1:1:k-1

soma=soma+L(k,m)*U(m,j)end

U(k,j)=(A(k,j)-soma)/L(k,k); //Calcula n-esima linhaend

47

end

if L*U==A then // Confere se L*U=A para calcular os sistemas triangularesmprintf(’L*U=A \n OK \n’)// Calcula sistema triangular inferior [L][y]=[b]for i=1:1:n //Inicializa Y(i)

y(i)=0; //end //

y(1)=b(1)/L(1,1); // Calcula Y(1)for i=2:1:n

soma=0;for m=1:1:i-1

soma=soma+L(i,m)*y(m);end

y(i)=(b(i)-soma)/L(i,i); // Calcula o resto dos termosend// Calcula sistema triangular superior [U][x]=[y]for i=1:1:n //Inicializa X(i)

x(i)=0; //end //x(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1

soma=0;for j=i+1:n

soma=soma+U(i,j)*x(j);endx(i)=(y(i)-soma)/U(i,i);

end//Fim

end

B.9 Armazenamento Vetorialclear; %//limpa navegador de variáveisclc; %// limpa consoleA=[1 3 5 7;0 9 8 2;0 0 3 5;0 0 0 4]; %// Matriz A

[n,p]=size(A) %//Tamanho da matriz A

u=zeros(1,(n+1)*n/2) %//inicializa o vetor u

for i=1:nfor j=i:n

m=((j-1)*j/2)+i %//calcula a posição no vetor u

48

u(1,m)=A(i,j) %// atribui o valor no vetorend

end

u %//apresenta o vetor u

B=zeros(n,p)

for i=1:nfor j=i:n

m=((j-1)*j/2)+i %//calcula a posição no vetor uB(i,j)=u(1,m) %//atribui o valor na matriz Bend

end

B %// Apresenta a matriz BA %// Apresenta a matriz A

whos A % Apresenta as variáveis em formato extendidowhos u % Apresenta as variáveis em formato extendido

49