1

AULA 3

Março de 2009

Dinâmica estocástica e irreversibilidade

Bibliografia básica para essa aula:

Gardiner, Cap. 2

TMJ, Cap. 1, Cap. 2

van Kanpem, Cap. 1

. Probabilidade conjunta

. Probabilidade marginal

. Probabilidade condicional

. Variáveis aleatórias independentes

. Soma de variáveis aleatórias independentes; função característica e cumulantes.

. Teorema central do limite.

Aplicação: Modelo de Glauber-Ising a temperatura infinita

. Caminho aleatório unidimensional

2

Distribuição de probabilidades conjunta

Conjunto de variáveis aleatóriasMxxxx ....,,,, 321

)....,,,,( 321 Mxxxx

MNs dxdxdxxxxxx ...),..,...,,,()( 323211

= Densidade de

probabilidades

conjunta

Densidade de probabilidade marginal

(*) Essa é uma possível

distribuição marginal

3

Determinar a densidade de probabilidades marginal de:

3232111 ),,()( dxdxxxxx Utilizando a definição:

Exemplo

)2/)(exp(2

),,(222

3

zyxzyx vvvmm

vvv

zyzyxx dvdvvvvmm

v

)2/)(exp(

2)(

222

3

1

)2/exp(2

)(2

1 xx mvm

v

Uma possível densidade

de probabilidade

marginal da densidade

dada na Eq. (1).

(1)

(2)

(3)

Ou:

4

Densidade de Probabilidade Condicional:

),..,...,,,()...,|()...,,,( 3232121 MsMM xxxxxxxxxxx

)...,|( 321 Mxxxx

Probabilidade de que assuma um determinado valor dado que as

variáveis restantes assumiram certos valores

1x

Mxxx ...,,, 32

1 21 2 3

2 3

( , ,..., )( | , ... )

( , ,.., )

MM

M

x x xx x x x

x x x

Densidade de probabilidade conjunta

Densidade de probabilidade condicional

5

Variáveis aleatórias independentes

Se o conjunto das 4 variáveis puder ser dividido em dois subconjuntos

e (por exemplo)

tais que a densidade de probabilidade se FATORIZA:

1 2 3 4, , ,x x x x

Então o conjunto e o conjunto são

estatisticamente independentes.

A densidade de probabilidade de não tem relação

com os valores assumidos pelas variáveis de

1 2( , )x x

Conjunto de variáveis aleatórias.

1 2 2 3 1 2 3 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )x x x x x x x x

1 2 3 4( , , , )x x x x Densidade de probabilidade conjunta

3 4( , )x x

1 2 3 4( , , , )x x x x

1 2( , )x x3 4( , )x x

3 4( , )x x1 2( , )x x

6

Variáveis aleatórias independentes

1 2 3, ,x x xSe:

)()()(),,( 321321 xxxxxx

2x

3x1x

3x1x

Se 321 ,, xxx são variáveis aleatórias independentes então:

São variáveis aleatórias mutuamente independentes entre si de modo que

2x

é estatisticamente independente de

é estatisticamente independente de

é estatisticamente independente de

Então

)()()(),,( 321321 xxxxxx

7

)()()(),,( zyxzyx pppppp

)2/exp(2/)(2

mpmp xx

zyzyxx dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223

Densidades de

probabilidade marginais

Exemplo:

As variáveis zyx ppp ,, são independentes e temos:

3

2 2 2( , , ) exp( ( ) / 2 )2

x y z x y zp p p p p p mm

)2/exp()2/()(2

mpmp zz

)2/exp()2/()(2

mpmp yy

Distribuição de velocidades de Maxwell

8

Mudança de variáveis

Seja uma variável aleatória e uma outra variável aleatória e sejamx y

as distribuições de probabilidades

associadas a x e a y dadas, respectivamente, por: )(x )(ye

Se a cada valor assumido por corresponder um único valor de então:

dxx)(dyy)(

x y

9

Exemplo:

2

2 2( ) exp( )y c b y

axy

)exp()( 2

11 xbcx

( ) ( )y dy x dx

1( ) ( )y x

a

y x reais.

( ) 1y dy

( ) 1x dx

tal que

tal que

e

10

)2/exp(2/)(2

mpmp xx

Exemplo:

3

2 2 2( , , ) exp( ( ) / 2 )2

x y z x y zp p p p p p mm

Distribuição de velocidades de / gás ideal monoatômico

/x xv p m

( ) ( )x x x xv dv p dp

( ) 1x xp dp ( ) 1x xv dv

1( ) ( )x xv p

m

2 2( ) exp( / 2) exp( / 2)2 2

x x x

mv m mv mv

m

Transformação de variável

11

Soma de variáveis aleatórias independentes

NxxxxX ....321

Conjunto de variáveis aleatórias independentes:

NM xxxxxxxX ....... 21321

também é uma variável aleatória.

Nxxxx ....,,,, 321

Propriedade válida para qualquer conjunto de variáveis aleatórias!

Valor médio de X :

12

Nxxxx ....,,,, 321

222 XX

Se

Variância da distribuição associada à :

N2

22

122 ....

variáveis aleatórias independentes

Em que: 222 jjj xx Nj ....,,2,1

NxxxxX ....321

X

= soma de variáveis aleatórias independentes

A variância da soma de variáveis aleatórias independentes é

igual à soma das variâncias de cada variável aleatória.

Então

13

Demonstração

M2

22

122 ....

EXERCÍCIO

Lista 1 Parte A

14

( ) exp( ) ( )G k ikX X dX

21 xxX

Vamos tomar apenas duas variáveis aleatórias independentes e .

)()()( 21 kgkgkG

Função característica

são variáveis aleatórias independentes então podemos mostrar que:1x 2xe

1x 2x

Função característica

Soma:

1 1 1 1 1( ) exp( ) ( )g k ikx x dx 2 2 2 2 2( ) exp( ) ( )g k ikx x dx

em que

15

Exercício (Lista 1 parte A)

Mostrar que a função característica associada à soma

de N variáveis aleatórias mutuamente independentes

pode ser escrita como:1 2 3( ) ( ) ( ) ( )... ( )NG k g k g k g k g k

( ) exp( ) ( )j j j j jg k ikx x dx

em que

1 2 ... NX x x x

1 2, ,...., Nx x x

1 2 1 2 1 2( ) ( ( ... )) ( , ,..., ) ....N N NX X x x x x x x dx dx dx

( ) exp( ) ( )G k ikX X dX 1,2,...,j N

Sugestão. Utilizar a transformação de variáveis:

16

Cumulantes de:

variáveis aleatórias independentes

21 xxX

21, xx

)()()( 21 kgkgkG

Pois:

(2))!

)(exp()(

11

1

)1(

11

1 nn

n

n

ikkg

)!

)(exp()(

2

2

)2(

122

2 nn

n

n

ikkg

1

( )( ) exp( )

!

n

nn

ikG k

n

Comparando termo a termo em k do produto

das expressões (2) e (3) com a expressão

(4) obtemos o resultado :

(1)

(3)

(4)

nnn

)2()1(

nnn

)2()1(

Cumulantes da soma de variáveis independentes

17

Distribuição da soma de variáveis aleatoriamente

independentes gaussianas

2 2

1( ) exp( / 2)g k k

2 2

1 1 12

1( ) exp( /2 )

2x x

21 xxX

2 2

2 2 22

1( ) exp( /2 )

2x x

2 2 2 2 2 2

1 2( ) ( ) ( ) exp( / 2).exp( / 2) exp( )G k g k g k k k k

2 2

2( ) exp( / 2)g k k

)(exp()exp()()exp()( 21 xxikikXdXXikXkG

É uma gaussiana também!

1 2( ) ( ) ( )G k g k g k

Exercício

Lista 1 parte A

1 0 2 (1) (2)

2 2 22 3 4 5 ... 0

18

1

( )( ) exp{ }

!

n

n

n

ikG k

n

2 2

1 2( ) ( ) ( ) exp( )G k g k g k k

2 3

1 2 3

( ) ( ) ( )( ) exp{ ... ....}

1 2 3!

ik ik ikG k

Comparando as duas expressões acima temos:

definição

2 2

2

1( ) exp( /4 )

2 2X X

2 2 2 2

1 2( ) ( ) ( ) exp( / 2).exp( / 2)G k g k g k k k

Distribuição gaussiana

19

2

22

1( ) exp( )

2(2 )2 2

XX

Resumindo:

Se:

2 2

1 1 12

1( ) exp( /2 )

2x x

2 2

2 2 22

1( ) exp( /2 )

2x x

Então:

21 xxX

1x 2xe são variáveis aleatórias independentes com distribuições

gaussianas:

20

Genericamente

Se:

2 2

2

1( ) exp( /2 ) ,

2j j jx x

1x 2x, são N variáveis aleatórias mutuamente independentes com

distribuições gaussianas,Nx,

1,2,..., ,j N

2

22

1( ) exp( )

22

XX

NN

então a distribuição associada à soma:

1 2 ... NX x x x

2 2X N

é dada por:

21

)2/exp(2

1)( 22

2

ZZ

N

xxxxZ N

....321

Distribuição de probabilidades associada a Z

22 )( jx0 jx

Nj ...,,2,1

jx é tal que: e

Então para N

Teorema central do limite

Se é finita

é uma gaussiana.

temos:

22

são estatisticamente independentes

2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3

1{ .... ... }NZ x x x x x x x x

N

Nxxxx ....,,,, 321

2 2

1 1 2 1 3

1{ ...}Z N x x x x x

N

Como 1 2( ) ( ) ... ( ) 0Nx x x

2 2 2 2

1 2( ) ( ) ... ( )Nx x x e

2 2 2 2

1 1 2

1{ }Z N x x K

N

N

xxxxZ N

....321

0Z 1 2( ) ( ) ... ( ) 0Nx x x

Teorema central do limite (desenvolvimentos)

2

2K

23

Demonstrações a partir da função característica:

van Kampen , Stochastic Processes in Physics and Chemistry, Capítulo 1

T. Tomé e M. J. de Oliveira, Dinâmica Estocástica, Capítulo2.

S. R. Salinas, Introdução à Física Estatística, Capítulo 1.

24

N

xxxxZ N

....321

N

xxxxZ

N

2

3212....

2

22

2

N

NZ

de ordem superior a 2 se

anulam

Das propriedades enunciadas em (1), (2) e (3) concluímos que a

distribuição associada a é uma de

variância e .

Z2

Z

Pois:

Utilizando o fato de que as variáveis são independentes podemos mostrar o

resultado acima.jx

(3)

gaussiana

Também podemos mostrar que os cumulantes de

N 0j

N

média nula

Variância

Finita!

3,4,5,...j

25

Exemplo: Modelo de Glauber- Ising.

Energia associada a configuração

1,1 i

)...,,,...,( 1 Ni

ii

é uma variável que assume dois valores:

especifica uma configuração do sistema.

),(

)(ji

jiJE :

em que a soma é sobre pares de cteJ

N

iCada sítio

)...,...,,2,1( Ni

,

está ocupado um átomo magnético cujo momento de

i

cte

primeiros vizinhos e

Seja uma rede com sítios.

Modelo de Ising:

ede dipolo magnético é: , em que

0J : interações ferromagnética

26

Para temperaturas acima da temperatura crítica o sistema se encontra no estado

paramagnético (desordenado).

|| m

Então:

o parâmetro ordem se anula para cTT (sistema infinito).

cTT 0|| m

Esboço do diagrama de fase do modelo de Ising bidimensional a campo nulo.

T0

cT

cT Temperatura crítica.

F P

F

P

Fase ferromagnética.

Fase paramagnética.

T Temperatura

Onde se dá uma transição entre as fases

P e F (transição de fase).

|

Para temperaturas abaixo da temperatura crítica o sistema se encontra no estado

ferromagnético (ordenado).

|| m

Parâmetro ordem

para

Magnetização versus temperatura (kT/J, J>0)

para o modelo de Ising definido em uma rede quadrada de

tamanho N=LxL.

)(c

TTM

(Nas proximidades do ponto crítico)

é o parâmetro de ordem para essa transição

m

Fase ferromagnética

ordenadaFase paramagnética

desordenada

26918,2/ JTkcB

)21ln(2

1/

1

JTk cB

440687,0/1

JTk cB

Landau &

Binder (2000)

m

0m 0m

As curvas correspondem à

redes quadradas regulares

de diferentes tamanhos LxL

m

28

i uma variável aleatória.

é uma soma de variáveis aleatórias.

Consideremos um dinâmica estocástica associada ao modelo de Ising:

modelo de Glauber-Ising.

A partir de uma configuração inicial aleatória gera-se outras configurações por

meio da dinâmica.

Para isto podemos, por exemplo, utilizar a prescrição de Metropolis e atualização

assíncrona.

(vamos ver a prescrição de Metropolis e atualização, neste curso, mais adiante!!)

N .....)( 21Μ

Modelo de Glauber- Ising (continuação)

0...21 N 0.....)( 21 NΜ

1,1 i

O modelo de Glauber-Ising possui simetria “up-down” (simetria de inversão):

i i )...,...,,2,1( Ni O hamiltoniano e a dinâmica ficam

invariantes

29

Temperatura T

iAs variáveis aleatórias se tornam estaticamente independentes.

Neste caso cada variável tem probabilidade ½ dei

2

1)1( ip

2

1)1( ip

um dos seus dois possíveis valores:

Modelo de Glauber- Ising (continuação)

assumir qualquer

Consideremos o regime de altas temperaturas:

Sistema no estado paramagnético

1i

1i

com

com

T ( )

30

Modelo de Ising

cT T

cT temperatura crítica

estado ordenado

Simulações de Monte Carlo em redes quadradas regulares.

Instantâneos da rede gerados utilizando a prescrição de

Metropolis para o modelo de Ising.

cT T cT T

estado desordenadoT muito próxima

da crítica.

“Spin para baixo”

“Spin para cima”

1i

1i

31

Pois:

1)1(2

1)1(

2

1 221

2

A 101 é igual a 1

1122

1... 22

21

22 N

Todas as variáveis têm a mesma variância:i

TModelo de Glauber- Ising (continuação)

e como:

Consideremos o regime de altas temperaturas:

variância de

cT T

ou

cT Temperatura

crítica

32

2

2 1 2( ..... )NZN

2121 N ...,,, 21 são independentes. Então:

Glauber-Ising (continuação)

Obtivemos (slide anterior) que:

0....21

2

12 2

1Z NN

1... 222

21

2 N

Portanto, a partir da Eq. (1) e usando (2), (3) e (4), obtemos:

2 2 1Z

2

1 1 2 1 3 1... ...NN

N

(1)

(2)

(3)

(4)

N

Z N

....321Definindo:

33

(3)1... 22

21

22 N

cT T

Modelo de Glauber- Ising.

& Teorema central do limite

N ...,,, 21 variáveis aleatórias independentes.

Levando em conta as condições (1), (2) e (3) e definindo

0....21

Obtivemos (slide anterior) que a variância

de todas as variáveis é igual e finita:

(2)

(1)

2

o teorema central do limite implica que a distribuição de

N

Z N

....321

)2/exp(2

1)( 2ZZ

Distribuição de probabilidades associada a

Z

para N

é uma gaussiana.Z

11

22

N

N

N

NZ

é

Variância:

34

NN

N

.....21Μm

)2/mexp(

)2

(

1)m( 2N

N

N

NNN

N

N

1Mm

2

2

122

2

0.....21

Nm N

m

N finito

suficientemente grande).

(mas

Supondo a forma assintotica para

= variância de m.

A distribuição de

(m)N

NN

N

.....m 21Μ

35

)2/exp()2(

1)( 22

2

Nm

N

mN N

m N

.....21

0

.....21

N

m N

NN

Nm i

2

2

2

2

= variância de m.

À medida em que N cresce a variância de m vai a zero.

Para N tendendo a infinito a distribuição de m

)(mtende a uma delta de Dirac como devemos esperar.

2

N

= desvio quadrático de m.

36

02 ( )m m m dm

Parâmetro de ordem para o modelo de Ising

Cálculo do valor médio e da variância de a altas temperaturas.m

m

Portanto, para um certo N, o desvio quadrático

médio de m é proporcional a: 1/ N

EXERCÍCIO Lista 1

N

o desvio quadrático

vai a zero.

37

18.01

09.02

101 N

m

q

q = parâmetro similar a temperatura

Modelo similar ao modelo de Glauber-Ising

202 N

10/1/1 1 N

20/1/1 2 N

1001 N

4002 N

Desvio quadrático médio a altas temperaturas é proporcional a

Altas temperaturas q Altos valores de

1/ N

Resultados obtidos por simulações de Monte Carlo para o modelo do

votante majoritário definido em redes quadradas com N=LxL sítios.

cq

cq q cT T

T