apostila controle - 25 - realimentação de estado

5/7/2018 Apostila Controle - 25 - Realimentação de Estado - slidepdf.com

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Realimentação de estado Realimentação de estado

Realimentação de Estado

Modelo de estado Malha Fechada

Controle de Sistemas Mecânicos

Erro Estacionário

Exercícios



Realimentação de Estado Realimentação de Estado

A realimentação de estado envolve

Medição de todo o vetor de estado

Multiplicação de cada variável de estado por um anho k


Arbitrar as raízes do denominador

Calcular os ganhos k i Calcular um ganho proporcional Kp para

corrigir erro estacionário



Estratégia de controle Estratégia de controle

determinar o vetor de ganhos K e o ganho K p que satisfaça as especificações

Estratégia de controle


corresponde a uma alteração dos

pólos do sistema para novas posições no plano complexo



Visualização Estratégia de controle Visualização Estratégia de controle

DB de um sistema segunda ordem com RE

Y(s)U(s)

b1

b2

++

R(s) E(s) x x


1

s

1

s

a0

a1

+

-

b0

-

k 1

k 2

--

k 2 p

K



Realimentação de Estado Matricial Realimentação de Estado Matricial

Realimentação do estado através do vetor de ganhos K

com um ganho proporcional kp no ramo direto para correção do erro estacionário

)(t x)(t u )(t y)(t r


A

p

K

-



Modelo de Estado malha fechada Modelo de Estado malha fechada

substituindo a realimentação na planta

Kxr Bk Ax x p −+= )(&

)( Kxr k u p −=


Pode-se escrever o modelo como

Br k x BK k A x p p +−= )(&

u D xC yu B x A x

T T

T T

+=

+=&

D D

C C

Bk B

BK k A A

T

T

pT

pT

=

=

=

−=

onde onde



Alocação de pólos Alocação de pólos – – Cálculo dos Ganhos Cálculo dos Ganhos

O problema da alocação de pólos tem solução se a

planta for controlável Método (admitida a controlabilidade):

• descobrir a partir das especificações quais as posiçõespara os pólos que as satisfazem


• ca cu ar o ve or e gan os que con uza os p os sposições desejadas

Características: • posiciona os pólos arbitrariamente se a planta for

controlável

•

não controla os zeros do numerador de malha fechada• não controla o erro estacionário

• Pode-se corrigir o erro estacionário usando-se um ganhoKp externo ou interno



Exercício: Realimentação de estado Exercício: Realimentação de estado

Para a planta cuja FT é

deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos

1

52)(2

+

+=s

ssP


–1 e –2 utilizando a realimentação das variáveis de estado. Determinar:

a) Diagrama de Blocos do sistema b) Modelo de Estado Canônico Controlável da FT c) Modelo de Estado do Diagrama de Blocos d) FT do Modelo de Estado Canônico Controlável e) Ganhos K de realimentação



Solução: DB a partir FT Solução: DB a partir FT

152)(

2+

+=s

ssG 2 5 y y u u+ = +&& &

u y

u p N y p D )()( =


N1/D

x x u+ =&&

2 5 y x x= +& x p N y )(=

u x p D =)(



Solução: DB do sistema Solução: DB do sistema

-

+

)(sY )(sU

s

1

s

1

2 x

1 x

x x u+ =&&


Diagrama de blocos Completo

-+

++

5

)(sY )(sU 2

s

1

s

1

2 x

1 x

2 5 y x x= +&



Solução: Solução: ME a partir DB ME a partir DB

-+

++

5

)(sY )(sU 2

s

1

s

1

2 x

1 x


0 1

1 0

A

= −

0

1

B

=

[ ]5 2C = 0 D =

1 2

2 1

1 25 2

x x

x x u y x x

=

= − +

= +

&

&



Solução: Solução: ME ME a partir a partir FT FT

[2 5]

[1 0 1]

Np

Dp

=

=1

52)(

2+

+=

s

ssG


0 1

1 0 A

− =

1

0 B

=

[ ]2 5C = 0 D =

np=[2 5]

dp=[1 0 1]

sys=tf(np,dp);

[a b c d]=tf2ss(np,dp);



Solução: Solução: FT a partir ME FT a partir ME

0 1

1 0 A

− =

1

0 B

= [ ]

2 5C =

0 D =


152)( 2

+

+=

sssG

( )( ) C sI A B D R s

−

= − +

syms s

i=eye(2,2);ft=c*inv(s*i-a)*b;

simplify(ft)



Solução: Solução: Solução usando as equações ME Solução usando as equações ME

-+

++

- -

+ 5

)(t y)(t r

2

s

1

s

1

2 x

1 x

pk

ganhoproporcional


2K

1K

Vetor de

realimentação

de estados

))(( 112212

21

t r xK xK k x x

x x

p +−−+−=

=

&

&12 52 x x y +=



Solução: Eq. ME em função dos Solução: Eq. ME em função dos

ganhos do controlador ganhos do controlador

))(( 112212

21

t r xK xK k x x x x

p +−−+−=

=

&

&

12 52 x x y +=


)()1( 22112

21

t r k xK k xK k x

x x

p p p +−+−=

=

&

&

12 52 x x y +=

Colocando em evidência asvariáveis de estado

Ak=A-kp*BK Bk=kp*B



Solução: Eq. ME em função pólos Solução: Eq. ME em função pólos

desejados desejados

A nova função de

transferência para os

pólos especificados23

52

)2)(1(

52

)(

)(2

++

+

=++

+

= ss

s

ss

s

s R

sY


5s s Y s s R s+ + = +

r r y y y 5223 +=++ &&&&

r x

x

x

x

+

−−=

1

0

32

10

2

1

2

1

&

&)(32 212

21

t r x x x

x x

+−−=

=

&

&

1 25 2 y x x= +



Solução: Comparar as equações para Solução: Comparar as equações para

obter ganhos controlador obter ganhos controlador

)()1( 22112

21

t r k xK k xK k x

x x

p p p +−+−=

=

&

&

Comparando-se

21 1 =+ K k p


)(32212

21

t r x x x

x x

+−−=

=

&

&32 =K k p

1= pk 11 =K 32 =K

1= pk



Calculo de K Calculo de K - - Fórmula de Ackermann Fórmula de Ackermann

Dado a equação característica de malha

fechada

0)( 0

1

1=+++=Φ

−

−α α L

n

n

n

T sss


Pelo teorema de Cayley-Hamilton pode-se afirmar que a matrix AT do sistema de malha fechada satisfaz sua equação característica

0)( 0

1

1=+++=Φ

−

−I A A A

n

T n

n

T T T α α L



Simplificação para sistema de ordem 3 Simplificação para sistema de ordem 3

Para facilitar a demonstração do teorema de

Cauley-Hamilton e suas conseqüências vamos considerar n=3 e kp=1


onde

0)( 01

2

2

3

=+++=Φ I A A A T T T T T

BK A AT −=



Obtenção dos termos Obtenção dos termos

Obtendo-se 2

T A

n

T A

BK A AT −=


T

T

BKA ABK A

BK A BK ABK A

BK BKA ABK A

BK A BK A BK A A

−−=

−−−=

+−−=

−−=−=

2

2

22

22

)(

)(

))(()(



Obtenção dos termos Obtenção dos termos

Obtendo-se 3

T A

n

T A

KA BK B A A −−=22

BK A AT −=


223

22

22

223

)(

)(

T T

T T

T T

T T T T

BKA ABKA BK A A

BKA BKA ABK A A

BKA AA

A BK A A A A

−−−=

−−−=

−=

−==



Obtendo a Fórmula de Ackermann Obtendo a Fórmula de Ackermann

Substituindo na equação característica

-

0)(01

2

2

3=+++=Φ I A A A A T T T T T α α α

n


T

0)(

)(

)(

01

2

2

223

=+−+

−−+

−−−=Φ

I BK A

BKA ABK A

BKA ABKA BK A A A

T

T T T T

α α

α




)(22

01

2

2

3

=−−−

−−−

+++=Φ

BKA ABKA BK A

I A A A A

T T

T T α α α


onde 0)( 01

2

2

3≠+++=Φ I A A A AT α α α

0

)()(

122

22

=−−−

−−−

Φ=Φ

BK BKA ABK

BKA ABKA BK A

A A

T

T T

T T T

α α α




0

)(

122

22

=+++

++=Φ

BK BKA ABK

BKA ABKA BK A A

T

T T T

α α α


BK AKAK ABKAKAK B A T T T T

2

2

2

21 )()()( +++++=Φ

[ ]

+

++

=Φ

K

KAK

KAKAK

B A AB B AT

T T

T 2

2

21

2)( α

α α

Matriz de Matriz de controlabilidade controlabilidade




[ ]

+

++

=Φ

K

KAK

KAKAK

B A AB B A T

T T

T 2

2

21

2)( α

α α

++ KAKAK T T

2

21 α α


+=Φ−

K

KAK A B A AB BT T

2

2)( α

[ ][ ] [ ]

+

++

=Φ−

K

KAK

KAKAK

A B A AB B T

T T

T 2

2

2112

100)(100 α

α α

[ ][ ] )(10012

A B A AB BK T Φ=−




Portanto a fórmula de Ackerman requer que a matriz de

controlabilidade definida por M seja inversível

[ ] )(1001

A M K T Φ=−


Ou seja

B A AB B M 2

=

0det2

≠ B A AB B



Cálculo dos Ganhos K Cálculo dos Ganhos K - - Fórmula de Fórmula de

Ackermann Ackermann

Dado o polinômio característico desejado MF

-

0)( 0

1

1=+++=Φ

−

−α α L

n

n

n

T sss


Formula de Ackermann

onde

M=ctrb(A,B);

phid=poly(polos);

phida=polyvalm(phid,A);

K=[0 1]*inv(M)*phida

K=acker(A,B,polos)

[ ] )(1001

A M K T Φ=−

L

I A A An

n

n

T 0

1

1)( α α +++=Φ−

−L



Restrição Restrição – – Sistema deve ser Sistema deve ser

Controlável por estados Controlável por estados

Teorema

A planta de ordem n descrita pela equação de estado

)()()( t But Axt x +=&


a con ro ve por es a o se e s se o e erm nan e a

matriz de controlabilidade M definida como

for não nulo.

( MATLAB: comando M=ctrb(A,B) )

B A B A AB B M n 12 −= L



Controlabilidade Controlabilidade

O estado x(t f ) de uma planta linear é dito

controlável a partir de um estado inicial x(t 0 ) se existe uma trajetória no espaço de estados que possa ser percorrida pelo sistema de malha


ec a a que con uza o s stema es e o estado x(t 0 ) até o estado x(t f ) em um tempo finito t f -t 0 . Se todos os estados do sistema forem controláveis a planta é dita

completamente controlável .

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