MATEMÁTICA1

DIVISIBILIDADE

01. MÚLTIPLOS E DIVISORES

Sejam a e b dois números naturais. Se o resto da divisão de a por b for zero, isto é, se a divisão de a por b for exata, diz-se que a é divisível por b (ou que a é múltiplo de b). Nesse caso, diz-se ainda que b divide a.

A notação b | a indica que b divide a.

EXEMPLOS

E.1) 2 | 6 6 é divisível por 2, pois:

E.2) 3 | 15, 3 | 27 e 3 | 42 15, 27 e 42 são divisíveis por 3, pois:

E.3) 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6. Indicando-se o conjunto dos divisores de 6 por D(6), temos:

D(6) = {1, 2, 3, 6}

E.4) O zero é múltiplo de qualquer número, mas só é divisor dele mesmo.

O conjunto M(a) dos múltiplos de um número a é o conjunto dos naturais vezes a.Assim:

M(2) = {0, 2,4, 6, 8, 10,...}; D(2) = {1, 2}M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...}; D(3) = {1, 3}M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...}; D(4) = {1, 2,4}M(6) = {0,6,12,18,...}; D(6) = {1,2,3,6}

Note que o conjunto dos múltiplos de um número é infinito, e o conjunto dos divisores é finito.Um número natural é par quando é divisível por 2 e é ímpar quando não é par.

02. NÚMEROS PRIMOS

Um número, com exceção do número 1, é primo quando é divisível somente por ele mesmo e pela unidade.Vamos escrever alguns números naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 e risquemos todos os

múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 5 e risquemos todos múltiplos dele que surgem em seguida etc.

O conjunto P dos números primos é infinito e não existe nenhuma lei de formação para esses números:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...}

Note que o 2 é o único número par que é primo.

Um número que admite outros divisores além da unidade e dele próprio é chamado número múltiplo ou número composto. Os números riscados dentre os acima são compostos.

MATEMÁTICA2

03. REGRAS DE DIVISIBILIDADE

Um número é divisível por:

a) 2, quando o último algarismo da direita for 0,2, 4, 6 ou 8, isto é, quando o número for par.

EXEMPLOS

30, 86, 104 são números divisíveis por 2.

b) 3, quando a soma dos algarismos que o representam formar um número divisível por 3.

EXEMPLOS

45 é divisível por 3, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 3);8022 é divisível por 3, pois 8 + 0 + 2 + 2 = 12 (12 é divisível por 3).

c) 4, quando o número expresso pelo agrupamento dos dois últimos algarismos da direita de sua representação é divisível por 4.

EXEMPLOS

124 é divisível por 4, pois 24 também o é;38408 é divisível por 4, pois 08 = 8 também o é;300 é divisível por 4, pois 00 ^ O também o é.

d) 5, quando o último algarismo da direita for 0 ou 5.

EXEMPLOS

820 é divisível por 5, pois termina em 0;3475 é divisível por 5, pois termina em 5.

e) 6, quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3.

EXEMPLOS

24 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3;1350 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.

f) 8, quando o número expresso pelo agrupamento dos três últimos algarismos da direita de sua representação é divisível por 8.

EXEMPLOS

34024 é divisível por 8, pois 024 também o é;3000 é divisível por 8, pois 000 também o é.

g) 9, quando a soma dos algarismos de sua representação formar um número divisível por 9.

EXEMPLOS

45 é divisível por 9, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 9);843750 é divisível por 9, pois 8 + 4 + 3 + 7 + 5 + 0 = 27 (27 é divisível por 9).

h) 10, quando terminar em 0.

EXEMPLOS

350 é divisível por 10;4800 é divisível por 10.

04. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

MATEMÁTICA3

4.1. TODO NÚMERO NATURAL MAIOR QUE 1 OU É PRIMO OU PODE SER DECOMPOSTO NUM ÚNICO PRODUTO DE FATORES PRIMOS.

EXEMPLO

Vamos decompor 90 em fatores primos.Aplicando as regras da divisibilidade, temos:

90 = 2.45; DISPOSITIVO PRÁTICOcomo

45 = 3.15 e 90 215 = 3.5, 45 3

15 3temos, igualmente, 5 5

90 = 2 . 32 . 5 1 2 . 32 . 5

Pode-se observar melhor no dispositivo prático que para decompor um número em seus fatores primos é mais simples se fazer divisões sucessivas tomando os fatores primos em ordem crescente.

4.2. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO

Dado um número natural n, os seus divisores são determinados decompondo-se n em seus fatores primos, e, em seguida, combinando esses fatores um a um, dois a dois etc.

Vamos obter o conjunto dos divisores de 42 e 504.

a) 42 2 As combinações dos produtos dos números 2, 3 e 7 são:21 3 um a um: 2; 3; 77 7 dois a dois: (2.3) = 6; (2.7) = 14; (3.7) = 211 três a três: (2.3.7) = 42

Existe, ainda, o número 1, que é divisor de qualquer número.Assim, o conjunto D(42) dos divisores de 42 é: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

DISPOSITIVO PRÁTICO

142 2 2 D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}21 3 3 67 7 7 14 21 421

1b) 504 2 2

252 2 4126 2 863 3 3 6 12 2421 3 9 18 36 727 7 7 14 28 56 21 42 84 168 63 126 252 5041

Portanto:

D(504) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504}

NOTA: Demonstra-se que o número de divisores naturais de um número pode ser dado somando-se 1 a cada expoente das potências dos fatores primos e, em seguida, multiplicando esses novos expoentes.

Assim:

42 = 21 . 31 . 71 tem (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8 divisores.504 = 23 . 32 . 71 tem (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 4 . 3 . 2 = 24 divisores.

Genericamente, o número:

am . bn . cp . ... tem (m + 1) . (n + 1). (p + 1) ... divisores naturais.

05. MÁXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c)

MATEMÁTICA4

Consideremos os conjuntos dos divisores de 24 e 30.

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e achemos a interseção desses conjuntos: D(24) D(30) = {1, 2, 3, 6}.

Observamos que esse conjunto tem um máximo que é 6. Como os elementos de D(24) D(30) são os divisores comuns a 24 e 30, dizemos que 6 é o máximo divisor comum entre 24 e 30.

Indica-se m.d.c (24, 30) = 6.

Portanto:

“O máximo divisor comum entre dois ou mais números é o maior elemento da interseção dos conjuntos dos divisores dos números dados.”

Dois ou mais números são primos entre si quando o m.d.c desses números é 1.

EXEMPLOS

E.1) Os números 5 e 6 são primos entre si, pois:

D(5) = {1,5}D(5) D(6) = {1} m.d.c (5, 6) = 51D(6) = {1, 2, 3, 6}

E.2) Os números 15, 26 e 49 são primos entre si, pois:

D(15) = {1, 3, 5, 15}D(26) = {1, 2, 13, 26}; D(15) D(26) D(49) = {1} m.d.c (15, 26, 49) = 1D(49) = {1, 7, 49}

06. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (m.m.c.)

Já vimos que um número natural a é múltiplo do número natural não nulo, b quando a é divisível por b.

O zero é múltiplo de qualquer número.

Definimos:

M(a) = {0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ...}Particularmente, o conjunto dos múltiplos de 0 é unitário, ou seja, M(0) = {0}.

Consideremos os conjuntos dos múltiplos de 4 e 6.

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, ...} e achemos a interseção desses conjuntos. M(4) M (6) = {0, 12, 24, 36, ...}.

Observamos que esse conjunto tem um mínimo, diferente de zero, que é 12. Como os elementos de M(4) M(6) são múltiplos comuns a 4 e 6, dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6.

Indica-se m.m.c. (4,6) = 12.

Portanto:

“O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor elemento, diferente de zero, da interseção dos conjuntos dos múltiplos dos números dados.”

07. MÉTODO PRÁTICO PARA SE OBTER O M.D.C. E O M.M.C. ENTRE DOIS OU MAIS NÚMEROS

MATEMÁTICA5

Decompõem-se os números em fatores primos. Feito isso:

o m.d.c. será o produto dos fatores primos comuns, tomando cada um com o menor expoente.o m.m.c. será o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando cada um com o maior expoente.

EXEMPLOS

E.1) Vamos obter m.d.c e m.m.c entre 84 e 360.

84 2 360 2 42 2 180 2 84 = 22 . 3 . 721 3 90 2 7 7 45 3 360 = 23 . 32 . 5 1 15 3 5 5 51

Portanto:

m.d.c (84, 360) = 22 . 3 = 12m.m.c (84, 360) = 23 . 32 . 7 . 5 = 2520

E.2) Sejam A = 22 . 3m . 53 e B = 31 . 5n . 7. Vamos calcular m e n, sabendo que o m.m.c (A, B) = 157500.

Ora, m.m.c (A, B) = 157500 = 22 . 32 . 54 . 71; logo, m = 2 e n = 4.

08. PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NÚMEROS

P.1) Se x é múltiplo de a e x é múltiplo de b, então x é múltiplo do m.m.c. (a; b).

EXEMPLOS

E.1) Se um número é múltiplo de 2 e 3, então é múltiplo de 6 (m.m.c (2; 3))

E.2) Se um número é múltiplo de 4 e 6, então é múltiplo de 12 (m.m.c (4; 6))

P.2) Se x é divisor de a e x é divisor de b, então x é divisor do m.d.c (a; b)

EXEMPLOS

E.1) Se um número é divisor de 30 e 45, então é divisor de 15.

Simbolicamente, podemos dizer:

M(a) M(b) = M (m.m.c (a; b))D(a) D(b) = D (m.d.c (a; b))

P.3) Sejam a e b dois números naturais. O produto a . b é igual ao produto do m.d.c pelo m.m.c. desses números. Isto é

a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a; b)a = 23 . 32 . 54 e b = 2 . 33 . 7

EXEMPLOS

a = 23 . 32 . 54 m.d.c.(a,b) = 2 . 32

b = 2 . 33 . 7 m.m.c.(a,b) = 23 . 33 . 54 . 7a x b = 24 . 35 . 54 . 7 m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b) = 24 . 35 . 54 . 7

e, portanto, a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b).EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA6

01. (FATEC-SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos:Sol – planeta – Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol – planeta – Lua B ocorre a cada 48 anos.Se hoje ocorrer o alinhamento Sol – planeta – Lua A – Lua B , então esse fenômeno se repetirá daqui a:

a) 48 anosb) 66 anosc) 96 anosd) 144 anose) 860 anos

02. (FUVEST-SP) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então o máximo divisor comum desses dois números é:

a) 1b) 3c) 5d) 11e) 15

DÍZIMAS PERIÓDICAS

MATEMÁTICA7

Seja uma fração irredutível de números inteiros, isto é, uma fração que não pode mais ser simplificada.

Se na fatoração de b só tiverem os fatores 2 ou 5, então a fração terá como resultado um decimal exato.Se pelo menos um dos fatores de b for diferente de 2 e 5, então a fração terá como resultado um decimal inexato chamado dízima.Essas dízimas são periódicas porque nesses resultados sempre a parte não exata se repete, ou seja, apresenta um período.

EXEMPLOS

E.1) = 0,333... = E.4) = 0,1666... =

E.2) = 0,181818... = E.5) = 0,58333... =

E.3) = 1,142857142857... = E.6) = 1,0323232... =

As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas.

Uma dízima é simples quando o período surge imediatamente após a vírgula (E.1; E.2; E.3 anteriores).Uma dízima é composta quando o período não surge imediatamente após a vírgula (E.4; E.5; E.6 anteriores).

GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

É uma fração que origina a dízima.

EXEMPLOS

E.1) Vamos obter o geratriz da dízima 0,333...

x = 0,333... 10x = 3,333...

Portanto:

10x = 3,333 ...– x = 0,333 ...

9x = 3 x =

Assim, 0,333... =

E.2) Idem para 0,181818...x = 0,181818... 100x= 18,181818...

Portanto:100x = 18,181818 ... –x = 0,181818 ...

99x = 18 x =

Assim, 0,181818...=

E.3) 1,2343434...

MATEMÁTICA8

x = 1,2343434... 1000x = 1234,343434...

Portanto:1000x = 1234,343434 ... –10x = 12,343434 ...

99x = 1222

x =

EXERCÍCIO

(UFBA) Se x = , calcule o valor de x.

MATEMÁTICA9

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. Assinale V ou F.

a) O número 43 é primo.b) Dizemos que um natural a é divisor de b, se existir

um inteiro c, tal que b = a . c.c) O número 1500 tem 24 divisores naturais.d) O m.m.c.(24;90) é 360.e) O m.d.c.(120;108) é l2.f) Se x é múltiplo de 12 e x é múltiplo de 10, então x

é múltiplo de 120.g) Se x é múltiplo de 15 e x é múltiplo de 18, então x

é múltiplo de 90.h) Se x é divisor de 360 e x é divisor de 540, então x

é divisor de 180.i) O número zero é múltiplo de todos os naturais.j) m.m.c (x; y), m.d.c. (x; y) = x . y.k) Os números 200 e 189 são primos entre si.

02. (UFMG) Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é:

a) 36b) 34c) 25d) 30e) 18

03. Calcule o menor número natural diferente de 3 que dividido por 4, 6 e 9 deixa sempre resto 3.

04. (UCSAL-99) Somando 589 a um número positivo x, obtém-se um número que é divisível por 2, por 3 e por 7. O menor valor que x pode assumir satisfaz à condição:

a) 30 < x < 42b) 25 < x < 30c) 10 < x < 20d) 5 < x < 10e) 0 < x < 5

05. (UFBA) Tenho menos que 65 livros; contando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sobram sempre três. Calcule quantos livros possuo.

06. Uma sala retangular mede 5,04m por 5,40m. Deseja-se colocar lajotas quadradas, todas do mesmo tamanho, no piso desta sala, sem quebrar nenhuma lajota. Qual o menor número de lajotas que podemos utilizar?

07. Uma determinada cidade realiza periodicamente a festa da uva e a festa do tomate. A festa da uva acontece a cada 15 meses, e a festa do tomate, a cada 18 meses. Se as duas festas aconteceram juntas em abril de 1998, quando elas acontecerão juntas novamente?

a) Em outubro de 2020b) Em abril de 2015c) Em outubro de 2010d) Em abril de 2008e) Em outubro de 2005

08. Calcule:

(1,2272727...) . (2,444...) – (1,8333...) . (0,545454...)

09. Calcule:

(1,8333) . (1,636363...) + (1,4666...) . (2,0454545...)

10. (UCSAL) Se a fração irredutível é a geratriz da

dízima periódica 1, 0353535..., então a soma a + b é igual a:

a) 28b) 118c) 225d) 309e) 403

11. (UCSAL) Seja M um dos números naturais escritos com três algarismos, que divididos por 2 ou 3, ou 5 ou 7 deixam resto 1. A soma dos algarismos de M pode ser:

a) 5b) 6c) 9d) 8e) 7

12. (UEFS) Se o mdc (a, b) é 3 e a é um número par, então o mdc (3a, 6b) é:

a) 18b) 15c) 12d) 9e) 6

13. (UNEB) Sendo w e n, respectivamente, o mdc e o mmc de 360 e 300, o quociente n/m é igual a:

a) 3b) 6c) 10d) 30e) 60

MATEMÁTICA10

14. (UCSAL) Uma editora deverá enviar pelo correio exemplares dos livros A, B e C nas quantidades de 144, 180 e 324 exemplares, respectivamente. Serão feitos pacotes, todos com o mesmo número de exemplares, de um só tipo de livro. Deseja-se que haja um número mínimo de pacotes, mas o correio não aceita pacotes com mais de 24 exemplares.

Nessas condições, quantos pacotes serão feitos?

a) 36b) 24c) 18d) 45e) 48

15. (UCSAL) Vivaldo costuma sair com duas garotas: uma a cada 6 dias e outra a cada 9 dias. Quando as datas coincidem, ele adia os encontros com ambas para 6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em 18/05/98 ele adiou os encontros com as duas, em virtude da coincidência das datas, a próxima vez em que ele teve que adiar os seus encontros foi em:

a) 15/06/98b) 12/06/98c) 10/06/98d) 06/06/98e) 05/06/98

16. (UCSAL) Um comerciante pretendia vender duas peças de tecido de mesma largura, com comprimentos de 158m e 198m. Ele dividiu a primeira em cortes de n metros, restando 5m da peça. Em seguida, resolveu dividir a segunda em pedaços de n metros, também, restando 11m da peça. Sabendo que o número de cortes obtidos foi o menor possível, nas condições dadas, qual é o valor de n?

a) 9b) 11c) 17d) 23e) 34

17. (FUVEST) No alto de uma emissora de TV, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes/minuto e a segunda “pisca” 10 vezes/minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar ao mesmo tempo?

a) 12b) 10c) 20d) 15e) 30

18. Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m.

Determine o menor número de quadrados que ele pode colocar na parede:

a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

19. (UFMG) Sejam a, b e c números primos distintos, em que a > b. O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de m = a2 . b . c2 e n = ab2 são, respectivamente, 21 e 1764.

Pode-se afirmar que a + b + c é:

a) 9b) 10c) 12d) 42e) 62

20. Assinale as proposições verdadeiras.

(01) O número 1500 tem 24 divisores naturais.(02) Se x é múltiplo de 15 e x é múltiplo de 6, então x

é múltiplo de 90.(04) Se o m.m.c. (a; b) é a . b, então a e b são primos

entre si.(08) Se x é divisor de 600 e x é divisor de 640, então

x é divisor de 40.(16) Se um número natural n dividido por 13 deixa

resto 5, então (n + 5) é múltiplo de 13.

21. Um terreno de forma triangular, com as dimensões indicadas na figura abaixo, deve ser cercado com arame farpado. Para isso, serão colocadas estacas equidistantes entre si. Determine o menor número de estacas que podem ser utilizadas.

a) 45b) 30c) 25d) 21e) 18

22. (UESF-99.1) Se x representa um número natural qualquer de dois algarismos distintos, escrevendo-se o algarismo 8 à esquerda de x, obtém-se um novo número que tem a mais que x:

a) 8 unidades.b) x unidades.c) 8x unidades.d) 80 unidades.e) 800 unidades.

MATEMÁTICA11

23. (UCSAL-00.1) Um número inteiro e positivo é constituído de dois algarismos distintos cuja soma é 11.Invertendo-se a posição de seus algarismos, obtém-se outro número que excede o primeiro em 45 unidades.O menor dos números está compreendido entre:

a) 0 e 10b) 10 e 20c) 20 e 30d) 30 e 40e) 40 e 50

24. Um número é constituído de dois algarismos, cuja soma vale 7. Mudando-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número nove unidades superior ao primitivo. Calcule o número primitivo.

25. Um número natural de dois algarismos é 7 vezes a soma dos seus algarismos. Calcule esse número, sabendo que o algarismo das dezenas excede em 3 unidades o algarismo das unidades.

26. (UNIRIO) A fração geratriz de 3,74151515... é:

a)

b)

c)

d)

e)

27. (UNIRIO) O resto da divisão do inteiro n por 12 é 7.Qual o resto da divisão de n por 4?

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

28. (FFOP-MG) O número m = 94816a, sendo a o algarismo das unidades, é divisível por 15. O valor de a é:

a) 2b) 0c) 5d) 3e) 4

29. (FGV-SP) Seja x o maior número inteiro de 4 algarismos que é divisível por 13, e y, o menor número inteiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17. A diferença x – y é um número:

a) primo.b) múltiplo de 6.c) menor que 500.

d) quadrado perfeito.e) divisível por 5.

30. (FUVEST-SP) Qual dos cinco números relacionados abaixo não é um divisor de 1015?

a) 25b) 50c) 64d) 75e) 250

31. (FUVEST-SP) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:

1 2 3 10 11 12 19 .. ..4 5 6 13 14 15 .. .. .. .. ..7 8 9 16 17 18 .. .. ..

O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A “linha” e a “coluna” em que o número 500 se encontra são, respectivamente:

a) 2 e 2b) 3 e 3c) 2 e 3d) 3 e 2e) 3 e l

GABARITO

01. a) V 02. D 13. D 24. 34b) V 03. 39 14. A 25. 63c) V 04. A 15. E 26. Cd) V 05. 63 16. C 27. De) V 06. 210 17. A 28. Cf) F 07. E 18. D 29. Bg) V 08. 02 19. C 30. Dh) V 09. 06 20. 13 31. Ai) V 10. E 21. Ej) V 11. E 22. Ek) V 12. A 23. D

ANOTAÇÕES

MATEMÁTICA12

RAZÕES E PROPORÇÕES

01. RAZÃO

Dados dois números, a e b, b O, chama-se razão entre a e b ao quociente entre a e b, que se indica ou a : b.

Na razão , a é chamado antecedente e b é chamado consequente.

EXEMPLOS

E.1) A razão entre a medida do cateto menor e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo de medidas 3 cm, 4 cm e 5 cm é:

E.2) Em um baile, existem 150 homens e 225 mulheres. Podemos afirmar que a razão entre o número de homens e o número

de mulheres é , ou seja, existem dois homens para cada três mulheres.

02. PROPORÇÕES

2.1. DEFINIÇÃO

Chama-se proporção a sentença que indica a igualdade entre duas razões.

EXEMPLOS

E.1)

E.2)

E.3)

Genericamente, indica-se , ou a : b : c : d, que se lê: “a está para b, assim como c está para d”, sendo:

a, d os extremos;b, c os meios.

2.2. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES (P.F.)

“Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.”

Isto é:

Notem esta propriedade nos exemplos anteriores:

EXEMPLOS

MATEMÁTICA13

E.1) E.2) E.3)

2.3. OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

P.1)

P.2)

P.3)

2.4. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

2.4.1. Grandezas diretamente proporcionais

“Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira.”

EXEMPLO

Vejamos as duas grandezas:– quantidade de canetas (Q)– preço (P)Suponhamos que:o preço unitário da caneta seja $ 3,00.

Assim:

1 caneta custa: $ 3,002 canetas custam: $ 6,003 canetas custam: $ 9,00 etc.

Observamos que as grandezas Q e P são diretamente proporcionais, pois é satisfeita a proporção direta:

2.4.2. Grandezas inversamente proporcionais

“Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na razão inversa em que a primeira aumentou.”

EXEMPLO

Vejamos as duas grandezas:

– velocidade média (v)– tempo (t)

Suponhamos que:

Um automóvel deve percorrer a distância Aracaju-Salvador, que é de aproximadamente 300 km. É fato que, quanto maior a velocidade do automóvel, menor será o tempo de percurso.

Portanto:

v t50 km/h 6 h60 km/h 5 h100 km/h 3 h etc.

MATEMÁTICA14

Observamos que as grandezas v e t são inversamente proporcionais, visto que a razão entre as velocidades é

inversa a razão dos tempos correspondentes, .

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

1a) Se num exercício dizemos que três grandezas, a, b e c, são diretamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos:

.

Como essas frações são iguais, dizemos que o seu resultado é constante e costumamos representar esse resultado por k.

Assim: .

2a) Se num exercício dizemos que três grandezas, a, b e c, são inversamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos:

.

Do mesmo modo que o anterior, esse resultado pode ser representado pela constante k.

Assim: = k.

EXERCÍCIOS

01. A soma de dois números é 162. O maior está para 13, assim como o menor está para 5. Nessas condições, qual a diferença entre os números?

02. José, João e Pedro jogaram na Loto a quantia de R$ 20,00, sendo que José contribuiu com R$ 5,00, João, com R$ 6,00 e Pedro, com R$ 9,00. Se eles ganharem um prêmio de R$ 30.000,00, quanto cada um deve receber, considerando que o prêmio vai ser divido em partes proporcionais ao que cada um investiu?

03. A soma de três números vale 31. Calcule cada número, se eles são inversamente proporcionais, respectivamente, a 2, 3 e 5.

04. (UCSAL-00) Ao conferir suas respostas, às 100 questões de um teste, dois alunos, curiosamente, observaram que os números de questões que haviam acertado eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 18 e 20 anos. Se, juntos, eles acertaram um total de 133 questões, então o número de questões que o mais velho errou foi:

a) 30b) 32c) 34d) 35e) 37

MATEMÁTICA15

REGRA DE TRÊS

01. REGRA DE TRÊS SIMPLES

Vejamos os problemas:

1o) Se José comprou 3 metros de um tecido por $ 15, por quanto ele compraria 6 metros do mesmo tecido?

SOLUÇÃO

As setas colocadas apresentam mesmo sentido, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Por isso, armamos a proporção na ordem apresentada no esquema abaixo.

Isto é:

.

Portanto, 6 m do tecido seriam comprados por $ 30.

Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e direta, pois as setas concordantes geram uma proporção direta.

2o) Para se construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o mesmo muro?

SOLUÇÃO

As setas colocadas apresentam sentidos contrários, pois as grandezas são inversamente proporcionais. Por isso, armamos a proporção conservando o sentido de uma fração e invertendo a outra.

Assim, podemos escrever

Portanto, 9 pedreiros construirão o mesmo muro em 8 dias.Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e inversa, pois as setas discordantes geram uma proporção inversa.

EXERCÍCIOS

01. Para pintar uma superfície de 150 m2, um pintor gasta 12 latas de tinta. Quantas latas de tinta são necessárias para pintar 200 m2 da superfície?

02. Numa viagem da cidade A até a cidade B, um veículo gasta 96 minutos, à velocidade média de 100 km/h.

MATEMÁTICA16

Se a velocidade fosse de 120 km/h, qual seria o tempo gasto?

03. Uma torneira enche um tanque em duas horas, e outra torneira enche o mesmo tanque em três horas. Em quanto tempo as duas torneiras, juntas, encherão o tanque?

04. Uma torneira enche um tanque em duas horas e um orifício é capaz de esvaziá-lo em três horas. Em quanto tempo o tanque ficaria cheio, se abrirmos a torneira e o orifício, simultaneamente?

05. (UCSAL) Um certo metal é obtido fundindo-se 15 partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 136,5 kg desse metal, são necessários:

a) 91,8 kg de cobre.b) 41,5 kg de zinco.c) 92 kg de cobre.d) 45 kg de zinco.e) 97,5 kg de cobre.

02. REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Vamos resolver o problema:

Numa certa construção, 3 pedreiros levantaram, em 20 dias, 5 metros de um certo muro. Quantos metros do mesmo muro 6 pedreiros levantam em 60 dias?

SOLUÇÃO

O esquema da questão é:

Pedreiros Dias Metros do muro3 20 56 60 x

Ora, é claro que:

1o) Se 3 pedreiros, em 20 dias, levantam 5 metros do muro, então 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro.

Isto é:

Pedreiros Dias Metros do muro3 20 56 20 10

2o) Se 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro, então 6 pedreiros, em 60 dias, levantam 30 metros do muro.

Isto é:

Pedreiros Dias Metros do muro6 20 106 60 30

MATEMÁTICA17

Portanto, a resposta do problema é 30 m.

Observem que na primeira etapa da resolução do problema mantivemos a quantidade de dias constante e notamos que:

duplicando a quantidade de pedreiros, a quantidade de metros que podem ser construídos duplica.

Na segunda etapa, aproveitamos a etapa anterior, mantivemos a quantidade de pedreiros constante e notamos que:

triplicando os dias de trabalho, triplicam-se os metros do muro.

Ora, já que inicialmente tínhamos 5 metros, na primeira etapa duplicamos e na segunda etapa triplicamos o resultado da primeira, então a quantidade de metros ficou sextuplicada.

Isto quer dizer que:

“Se uma grandeza x é proporcional a duas outras, y e z, então x é proporcional ao produto y . z.”

Vamos resolver o problema anterior com o esquema de setas:

Setas do mesmo sentido, pois:

aumentando a quantidade de pedreiros (mantendo constante os dias), aumentam-se os metros do muro.

aumentando a quantidade de dias (mantendo constante os pedreiros), aumentam-se os metros do muro.

Ora:

A razão é diretamente proporcional a e vice-versa.

A razão é diretamente proporcional a e vice-versa.

A razão é diretamente proporcional ao produto .

Assim: , ou seja, x = 30 metros.

EXERCÍCIO

Seis operários constroem um muro de 30 m de comprimento em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 9 operários, para construírem um muro semelhante ao anterior, só que com 48 m de comprimento e em 4 dias?

MATEMÁTICA18

MÉDIAS

01. MÉDIA ARITMÉTICA

Vejamos o exemplo:

Pedro é um aluno que conseguiu em quatro trabalhos sucessivos as seguintes notas: 7, 5, 3 e 9.

Uma nota representativa que substitui as quatro pode ser dada por:

Portanto, o número 6 é o valor médio das notas 7, 5, 3 e 9 e é chamado média aritmética.Nesse caso, a média aritmética dos quatros números foi obtida somando-se as notas e dividindo-se o resultado por 4.

GENERALIZAÇÕES

A média aritmética (M.A.) dos n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por

02. MÉDIA GEOMÉTRICA

A média geométrica (M.G.) de n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por

EXEMPLOS

E.1) A M.G. entre 2 e 8 é E.2) A M.G. entre 1, 3 e 9 é

E.3) A M.G. entre 4, 6, 6 e 9 é

03. MÉDIA PONDERADA

Vejamos o exemplo:

Em um determinado colégio, existem três avaliações por unidade: um teste, com peso 3, um trabalho, com peso 2, e uma prova, com peso 5.Um determinado aluno conseguiu as seguintes notas: 8 no teste, 4 no trabalho e 6 na prova.Uma nota representativa que substitui as três notas pode ser dada por:

GENERALIZAÇÃO

A média ponderada (M.P.) de n números, a1, a2, a3, ..., an, com os respectivos pesos p1, p2, p3, ..., pn é dada por:

MATEMÁTICA19

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. (UFRS) Uma estrada de 315 km de extensão foi asfaltada por três equipes, A, B e C, cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4, respectivamente. O trecho da estrada asfaltado pela turma C foi de:

a) 70 kmb) 96 kmc) 105 kmd) 126 kme) 140 km

02. Um comerciante precisa pagar três dívidas: uma de 30 mil reais, outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais. Como ele só tem 90 mil reais, resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada débito. Nessas condições, o maior credor receberá uma quantia de:

a) 30 mil reaisb) 37,5 mil reaisc) 36 mil reaisd) 22,5 mil reaise) mil reais

03. Quando você dividiu um certo número em partes inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4, a primeira parcela que encontrou foi 200. Nessas condições, o número dividido foi:

a) 380b) 360c) 350d) 320e) 400

04. Uma lâmpada de 40 watts pode funcionar por 15 horas, a um certo custo. Por quanto tempo poderá funcionar uma lâmpada de 60 watts, para que o custo permaneça o mesmo?

a) 12 horasb) 10 horasc) 8 horasd) 6 horase) 4 horas

05. Num recenseamento, chegou-se à conclusão de que, para visitar 102 residências, era necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3.060 residências, quantos recenseadores devem ser contratados?

a) 270b) 250c) 240d) 220e) 210

06. (UFMG) Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza um certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, realizará o mesmo trabalho em:

a) 12 diasb) 14 diasc) 16 diasd) 18 diase) 20 dias

07. Duas máquinas empacotam 1.000 balas por hora.Quantas máquinas são necessárias para empacotar 5.000 balas em meia hora?

a) 10b) 12c) 15d) 16e) 20

08. Num determinado colégio, têm-se 4 unidades, de pesos, respectivamente, 2, 2, 2 e 4. Se as notas de um aluno em Física foram, respectivamente, 3,0; 5,2; 4,0 e 6,5, calcule a média do aluno nas quatro unidades.

09. Em uma determinada escola, um aluno conseguiu as médias 7, 5 e 4, respectivamente, nas três primeiras unidades. Sabendo que a média anual para essa escola é obtida com os pesos 2, 2, 2 e 4, respectivamente, para as quatro unidades e que qualquer aluno precisa de média anual 5 para ser aprovado, sem recuperação, calcule quanto o aluno em foco precisa de média na quarta unidade para passar direto.

10. (UFMG) Uma firma é constituída por dois sócios, A e B, cujos capitais investidos são 200 mil e 350 mil reais, respectivamente. Todo lucro ou prejuízo da firma é dividido, entre os dois, proporcionalmente ao capital investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais. As parcelas do prejuízo, em mil reais, correspondentes a cada sócio são, respectivamente:

a) 20 e 101b) 40 e 70c) 44 e 77d) 79 e 72e) 100 e 21

MATEMÁTICA20

11. (FUVEST-RJ) Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado dessa fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três de água, no caso do suco, e de uma parte de concentrado para seis de água, no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado diluindo x partes de suco em y partes de

água, se a razão fosse igual a quanto?

a) d)

b) e) 2

c) 112. (FAFI-BH) Em uma empresa, 8 funcionários

produzem 2.000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6.000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, é:

a) 2b) 3c) 4d) 8e) 16

13. (FAFI-BH) Se 120 operários constroem 600 m de estrada em 30 dias de trabalho, o número de operários necessários para construir 300 m de estrada em 300 dias é:

a) 6b) 24c) 240d) 600e) 2400

14. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a:

a) 10b) 12c) 15d) 18e) 20

15. (UFSM-RS) Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado para 24, o número de dias necessários para a construção da mesma ponte será:

a) 180b) 128c) 100d) 80e) 60

16. (UNICRUZ-RS) Uma pessoa, viajando de automóvel, fez o percurso Cruz Alta-Porto Alegre em 5h, viajando a uma velocidade média de 80 km/h. Na volta, retornou mais apressado e fez o mesmo percurso em 4h. Portanto, a velocidade, ao retomar, foi de:

a) 80 km/hb) 85 km/hc) 64km/hd) 90 km/he) 100 km/h

17. José comprou 28 m de tecido por R$ 40,00. Por quanto José compraria 35 m do mesmo tecido?

18. Para construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o mesmo muro?

19. Um automóvel percorre certa distância em 15 h a uma velocidade de 60 km/h. Em quanto tempo o automóvel percorre a mesma distância a uma velocidade de 90 km/h?

20. Numa certa construção, 3 pedreiros levariam, em 20 dias, 5 m de um certo muro. Quantos metros do mesmo muro 6 pedreiros levantam em 60 dias?

21. Para carregar 36 toneladas de ferro, um homem gasta 6 dias, trabalhando 4 horas por dia. Quantos dias serão necessários para esse homem carregar 24 toneladas de ferro, trabalhando 6 horas por dia?

22. Para lixar 36m2 de parede, certo operário levou 5 dias trabalhando 6 horas por dia. Precisando lixar 42 m2 de uma outra parede e tendo que trabalhar 8 horas por dia, em quantos dias realizará o trabalho?

23. Um dicionário teve, na sua 1a edição, 320 páginas de 25 linhas, cada linha contendo 40 letras. Numa 2a

edição, foram usados os mesmos caracteres e cada página continha mais 7 linhas, com o dobro do número de letras por linha. Qual o número de páginas desta 2a edição?

24. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas diárias. 20 homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão quantos dias?

25. Em 12 dias, um homem percorre 180 km caminhando 4 horas por dia com velocidade v. Qual será a distância que ele percorrerá em 10 dias, caminhando 6 horas por dia, reduzindo a velocidade em 1/3?

MATEMÁTICA21

26. Um homem pode fazer um trabalho em 8 dias; outro pode fazer o mesmo trabalho em 12 dias. Qual o número de dias que levarão para fazer o mesmo trabalho, trabalhando juntos?

27. Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários, que trabalham 7 horas por dia. Em quantos dias se poderá terminar esse trabalho, sabendo que foram licenciados 4 operários e que os restantes trabalham, agora, 6 horas por dia?

GABARITO

01. E 15. D02. B 16. E03. A 17. R$50,0004. B 18. 8 dias05. A 19. 10 km/h06. D 20. 30 m07. E 21. 2 dias e 4 h08. 5,04 22. 4 dias e 3 h09. 4,5 23. 125 páginas10. C 24. 24 dias11. D 25. 150 km12. E 26. 24/5d13. A 27. 21 dias14. C

ANOTAÇÕES

MATEMÁTICA22

CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS

01. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Representa-se pela letra N e é formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, ...Portanto N = {0, 1, 2, 3, ...}.Usamos o asterisco (*) ao lado do símbolo que representa um conjunto para excluir o zero desse conjunto.Assim sendo, N* = {l, 2, 3, ...}.Note que, por exemplo, a operação 3 – 5 não é possível em N. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo

de operação. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos números inteiros.

02. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Representa-se pela letra Z e é formado pelos elementos de N, juntamente com seus simétricos.Portanto Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.Do conjunto Z, tiramos os subconjuntos:

Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2,3, ...} (conjunto dos inteiros não nulos).

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N (conjunto dos inteiros não negativos).

= {1, 2, 3, ...} = N* (conjunto dos inteiros positivos).

Z– = {..., –2, –2, –1, 0} (conjunto dos inteiros não positivos).

= {..., –3, –2, –1} (conjunto dos inteiros negativos).

Note que, por exemplo, a operação 6/10 não é possível em Z. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo de operação. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos números racionais.

03. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Representa-se pela letra Q e é formado por todos os elementos da forma , com a Z e b Z*.

EXEMPLOS

E.1) = 3,125 E.2) = 1,37 E.3) = 0,1333...

E.4) = 3,121212... E.5) = –2 E.6) = 0

OBSERVAÇÕES

A fração , quando a é divisível por b, é aparente, pois é igual a um número inteiro (Exemplos E.5 e E.6). Por isso,

qualquer número inteiro é racional.

A fração , quando a não é divisível por b, só pode ser:

Um decimal exato (E.1 e E.2) Uma dízima periódica (E.3 e E.4)

MATEMÁTICA23

O conjunto dos racionais é um conjunto denso, isto é, entre dois racionais quaisquer existem infinitos outros racionais.Ainda o conjunto Q não resolve todos os problemas; vejamos o exercício:

Qual o número positivo cujo quadrado é igual a 2?

SOLUÇÃO

x2 = 2; este número x, positivo, é conhecido por x = .Ele não é racional. Foi criado, por isso, um novo conjunto, conhecido por conjunto dos irracionais.

04. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Mostraremos que não existe número x com uma quantidade finita de decimais, tal que x2 = 2, ou melhor, mostraremos que não representa número com quantidade finita de decimais.

Ora:

= 1 (por falta, pois 12 = 1) = 1,4 (por falta, pois 1,42 = 1,96)

= 1,41 (por falta, pois 1,412 = 1,9881) = 1,414 (por falta, pois 1,4142 = 1,999396)

Para que o quadrado de 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., venha representar o número 2 ou 2,0 ou 2,00 etc., seria necessário que o último algarismo significativo da parte decimal multiplicado por si mesmo apresentasse final zero. Nesse caso, esse último algarismo teria que ser zero. Isso é impossível, pois 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., são números que têm na parte decimal pelo menos um algarismo diferente de zero e, sendo este último, quando multiplicado por si mesmo não dará zero.

Portanto, mostramos que não existe um número com uma quantidade finita de decimais cujo quadrado resulte exatamente 2 ou 2,0 ou 2,00 etc.

O número não é racional e se caracteriza por possuir na parte decimal uma quantidade infinita de algarismos não formando uma dízima periódica.

Dizemos que é chamado número irracional, assim como etc.Além desses, temos outros números que são irracionais. O número = 3,1415926... é outro exemplo.Representaremos o conjunto dos irracionais por Q’ ou Q.Outros exemplos de números irracionais:

etc.

Nenhum número irracional pode ser escrito sob a forma com a e b inteiros.

05. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

A união do conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais chama-se conjunto dos reais.Representando-se pela letra R, tem-se que Q Q’ = R.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

MATEMÁTICA24

Analise cada questão a seguir e diga se é verdadeira ou falsa.

01. Existe natural que não é racional.

02. Todo natural é racional.

03. Existe número inteiro que não é natural.

04. Todo número natural é inteiro relativo.

05. Um número inteiro relativo pode ser irracional.

06. Todo número inteiro é racional.

07. Existe número que é racional e irracional, simultaneamente.

08. Todo irracional é real.

09. Existe número real que não é irracional.

10. Todo número irracional é real.

11. Os números da forma , com a Z e b Z podem não ser racionais.

12. O conjunto dos números racionais é formado pelos elementos da forma , com a Z e b Z*.

13. Toda dízima periódica é um número irracional.

14. Existe dízima periódica que não pode ser escrita sob a forma , com a Z e b Z*.

15. O produto de números reais sempre é racional.

16. Se ocorrer pq Z, isto é porque p Z e q Z.

17. O quociente entre racionais, quando possível, é sempre racional.

18. O quociente entre irracionais é sempre irracional.

19. Se x Z e y Q’, então x . y Q’.

20. Se x e y , então(x + y) .

21. Se x N e y R, então (x + y) Q.

22. Se x Q’ e y Q’, então (x . y) Q’.

23. O número 2k + 3, k Z, sempre é ímpar.

24. O número k2 + k, k Z, sempre é par.

25. Se n Z é um número par, então n2 também é par.

26. Se n Z é um número ímpar, então n2 também é ímpar.

27. O número k3 + k, k Z, pode ser ímpar.

28. As expressões 2k + 1 e 2k + 3, k Z, são genéricas para a representação de dois números ímpares consecutivos.

29. O conjunto {x | x = 5k, k Z} representa o conjunto dos múltiplos de 5.

MATEMÁTICA25

30. As expressões 7k e 7k + 1 representam dois múltiplos consecutivos de 7, qualquer que seja k pertencente ao conjunto dos inteiros.

31. As expressões 7k e 7k + 7, k Z, representam dois múltiplos consecutivos de 7.

32. A expressão E = sempre representa número real, qualquer que seja x R.

33. Se k Q’, então k2 Q.

34. 0 Q+ e N = Z+.

35. Z– Z+ = {0}.

36. 0 Q’ e Z* Q– = Z–.

37. Q’ Q+ = R+.

38. R –(Z Q) = Q’.

GABARITO

01. F 14. F 27. F 02. V 15. F 28. V 03. V 16. F 29. V 04. V 17. V 30. F 05. F 18. F 31. V 06. V 19. F 32. F 07. F 20. V 33. F08. V 21. F 34. V 09. V 22. F 35. V 10. V 23. V 36. F 11. V 24. V 37. F 12. V 25. V 38. V 13. F 26. V

ANOTAÇÕES

INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

01. DEFINIÇÃO

MATEMÁTICA26

Chama-se inequação do primeiro grau a toda desigualdade redutível à forma ax + b * 0, com a 0, sendo * <, >, ou .

EXEMPLOS

E.1) 2x + 4 < 0

E.2) 3x – 7 5 (2 – x) + 1

E.3)

02. PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES

P.1.) Somando-se (ou subtraindo-se) um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obtém-se uma desigualdade equivalente.

EXEMPLOS

7 > 3 7 + 2 > 3 + 2, ou seja, 9 > 5x – 3 > 0 x – 3 + (3) > 0 + (3), ou seja, x > 3x + 4 > 2 x + 4 – 4 > 2 – 4, ou seja, x > –2

P.2.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, obtemos outra desigualdade equivalente.

EXEMPLOS

7 > 3 7 . 2 > 3 . 2, ou seja, 14 > 6

> 5 . (2) > 5. (2), ou seja, x > 10

3x > 12 > , ou seja, x > 4

P.3.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade deve ser invertido.

EXEMPLOS

7 > 3 7 . (–1) < 3 . (-1), ou seja, –7 < –3–x > –3 –x(–1) < –3 . (–1), ou seja, x < 3

–2x 12 , ou seja, x 6

É costume resolver a inequação – 2x > 12 multiplicando inicialmente ambos os membros por –1.

Assim: – 2x 12 2 x –12

x

x –6

PRODUTOS NOTÁVEIS

Existem, alguns produtos que são muitos usados na álgebra e que, por isso, daremos um maior destaque:

MATEMÁTICA27

01. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

02. QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

03. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

04. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

05. CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

06. QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

EXERCÍCIOS

01. Desenvolva

a) (a + b – c)2

b) (x – 3)2 – (2x + 3)2

c) (3x – 2) . (3x + 2) – (2x – 3)3

02. Sabendo-se que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a2 + b2.

FATORAÇÃO

PRIMEIRO CASO: FATOR COMUM

MATEMÁTICA28

ab + ac = a . (b + c)

EXEMPLOS

SEGUNDO CASO: AGRUPAMENTO

ab + ac + bd + cd = a. (b + c) + d. (b + c) = (b + c) . (a + d)

ab + ac + bd + cd = (b + c) . (a + d)

EXEMPLOS

TERCEIRO CASO: DIFERENÇA DE QUADRADOS

a2 – b2 = (a + b) . (a – b)

EXEMPLOS

QUARTO CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

EXEMPLOS

QUINTO CASO: TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU

ax2 + bx + c = a . (x – x’) . (x – x”)

MATEMÁTICA29

EXEMPLOS

SEXTO CASO: CUBO PERFEITO

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

EXEMPLOS

SÉTIMO CASO: SOMA OU DIFERENÇA DE CUBOS

a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)

EXEMPLOS

EXERCÍCIOS

01. Fatore:

a) x2 – 2x2 – 9x + 18

MATEMÁTICA30

b) 4x2 - 25

c) 9x2 - 6x + 1

d) x2 – x – 6

e) x3 = 6x2 + 12x + 8

f) x3 - 27

02. Simplifique .

POTÊNCIAS

01. DEFINIÇÕES

Seja a um número real e n um número natural maior que 1.Temos:

MATEMÁTICA31

02. PROPRIEDADES

EXERCÍCIOS

01. Simplifique a expressão .

02. (FATEC) Das três sentenças abaixo:

I) 2x+3 = 2x . 23

II) (25)x = 52x

III) 2x + 3x = 5x

a) somente a I é verdadeira.b) somente a II é verdadeira.c) somente a III é verdadeira.d) somente a II é falsa.e) somente a III é falsa.

RAÍZES

01. DEFINIÇÕES

1.1. Seja n um número natural par e não nulo e seja a um número real não negativo.

MATEMÁTICA32

1.2. Seja n um número natural ímpar e seja a um número real.

EXEMPLOS

E.1) E.5)

E.2) E.6)

E.3) E.7)

E.4) E.8)

OBSERVAÇÃO

Note que = 3, e não ±3.

02. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

Seja a Q (m Z e n N*)

EXEMPLOS

E.1) E.2) E.3)

03. PROPRIEDADES

Se a R+, b R+, m Z, n N* e p N*, temos:

P.1.) P.3.)

P.2.) P.4.)

EXEMPLOS

E.1) E.3)

E.2) E.4)

EXERCÍCIO

Simplifique:

a)

MATEMÁTICA33

b)

04. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais deste denominador, sem com isso alterar o valor da fração.

EXEMPLOS

E.1)

E.2)

E.3)

E.4)

E.5)

EXERCÍCIOS

01. Racionalize:

a)

b)

MATEMÁTICA34

c)

d)

e)

02. (UCSAL-00) Simplificando-se , obtém-se:

a)

b)

c)

d)

e)

EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

01. DEFINIÇÃO

Chama-se equação do segundo grau a toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais, com a 0.

EXEMPLOS

E.1) 3x2 + 4x – 1 = 0 (a = 3, b = 4, c = –1)

E.2) –x2 + 2x + 8 = 0 (a = –1, b = 2, c = 8)

E.3) 2x2 – 16 = 0 (a = 2, b = 0, c = –16)

MATEMÁTICA35

E.4) x2 – 5x = 0 (a = 1, b = –5, c = 0)

E.5)

Note que o termo de maior grau da equação do segundo grau é ax2, com a 0, o que justifica o seu nome. Se b = 0 ou c = 0 ou b = 0 e c = 0, a equação do segundo grau é dita incompleta. Se b 0 e c 0, a equação do segundo grau é dita completa.

As raízes de uma equação do segundo grau são os valores que quando substituídos no lugar de x tornam o primeiro membro igual ao segundo membro.

Note nas equações que:

E.1) x2 – 7x + 10 = 0, Se substituirmos x por 2 ou por 5, temos:

Assim, dizemos que 2 e 5 são as raízes ou zeros da equação x2 – 7x + 10 = 0.

E.2) 3x2 – 12 = 0; se substituirmos x por 2 ou por - 2, temos:

Assim, dizemos que 2 e – 2 são as raízes ou zeros da equação 3x2 – 12 = 0.

02. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS

Devemos saber, antes de tudo, que é válida a equivalência A . B = 0 A = 0 ou B = 0.

PRIMEIRO TIPO

ax2 + bx = 0 (c = 0)

SOLUÇÃO

ax2 + bx = 0x .(ax + b) = 0x = 0 ou ax + b = 0

SEGUNDO TIPO

ax2 + c = 0 (b = 0)

SOLUÇÃO

ax2 + c = 0ax2 = – c

x2 =

Se 0, S =

MATEMÁTICA36

Se < 0, S =

03. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS

Na prática, a solução da equação do segundo grau completa é feita com a fórmula de Báskara.Vejamos a dedução dessa fórmula:

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx = –c (x 4a)

4a2x2 + 4abx = –4ac (+b2)

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac

(2ax + b)2 = b2 – 4ac

2ax + b = ±

2ax = – b ±

, sendo b2 – 4ac = , que é chamado discriminante da equação do segundo grau.

Portanto as raízes da equação são:

OBSERVAÇÕES

Se > 0, a equação possui duas raízes reais distintas. Se = 0, a equação possui duas raízes reais iguais. Se < 0, a equação não possui raízes reais.

04. RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Existem duas relações importantes numa equação do tipo ax2 + bx + c = 0 que envolvem as raízes x’ e x” e os coeficientes a, b, e c.

PRIMEIRA RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES

Somando-se membro a membro as igualdades a seguir, temos

Portanto:

MATEMÁTICA37

SEGUNDA RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES

Portanto:

05. EQUAÇÕES BIQUADRADAS

5.1. DEFINIÇÃO

Chama-se equação biquadrada a equação do quarto grau incompleta que possui o aspecto ax4 + bx2 + c = 0, sendo a, b e c números reais, com a 0.

EXEMPLOS

E.1) 5x4 + 4x2 + 1 = 0E.2) x4 – 3x2 + 2 = 0E.3) x4 – 81 = 0

5.2. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO BIQUADRADA

Toda equação do tipo ax4 + bx2 + c = 0 é equivalente ao modelo a(x2)2 + b(x)2 + c = 0.

Fazendo x2 = y, temos:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do segundo grau de variável y. Nela, encontramos as raízes y’ e y” e daí:

EXEMPLOS

E.1) Vejamos qual o conjunto verdade da equação x4 – 10x2 + 9 = 0

SOLUÇÃO

A equação é equivalente a (x2)2 – 10x2 + 9 = 0

Fazendo x2 = y, temos:

y2 – 10y + 9 = 0, cujas raízes são y’ = 9 e y” = 1.

Ora, x = ± y = {–3, –1, 1, 3}

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

01. DEFINIÇÃO

MATEMÁTICA38

Chama-se equação irracional à equação que apresenta incógnita sob radical.

EXEMPLOS

E.1)E.2)E.3)E.4)

02. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Para resolvermos equações irracionais, devemos eliminar os radicais da equação e, ao final, verificarmos as soluções.Convém lembrar que:

a = b a2 = b2 (verdadeiro)a2 = b2 a = b (falso)a = b a2 = b2 (falso)

EXEMPLOS

E.1) . Elevando membro a membro ao cubo, temos:

x – 5 = 8; x = 13.

É importante verificar, após a resolução da equação, se a solução realmente satisfaz.

VERIFICAÇÃO

x = 13 = 2 2 = 2 (V)

Assim: V = {13}

E.2) = x – 1; elevando membro a membro ao quadrado, temos:

x + 11 = (x – 1)2

x + 11 = x2 – 2x + 1

x2 + 3x – 10 = 0; x’ = 5 e x” = –2

VERIFICAÇÃO

x’ = 5 (V)x’ = –2 (F)

Note que apesar de 3 –3, temos 32 = (–3)2. Portanto, quando se elevou ao quadrado os membros da equação, uma das soluções, x = – 2, era estranha.

Assim: V = {5}

Para se resolver as equações do segundo tipo, convém isolar em um dos membros duas das expressões que contêm as raízes.

Vamos resolver as equações E.3 e E.4.

E.3)

MATEMÁTICA39

Isolando-se as raízes do primeiro membro, temos:

; elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

x + 7 + 2

Dividindo por 2, temos:

Elevando ambos os membros outra vez ao quadrado, temos:

x2 + 7x = (21 – x)2

x2 + 7x = 441 – 42x = x2

49x = 441

VERIFICAÇÃO

x = 9 (V)

Assim: V = {9}

E.4)

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

Dividindo por 2, temos:

;

elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

2x2 + 6x – 20 = (2x – 2)2

2x2 + 6x – 20 = 4x2 - 8x + 4–2x2 + 14x – 24 = 0 :(–2)x2 – 7x + 12 = 0; logo, x’ = 4 e x” = 3.

VERIFICAÇÃO

Na equação inicial (antes de elevarmos os dois membros ao quadrado), vamos substituir as raízes x’ = 4 e x” = 3 encontradas.

x’ = 4 (V)

MATEMÁTICA40

x” = 3 (V)

Assim: V = {3,4}

E.5) Resolvamos a equação .

SOLUÇÃO

Como vemos, esta equação é do segundo tipo e, portanto, se recorrermos ao mesmo processo das anteriores, teremos que elevá-la duas vezes ao quadrado para eliminar os radicais. Entretanto, chegaríamos, desta forma, a uma equação do quarto grau, de difícil solução para o nosso curso.

Por outro lado, verifiquemos que na equação , a expressão x2 + 6x é comum aos dois radicais. Faremos, portanto, x2 + 6x = y.

Assim:

Elevando os dois membros ao quadrado, temos:y + 9 = y + 2

Dividindo a equação por — 2, temos:

Voltando à condição x2 + 6x = y, temos:

x2 + 6x = 16x2 + 6x - 16 = 0; logo, x’ = – 8 e x” = 2.

Pode-se verificar na equação inicial que ambas as soluções satisfazem.

Assim: V = {– 8, 2}

EXERCÍCIOS

01. Resolva as seguintes equações:

a) x +

b)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. Desenvolva:

a) (2x – 3)2 + (1 + 2x) . (1 – 2x)b) (x2 + 2x)2 – (x – 2)3

c) (3x + 1)3 + (x2 – 4x – 3)2

02. Sendo x + y + z = 10 e xy + xz + yz = 30, calcule x2

+ y2 + z2.

03. Sabendo que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a3 + b3.

04. Calcule o valor da expressão E = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

para x = 117 e y = 115.

05. Fatore:

a) x2 + 2xy + 5x + 10yb) x2y2 – 9c) 4x2 - 4xy2 + y4

d) x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2

e) x2 + 2x – 15

06. Simplifique:

a)

b)

c)

07. Se , com ab

-1, então calcule .

MATEMÁTICA41

08. Simplifique a expressão .

09. Simplifique a expressão .

10. Se 2x + 2–2 = a, então 8x + 8–x é igual a:

a) a3

b) a2 – ac) a3 – 3ad) a3 - ae) NRA

11. A expressão , para a > 0 e b > 0 é

equivalente a:

a)

b) a + b + 2

c)

d)

12. Racionalize:

a)

b)

c)

d)

13. Qual o maior entre os números ?

14. Simplifique a expressão .

15. Calcule o valor da expressão

.

16. Se a > 0 e b > 0, a expressão é igual a ...

17. A equação 3x2 + bx + c = 0 tem raízes 1 e 4. Os valores dos coeficientes b e c são, respectivamente:

a) 5 e 4b) –5 e 4c) 5 e 12

d) -15 e 12e) –15 e –12

18. Na equação do segundo grau x2 + 3mx + m – 7 = 0, se as raízes são opostas, calcule m.

19. Na equação x2 – 8x + p – 1 = 0, uma raiz é o triplo da outra. Calcule.

20. Calcule a soma dos inversos das raízes da equação 3x2

+ 7x – 5 = 0.

21. Sendo a e b as raízes da equação 2x2 – 5x + m = 3,

então se , qual o valor de m?

22. Se a soma das raízes da equação (x – 5) . (x + p) = – 1 é 7, qual o valor do produto das raízes?

23. Determine o conjunto solução das seguintes equações:

a) (x + 3)2 = (x – 1) . (x + 5)

b)

c) 5x + 4 . (x – 1) = 9x – 4d) 6 . (x + 2) – 4x = 2 . (x + 1) + 4

24. Determine o conjunto solução das seguintes inequações:

a)

b) 4 . (x – 2) – (3x+2) > 5x – 6 – 4 . (x – 1)c) 6 . (x + 2) – 2 . (3x + 2) > 2 .(3x – 1) – 3 – (2x – 1)

25. Resolva os sistemas:

a)

b)c)

26. Resolva as seguintes equações:

a)b)

c)

d)e)

GABARITO

01. a) 10-12xb) x4 + 3x3 + 10x2 – l2x + 8

MATEMÁTICA42

c) x4 + 19x3 + 37x2 + 33x + 1002. 4003. 40004. 805. a) (x + 5) . (x + 2y)

b) (xy + 3) (xy – 3)c) (2x – y2)2

d) (x – 2y)3

e) (x + 5) (x – 3)06. a) x2 + 2x + 4

b)

c)

07. b

08.

09.

10. C11. C

12. a)

b)

c)

d)13.14. Zero15. 216.17. D18. m = 019. p = 13

20.

21.

22. 1123. a) {–7}

b) c) R d)

24. a) S = {x R/x > – 3}b) c) R

25. a) {(4; 9)}b) {(7; 3)}c) {(4; 3); (–4; –3)}

26. a) {24}b) {34}c) {–4;4}d) {3; –2}e) {5}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

P1. A equação é equivalente a

, a e b primos entre si. Então a + b é um:

a) número primo.b) número par.c) divisor de 7.d) múltiplo de 3.e) quadrado perfeito.

P2. Distribuí R$ 570,00 entre três pobres. Sabe-se que o 2o recebeu a terça parte do 1o, o 3o recebeu R$ 70,00 a mais que o 2o e que ainda sobraram R$ 50,00. Calcule quanto recebeu cada pobre.

P3. A soma das idades de pai e filho é 44 anos. Há 4 anos a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho. Quais as idades atuais?

P4. Eu tenho a idade que tu tinhas quando eu tinha a metade da idade que tu tens. Se a soma das nossas idades atualmente vale 35 anos, calcular as nossas idades.

P5. Um cão persegue uma lebre, que leva 48 saltos seus de dianteira. O cão dá 3 saltos enquanto a lebre dá 5, e 5 saltos do cão valem 11 saltos da lebre. Quantos saltos dará o cão para alcançar a lebre?

P6. Numa árvore têm-se galhos e passarinhos. Se pousar um passarinho em cada galho, fica um passarinho sem galho; se pousarem dois passarinhos em cada galho, fica um galho sem passarinho. Calcule o produto entre o número de passarinhos e o número de galhos.

P7. Numa cesta de capacidade para três dúzias de ovos, temos ovos caipira e de granja. Foram retirados três quartos dos ovos caipira e a cesta reduziu seu número de ovos à terça parte. Sendo assim, a razão entre o número de ovos de granja e caipira que possui a cesta, inicialmente, vale:

a) d)

b) e)

c)

P8. O sistema de equações lineares tem soluções e, e só se:

a) m 2b) m –1

c) m

d) m 0

e) m

MATEMÁTICA43

P9. Se x, y e z satisfazem à condição , então x + y

+ z vale:

a) –5b) 2c) 0d) –11e) 6

P10. O conjunto de valores reais que soluciona a equação

no universo R é:

a) {–1}b) R – {± 1}c) Rd) {0}e) {3}

P11. Se ocorre x – y = 2 e x . y = 5, então vale:

a)

b) –6

c)

d) –1

e)

P12. A equação do segundo grau (3x – 1)2 + (2x – 1) . (2x + 1) = 0 possui as raízes x1 e x2. Determine, então, o valor de x1 + x2.

a) –0,4b) 6/13c) –3d) 5

e)

P13. A diferença entre o quadrado da soma de um número com 3 e o dobro do produto desse número pelo seu consecutivo é 13. Esse número é:

a) –1b) 5c) 2d) 3e) –6

MATEMÁTICA44

P14. Qual o conjunto solução da equação

em R.

a)

b) {±2}

c)

d) {–5}e)

P15. A soma de dois números é p e a soma dos recíprocos (inversos) desses números vale q. Logo, o produto dos números é:

a) p . q

b)

c)

d) pq – pe) p2 q + pq2

P16. Dizer qual o conjunto solução da equação

em R.

P17. O valor absoluto da diferença entre a soma e o produto das raízes da equação –2x2 + 10x – 3 = 0 é:

a) 3b) 5

c)

d)

e) 0

P18. A equação do segundo grau 2x2 – kx + 3 = 0 possui – 1 como uma de suas raízes. Então a outra raiz é:

a) –3/2b) 1c) 0d) –1/2e) 5/2

P19. Se a equação x2 – 2 x + = 0 possui –5 como raiz dupla, então . é:

a) –10b) –125c) 87d) 160e) 25

MATEMÁTICA45

P20. Observe a equação do segundo grau 2x2 – mx + n = 0; a asserção falsa é:

a) Se seus zeros são simétricos, então m = 0.b) Se uma das raízes é nula, então n = 0.

c) Se seus zeros são recíprocos, então n = 2.d) Se a diferença dos seus zeros for nula, então m2 = 8n.e) Se uma das raízes é nula, então a outra raiz é n.

P21. As raízes da equação do segundo grau 3x2 – 15x + = 0, constante, diferem de uma unidade; sendo assim, é um elemento do conjunto.

a) {–2, 7, 13}b) {0, 1, 5}c) {l2, 15, 20)d) {7, 18, 19}e) {–11, 4, 8}

P22. Considerando a equação 2x2 + mx – 8 = 0 de raízes

x1 e x2 e sabendo-se que , as raízes

dessa equação formam o conjunto:

a) {x/x = 0 ou x = 1}b) {x/x = 1/2 ou x =2}c) {x/x = –1 ou x = 2}d) {x/x = ± 2}e) {x/x = ± 1/2}

P23. Resolva a equação x4 – x2 – 12 = 0, em R.

P24. Resolva a equação x6 + 7x3 – 8 = 0.

P25. Resolva a equação (x3 – 1)2 – 5(x3 –1) – 14 = 0.

P26. A equação do segundo grau cujas raízes são e é:

a) 2x2 + x – 1 = 0b) –x2 + x – 3 = 0c) 3x2 + 7x + 2 = 0d) x2 – 4x + 1 = 0e) x2 – x – 1 = 0

P27. O conjunto solução da equação possui quantos elementos?

a) umb) doisc) trêsd) quatroe) infinitos

MATEMÁTICA46

P28. Resolva .

P29. Quantas soluções reais possui a equação ?

a) zerob) umac) duasd) trêse) mais de três

P30. Calcule a soma das raízes da equação .

P31. Calcule as raízes da equação .

P32. Sabendo-se que e que x + y = 32, então xy vale:

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

P33. Resolver a equação em R.

P34. O conjunto de números reais x para que

forma o intervalo real:

a) (–,2]

b)

c)

d) (–,0]e) (-1,+)

P35. Resolvendo a inequação ,

obtemos o conjunto S como solução.Então é verdadeiro que:

a)b) – Sc) 13 Sd) 1/2 Se) –9 S

MATEMÁTICA47

P36. O maior número inteiro que satisfaz à condição

, é

a) –1b) 0c) 1d) 5e) –7

P37. O conjunto de reais x que satisfazem à condição

é:

a) (3,7]b) (–7,3] (5, + )c) (–7, 5)d) [3, + )e) [3,5)

P38.O sistema de inequações

tem para solução o conjunto:

a) (– ,–1]b) (–1, 0)c) (–1, 0]d) (–1, 2)e)

P39. Calcular as raízes da equação x2(x + 3) = 4(x + 3).

P40. A soma dos zeros da equação x(x2 – 1) = 2 . (x + 1)2 é:

a) 0b) 2

c)

d) 5

e)

P41. Resolva a equação .

P42. Calcular o produto das raízes da equação

.

MATEMÁTICA48

P43. Qual o conjunto solução da equação

?

P44. Um dos valores de x para que é:

a) –3b) 7c) –11d) 3/2e) 1/2

P45. Duas pessoas empregam, juntas, RS 144.000,00 na compra de ações que rendem 6% ao ano.

Anualmente, a primeira recebe R$ 1.200,00 a mais que a segunda. Qual o capital que cada uma empregou?

P46. Uma mistura de 20m é constituída de duas substâncias, A e B, nas proporções 25% e 75%, respectivamente. Sabendo que para um mesmo volume a substância A pesa o dobro de B, que percentagem do peso total da mistura representa o peso de A?

P47. Uma torneira consegue encher um tanque vazio em duas horas. Outra torneira consegue realizar o mesmo trabalho em seis horas. Estando o tanque cheio, um ralo o esvazia em x horas. Estando o tanque vazio e colocando-se as duas torneiras juntas em funcionamento com o ralo aberto, o tanque fica cheio em 12/5 horas. Quanto vale x?

P48. Uma casa deve ser construída em 12 meses. Para isso, precisa-se de 24 serventes, cada um trabalhando 15h/dia. Dois meses após o início da obra, 25% dos serventes foram demitidos, e o restante dos serventes ficou com a incumbência de terminar a obra no prazo determinado. Quantas horas por dia passará a trabalhar o restante dos serventes?

P49. Se 2x + 2–x = , calcule 8x + 8–x.

P50. Se a + b – c = 0, provar que a3 + b3 – c3 = –3 abc.

P51. Provar a veracidade da sentença: Existe x Q’ tal que (x2 + x) Z.

P52.Racionalize os denominadores:

a)

b)

c)

P53. Simplificar o radical .

MATEMÁTICA49

P54. Simplificar a expressão .

P55. Calcule o valor de .

P56. Duas rodas de engrenagem têm 40 e 60 dentes, cada uma com um dente estragado. Se, num dado instante, esses dois dentes estão em contato, quantas voltas a roda pequena dará para que se repita esse encontro?

P57. Um terreno de forma triangular tem lados de medidas 18 m, 24 m e 30 m. Deve-se cercar esse terreno com estacas espaçadas igualmente, à máxima distância possível. Qual deve ser à distância entre as estacas?

P58. Determinar o maior número pelo qual se deve dividir 423, 796, 1585 para se obter os restos 3, 4 e 1, respectivamente.

P59. Uma senhora possui uma cesta com ovos para distribuir entre os seus 3 filhos. Ao primeiro filho ela deu metade dos ovos da cesta mais meio ovo; ao segundo filho ela deu a metade dos ovos restantes mais meio ovo, e, ao terceiro filho, ela deu metade do novo resto mais meio ovo, ficando sem nada.Quantos ovos havia na cesta?

P60. (UFBA-99) Uma herança de R$ 525.000,00 foi dividida entre duas famílias, uma com 25 pessoas e outra com 30 pessoas, de maneira tal que a quantia recebida por um dos membros da família menor, somada à recebida por um dos membros da família maior, foi igual a R$ 20.000,00. Todos os membros de uma mesma família receberam quantias idênticas.Se cada pessoa da família menor recebeu x mil reais, calcule x.

P61. (UFBA-01) Um teatro colocou à venda, ingressos para um espetáculo, com três preços diferenciados de acordo com a localização da poltrona. Esses ingressos, a depender do preço, apresentavam cores distintas: azul, branco e vermelho. Observando-se quatro pessoas na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte: a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2 brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; a segunda comprou 2 ingressos brancos e 3 vermelhos e gastou R$ 184,00, e a terceira pessoa comprou 3 ingressos brancos e 2 vermelhos, gastando R$ 176,00.Sabendo-se que a quarta pessoa comprou apenas 3 ingressos azuis, calcule, em reais, quanto ela gastou.

MATEMÁTICA50

GABARITO

01. A 33.

02. 1a) R$ 270,00 34. C2a) R$ 90,00 35. C3a) R$ 160,00 36. B

03. Pai: 34 anos 37. EFilho: 10 anos 38. C

04. 15 e 20 39. V = {–3,–2, +2}05. 90 40. B06. 12 41. V = {–2, 5}07. A 42. –1/208. B 43. V = {–2, 8}09. B 44. A10. E 45. V = R$ 82.000,0011. A R$62.000,0012. B 46. 40%13. C 47. 414. C 48. 20h/dia15. B 49. 3 – 316. V = {13} 50. Demonstração17. C 51. Demonstração18. A 52. a) 19. B b) 20. E

c)

21. D 53.22. D 54. 423. V = {–2, +2} 55. 224. V = {1, –2} 56. 3 voltas25. V = {–1, 2} 57. 6 m26. D 58. 1227. A 59. 0728. V = {25} 60. 1529. A 61. 8430. 331. –2 e 132. B

MATEMÁTICA51

ANOTAÇÕES