Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

10.a Aula: Diagonalização da Matriz do Sistema

AUTOVALOR E AUTOVETOR

• É uma transformação especial T: V W.

W.

(1)

• Onde, é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se ).

•Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:

(2)

• Igualando-se (1) e (2), tem-se:

(3)

• Onde A é uma matriz n x n e v um vetor.

• Os vetores para os quais existe um que resolve a equação (3) são

chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente

com v resolvem a equação (3) são chamados de autovalores da matriz A

associados aos respectivos autovetores.

• Para que a equação (3) tenha solução, além da trivial, é necessário que o

determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,

(4)

• O que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico.

• As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.

• Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação

original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor

encontrado.

• Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução

da equação (3), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do

autovetor também é um autovetor. Portanto:

Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:

1.Autovalores de T ou de A: são as raízes da equação det (A – I) = 0,

2. Autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação

Av = v ou (A – I)v = 0.

Exemplo 1:

Dada a matriz A. Determine os autovalores e autovetores de A.

Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0:

Autovalores de A

Cálculo dos autovetores:

Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I) v = 0:

Diagonalização da Matriz do Sistema

No estudo dos sistemas, recorre-se às transformações de variáveis de estado, por vários motivos, como a simplificação dos cálculos ou da manipulação das matrizes, bem como a facilidade de pôr em evidência propriedades do sistema, efetuar a realimentação de estado, etc.

• Há dois tipos importantes de transformações de variáveis de estado, a saber:

(a)a transformação que diagonaliza a matriz A do sistema (ou seja, que transforma A em uma matriz D, em que todos os elementos fora da diagonal principal são nulos).

(b) a transformação que resulta em uma matriz de uma das denominadas formas canônicas.

Matriz A Diagonalizada

Sabe-se que a matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P, que

faz a diagonalização, são autovetores associados a autovalores, que por sua

vez são elementos da matriz diagonal D.

Como a matriz P é invertível, estes 2 autovetores são L.I. (um vetor não é

múltiplo escalar do outro).

Exemplo 2:• Determinar a matriz diagonalizada que se obtém a partir das matrizes A1 e A2.

Solução:

Verifique que os polinômios característicos das duas matrizes são iguais a:

Os autovalores das duas matrizes são iguais:

A matriz diagonal é igual para as duas matrizes:

Diagonalização com o MATLAB

Nesta seção, utilizaremos alguns comandos do MATLAB para fazermos a

diagonalização de matrizes.

Exemplo 3: Ache os autovalores , os autovetores e a matriz Diagonal da matriz A.

1 0 0

0 1 2

0 2 0

A

>> %Declaração da matriz A

>> A=[1 0 0; 0 1 2^0.5; 0 2^0.5 0]

A =

1.0000 0 0 0 1.0000 1.4142 0 1.4142 0

>> %Determinação dos autovalores

>> autovalores=eig(A)

autovalores =

-1.0000 1.0000 2.0000

>> %Determinação dos autovetores e matriz Diagonal >> [V D]=eig(A)

V =

0 1.0000 0 0.5774 0 -0.8165 -0.8165 0 -0.5774

D =

-1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 2.0000

Comando [V,D] = eig (A)

•Retorna uma matriz D diagonal com os autovalores de A na diagonal principal, e a matriz V de autovetores normalizados, correspondentes aos autovalores de A.

Exemplo 3:

Dada a matriz A. Determine os autovalores, autovetores e a matriz Diagonal de A.

Comando [V,D] = eig (A)

A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]

[V,D] = eig(A)

V =1.0000 0.4238 -0.3142-0.8810 1.0000 -0.44180.1246 0.9046 1.0000

D =-0.3884 0.0000 0.00000.0000 12.1229 0.00000.0000 0.0000 -5.7345

Exemplo 3:Dada a matriz B. Determine os autovalores, autovetores e a matriz Diagonal de A.

4 52 1

B

>> %Declaração da matriz B

>> B=[4 5;2 1]

B = 4 5 2 1

>> %Determinação dos autovalores

>> autovalores=eig(B)

autovalores =

6 -1

>> %Determinação dos autovetores e matriz Diagonal

>> [V D]=eig(B)

V =

0.9285 -0.7071 0.3714 0.7071

D =

6 0 0 -1

Exercício (Lista)

Determine os autovalores e dois autovetores (linearmente independentes) da matriz A. Escreva também a sua matriz diagonal.

1 2 1 B= C= 2 1 D=0

2 4 1A

Exercício (Lista)

O modelo de estados de um sistema é descrito pelas matrizes:

0 1 0 90 2 1 B= 6 C= 1 1 1 D=00 1 2 18

A

Diagonalize a matriz A. Calcule os autovalores e autovetores da matriz A.