Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

9.a Aula: Realimentação Linear de Variáveis de Estado

1.Motivação para realimentação linear de variávreis de estado

Objetivo:

Motivar o projeto de controladores com base no modelo de

estado e apresentar os principais problemas, que esta

abordagem coloca, relacionando-os com os conceitos de

controlabilidade e observabilidade .

Exemplo: O controle de uma suspensão magnética

O sistema em malha fechada com controle proporcional fica sempre oscilatório não amortecido.

Realimentação de Velocidade:

Equação característica de malha fechada:

Por ajuste dos coeficientes podemos colocar os pólos arbitrariamente.

Por exemplo, se quisermos colocar os pólos em , o polinómio característico deve ser :

Comparando-se este polinómio com o que se obteve com a realimentação da velocidade, tem-se:

Igualando os coeficientes, obtém-se o seguinte sistema de equações, que permite calcular os ganhos que levam os pólos à posição desejada:

Conclusão:

A retroalimentação linear de todas as variáveis de estado

permite aumentar a flexibilidade no projeto do controlador

(pelo menos aparentemente), dado que temos um

procedimento sistemático para colocar os pólos de malha

fechada.

Conclusão:

Levantam-se questões importantes:

Acessibilidade do estado. O estado nem sempre está

acessível para medida direta, por exemplo, devido a

limitações tecnológicas ou de custo dos sensores;

Existência de solução das equações.

Estimação do estado:

Quando o estado não está acessível uma possibilidade é substitui-lo por uma estimativa. Estimador em malha aberta:

Esta solução não é boa:

Leva-nos a um controlador

em malha aberta. As

perturbações e os erros de

modelação não são

atenuados.

Solução com observador assimptótico :

Um outro exemplo: Compensador em malha aberta de um sistema instável.

Será que este controlador funciona quando o

cancelamento é matematicamente exato?

Começamos por construir um modelo de estado do

sistema. Para tal, repare que:

O diagrama de blocos pode ser desenhado na seguinte

forma, em que se indicam as variáveis de estado .

A resolução destas equações conduz a (* significa

“convolução”):

Conclusão: Mesmo quando o cancelamento é exato, o sistema só é estável quando:

Repare que é frequente afirmar que o sistema não

funciona porque, na prática, o cancelamento não é nunca

matematicamente exato. Isto é verdade, mas mais

importante ainda é que, mesmo que haja cancelamento

perfeito, há modos naturais (associados às condições

iniciais) que tendem para infinito.

A necessidade de uma descrição interna dos sistemas

Este exemplo ilustra a importância de termos uma

descrição interna dos sistemas, que clarifique as

questões relativas ao cancelamento de pólos e zeros.

Isto vai conduzir-nos uma vez mais aos conceitos de

Controlabilidade e Observabilidade.

2. Controlabilidade e Observabilidade

Objetivo:

Introduzir os conceitos de observabilidade,

controlabilidade, reconstrutibilidade e atingibilidade.

Critérios de controlabilidade e observabilidade. Relação

das propriedades de controlabilidade e observabilidade

do modelo de estado com a função de transferência.

Questão (relacionada com a Controlabilidade):

Dado o sistema descrito pelo modelo de estado contínuo:

Será possível, partindo da origem levar o estado a um valor especificado arbitrário por escolha conveniente das entradas?

A resposta a esta questão depende do par de matrizes

(A, b).

Questão (relacionada com a Controlabilidade):

Uma questão relacionada com esta é:

Como escolher a entrada de forma a levar o estado ao ponto especificado?

Pode colocar-se uma questão análoga para sistemas

discretos.

Controlabilidade (definição – sistemas contínuos)

A realização de estado contínuo:

Diz-se completamente controlável se, dado um estado

inicial na origem x(0)=0 , e qualquer x(f) , existir um instante

finito t(f) e uma função de entrada u(t), tal que

Nota sobre o conceito de controlabilidade

Para sistemas contínuos a definição de controlabilidade é equivalente a impôr que de qualquer estado se atinja a origem num intervalo de tempo finito por escolha conveniente da entrada.

É esta a definição dada em [Rugh]. A definição dada no slide anterior é normalmente referida como atingibilidade. Para sistemas contínuos as duas definições são equivalentes, mas para sistemas discretos não.

Referências: Rugh (1996). Linear System Theory. Kailath (1980). Linear Systems.

Critério de controlabilidade (sistemas contínuos)

O sistema contínuo

É completamente controlável se a matriz

dita matriz de controlabilidade, tiver a sua matriz

característica n igual a dimensão x da matriz (n=dim x) .

Este fato, que necessita demonstração, proporciona-nos um critério de controlabilidade.

Revisão Matriz Característica

• Uma matriz C não nula é caracterizada pela máxima ordem dos determinantes

não todos nulos, que podem ser retirados de C. Ou seja, a característica de C é

o número natural p ≥1 somente quando: 

a)pelo menos um determinante for de ordem p diferente de zero.

b) todos os determinantes de ordem maior do que p forem nulos. 

Revisão Matriz Característica

• Dada a matriz acima podemos retirar determinantes de ordem 1, ordem 2 e ordem 3, portanto essa matriz é caracterizada por 1, 2 ou 3. Veja que pelo menos um determinante de ordem 2 será diferente de zero:

Exemplo:

• Veja abaixo todos os determinantes de ordem 3:

Revisão Matriz Característica

• Note que a primeira e a terceira linha são iguais por isso os determinantes de ordem 3 são iguais a zero.

• Portanto, a característica da matriz M é 2.

Propriedades: Não existe modificação na característica da matriz quando:

1) duas filas paralelas são trocadas. 2) as linhas são trocadas ordenadamente pelas colunas. 3) uma fila é multiplicada por uma constante k ≠ 0. 4) filas nulas são acrescentadas ou extraídas. 5) adicionamos a uma fila uma combinação linear de filas paralelas. 6) uma fila que é combinação linear das demais é eliminada. 

Revisão Matriz Característica

Exemplo: 

Exercício:

• Na matriz acima todos os determinantes de ordem 3 são nulos, portanto, ao calcular a característica de M podemos eliminar esta linha.

• Portanto, a característica de M será igual á da matriz. 

Revisão Matriz Característica

• Considerando esta matriz podemos eliminar os determinantes de ordem 2, pois a segunda e a terceira linha são iguais. Portanto, a característica de N é igual à da matriz.

• Nesta matriz todos os determinantes de ordem 3 são nulos, pois a terceira linha é o dobro da primeira. Portanto, a característica de P é igual à da matriz.

• Sendo assim a característica de Q é 2, pois há pelos menos um determinante de ordem 2 diferente de zero.

• Conclusão: a característica da matriz M é 2.

Exemplo de um sistema não completamente controlável

A partir do diagrama de blocos conclui-se, dado que a entrada não afeta a variável x2, que não podem ser atingidos pontos do espaço fora do eixo x1.

Exemplo de um sistema não completamente controlável

Logo a realização de estado considerada não é controlável. Apenas podem ser atingidos pontos num subespaço de dimensão do espaço de estados (que tem dimensão 2).

• Condição de sistema não controlável:

• Matriz característica é menor que a dimensão da matriz.

Outro exemplo de um sistema não completamente controlável

Repare que os valores próprios são iguais.

Vejamos o que diz o critério de controlabilidade:

Como o critério permite concluir que o sistema é não controlável e que apenas se podem atingir a partir da origem pontos do espaço de estados que estão num subespaço de dimensão 1.

Exercício 3 (lista 2)

Dado o sistema:

Pede-se:

a)Verifique por meio da matriz de controlabilidade se o sistema é completamente controlável.b)Desenhe um diagrama de bloco do sistema (entrada u e saída y) e verifique se, por meio desse diagrama, pode ser confirmada ou não a conclusão do item anterior.