Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

4.a Aula: Matriz de Transição de Estado

Matriz de Transição de Estado

Nas seções anteriores definimos um par de Equação de Estado :

(1)

(2)

Matriz de Transição de Estado

Onde para duas ou mais Equações Diferenciais simultâneas:

A e C são matrizes 2 x 2 ou de maior ordem;

b e d são vetores coluna com duas ou mais linhas;

Nesta seção vamos introduzir a Matriz de Transição de Estado :

( ) Att e (3)

A Matriz de Transição de Estado é a solução da Equação de Estado

0 0 (condições iniciais ( ))x Ax bu x x t

Autovalores de uma Matriz A (n x n)

Os autovalores de uma Matriz (n x n) são as raízes da Equação

característica:

Os autovalores são as vezes chamados de raízes características .

Onde I é a matriz (n x n) identidade de A.

(4)det[ ] 0A I

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada Determinante de uma matriz A de 1ª ordem:

Dada uma matriz quadrada A de 1ª ordem A = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja:

det A = a11

Determinante de uma matriz A de 2ª ordem.

Dada uma matriz quadrada A de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

Determinante de uma matriz A de 3ª ordem.

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:

Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

O método de Sarrus consiste em:

1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.

2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos

elementos das duas diagonais paralelas à principal.

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto

dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:

4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2

e 3, ou seja:

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

Autovalores de uma Matriz A (n x n)

Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de

A.

4 5

2 1A

Resolvendo-se a equação característica (4):

det[ ] 0A I

Exemplo 1:

Autovalores de uma Matriz A (nxn)

4 5 1 0 4 52 1 0 1 2 1

A I

2

1

2

det( ) 0 (4 )(1 ) 10 0

5 6 01

6

A I

Autovalores de uma Matriz A (nxn)

Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de

A.

Resolvendo-se a equação característica (4):

det[ ] 0A I

Exemplo 2:

2 1

0 1A

Autovalores de uma Matriz A (nxn)Autovalores de uma Matriz A (nxn)

2 1 1 0 2 10 1 0 1 0 1

A I

1

2

det( ) 0 ( 2 )( 1 ) 0( 1)( 2) 0

12

A I

Autovalores de uma Matriz A (nxn)Autovalores de uma Matriz A (nxn)Autovalores de uma Matriz A (nxn)

Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de

A.

Resolvendo-se a equação característica (4):

det[ ] 0A I

Exemplo 3:

0 1 00 0 16 11 6

A

Autovalores de uma Matriz A (n x n)

3 2

1

2

3

det( ) 0

6 11 6 0( 1)( 2)( 3) 0

123

A I

0 1 0 1 0 0 1 00 0 1 0 1 0 0 16 11 6 0 0 1 6 11 6

A I

Computação da Matriz de Transição de Estado

Considere a Matriz A (n x n) e a Matriz identidade I (n x n). Por definição , os

autovalores de A são as raízes de um Polinômio de ordem n.

det[ ] 0Onde:

1, 2, ..., n

i

i

A I

i

(5)

Computação da Matriz de Transição de Estado

Recorde-se que a expansão de um determinante produz um polinômio.

As raízes do polinômio da Equação 5 podem ser números reais ou

complexos.

A evolução da Matriz de Transição de Estado é baseada no Teorema de

Cayley-Hamilton. Este teorema diz que uma Matriz pode ser expressa como

um polinômio de (n-1) graus em termos da Matriz A:

Ate

2 10 1 2 1... n

nAte a I a A a A a A

(6)

Computação da Matriz de Transição de EstadoNa equação (6) os coeficientes ai (i = 0, 1, 2,...n-1) são funções dos autovalores (lambda)

Se os autovalores lambda da matriz A satisfazem a seguinte condição, ou seja, são distintos:

1 2 3 ... n

Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:

1

2

2 10 1 1 2 1 1 1

2 10 1 2 2 2 1 2

2 10 1 2 1

...

...

... n

tnn

tnn

tnn n n n

a a a a e

a a a a e

a a a a e

Computação da Matriz de Transição de Estado

Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.

Resolvendo-se os autovalores da matriz A:

det[ ] 0A I

Exemplo 4:

2 1

0 1A

Ate

Solução:

Autovalores da Matriz A

2 1 1 0 2 10 1 0 1 0 1

A I

1

2

det( ) 0 ( 2 )( 1 ) 0( 1)( 2) 0

12

A I

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6)

Como a matriz A é de ordem 2 x 2, computamos apenas os dois

primeiros termos da equação (6):

0 1Ate a I a A

1

2

0 1 1

0 1 2

t

t

a a e

a a e

Os coeficientes a0 e a1 podem ser determinados pelas Equações :

(7)

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6)

Substituindo-se nas equações os autovalores da matriz A calculados:1

0 1

20 1

( 1)

( 2)

t

t

a a e

a a e

Resolvendo-se o sistema de equações, tem-se:

20

21

2 t t

t t

a e e

a e e

Cálculo da Matriz de Transição de Estado

Substituindo-se os coeficientes calculados na Equação (7), tem-se:

2 22 ) )( (t t t te e e eAte I A

Substituindo-se a matriz identidade e a matriz A, tem-se:

2 21 0 2 12 ) )

0 1 0 1( (t t t te e e eAte

Cálculo da Matriz de Transição de Estado

Fazendo as operações com as matrizes, tem-se a matriz de transição

de estado:

2 2

0

t t t

tAte

e e e

e

Computação da Matriz de Transição de Estado

Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.

Exercício 5 (lista):

Ate

5 7 50 4 12 8 3

A