Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

11.a Aula: Controle por Realimentação de Estados

O estado x(tf) de uma planta linear é dito controlável a partir de um estado inical x(t0), se existe uma trajetória no espaço de estados, que possa ser percorrida pelo sistema de malha fechada, que conduza o sistema desde o estado x(t0) até o estado x(tf) em um tempo finito tf-t0.

Controlabilidade

Se todos os estados do sistema forem controláveis a planta é dita completamente controlável.

Realimentação do estado, através de ganhos K e por conveniência um ganho Kp no ramo de malha aberta.

Diagrama de blocos geral

Substituindo a realimentação na planta.

Modelo do Sistema de Malha Fechada

Modelo do Sistema Malha Fechada

Definindo as novas matrizes

Obtém-se o seguinte modelo de estado em malha fechada

Matriz de Controlabilidade

Teorema:

A planta de ordem n descrita pela equação de estado

É dita controlável por estado se e só se o determinante da matriz de controlabilidade for nulo.

Alocação de Polos

O problema da alocação de polos é determinar inicialmente se o sistema é controlável e, se confirmado, descobrir a partir das especificações qual a posição desejada para os polos.

Em seguida calcular o vetor de ganhos que permite que o sistema de malha fechada apresente os polos na posição desejada.

Característica do método

O método na forma como foi apresentado tem as seguintes características:

a) Posiciona os polos arbitrariamente se a planta for controlável;

b) Não controla os zeros do numerador de malha fechada;

c) Não controla o erro estacionário.

Considerando apenas o vetor de realimentação K

Considere a representação de estados:

Onde a matriz A contem os autovalores e consequentemente os polos do sistema.

Vamos assumir, que:

Se r = 0 temos um regulador:

Objetivo: Escolher K tal que AMF tenha as propriedades desejadas.

Exemplo 1: Considere o seguinte sistema linear em espaco de estados

Determinar a realimentação de estados tal que os polos sejam posicionados em (- 5; - 6).

Solução:

1. Calculo do polinômio caracterstico

Note que o sistema e instavel.

Cujo polinômio caracterstico é dado por:

A posição desejada dos polos é - 5 e – 6.

Que resulta em:

Exemplo 2: Considere o seguinte sistema

Vericar se e possível alocar todos os autovalores da matriz A.

Cujo polinômio caracterstico é:

Repare que o polo (s - 2) não pode ser mudado. Por quê?

A resposta esta na Matriz de Controlabilidade.

O posto(Qc ) = 1 < 2.

Não Controlável.

Formula de Ackermann

Pode-se generalizar para qualquer modelo de estado, atraves da fórmula de Ackermann. Dada uma equação característica desejada

Onde Qc (matriz de contrabilidade) deve possuir inversa e é a equação caracterstica.

Encontra-se o vetor de estado como:

Exemplo 1 (Anterior)

Logo:

Formula de Ackermann no MATLAB

Alocação de pólos

Se a planta é controlável existe solução para a alocação de polos. Para a lei de controle

Tem-se o novo modelo para a malha fechada Kp=1

Exercício

Para a planta cuja Função de Transferência é

Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos utilizando a realimentação das variáveis de estado. Determinar o vetor de ganhos respectivos.

Solução usando MATLAB:

Exercício (Lista)

Considere um sistema regulador. A planta é dada por

Onde:

O sistema usa o controle de realimentação de estado: Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos alocados em:

Determine a matriz K e faça o diagrama em bloco do sistema.