Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

8.a Aula: Controlabilidade e Observabilidade

Controlabilidade

1. Definição: Um sistema é chamado controlável, se e somente se é possívelencontrar uma entrada u(t), tal que o sistema é trazido a origem x(t) = 0,em um tempo finito, a partir de uma condição inicial arbitrária.

2. Objetivo: Trazer o sistema para a origem imediatamente.

3. Por definição:

Controlabilidade

Se a matriz Qc é singular, ou seja, o determinante associado é zero, diz-se que o sistema é não - controlável.

Se a matriz Qc é não-singular, ou seja, o determinante associado é diferente de zero, diz-se que o sistema é controlável.

Revisão de Produto de Matrizes

Multiplicação de matrizes

• O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos

seus respectivos elementos.

• Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n ,

em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-ésima linha de A, pelos elementos da j-ésima coluna B.

1. Dadas as matrizes A e B. Calcule o produto AB.

Observe que :

AB BA

Exercício 1:

Dado o sistema. Verificar a sua controlabilidade.

.

1 1

.2

2

1 1 10 1 0

x xu

xx

[ ]cQ B AB

Determina-se a matriz de controlabilidade:

1 1 1 1

0 1 0 0AB

10

B

1 10 0cQ

0 ( )Singular não controlável

Exercício 2:

Dado o sistema. Verificar a sua controlabilidade.

[ ]cQ B AB

Determina-se a matriz de controlabilidade:

.

1 1

.2

2

1 1 02 1 1

x xu

xx

1 1 0 12 1 1 1

AB

01

B

0 11 1cQ

0 ( )Não Singular controlável

Exercício 3:

Dado a funcão de transferencia. Verificar a sua controlabilidade.

Determina-se a equação de estado:

( ) 2,5( ) ( 2,5)( 1)X s sU s s s

.

1 1

.2

2

0 1 12,5 1,5 1

x xu

xx

Determina-se a matriz de controlabilidade :

1 1[ ]

1 1cQ B AB

0 ( )Singular não controlável

Observabilidade

2. Definição: Um sistema é dito observável, se e somente se todas ascondições iniciais podem ser construídas, em um tempo finito, somente dasmedições das entradas e saídas..

0QCCA

Exercício 4: Considere a equacão de estado. Verificar a observabilidade do sistema.

Matriz de observabilidade:

.

1 1.

22

1

2

1 1 14 1 1

[1 0]

x xu

xx

xy

x

1 1[1 0] 1 1

4 1CA

0

1 01 1

CQ

CA

0

1 0det( ) det 1 0

1 1Q

0 Sistema observavel

Comandos no MATLAB para para o cálculo das matrizes de controlabilidade e observabilidade:

1. Comando ctrb (A,B):

- Utilizado para a computação da matriz Qc de controlabilidade, a partir da matriz de estados A, B, C e D.

Matriz de controlabilidade

In linear algebra, the rank of a matrix A is the dimension of the vector space generated (or spanned) by its columns.

No MATLAB o comando rank da matriz CONT, determina a controbilidade do

sistema. Se rank (CONT) é menor do que n, onde n é a ordem do sistema ,

o sistema não é controlavel.

rank = ordem do sistema

2. Comando obsv (A,C):

- Utilizado para a computação da matriz Qo de observabilidade, a partir da matriz de estados A, B, C e D.

Matriz de observabilidade

No MATLAB o comando rank da matriz OBSER, determina a observabilidade

do sistema. Se rank (OBSER) é menor do que n, onde n é a ordem do

sistema , o sistema não é controlavel.

rank < ordem do sistema

No MATLAB o comando minreal(sys) permite verificar se houve ou não

simplificacao na Funcao de Transferencia.

• Em termos da Função de Transferencia, se o rank (CONT) ou rank (OBSER)

for menor que n , existe um cancelamento de termos do numerador e

denominador da Função de Transferencia.

Como descobrir se ocorreu um cancelamento de termos da Função de

Transferencia ?

• Claramente, os dois fatores (s+1) se cancelam. Isto significa que há estados iniciais x(0), que não podem ser determinados a partir de medições de y(t).

Exercício 5: Considere a equação de estado. Verificar usando o MATLAB a

observabilidade do sistema. .

1 1.

22

1

2

1 1 14 1 1

[1 0]

x xu

xx

xy

x

Exercício 6: Considere a equação de estado. Verificar usando o MATLAB a controbilidade

e observabilidade do sistema.

.

1 1.

22

1

2

1 0 10 1 0

[1 1] 0

x xu

xx

xy u

x