Controle de Processos1. Entendimento do problema

1.1 Dinâmica e controle

O principal objetivo deste curso é capacitar o (futuro) Engenheiro Químico em Controle de Processos. A primeira etapa consiste em entender e saber responder a perguntas tais como:

o que é controle de processos? por que controlar um processo? como controlar um processo? o que o engenheiro é capaz de fazer para isto?

Um dos conceitos mais queridos dos estudantes de engenharia química é o estado estacionário. Sempre que ele aparece em uma questão de prova, rapidamente percebemos que será possível utilizar uma equação simplificada (obtida igualando a zero todas as derivadas em relação ao tempo).

Esta simplificação é extremamente útil para o dimensionamento de equipamentos, já que reflete a condição de operação desejável. Mas o estado estacionário, na maior parte das vezes, é somente um objetivo buscado, mas nem sempre atingido ou mantido por muito tempo.

Dinâmica: as coisas mudam

Em qualquer processo industrial, as condições de operação estão sujeitas a mudanças ao longo do tempo. O nível de líquido em um equipamento, a pressão em um vaso, a vazão de um reagente ou sua composição; todas estas condições podem (e costumam) variar. Mesmo os dados que consideramos constantes no projeto (por exemplo, a temperatura ambiente) têm o hábito de variar apesar de nossas premissas em contrário.

Controle: uma tentativa de influir no processo

Controlar um processo significa atuar sobre ele, ou sobre as condições a que o processo está sujeito, de modo a atingir algum objetivo - por exemplo, podemos achar necessário ou desejável manter o processo sempre próximo de um determinado estado estacionário, mesmo que efeitos externos tentem desviá-lo desta condição. Este estado estacionário pode ter sido escolhido por atender melhor aos requisitos de qualidade e segurança do processo.

Objetivo de controle: precisa-se

Conta-se que um sujeito entrou correndo em um elevador, quase sem fôlego. O ascensorista pergunta: "Que andar?", e ouve em resposta: "Qualquer um, estou no

prédio errado mesmo".

Infame como piada, a anedota serve para ilustrar uma questão fundamental em controle de processo. Devemos ter uma clara noção de nossos objetivos. É inútil influir em um processo sem saber o que desejamos obter.

1.2 Exemplos cotidianos

Manter um carro na estrada

monitora-se a trajetória/ velocidade/ tráfegoatua-se sobre volante/ acelerador/ freiocontrola-se a trajetóriasegurança: guard-rails/ muretas

Tomar uma ducha quente

x Figura imprópria para este horário

monitora-se temperatura/ vazão da águaatua-se sobre as torneirascontrola-se a temperatura (e vazão, se der)segurança: box maior que o jato da ducha

Controle de orçamento

monitora-se o saldo bancárioatua-se sobre desembolsoscontrola-se o orçamento segurança: poupança?

Navegação interplanetária

monitora-se trajetória/ combustívelatua-se por meio de TCMscontrola-se a trajetória segurança: . . .

Altitude de vôo monitora-se tudo atua-se sobre manche, etc. controla-se a altitudesegurança: . . .

1.3 Uma representação esquemática simplificada

A atuação de um controlador pode ser representada graficamente como um fluxo

de informações entre módulos com funções distintas. Na figura abaixo, um módulo de monitoração obtém uma informação proveniente do processo e envia ao controlador (este procedimento pode conter várias etapas, por exemplo de conversão de sinais). O controlador recebe esta informação, toma decisões e comunica a um elemento final a ação a ser tomada. O elemento final, por sua vez, interfere em alguma condição de processo para tentar alterar o comportamento do processo.

Observe que este esquema não representa um fluxo de informação fundamental: de onde o controlador obtém os objetivos de controle?

1.4 O papel do Engenheiro Químico

Nos próximos capítulos, veremos como o Engenheiro Químico pode ter participação ativa nas seguintes atividades:

contribuir na fase de projeto (projeto controlável) determinar estratégias de controle selecionar sensores (tipo, localização) selecionar elementos finais de controle dimensionar sistemas de controle contribuir no desenvolvimento da interface com os operadores (displays)

2. Conceitos básicos

Utilizando como exemplo um aquecedor elétrico de líquido, vamos definir alguns conceitos básicos de controle de processo.

No desenho, T e F representam respectivamente temperatura e vazão. Os subscritos indicam entrada e saída. O objetivo do processo é aquecer o líquido (inicialmente na temperatura Te) até um valor desejado, TR.

2.1 O ponto de vista do projeto

Dimensiona-se o equipamento de modo a fornecer a quantidade de calor adequada aos objetivos do processo.

Balanço material: Fe = Fs = F Balanço térmico: Q = F.c.(TR - Te) para que Ts = TR

2.2 O ponto de vista da operação

O processo raramente opera de forma estável nas condições de projeto. Para operar com sucesso, é necessário compensar o efeito de perturbações externas.

Supondo que Te esteja sujeita a perturbações, qualquer uma das abordagens a seguir poderia ser utilizada:

variável controlada variável medida variável manipuladaTR Ts QTR Te QTR Ts FTR Te FTR Te e Ts QTR Te e Ts F

Observação: em certos casos, o objetivo do processo pode ser garantido sem controle => aumentar capacitância do sistema (volume)

Controle por realimentação (feed-back): o controle é feito com base na comparação entre o resultado obtido e o desejado.

Controle feed-forward (chamado às vezes de preditivo): o controle é feito com base nos dados de entrada. Para sua aplicação, o controlador deve entender as relações de causa e efeito relativos ao comportamento do processo.

2.3 Controle automático simplificado

Q = Qproj + K. (TR - Ts)

Representação esquemática

3. Abrangência da automação

3.1 Controle de processo Controle de temperatura, vazão, pressão, nível Controle de pH Balanceamento de passes, controle de razão, etc.

3.2 Segurança do processo Válvulas de segurança/ discos de ruptura Intertravamento Diagrama de causa e efeito Diagrama lógico

3.3 Níveis de automação

No início da revolução industrial, o objetivo da automação se restringia a controlar (no sentido de manter constante) uma variável específica. Not anymore...

3.4 Controle e supervisão Tempo de resposta Algoritmos de controle Otimização de processo

3.5. Controle tradicional e controle avançado Modelos empíricos Controle baseado em modelos

4. Motivação para controle de processo

4.1 Principais objetivos de controle Segurança operacional e pessoal Adaptação a perturbações externas Estabilidade operacional Especificação do produto Redução do impacto ambiental

Adaptação às restrições inerentes (equipamento/ materiais/ etc.) Otimização Resultado econômico do processo

4.2 Justificativa econômica

Um sistema de controle confiável permite operar próximo aos limites impostos pela segurança, pelo meio-ambiente e pelo processo (temperatura máxima, pureza mínima), o que permite alterar as condições de operação normais (linha tracejada na figura) para uma condição mais favorável (linha contínua).

Os ganhos associados a uma menor variabilidade se tornam ainda maiores em processos onde existem transições entre produtos com diferentes graus ou especificações, como ocorre freqüentemente no refino do petróleo e em unidades de polimerização. Inevitavelmente, durante a transição, haverá um período em que será gerado um produto fora de especificação, que será reciclado (maior gasto de energia) ou vendido (a preços mais baixos). A seleção de uma boa estratégia de controle permite reduzir o tempo de produção fora da especificação, e conseqüentemente melhora o resultado econômico do processo.

5. Leis de Luyben

O autor do livro-texto propõe duas leis básicas para quem pretende trabalhar com controle de processo.

Primeira Lei: O sistema de controle mais simples que atende aos requisitos é o melhor.

Segunda Lei: Entender o processo é requisito para poder controlá-lo.

6. Terminologia Dinâmica do Processo Variáveis de processo

o medida/ monitorada o controlada o manipulada o perturbação externa

Estabilidade do processo Malha Aberta Malha Fechada Setpoint PV Erro Feedback Feedforward

7. Simbologia de Instrumentação Instrumentos Sinais

o Pneumáticos (0,2 a 1,0 kgf/cm2) o Eletrônicos (4-20 mA; ON-OFF) o Digitais (software)

Elemento final de controle o Válvula de controle o Variador de freqüência o Cursor (stroke) de bomba alternativa o Tiristores

Controlador

Nomenclatura dos instrumentos

1ª letra: tipo de variável

2ª letra em diante: função do instrumento

A composição (analisador) A alarmeB detetores de chama C controladorD densidade E elemento sensorE tensão, DDP G visorF vazão, fluxo I indicadorH ação manual Q totalizador, acumuladorI corrente elétrica R registradorK tempo S chaveL nível T transmissorM umidade V válvula

P pressão Y outras funções

S velocidade

T temperatura 2ª letra: modificadorW peso, vazão mássica D diferencialX outros instrumentos F razão

Z posição

Modificadores de variável de processo: a letra F na 2ª posição indica "razão": FFI é um indicador de razão entre vazões; a letra D na 2ª posição indica "diferencial": PDI é um indicador de pressão diferencial (delta p).

Modificadores de função: colocados no final do "TAG" para chaves e alarmes: H, HH, L, LL

Normalmente são usadas combinações, como por exemplo: FRC PDIC FQIT FIT TSH PDALL

8. Programação do curso

Objetivo:

compreender, avaliar e projetar sistemas de controle

Metodologia:

conhecimento de ferramentas de visualização estudo básico conhecimento de ferramentas de análise estudo avançado

Planejamento e metas do curso:

IntroduçãoObjetivosVocabulário básico

O QUE ESTUDAR?

Modelagem MatemáticaFenômenos transientesEquações diferenciais

COMO REPRESENTAR?

Simulação de ProcessosMétodos numéricosProgramação

COMO RESOLVER?

Controle(domínio: tempo)

Controle convencionalControle avançado

COMO FUNCIONA?

Controle(domínio: Laplace/ frequência)

EstabilidadeIdentificaçãoPropriedades

GENERALIZAÇÃO DE CONCEITOS

Sistemas Digitais de Controle Aplicação industrial COMO APLICAR?

Capítulo IIModelagem matemática de processos dinâmicos

1. Entendimento do problema2. Exemplos3. Referências

1. Entendimento do problema

1.1 Modelagem dinâmica

No curso de Engenharia Química, muitas disciplinas costumam enfocar a modelagem matemática do estado estacionário. Este enfoque se justifica porque freqüentemente o dimensionamento de equipamentos e unidades industriais é feito para a operação contínua, nas quais o estado estacionário representa uma situação operacional aceitável. A modelagem dinâmica é usada para o projeto de processos em batelada, nos quais não se pretende atingir um estado estacionário.

Para o entendimento de problemas de controle de processo, a modelagem dinâmica é fundamental.

A teoria básica necessária para a modelagem dinâmica já é conhecida: as equações são levantadas por meio de balanços (material, energético, de quantidade de movimento) e de equações constitutivas. O único "complicador" é que as derivadas em relação ao tempo não se anulam necessariamente, e devem ser levadas em consideração.

Durante a modelagem, deve-se atentar para a necessidade de identificar claramente as variáveis de processo para garantir que o modelo tenha graus de liberdade adequados à situação física.

1.2 Graus de liberdade

O número de graus de liberdade de um modelo matemático pode ser determinado pela diferença entre o número de variáveis e o número de equações independentes do modelo.

Um sistema com zero graus de liberdade é um sistema determinado, ou seja, que só admite uma solução para um conjunto de dados. Um sistema com um ou mais graus de liberdade, ou seja, com mais variáveis do que equações independentes, é indeterminado, admitindo infinitas soluções. Um número negativo de graus de liberdade significa que o modelo não tem solução, uma situação que deixo por conta de sua imaginação.

Os modelos que se destinam a prever o comportamento de um sistema sob determinadas condições operacionais são necessariamente sistemas determinados, com zero graus de liberdade.

Em geral, ao montarmos as equações que descrevem um sistema, obtemos menos equações do que incógnitas. Isto significa apenas que o sistema pode apresentar diferentes estados dependendo das condições impostas a ele. Para reduzir a zero o número de graus de liberdade, devemos recorrer a condições externas ao sistema.

Uma variável de perturbação, por exemplo, é determinada externamente ao sistema. Ao considerarmos uma variável -, por exemplo p, como variável de perturbação, estamos reduzindo um grau de liberdade, já que isto equivale a dizer que

p = g(t)

A função g pode ser desconhecida a priori; o importante é que sabemos que p independe das demais variáveis do sistema e pode variar ao longo do tempo.

Um controlador simples, do tipo discutido no capítulo 1, utiliza uma variável monitorada (m) e um set-point (s) para decidir como atuar sobre uma variável manipulada (a). Neste caso, também reduzimos em uma unidade o número de graus de liberdade do sistema:

a = f(m,s)

Para pensar em casa: revertendo o raciocínio feito acima, discuta como o número de graus de liberdade de um sistema determina o número de controladores necessários para operar este sistema.

1.3 O processo da modelagem

A modelagem matemática é um processo complexo que não se resume simplesmente a montar e resolver uma equação. Ao executar a modelagem de um

sistema, não devemos perder de vista a distinção entre modelo e sistema: o modelo a ser desenvolvido deve ser uma representação adequada (não necessariamente perfeita, somente adequada) do sistema.

Marlin apresenta um procedimento estruturado que ressalta alguns cuidados essenciais para a aplicação prática da modelagem. O processo tem seis etapas, que resumimos a seguir:

Defina os objetivos

Prepare a informação disponível

Formule o modelo

Resolva

Analise a solução

Valide o modelo

Recomendamos a leitura do item 3.2 do livro do Marlin para uma boa discussão dos aspectos práticos da modelagem. No desenvolvimento dos exemplos a seguir, discutiremos as etapas acima à medida em que desenvolvermos os modelos.

2. Exemplos

2.1 Reservatório de líquido

Considere o tanque pulmão apresentado na figura abaixo. O tanque se destina a manter um inventário de líquido entre um ponto de fornecimento e um de consumo.

A vazão de entrada é função da produção de uma unidade a montante. A descarga de líquido é feita somente pela ação da gravidade.

Modele o processo acima, considerando inicialmente que: 1. a vazão Fe é variável ao longo do tempo 2. a temperatura de alimentação é variável, de modo que a massa específica

do líquido pode variar.

2.2 Reator agitado contínuo (CSTR)

Modele um CSTR onde ocorre uma reação de isomerização A = B. A reação é de ordem n, com velocidade específica k.

2.3 Trocador de calor

Considere o trocador de calor ilustrado a seguir, onde um líquido passa pelo tubo e é aquecido sem mudança de estado. O calor necessário é fornecido por vapor d'água, que é fornecido pelo lado do casco e é totalmente condensado no trocador.

Modele a temperatura do líquido ao longo do trocador de calor, T = f(t, z).

Capítulo IIISimulação dinâmica

1. Entendimento do problema2. Cuidados3. Exemplos4. Referências

1. Entendimento do problema

De posse das equações diferenciais resultantes da modelagem matemática de um sistema, podem ser feitas simulações para estudar o seu comportamento. Para isto, deve-se escolher um cenário (valores iniciais, condições de contorno, variações previstas) e resolver as equações com este modelo.

Importante: a simulação mostra o comportamento do modelo.

A simulação mostra soluções do modelo que refletem apenas o comportamento do modelo matemático. Cabe ao engenheiro conhecer o sistema a um nível que permita identificar até que ponto o comportamento do sistema é similar ao do modelo. Um erro comum é confundir o sistema com o modelo!

Em raros casos, é possível resolver algebricamente as equações; um exemplo comum são modelos simplificados usados para dimensionamento preliminar. Na maior parte dos casos, porém, é necessário resolver numericamente o modelo matemático. O objetivo deste capítulo é mostrar de forma rápida como executar a simulação dinâmica de sistemas de Engenharia Química relevantes para a indústria.

2. Cuidados

Ao analisar e utilizar resultados de uma simulação, tenha sempre em mente que: o modelo é um modelo, não o sistema. o método utilizado para a solução não faz milagres; a precisão obtida é

função do método e da escolha de parâmetros. não simplifique as equações de forma a prejudicar a similaridade entre o

modelo e o sistema. Um erro comum é simplificar a equação diferencial considerando que um parâmetro é constante, e depois usar a equação resultante para avaliar o efeito deste parâmetro sobre o comportamento do sistema.

3. Exemplos de simulação em malha aberta e em malha fechada

Malha aberta

O sistema opera sem que nenhuma ação de controle automática esteja sendo executada.

Malha fechada

O sistema opera sob ação de controle automática.

3.1. Tanque pulmão em malha aberta

Considere o sistema constituído por um tanque pulmão como o que vimos no Capítulo II. Para simplificar, considere que a densidade do fluido não se altera.

A dinâmica do sistema representado acima pode ser representada por um modelo utilizando duas equações:

Balanço de massa no tanque pulmão, [acúmulo] = [entra] - [sai]. Considerando-se constante a densidade,

Aplicando a segunda lei de Newton, obtém-se a vazão de saída por escoamento gravitacional através de um tubo com perda de carga por atrito (escoamento turbulento):

ou, de forma simplificada:

onde L e Ap representam respectivamente o comprimento reto equivalente e a área transversal do tubo de descarga, At é a área transversal do tanque, K é o coeficiente de perda de carga em regime turbulento, a massa específica do líquido e g a aceleração da gravidade.

Considere que o tanque se encontra incialmente em estado estacionário com nível de 50% do nível máximo e realize as seguintes simulações:

a. a partir de um determinado instante, a vazão de alimentação aumenta em 25% e se mantém constante.

b. a partir de um determinado instante, a vazão de alimentação começa a aumentar a uma taxa de 10% por hora até atingir 150% da vazão original.

Dados do problema g 9,8 m/s2 L 100 mAp 0,65669 m2

At 10,50709 m2

hmáx 3 m K 4,414 N/(m/s)2/m 1000 kg/m3

A simulação do tanque pode ser encontrada em planilhas Excel.

3.2. Tanque pulmão em malha fechada

3.2.1. Controle On-Off

A aplicação de controle automático pode ser representada em um modelo. Vamos considerar um caso simplificado em que utilizamos um controle de vazão de saída com as seguintes características:

Objetivo Manter o nível do tanque próximo a 50% Controla Nível (h) Atua sobre Vazão de saída (Fs) Monitora Todas as variáveis (fácil quando se trata de modelo!)

Balanço de massa no tanque pulmão, [acúmulo] = [entra] - [sai]. Considerando-se constante a densidade,

Ação de controle on-off atuando em função do desvio em relação ao nível

desejado:

DA = desvio aceitável sem ação de controlese nível > (50% + DA), abrir totalmente a válvula de saídase nível < (50% - DA), fechar totalmente a válvula de saída

Observe que o sistema de controle nada faz enquanto o nível estiver entre (50% - DA) e (50% + DA).

Para facilitar a simulação, considere que a vazão de saída com a válvula completamente aberta é um múltiplo da vazão no estado estacionário. A figura a seguir mostra como se comporta o nível do tanque ao longo do tempo.

3.2.2. Ação de controle calculada

Considere a mesma situação do item 3.2.1 com a aplicação de um algoritmo que permita executar ações menos bruscas. Um algoritmo é o chamado controle proporcional, pelo qual a ação de controle é proporcional ao desvio entre o valor medido e o valor desejado (o setpoint); este desvio é normalmente chamado de erro (ver Capítulo IV).

Ação de controle proporcional ao desvio em relação ao nível desejado:

Fs(t) = Fee + Kc [h(t) - hSP]

onde ee se refere às condições do estado estacionário e SP representa o setpoint.

O erro costuma ser definido como e = [hSP - h(t)]

A figura a seguir mostra como se comporta o nível após uma perturbação.

3.3. Sistema de reação (reatores em série)

Um sistema de reação é constituído de três reatores de mesmo volume, de tipo tanque agitado (CSTR), associados em série conforme esquema a seguir. São conhecidos os volumes dos reatores, V e a vazão volumétrica de alimentação, F. Os reatores são mantidos à mesma temperatura.

Dentro do sistema um reagente (de concentração molar C) é consumido por meio de uma reação de primeira ordem com velocidade específica k. A concentração de reagente na saída de cada reator é indicada por Ci, i=1,2,3; a concentração na entrada do sistema é representada por C0.

3.4. Sistema de reação (reator não isotérmico)

Considere que no sistema de reação mostrado no exemplo anterior cada reator é mantido a uma temperatura diferente. Indique os termos que sofrem alteração.

Capítulo IIILista de Exercícios 2000/ 1Simulação dinâmica

Notas de aula do Capítulo III

Exercício 1

Utilizando como base a planilha de simulação de um tanque com escoamento gravitacional, monte uma simulação dinâmica que represente o sistema formado por um reator contínuo agitado (tipo CSTR), com as seguintes condições:

nível constante durante a operação; densidade do fluido praticamente constante; no reator ocorre uma única reação, irreversível, de ordem n;

Os seguintes parâmetros constantes deverão ser disponibilizados na planilha:

volume do reator; calor específico e massa específica do meio reacional; ordem e velocidade específica da reação (A e energia de ativação); concentração inicial de reagente no reator; parâmetros de troca térmica (U e área); calor de reação.

A simulação deverá permitir especificar e alterar as seguintes variáveis:

vazão de alimentação do reator; temperatura de entrada do fluido de resfriamento; vazão do fluido de resfriamento;

A simulação deverá apresentar de forma gráfica a variação da concentração de reagente na saída do reator ao longo do tempo.

A forma de apresentação dos resultados e a forma de atuar sobre a simulação ficam a critério dos criadores.

DICA: inicie o desenvolvimento considerando o reator isotérmico para verificar o funcionamento da simulação com uma equação mais simples; depois que obtiver sucesso, inclua os termos e equações necessários para a operação a temperatura variável.

Capítulo IVTeoria de controle - domínio temporal

Primeira parte

1. Entendimento do problema2. Conceitos básicos3. Estudo dinâmico de sistemas lineares4. Equipamentos convencionais de controle

Segunda parte

5. Desempenho de controladores

Terceira parte

6. Controle avançado7. Referências

1. Entendimento do problema

Este capítulo se destina à apresentação de noções de teoria de controle utilizando a representação dos fenômenos transientes que ocorrem na presença e na ausência de controle de processos.

O capítulo se limita às representações que podem ser visualizadas pelo comportamento de um sistema ao longo do tempo. Alguns aspectos da teoria de controle serão observados mas não poderão ser generalizados: por exemplo, a estabilidade de sistemas de controle será aprofundada em outros capítulos fazendo uso de diferentes modelos e de ferramentas matemáticas mais avançadas.

2. Conceitos básicos

Linearidade Um sistema é chamado linear quando é representado por equações diferenciais lineares. Um sistema linear,

matematicamente, é aquele em que se x1 e x2 são soluções do sistema, c1 e c2 constantes arbitrárias, então c1.x1 + c2.x2 também é solução do sistema.Em sistemas lineares, aplica-se o princípio da superposição. Muitas aplicações práticas de Engenharia Química não podem ser representadas por sistemas lineares, como veremos em alguns exemplos.

Ordem A ordem de um sistema é a ordem da equação diferencial que o representa.

Estabilidade Um sistema estável costuma ser chamado de auto-regulável. Discutir em sala de aula:

estabilidade instabilidade estabilidade em malha aberta

estabilidade em malha fechada Perturbações Para estudar o comportamento dinâmico dos sistemas,

provocaremos diversos tipos de perturbações, analisando posteriormente o efeito destas sobre o sistema:

perturbação em pulso perturbação em degrau perturbação em rampa perturbação senoidal

A perturbação pode ser provocada de diversas formas. Em uma malha de controle, são especialmente importantes as perturbações de processo (load disturbances) e as perturbações de setpoint.

3. Estudo dinâmico de sistemas lineares

3.1. Variáveis de perturbação

Considere um sistema dinâmico em que x varia com o tempo; seja xee o valor de x no estado estacionário. Definimos a variável de perturbação xp pela equação:

xp(t) = x(t) - xee

Em sistemas lineares, o uso destas variáveis traz vantagens.

Exercício 1

Analisar a aplicação de variáveis de perturbação a um sistema descrito por duas equações diferenciais do tipo:

dx/dt = ax + by + c

dy/dt = dx + ey + f

onde t = 0 => x = xee e y = yee

3.2. Simplificando o problema

Na modelagem de perturbações em degrau, podemos simplificar a abordagem matemática considerando que a perturbação ocorre em t = 0, e utilizando variáveis de perturbação. Com isto, além de evitar o uso da função degrau (substituída por uma simples constante), simplificam-se as condições de contorno.

Para t ≤ 0, o sistema é representado por uma equação diferencial homogênea cuja solução (já conhecida) é o estado estacionário. Para t > 0, o sistema é representado por uma equação diferencial heterogênea.

A simplificação envolve, portanto, a solução de uma equação diferencial que inclui o efeito da perturbação, considerando como condição inicial a informação do estado estacionário na ausência da perturbação externa.

3.3. Sistemas lineares de primeira ordem

Exercício 1

Analise o comportamento dinâmico do seguinte sistema de primeira ordem:

t = 0 => y = 0

D é o valor da perturbação externa em degrau ocorrida em t = 0. Em outras palavras, alguma variável de perturbação externa x passou de x = 0 para x = D no instante t = 0.

p é a constante de tempo do processo, relacionada à velocidade de resposta, e

Kp é o ganho do processo no estado estacionário

Defina matematicamente o conceito de ganho em função da variável y e do parâmetro D.

Exercício 2

Mostre que qualquer sistema linear de primeira ordem pode ser reduzido à forma canônica acima.

Exercício 3

Monte a forma canônica para a representação de um CSTR onde se processa uma reação de primeira ordem.

3.4. Sistemas lineares de segunda ordem

Exercício 1

Analise o comportamento dinâmico do seguinte sistema de segunda ordem:

p é a constante de tempo do processo, relacionada à velocidade de resposta

é o coeficiente de amortecimento (damping coefficient)

Exercício 2

Analise o comportamento dinâmico de um sistema descrito pela equação a seguir:

3.5. Linearização

Em determinados casos, o comportamento de sistemas não lineares pode ser estudado por meio de aproximações. Uma forma comum é a linearização em torno de uma determinada condição de operação.

O assunto não será tratado no curso. O livro-texto comenta, com exemplos, o procedimento de linearização no item 6.2.1.

3.6. Sistemas em malha fechada

Ao introduzirmos um elemento final de controle em um sistema, sua complexidade aumenta. Em alguns sistemas lineares é possível manter o número de equações por meio de manipulação algébrica; com isto, a ordem do sistema aumentará.

O exercício 6.9 do livro-texto ilustra bem a situação.

4. Equipamentos convencionais de controle

4.1. Sensores e transmissores

Os elementos primários de medição têm por função medir alguma propriedade do sistema e convertê-la em um sinal que possa ser utilizado para controle. Em alguns casos, o elemento sensor gera um tipo de sinal que não é diretamente compatível com o sistema de controle. Neste caso, utiliza-se um transmissor para gerar um sinal compatível a partir do sinal recebido do sensor. Em muitos casos, o próprio transmissor é também o elemento sensor.

Tipicamente, o sensor e o transmissor estão localizados perto do processo, e por isso são denominados "elementos de campo".

Existem diversas padronizações para o envio de sinais a um sistema de controle. O padrão pneumático (pressões de ar de 0,2 a 1,0 kgf/cm2 ou de 3 a 15 psi), usual há alguns anos, está praticamente em desuso. O padrão eletrônico consiste em sinais de corrente de 4 a 20 mA. Cada vez mais se impõe a comunicação digital entre os elementos de campo e o sistema de controle. Recentemente foi padronizado, depois de anos de teste, o protocolo fieldbus de comunicação digital, em que os elementos de campo trocam informações entre si.

4.2. Válvulas de controle

O elemento final de controle mais utilizado na indústria química é a válvula de controle. Basicamente, a válvula de controle é uma válvula capaz de variar a restrição ao escoamento de um fluido em resposta a um comando recebido na forma de um sinal padrão.

Em geral, o movimento da haste da válvula é obtido pelo balanço entre duas forças: a tensão de uma mola ligada à haste (função da posição da haste), e a força exercida sobre um diafragma na cabeça da válvula (função da pressão de ar na cabeça da válvula). O comando da válvula é feito pela variação da pressão de ar fornecido à válvula.

Atualmente, é comum encontrar válvulas com posicionadores eletropneumáticos, que permitem que o sistema de controle envie um sinal de 4 a 20 mA diretamente para a válvula. Em outros sistemas, o sinal eletrônico deve ser convertido em um sinal pneumático por meio de um conversor I/P.

Um dos aspectos importantes na especificação de uma válvula de controle é a sua posição de falha, ou seja, sua posição na ausência do sinal de controle externo. Esta especificação é geralmente ditada pela segurança do processo. Em algumas aplicações, como no suprimento de vapor para um aquecedor, é desejável que a válvula feche na falta de um sinal de comando: esta válvula é chamada de falha-fecha, ou ar-para-abrir. Em outras situações, a segurança do processo exige a abertura da válvula em caso de falha do sistema: falha-abre, ou ar-para-fechar.

O tamanho da válvula é normalmente dado por um coeficiente de tamanho, Cv. Este coeficiente é determinado experimentalmente pela passagem de fluido pela válvula. Para líquidos sem flasheamento, por exemplo, a vazão através da válvula é dada por:

onde F é a vazão; x é a posição da haste da válvula expressa em percentagem da abertura; f(x) representa a fração da vazão máxima (em função da posição da válvula).

A função f(x) representa uma propriedade importante da válvula, a sua característica inerente. A característica da válvula é determinada por diversos fatores, especialmente formato do obturador e do assento. São comuns na indústria as válvulas de característica linear, onde f(x) = x, e as de característica de igual percentagem, nas quais f(x) = x-1, onde é um parâmetro com valor entre 20 e 50 dependendo do projeto da válvula.

O dimensionamento de válvulas de controle deve levar em conta a faixa de controlabilidade desejada. A queda de pressão na válvula, usada no cálculo do Cv,

depende da abertura da válvula e de outros fatores referentes a condições de escoamento (outros equipamentos em série, etc.).

4.3. Controladores

4.3.1. Definições

Um controlador deve ter, no mínimo, as seguintes características: receber um sinal com o valor da variável controlada (PV = process value) receber um setpoint (SP) gerar um sinal de saída para o elemento final de controle (CO = controller

output) receber um comando de seleção de pelo menos dois modos: MANUAL e

AUTOMÁTICO

Em modo MANUAL, o controlador opera como um mero controle remoto. O operador informa o sinal de saída desejado, e o controlador simplesmente repassa este valor para o elemento final de controle.

Em modo AUTO, o controlador usa os valores lidos (PV e SP) e determina, por meio de um algoritmo, o valor do sinal de saída (CO). O foco deste capítulo, evidentemente, é o modo AUTO.

Um conceito importante para os algoritmos de controle mais comuns é o de erro. Aplicado a controladores, o erro representa simplesmente a diferença:

e = SP - PV

4.3.2. Algoritmos de controle tradicionais

O tipo mais simples de controlador é o liga-desliga ou on-off. Matematicamente, sua ação pode ser descrita como:

e > e1 => CO = 1 e < e2 => CO = 0

onde e1 > e2 são valores predeterminados. Se o erro estiver no intervalo [e2, e1], a saída não é alterada. Este intervalo costuma ser denominado banda morta.

Este tipo de controle é comum em equipamentos térmicos (geladeiras, condicionadores de ar).

Os controladores com ação proporcional determinam a saída por meio da equação

onde bias representa o sinal de saída na condição "neutra". Kc é chamado de ganho do controlador.

Alguns livros e catálogos ainda usam o termo banda proporcional ao invés do ganho. A banda proporcional, expressa em percentagem, é o inverso do ganho:

O ganho do controlador pode ser positivo ou negativo. O sinal do ganho define a ação do controlador, que pode ser direta ou reversa.

Se tivermos ganho positivo e mantivermos constante o setpoint, qual será a sua resposta a uma variação da PV? Se a PV aumenta, o erro diminui (e = SP - PV) e conseqüentemente a saída CO diminui. Este comportamento é chamado de ação reversa.

Ganhos negativos fazem com que CO aumente quando a PV aumenta: ação direta.

IMPORTANTE: a ação do controlador (direta/ reversa) deve ser escolhida de forma compatível com a ação do elemento final de controle (falha abre/ falha fecha), de modo que a ação conjunta (controlador + elemento final) seja adequada aos objetivos de controle. Exercícios em aula!

Os controladores de ação integral obedecem à equação:

Os controladores de ação derivativa obedecem à equação:

É possível associar estas ações P (proporcional), I (integral) e D (derivativa) obtendo algoritmos compostos (PI, PD, PID). A equação de um controlador PID pode ser dada por:

4.4. Outros componentes

Além dos instrumentos citados, diversos tipos de seletores, conversores e módulos de cálculo podem ser incluídos em uma malha de controle. Estes

instrumentos serão vistos no estudo de controle avançado.

4.5. Documentação do sistema de controle

Os instrumentos e as estratégias de controle são documentados em diversos estágios de um projeto de engenharia. Já no projeto básico do sistema, os instrumentos são representados nos fluxogramas de engenharia, também conhecidos como P&I D (do inglês piping and instrument diagram).

Os diversos componentes de uma malha costumam ser representados em um diagrama que indica as ligações físicas entre eles (pneumáticas, elétricas e digitais). Estes documentos, chamados diagramas de malha, são essenciais para o entendimento das funções de cada elemento da malha.

As malhas mais complexas podem ser descritas em diagramas de controle que são diagramas mais abstratos em que os detalhes de interligação são omitidos. Neste curso, sempre utilizaremos diagramas simplificados, já que o nosso escopo é o comportamento do sistema de controle.

Diversos outros documentos de engenharia são gerados em um projeto de instrumentação: as folhas de dados e especificações técnicas, por exemplo, definem os requisitos e características de cada instrumentos; diagramas de interligação e plantas de instrumentação, entre outros, fornecem informações que permitem a montagem eficiente dos sistemas e seus componentes.

Capítulo IVTeoria de controle - domínio temporal

Primeira parte

1. Entendimento do problema2. Conceitos básicos3. Estudo dinâmico de sistemas lineares4. Equipamentos convencionais de controle

Segunda parte

5. Desempenho de controladores

Terceira parte

6. Controle avançado

7. Referências

5. Desempenho de controladores

5.1. Definição de índices de desempenho

Qualitativamente, o desempenho de um controlador pode ser avaliado pela sua capacidade de manter a variável controlada próximo ao valor desejado (setpoint), mesmo em presença de perturbações externas.

Em aplicações práticas, porém, pode ser desejável "medir" o desempenho de um controlador por meio de um índice que permita buscar melhoras de desempenho.

Alguns índices sugeridos na literatura e na prática são dados a seguir. Em geral, eles consideram a resposta do controlador a uma perturbação em degrau.

coeficiente de amortecimento, obtido ao comparar a resposta do controlador à de um sistema de segunda ordem; Luyben, por exemplo, recomenda um valor entre 0,3 e 0,5;

overshoot, ou seja, o máximo desvio do setpoint observado logo após a perturbação;

velocidade de resposta, definida como o tempo necessário para atingir o setpoint (não necessariamente se estabilizando no setpoint);

taxa de decaimento, medida como a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas;

tempo de resposta, considerado como o tempo a partir do qual as oscilações se limitam a uma certa fração (geralmente 5%) da mudança de setpoint;

diversos índices calculados por integração de uma função do erro ao longo do tempo: ISE (integral do quadrado do erro), IAE (integral do valor absoluto do erro) ou ITAE (integral do produto entre tempo e valor absoluto do erro).

Cada critério tem suas vantagens e desvantagens, e têm fornecido material para muitas discussões na literatura. Shinskey (Feedback controllers for the process industries, McGraw-Hill, 1994) discute os méritos relativos de diversos índices de desempenho e situações em que eles não se aplicam.

5.2. Limitações da análise de desempenho

Todos os critérios acima "premiam" a capacidade de levar a variável controlada para próximo do setpoint. Em alguns casos, isto não é necessario nem desejável: por exemplo, uma malha de controle de nível em um tanque pulmão não precisa

ser mantida junto ao setpoint (qual seria a conseqüência?). Antes de aplicar um critério de desempenho qualquer, verifique antes se ele faz sentido para a aplicação.

Outro aspecto não considerado nos índices de desempenho é a robustez do controlador. É possível ajustar um controlador com um excelente desempenho para perturbações pequenas, mas que seja instável quando ocorrer uma perturbação maior. Ao considerar a segurança

5.3. Desempenho de controladores tradicionais

5.3.1. Controlador on-off

O controle on-off, evidentemente, não consegue manter a variável em um setpoint. O comportamento da variável controlada equivale a uma oscilação próximo aos valores equivalentes aos comandos on e off do controlador. A figura a seguir ilustra a resposta de um sistema sob controle on-off, mostrando que a oscilação não é necessariamente senoidal. A linha vermelha indica o valor desejado da variável controlada; observe que a média não equivale necessariamente ao valor desejado.

Uma característica interessante do controle on-off é que o valor médio da variável controlada muda conforme a perturbação externa. Este efeito é observado em sistemas de condicionamento de ar: mantido o setpoint, a temperatura média é mais alta em dias quentes.

5.3.2. Controlador proporcional

A figura a seguir ilustra o comportamento de uma variável controlada por um controlador proporcional após uma perturbação externa em degrau. O setpoint é indicado pela linha vermelha.

Uma característica do controlador proporcional é que ele não consegue "zerar" o desvio do setpoint, deixando um erro residual (offset). Explique por que o controlador não consegue mudar a variável controlada quando ele atinge a região do offset.

5.3.3. Controlador PI

Ao adicionarmos a integral do erro, o controlador passa a não tolerar que um desvio do setpoint seja mantido por muito tempo. Desta forma, elimina-se o problema do offset.

5.3.4. Controlador PID

A ação derivativa tira proveito da informação de processo que permite prever, a curto prazo, a tendência da variável de processo. Assim, ao observar que a variável está aumentando, a ação derivativa atuará no sentido de reduzí-la, mesmo que o erro e a integral do erro apontem em outra direção. Desta forma, a ação derivativa torna a resposta do controlador mais rápida.

O uso de ação derivativa requer cuidados, e deve ser evitada em variáveis cuja medição esteja sujeita a ruídos (como vazão em escoamento turbulento). Neste caso, o comportamento oscilante da vazão faz com que a derivada mude continuamente de sinal, com efeito negativo sobre o desempenho do controlador.

A ação derivativa deve ser evitada em situações onde o erro varie bruscamente,

em forma de degrau. Um exemplo é dado por cromatógrafos de processo, que atualizam suas leituras em intervalos de alguns minutos: nestes instantes, a derivada é infinita; um controlador PID abre ou fecha completamente a válvula de controle nesta situação. Outro exemplo ocorre quando o setpoint é alterado pelo operador, especialmente em sistemas digitais. Atualmente, uma das formas de evitar este problema consiste em calcular a derivada da variável de processo (PV) em vez da derivada do erro.

5.4. Sintonia de controladores

Os controladores possuem parâmetros ajustáveis que permitem alterar seu comportamento de modo a obter o melhor desempenho para uma dada aplicação. O ganho do controlador, por exemplo, está relacionado à agressividade do controlador: ganhos altos fazem com que o controlador atue com mudanças rápidas na saída, enquanto ganhos baixos fazem com que a saída se altere pouco, caracterizando um comportamento mais passivo do controlador.

Um campo interessante da teoria de controle, com muita aplicação prática, é a sintonia de controladores. Hoje, dispomos de um conjunto de regras empíricas e matemáticas que permitem sistematizar a busca de melhores desempenhos, sem comprometer a segurança do processo.

As regras empíricas gerais podem ser encontradas na literatura; o livro-texto discute várias destas regras no capítulo 7.3.

Ziegler e Nichols foram os primeiros a sistematizar, com dois métodos extremamente simples e facilmente aplicáveis na indústria. Estes métodos devem ser encarados como uma forma sistemática de obter uma primeira aproximação (em geral conservadora), a ser melhorada.

O método de sintonia em malha fechada consiste em deixar o sistema em controle proporcional, aumentando o ganho até obter uma oscilação de amplitude constante. Este ganho é denominado ganho limite (Ku), já que ganhos maiores levariam à instabilidade. O período de oscilação nesta situação é chamado de Pu.

Ziegler e Nichols propuseram que a seguinte tabela fosse utilizada para determinar os parâmetros de sintonia:

Kc tau (I) tau (D)

controlador P Ku/2

controlador PI Ku/2,2 Pu/1,2

controlador PID Ku/1,7 Pu/2 Pu/8

Hoje em dia existem diversas ferramentas de software que permitem obter os dados em tempo real (por meio de um sistema de controle) durante transientes. A

análise destes dados permite identificar o comportamento do processo e propor parâmetros para a sintonia de controladores.

Capítulo IVTeoria de controle - domínio temporal

Primeira parte

1. Entendimento do problema2. Conceitos básicos3. Estudo dinâmico de sistemas lineares4. Equipamentos convencionais de controle

Segunda parte

5. Desempenho de controladores

Terceira parte

6. Controle avançado7. Referências

6. Controle avançado

6.1. Conceito

Os controladores estudados anteriormente se caracterizam por uma relação biunívoca entre uma variável controlada e uma variável manipulada. Em diversas situações, é interessante utilizar formas distintas de relacionar mais de uma variável controlada e/ ou mais de uma variável manipulada.

Uma das formas mais simples é a atuação do controlador em duas válvulas (split-range) distintas, cada válvula correspondendo a uma faixa da saída do controlador. Neste caso, uma única variável controlada permite a manipulação de duas outras variáveis. Observe que, neste exemplo, dependendo das faixas de atuação, somente uma variável é manipulada de cada vez.

Neste capítulo, estudaremos algumas estratégias de controle que fazem uso de mais de duas variáveis em uma malha de controle fechada.

6.2. Controle de razão

Uma situação muito comum em unidades de processo é a necessidade de manter uma relação entre quantidades. Em unidades com escoamento contínuo, isto se traduz na necessidade de manter uma razão entre vazões de correntes distintas. O controle da razão é fundamental em processos com reação química, onde se deseja manter uma relação estequiométrica entre reagentes (relação ar/ combustível em uma fornalha, por exemplo), em processos de separação (refluxo em colunas de destilação) e de mistura (blending).

Geralmente, uma das vazões é determinada por outros sistemas da unidade ou fora dela. O objetivo do sistema de controle, então, é manipular a outra vazão para que, mesmo que a primeira vazão varie, a razão permaneça o mais constante possível.

Uma forma de implementar o controle de razão consiste em medir as duas vazões e calcular a razão entre elas. Este valor calculado passa a ser a PV para um controlador de razão (FFC), que recebe um setpoint e manipula uma das vazões para que ela fique proporcional à outra.

Esta implementação apresenta uma desvantagem: em determinadas situações (partida, emergências), pode ser necessário controlar a vazão e não a razão. Um outro esquema, freqüentemente utilizado na prática, é o de utilizar um controlador de vazão para a segunda corrente de processo que opere em três modos: manual, automático e razão. Os modos manual e automático são os tradicionais; o modo automático permite que o operador forneça um setpoint de vazão. O modo razão utiliza um elemento (FY) que multiplica a vazão da primeira corrente por um setpoint de razão, determinando assim o setpoint do controlador de vazão.

6.3. Controle em cascata

Provavelmente, a estratégia de controle avançado mais aplicada na prática é o controle em cascata. O controle em cascata utiliza pelo menos duas variáveis controladas para atuar sobre uma única variável manipulada.

O controle em cascata consiste de duas ou mais malhas de controle integradas. A malha interna contém a válvula e o controlador chamado escravo. A malha externa abrange o outro controlador, denominado controlador mestre, cuja saída fornece o setpoint para o controlador escravo.

O controle em cascata é eficaz em situações onde existem perturbações a serem eliminadas. É o caso do controle de temperatura pela injeção de vapor: caso fosse utilizado apenas um controlador de temperatura atuando diretamente sobre a válvula de vapor, não haveria como compensar eventuais variações de pressão na linha de vapor. O uso de um controlador de vazão escravo permite atuar de forma diferenciada durante as variações de pressão.

Em alguns casos, o controle em cascata tem um desempenho melhor do que o controle simples por uma única variável. Exemplos em sala de aula.

Um exemplo comparativo de estratégias de controle tradicional e avançado pode ser encontrado na homepage de Paul Henry. Selecione o item "Process control" e compare os esquemas de controle de nível de água em caldeiras com um, dois ou três elementos.

Para pensar: qual malha de controle deve ter resposta mais rápida, a externa ou a interna? Por quê?

6.4. Controle seletivo

Existem processos em que uma variável manipulada, que interfere sobre mais de uma variável de processo, exige estratégias diferentes dependendo do estado do processo. A vazão de vapor para o fundo de uma coluna de destilação, por exemplo, afeta a temperatura do fundo e, pela vaporização do líquido, o nível do fundo da coluna. Em uma situação normal de operação, provavelmente se deseja

que a vazão de vapor seja utilizada para controlar a temperatura do fundo, mas se o nível estiver muito baixo, pode passar a ser prioritário o controle do nível de fundo, para evitar a perda de sucção das bombas de descarga e talvez o entupimento do refervedor.

O controle seletivo opera por meio de elementos comparadores, que selecionam o maior ou o menor entre dois ou mais sinais, enviando somente um deles à válvula de controle (ou ao controlador escravo).

6.5. Controle inferencial

Em alguns casos, a variável a ser controlada não pode ser medida de forma econômica. Uma abordagem é o controle inferencial, em que a variável controlada não é medida diretamente e sim calculada a partir de outras variáveis de processo que podem ser medidas mais facilmente.

Um exemplo típico é o controle de composição. Em misturas binárias em fase vapor, a composição pode ser determinada a partir da pressão e da temperatura por meio de uma equação de estado.

Outro exemplo extremamente comum é o controle de vazão mássica, que pode ser feito a partir de medições da vazão volumétrica, da temperatura e (no caso de gases) da pressão. Exemplos mais sofisticados incluem o cálculo do excesso de ar ou da carga térmica de uma fornalha e a modelagem de propriedades físicas de produtos (índice de octanagem de gasolinas, ponto de fluidez de plásticos, etc.).

6.6. Controle feedforward

A implementação de estratégias de controle feedforward normalmente envolve o conhecimento de modelos do processo que permitam determinar o melhor valor da variável manipulada a partir do valor atual da(s) variável(is) monitorada(s).

A imprecisão do modelo é um aspecto de segurança importante que dificilmente permite a implementação de estratégia feedforward "puras". Em geral, o valor calculado pelo controlador feedforward é enviado a um controlador feedback, aumentando a robustez do sistema.

6.7. Controle multivariável

O uso de modelos que representam o comportamento dinâmico do processo permite a implementação de controladores que, por meio de simulação, podem calcular mais de um valor de saída, a partir de mais de uma variável de processo. Controladores que apresentam diversas PVs e diversas saídas são denominados controladores multivariáveis.

Um dos controladores multivariáveis mais utilizados é o DMC (dynamic matrix

control), ou suas variações. Este tipo de controlador é descrito no item 8.9 do livro texto, e não será incluído nesta homepage devido à grande quantidade de equações.

6.8. Outras estratégias de controle avançado

Com a facilidade de implementação de algoritmos complexos em máquinas capazes de efetuar os cálculos necessários em tempo hábil, diversas estratégias diferentes de controle avançado estão sendo utilizadas.

Um dos campos recentes que recebe muita atenção (especialmente de marketing) é a aplicação de redes neurais e outras ferramentas derivadas do estudo de inteligência artificial (fuzzy logic, sistemas especialistas baseados em regras).

7. Referências

Controle convencional

Luyben, capítulos 6 e 7

Seborg et al., capítulo 9, inclui discussão sobre precisão e repetibilidade, dois conceitos importantes para especificação e compra de instrumentos.

Controle avançado

Luyben, capítulo 8

Marlin, capítulo 14 (controle em cascata), 15 (feedforward), 17 (controle inferencial) e 23 (controle multivariável).

Capítulo II Solução de Equações Algébricas

1. Introdução2. Método da bisseção3. Método de substituições sucessivas4. Método de Newton-Raphson5. Aplicação prática6. Trabalhos de anos anteriores

1. Introdução

O objetivo deste capítulo é rever os métodos que permitem encontrar raízes de equações algébricas no formato genérico

f(x) = 0

Existem diversos tipos de problemas em Engenharia Química que podem ser representados por equações, geralmente não lineares. Além disto, mesmo em problemas mais complexos, a solução de equações pode ser uma etapa intermediária na resolução.

Para os fins deste curso, nos limitaremos a métodos de aplicação genérica, deixando de lado métodos que se aplicam somente a casos particulares. Por exemplo, se f(x) for um polinômio, existem diversos métodos específicos que permitem encontrar mais de uma raiz. Carnahan et al . discutem alguns destes métodos.

2. Método da bisseção

Método tradicional (interval halving)

Premissa

Sabe-se que existe uma solução s em um intervalo [a,b] tal que f(s) = 0.

Sabemos que se houver um número ímpar de raízes no intervalo, teremos necessariamente f(a). f(b) < 0

Algoritmo

Reduzir sucessivamente o intervalo até obter uma aproximação satisfatória ("encurralar" a raiz).

Implementação em pseudo-linguagem

Inicializar o problema usando os limites do intervalo:

a0 = ab0 = bi = 0

A cada iteração, incrementar i, encontrar um ponto pi dentro do intervalo tal que

e testar o valor obtido

se f(pi) = 0, a raiz foi encontrada. se f(pi). f(ai) < 0, preparar próxima iteração com ai+1 = ai e bi+1 = pi. se f(pi). f(ai) > 0, preparar próxima iteração com ai+1 = pi e bi+1 = bi.

Interromper o processo quando a tolerância desejada for atingida. Esta tolerância pode ser expressa de diversas formas, tais como:

Método da regula falsi

Segue-se o mesmo procedimento, exceto que pi é a interseção entre o eixo x e a corda que liga (a, f(a)) a (b, f(b)).

ResumoMétodo da bisseção

aplicação simplesconvergência garantida

exige intervalo válido para iniciarconvergência lenta encontra somente uma raiz no intervalo

obter uma primeira aproximação resolver problema único

3. Método de substituições sucessivas

Algoritmo

Rearranjar a equação f(x) = 0 de modo a obter x = g(x). Usar esta equação para obter novas estimativas de x.

Implementação em pseudo-linguagem

inicializar o problema:

fazer i = 0e arbitrar x0

A cada iteração, incrementar i e calcular

xi+1 = g(xi)

até obter uma solução satisfatória (podem ser usados os mesmos critérios do item anterior).

sempre é possível obter g(x) fazendo g(x) = x + f(x).

Convergência do método

O método pode ser convergente ou não, dependendo da função g(x) utilizada.

Converge Não converge

Método de substituições sucessivas

aplicação simplesnão exige premissas iniciais

convergência não garantidaconvergência lenta

resolver usando calculadora programávelobter uma primeira aproximação resolver problema único

DICA: mesmo em caso de divergência, caso se queira uma estimativa grosseira da raiz, observe que ela é o ponto de "bifurcação" da divergência. Valores de x de um lado da raiz causam divergência para maior, valores de x do outro lado da raiz causam divergência para menor. É um procedimento trabalhoso...Este procedimento só se justifica caso haja certeza de que existe uma raiz no intervalo; em geral, é mais fácil rearranjar a equação de forma a obter a convergência do método.

4. Método de Newton-Raphson

Algoritmo trabalhar com uma expansão da função f(y) em torno da raiz.

Dedução

a expansão de f(y) em torno de um ponto y=x é dada por

f(y) = f(x) + (y - x) f'(x) + (y - x)2 f"(x)/2

Podemos usar esta aproximação para calcular o valor da função para a raiz . Se desprezarmos os termos a partir de segunda ordem, obtemos:

f() = f(x) + ( - x) f'(x)

Lembrando que f( )= 0 , temos portanto a aproximação:

O método de Newton-Raphson consiste em obter aproximações sucessivas da raiz usando esta equação de forma iterativa,

A equação acima também é conhecida como "forma tangente". Como f(x) é conhecida em forma algébrica, f'(x) pode ser conhecida a priori em muitos casos, o que permite seu uso.

Em outras situações, a derivação pode ser complicada ou indesejável (por exemplo, quando se desenvolve um sistema de uso genérico). Nestes casos, é necessário usar uma aproximação da derivada, como

A "forma secante" de Newton-Raphson é obtida substituindo esta aproximação, obtendo:

A única diferença é que para a primeira iteração são necessários dois valores iniciais (de preferência próximos entre si).

Método de Newton-Raphson

convergência rápidanão exige premissas iniciais

maior número de cálculos por iteraçãoexige cálculo (ou aproximação) da derivadanão converge em casos especiais

utilização genérica

Generalizações

O método de Newton-Raphson pode ser aplicado também a sistemas de equações do tipo

F1(x1, x2, x3, ...) = 0 F2(x1, x2, x3, ...) = 0 F3(x1, x2, x3, ...) = 0 ...

que pode ser representado em forma vetorial como F(x) = 0

A expressão utilizada para cada iteração é

J é o Jacobiano, definido por

Além disto, o método pode ser também aplicado para a busca de raízes complexas. Referência: Carnahan et al .

5. Aplicação prática

Os exercícios referentes a este capítulo serão desenvolvidos em aula utilizando algumas das equações abaixo:

a. dimensionamento de um precipitador eletrostático (Edgard e Himmelblau, Optimization of Chemical Processes, McGraw-Hill, 1988)

A equação abaixo permite calcular a área específica de precipitação (área/ vazão volumétrica em s/m) a partir do rendimento desejado.

b. fator de atrito de Moody para escoamento tubulento incompressível em um tubo

(equação de Colebrook)

fM-1/2 = -2.log(0,27 E + 2,51.fM

-1/2 /Re)

onde Re é o número de Reynolds, E é a rugosidade relativa (rugosidade/ diâmetro) e fM é o fator de Moody utilizado no cálculo da perda de carga:

Delta P = fM.ro.v2.L/(24D)

A equação de Blasius, que se aplica a escoamento turbulento em tubos lisos, é

fM = 0,316.Re-1/4

c. Reator batelada isotérmico com reação de primeira ordem

Pode-se provar que o máximo rendimento global de produto é obtido quando o tempo de reação tr obedece à seguinte relação:

k.tr = ln (1 + k.tr + k.tp)

onde k é a velocidade específica da reação e tp é o tempo perdido entre bateladas (resfriamento do produto, descarga, limpeza, carga, etc.)

Capítulo III Solução de Equações Diferenciais OrdináriasProblemas de valor inicialPrimeira parte

Primeira parte 1. Entendimento do problema2. Método de Euler3. Estabilidade e Ordem de Aproximação4. Problemas especiais

Segunda parte 5. Interpolação e quadratura6. Métodos Preditor-Corretor7. Métodos de Runge-Kutta

Exercícios de anos anteriores 8. Exercícios

1. Entendimento do problema

1.1. Problemas de valor inicial

O objetivo deste capítulo é rever os métodos que permitem encontrar soluções de equações diferenciais ordinárias em problemas de valor inicial: problemas

caracterizados por um estado inicial conhecido e por uma equação diferencial que descreve a evolução do sistema a partir deste estado inicial. A solução buscada é geralmente a caracterização de um estado do sistema diferente do inicial.

Existem diversos tipos de sistemas em Engenharia Química que podem ser representados por problemas de valor inicial. Um reator em batelada pode ser descrito a partir das concentrações em um instante de tempo (tipicamente t=0) e das equações de balanço material e de energia; um problema típico consiste em determinar o tempo necessário para se obter uma dada concentração de produto. A variável independente tempo (t) aparece freqüentemente em problemas deste tipo. Outras variáveis podem ser utilizadas; um exemplo é a determinação do perfil de temperatura T=f(z) ao longo de um trocador de calor, que pode ser feita a partir da temperatura de entrada (em z=0) e das equações de transferência de calor. Neste caso, a variável independente é a posição ao longo do eixo do trocador de calor.

Um exemplo extremamente simples de um problema de valor inicial é

dy/dt = f(t, y)t=0 ==> y=yo

Em aplicações práticas, muitas vezes necessitamos de mais de uma variável para descrever o sistema. Muitos sistemas em Engenharia Química podem ser descritos por sistemas de equações diferenciais do tipo:

dx/dt = f(x, y, z, ..., t) dy/dt = f(x, y, z, ..., t) dz/dt = f(x, y, z, ..., t) t=0 ==> x=xo, y=yo, z=zo, ...

Observe que, em sistemas com condição inicial em t=to diferente de zero, basta efetuar a mudança de variável T = t-to para obter a condição inicial em T=0.

1.2. Solução numérica

A solução algébrica de uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma função que satisfaz à EDO e à condição inicial. A solução numérica é uma aproximação da função, expressa na forma de um conjunto de pontos, que podem ser visualizados na forma de tabelas ou gráficos.

É importante entender de que forma a solução numérica da equação diferencial depende do espaçamento entre os pontos (mais precisamente, do espaçamento das abscissas). Na maior parte dos métodos aplicáveis, devemos escolher a priori um intervalo para resolver a equação.

Um intervalo pequeno faz com que os pontos fiquem "próximos" ao serem plotados graficamente, permitindo uma boa visualização da curva; uma

desvantagem óbvia do uso de intervalos pequenos é a necessidade de maior número de cálculos para obter a solução em um determinado domínio 0 < t < tmáx.

Uma boa escolha do intervalo leva a uma curva que permite visualizar a função.

O uso de intervalos maiores reduz o número de cálculos, mas pode trazer outros problemas; um deles é mostrado na figura ao lado, que representa a mesma função acima. A visualização da função é difícil porque há pouca informação nos cinco pontos utilizados.

Um caso extremo é ilustrado pela representação gráfica de f(t) = sen(t) com um intervalo h=2

Nas seções seguintes, vamos verificar a ocorrência de outros problemas, tais como: erros de arredondamento (ou de truncamento) que se acumulam (mais graves quanto menor o intervalo) e perda de precisão e/ ou convergência.

Neste capítulo, utilizaremos a seguinte notação para os pontos que representam a solução de dy/dt=f(y,t):

(t0; y0) (t1; y1) (t2;y2) ... (ti; yi) ...

A notação fica bem simplificada quando t0=0 e quando se utiliza um intervalo (t) = h = cte.

(0; y0) (h; y1) (2h;y2) ... (ih; yi) ...

2. Método de Euler

A melhor forma de entender o funcionamento dos métodos numéricos para solução de EDOs - e de conhecer suas armadilhas - é aplicar um método qualquer a equações simples. O método de Euler será deduzido mais adiante, e consiste basicamente em aproximar a derivada em t=ti pela relação:

dy/dt ~ (yi+1 - yi)/h

A equação diferencial dy/dt=f(y,t) passa a ser representada por uma equação algébrica:

(yi+1 - yi)/h = f(yi;ti)

yi+1 = yi+h.f(yi;ti)

Método de Euler

Comece com a condição inicial (t0; y0)

Use o método para i=0,1,2,3,...yi+1 = yi+h.f(yi;ti) ti+1 = ti + h

Exemplo: aplicação do Método de Euler à equação do decaimento, dy/dt=-ky . Esta equação aparece em diversos sistemas de Engenharia Química tais como decaimento radioativo e consumo de certos reagentes em um meio reacional mantido a temperatura constante.

O método de Euler é um método explícito: a equação utiliza apenas valores conhecidos para determinar novos pontos. Outros métodos são denominados implícitos porque as equações expressam os pontos a serem calculados em função de valores conhecidos e de valores a calcular.

3. Estabilidade e Ordem de Aproximação

3.1 Estabilidade

A aplicação do método de Euler evidencia que o valor escolhido para o intervalo h afeta:

a precisão da solução, entendida como a proximidade entre o resultado numérico (aproximado) e a solução algébrica (quando disponível)

a estabilidade da solução; uma solução é instável quando os pontos calculados se afastam da solução algébrica de forma amplificada.

A figura acima ilustra uma solução instável.

Um dos objetivos deste capítulo é conhecer as características de estabilidade de cada método numérico aplicável.

3.2. Ordem de aproximação

Na dedução dos métodos numéricos, freqüentemente precisamos indicar de forma quantitativa a qualidade da aproximação que estamos efetuando. Uma forma padronizada é indicar, para os termos desprezados na aproximação, a ordem de aproximação representada por:

O(hn)

A ordem de aproximação indica que, à medida em que h tende a zero, o termo O(hn ) tende a zero na mesma velocidade com que hn tende a zero. Evidentemente, um maior valor de n indica uma melhor aproximação.

A figura abaixo mostra o comportamento de hn. Para construir a figura, considerou-se um valor inicial h = 1 e 6 iterações em que h é reduzido à metade do valor anterior. Uma função de ordem de aproximação 3 que tivesse valor inicial 1 ficaria sempre abaixo da curva laranja.

Ao expressarmos uma função por meio de expansão em série de Taylor, podemos quantificar as aproximações numéricas envolvidas na solução de equações diferenciais ordinárias. O Método de Euler, por exemplo, pode ser obtido pelo truncamento da expansão em série de Taylor:

Observe que isolando dy/dt , obtemos a equação dy/dt ~ (yi+1 - yi)/h usada no item 2 deste capítulo.

Observe ainda que a aproximação da função em um intervalo (que representa o resultado a ser obtido com a aplicação do método) é da ordem de h2. O termo O(h2

) é designado de erro de truncamento local, e representa a ordem da aproximação em um intervalo.

Como a resolução da equação diferencial implica o uso de diversos intervalos, o erro de truncamento se acumula. Como o número de intervalos é inversamente proporcional a h, é fácil demonstrar que o erro de truncamento no intervalo (t0, tn) é O(h).

O erro de aproximação do Método de Euler é O(h).

4. Problemas especiais

A discussão feita nos itens anteriores sempre se baseou na solução de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Este item mostra que esta abordagem não é limitativa.

4.1. Sistemas de EDOs

Objetivo: mostrar que o Método de Euler pode ser aplicado para resolver um sistema de equações diferenciais ordinárias e generalizar este resultado.

4.2. EDOs de ordem maior que um

Objetivo: demonstrar que o Método de Euler pode ser aplicado para resolver uma equação diferencial ordinária de ordem maior do que um e generalizar este resultado.

Capítulo III Solução de Equações Diferenciais OrdináriasProblemas de valor inicialSegunda parte

Primeira parte 1. Entendimento do problema2. Método de Euler3. Estabilidade e Ordem de Aproximação4. Problemas especiais

Segunda parte 5. Interpolação e quadratura6. Métodos Preditor-Corretor7. Métodos de Runge-Kutta

Exercícios de anos anteriores 8. Exercícios

5. Interpolação e quadratura

5.1. Fórmulas de interpolação

Aviso: um pouco de teoria!

As fórmulas de interpolação e quadratura, normalmente estudadas em Cálculo Integral e Diferencial, são essenciais para entender como são deduzidos os principais métodos para solução de EDOs.

A fórmula de interpolação de Newton, por exemplo, permite obter uma equação integrável e diferenciável que passa por um conjunto de pontos (ti; yi) igualmente espaçados em relação ao eixo x (tais que ti+1-ti = h).

A equação acima pode ser diferenciada em relação a t.

Calculando em t=tn obtemos o valor da derivada neste instante:

A equação acima mostra que é possível expressar a derivada em t=tn em função de valores já conhecidos de y. O livro-texto mostra outras fórmulas equivalentes (Rice e Do, item 7.5). Uma forma útil para a dedução é a seguinte:

Para a dedução basta integrar diretamente a EDO dy/dt=f(y):

A última linha aparece porque, por definição, y'=f(y)!

5.2. Métodos explícitos

Vamos à aplicação prática!

Método de Euler

Manter somente os dois primeiros termos:

Método de Adam-Bashford de segunda ordem

Manter os três primeiros termos:

Método de Adams-Bashford de quarta ordem

Manter os cinco primeiros termos:

Uma pausa para reflexão

Todos os métodos acima descritos são explícitos, já que ao calcularmos yn+1 , todos os valores do lado direito da equação são conhecidos.

Observe que, quanto maior a ordem n do método: melhor a precisão, O(hn+1) para cada intervalo, O(hn) global mais pontos são necessários para iniciar o cálculo

5.3. Métodos implícitos

Mais alguns métodos

Os métodos implícitos não serão deduzidos aqui (ver Rice e Do, item 7.7). Os seguintes métodos implícitos são de interesse:

Método de Euler modificado

Método de Crank-Nicholson (trapezoidal)

Método de Adams-Moulton

5.4. Explícitos x Implícitos

Por que dois tipos?

Explícito Implícito

Aplicação Direta, basta calcular o segundo membro da equação

Pode exigir solução de equação algébrica a cada iteração!

Estabilidade Normalmente instável se h for grande Normalmente estável

Como dizem os americanos, there is no such thing as a free lunch...

6. Métodos Preditor-Corretor

Os métodos chamados preditor-corretor não garantem um free lunch, mas dão um bom desconto.

A abordagem consiste em utilizar um método explícito, denominado preditor, para calcular uma estimativa do valor de yn+1. Ao invés de prosseguir para o próximo intervalo, porém, este valor estimado é usado no segundo membro de um método implícito, denominado corretor, para obter um valor mais próximo de yn+1. Existem combinações mais eficientes que outras - por exemplo, se o preditor costuma errar para mais, um corretor que erre para menos pode ser mais indicado. Uma combinação comum é Adams-Bashford de quarta ordem com Adams-Moulton.

Um método preditor-corretor bastante utilizado é o de Hamming (ver literatura: Carnahan et al, Mathews); uma implementação deste método utiliza as seguintes equações:

7. Métodos de Runge-Kutta

Os métodos de Runge-Kutta são muito utilizados, principalmente porque podem ser expressos por uma seqüência de fórmulas explícitas; sua implementação em computadores também é extremamente simples. Estes métodos utilizam o valor da função no ponto médio do intervalo (t+h/2).

Simplificando a notação (os subscritos iguais a n foram omitidos), as fórmulas para a solução de dy/dt = F(t, y) são as seguintes:

Outro atrativo dos métodos de Runge-Kutta é a fácil aplicação a sistemas de EDOs. Para um sistema de duas equações, dx/dt = F(t, x, y) e dy/dt = G(t, x, y), por exemplo:

Capítulo IVSolução de Equações Diferenciais OrdináriasProblemas de condição de contorno

Primeira parte

Primeira parte 1. Entendimento do problema2. Método das diferenças finitas

Segunda parte 3. Resíduos ponderados

1. Entendimento do problema

1.1. Problemas de condição de contorno

O objetivo deste capítulo é apresentar métodos numéricos que permitem encontrar as soluções de equações diferenciais ordinárias em problemas de condição de contorno: problemas caracterizados por valores conhecidos da variável dependente em mais de um ponto e por uma equação diferencial que descreve o comportamento desta variável entre os pontos de interesse. A solução buscada é geralmente um "perfil" - uma curva que descreve o comportamento da variável dentro de um intervalo.

Existem diversos tipos de sistemas em Engenharia Química que podem ser representados por problemas de condição de contorno. Os exemplos mais familiares são perfis de temperatura e concentração em problemas de transferência de calor e massa; as condições de contorno geralmente representam interfaces entre materiais diferentes onde se conhece a temperatura/ concentração ou onde se conhecem os parâmetros de transferência de calor/ massa.

Uma forma familiar é a equação que representa a perda de calor por uma aleta:

T" - a T = a Tambiente

com as condições de contorno

x = 0 : T = Tparede,x = L : T' = b (T - Tambiente)

1.2. Solução numérica

A solução algébrica de uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma função que satisfaz à EDO e às condições de contorno. A solução numérica é uma aproximação da função, expressa na forma de um conjunto de pontos, que podem ser visualizados na forma de tabelas ou gráficos.

As mesmas observações feitas no capítulo anterior em relação ao intervalo de integração escolhido se aplicam aos métodos que estudaremos a seguir: intervalos muito grandes levam a imprecisão na solução.

Um método que já foi bastante empregado consiste em considerar uma das condições de contorno como condição inicial, arbitrando as demais condições iniciais necessárias. Resolve-se o problema de valor inicial e verifica-se o valor das condições de contorno. O método é repetido até que as condições de contorno obtidas pelo método coincidam com os dados do problema. Este método não será estudado neste curso e pode ser encontrado na literatura (Carnahan et al).

1.3. Derivação Numérica

A definição da derivada de uma função f(x) em um ponto a é dada por:

Intuitivamente, pode-se supor que valores pequenos de h devem levar a aproximações cada vez melhores para a derivada f'(a). Na prática, problemas de arredondamento podem fazer com que esta expectativa seja frustrada. Para demonstrar isto, vamos considerar uma seqüência de aproximações obtidas a partir de uma seqüência decrescente de valores de h.

Usando como exemplo a função f(x) = x2, podemos obter diversas aproximações para a derivada em a=1. O valor exato da derivada seria f'(a) = 2a = 2

A tabela abaixo calcula diretamente a derivada utilizando JavaScript. O resultado obtido pode variar dependendo do seu browser (especificamente, da forma como foi implementada a precisão numérica no JavaScript).

Intervalo Aproximação

h = 0,1 f'(a) = 2.100000000000002

h = 0,01 f'(a) = 2.0100000000000006

h = 0,001 f'(a) = 2.0009999999996974

h = 0,0001 f'(a) = 2.000099999999172

h = 0,00001 f'(a) = 2.00001000001393

h = 0,000001 f'(a) = 2.0000009999243673

h = 0,0000001 f'(a) = 2.0000001010878065

h = 0,00000001 f'(a) = 1.999999987845058

h = 0,000000001 f'(a) = 2.000000165480742

h = 0,0000000001 f'(a) = 2.000000165480742

h = 0,000000000000001 f'(a) = 2.220446049250313

h = 0,000000000000000001 f'(a) = 0

h = 0,000000000000000000001 f'(a) = 0

?!?! Discussão do resultado em sala de aula!

Uma boa discussão sobre este assunto pode ser encontrada no capítulo 6 de Mathews.

2. Método das diferenças finitas

2.1 Aproximação

O método das diferenças finitas é bastante intuitivo, e consiste em substituir as derivadas na equação por aproximações numéricas de mesma ordem de aproximação.

Para equações diferencias de segunda ordem, podemos utilizar as seguintes aproximações:

xi+1=xi + h

Mathews apresenta a dedução desta aproximação no capítulo 6. Além disto, ele apresenta diversas aproximações de ordem O(h4).

Ao substituirmos estas aproximações na equação diferencial, obtemos uma equação algébrica que envolve valores da função T em três pontos: xi+1, xi e xi-1 para cada valor de i dentro do intervalo de integração. As condições de contorno geralmente fornecem equações em x0 e xn.

2.2 Condições de contorno "constantes"

Em muitos problemas, as condições de contorno representam valores conhecidos da variável dependente. Neste caso, o método pode ser executado pelo

procedimento a seguir:

a. utilize as aproximações das derivadas para obter equações algébricas

b. escreva as equações para i=1,2,...,n-1 utilizando as aproximações acima

c. na equação de i=1, substitua x0 pela condição de contorno respectiva

d. na equação de i=n-1, substitua xn pela condição de contorno respectiva

O resultado será um sistema de n-1 equações algébricas que pode ser representado matricialmente pela equação

A.T=B

Exemplo

Monte as equações algébricas para a solução da equação diferencial:

T" +f(x).T=g(x) x=0, T=T0 x=L, T=TL

Dividindo o intervalo [0,L] em n sub-intervalos, temos h=L/n.

a. utilize as aproximações das derivadas para obter equações algébricas

x ==> xi

b. escreva as equações para i=1,2,...,n-1 utilizando as aproximações acima

T" +f(x).T=g(x)

substituindo

rearranjando

c. na equação de i=1, substitua x0 pela condição de contorno respectiva

d. na equação de i=n-1, substitua xn pela condição de contorno respectiva

A representação matricial do sistema é portanto:

T = [ T1 T2 T3 ... Tn-2 Tn-1 ]T

B=[ h2g(x1)-T0 h2g(x2) h2g(x3) ... h2g(xn-2) h2g(xn-1)-TL ]T

A matriz A é dada por

2.3 Matrizes tridiagonais

A matriz A tem uma propriedade especial: todos os elementos não nulos estão na diagonal principal ou junto a ela (acima ou abaixo); todos os demais elementos são zero.

A solução do sistema A.T=B pode ser feita por qualquer método de inversão de matrizes (Gauss-Seidel, por exemplo). No entanto, para o caso específico da matriz tridiagonal, o sistema de equações pode ser resolvido algebricamente.

O sistema pode ser representado por um sistema para i=1,2...n-1

aiTi-1+biTi+ ciTi+1=di

onde a1=0 e cn-1=0

Por eliminação das variáveis, pode-se demonstrar que a solução deste sistema é

dada por

Tn-1=Kn-1

Ti=Ki- (ci/Ji).Ti+1 para i= n-2,n-3,...1

Os valores de K e J são determinados pelas seguintes expressões:

J1=b1 K1=d1/J1 Ji=bi-(ai.ci-1/Ji-1) para i=2,3,...n-1Ki=(di-ai.Ki-1)/Ji para i=2,3,...n-1

Observe que o sistema acima fornece os valores de Ti para i=1,2,...n-1; os valores correspondentes a i=0 e i=n já eram conhecidos pelas condições de contorno.

2.4 Condições de contorno envolvendo derivadas

Em muitos casos, a condição de contorno envolve a derivada da função. Um exemplo típico são os problemas de transferência de calor e massa em interfaces, onde se conhece a taxa de transferência (proporcional à derivada).

Neste caso, precisamos de uma aproximação da derivada junto ao contorno. Note que a aproximação utilizada no interior do intervalo não é adequada no contorno pois envolve um ponto que está fora do intervalo de integração (i=-1 ou i=n+1).

A aproximação deve ser deduzida por expansão da função em série de Taylor em torno do ponto desejado. Uma aproximação de ordem O(h) em torno do ponto x0 é a seguinte:

Como a derivada é conhecida em função de T(x0) pela condição de contorno, esta aproximação gera uma equação algébrica com incógnitas T0 e T1.

Pode-se obter uma aproximação de ordem O(h2) por expansão em série de Taylor em torno de x0 com intervalos h e 2h, mantendo-se os termos até a derivada terceira. Nas equações abaixo, todas as derivadas são calculadas no ponto x=x0

As duas equações resultantes podem ser tratadas de forma a eliminar a derivada terceira, obtendo a derivada segunda em x=x0.

Esta expressão deve ser substituída na equação diferencial, utilizando-se o valor da derivada primeira dado na condição de contorno. Desta forma, obtém-se uma equação relacionando T(x0), T(x1) e T(x2).

O inconveniente é que, para obter um sistema tridiagonal, T(x2) deve ser eliminado entre as equações para i=0 (obtida acima com a condição de contorno) e i=1 (obtida normalmente).

Capítulo VSolução de Equações Diferenciais Parciais

1. Entendimento do problema2. Método das diferenças finitas

1. Entendimento do problema

1.1. Problemas de condição de contorno

Diversos problemas de engenharia química levam a equações diferenciais parciais que representam o comportamento de uma ou mais variáveis dependentes (por exemplo: temperatura, concentração, pressão) em relação a duas ou mais variáveis independentes (por exemplo: tempo, posição axial, posição radial).

2. Método das diferenças finitas

2.1 Um método conhecido

O método de diferenças finitas estudado no capítulo IV se aplica também à solução das equações diferenciais parciais, sendo especialmente úteis no caso de equações que representam o comportamento transiente de sistemas (em outras palavras, equações provenientes de simulação dinâmica).

Referência: Rice e Do, cap. 12.

2.2 Notação

Nos problemas do capítulo anterior, as funções apresentavam uma única variável independente e podiam ser modeladas por meio de gráficos em duas dimensões (t-y). Neste capítulo, cada variável independente adiciona uma dimensão ao problema.

Para representar numericamente a equação, subdividiremos o intervalo onde a variável é definida em segmentos. Para primeira variável independente (t, por exemplo), utilizaremos os valores t0, t1, t2, ..., tn , ou resumidamente ti, i=0...n. Para a segunda variável independente (por exemplo x), utilizaremos os pontos xj, j=0..m , e assim por diante.

A variável dependente (por exemplo T) é uma função das variáveis independentes. Para efeito de simplificação, o valor da variável dependente em um determinado ponto,

T(ti, xj, yk, ...)

será representada de forma abrevida pela notação:

Ti, j, k, ...

2.3 Aproximação

As aproximações utilizadas no capítulo IV são facilmente adaptáveis a um número maior de variáveis independentes, bastando uma certa cautela ao associar o índice à variável independente que o índice representa.

As seguintes aproximações (1) a (3) abaixo podem ser utilizadas para a derivada primeira, ao passo que a aproximação (4) representa a derivada segunda:

(1)

(2)

(3)

(4)

Para resolver uma equação diferencial parcial, o primeiro passo é utilizar as aproximações para transformar a equação diferencial e suas condições de contorno em um sistema de equações algébricas.

2.4 Exemplos de aplicação

a. Equação parabólica, método explícito (Euler)

Considere a equação diferencial parcial

com as condições de contorno:

t = 0, qualquer x ==> T = Tini

x = 0, qualquer t > 0 ==> T = Te

x = L, qualquer t > 0 ==> T = Td

Devemos buscar aproximações válidas para qualquer ponto no domínio de interesse, ou seja:

Para os pontos "internos" do domínio, a saber i = 1, 2, 3, ... e j = 1, 2, 3, ..., m-2, m-1 , obtemos a partir das aproximações (1) e (4):

que pode ser rearranjada fazendo

de modo a obter

Para os demais pontos, temos:

i = 0, qualquer j ==> T0,j = Tini

j = 0, qualquer i > 0 ==> Ti,0 = Te

j = m, qualquer i > 0 ==> Ti,m = Td

O sistema pode ser resolvido sequencialmente para i = 1, 2, ...

Em sala: discussão sobre convergência do método explícito.

b. Equação parabólica, método implícito (Euler modificado)

A mesma equação pode ser resolvida de forma diferente caso se considere o instante i+1 para as aproximações:

Utilizando as aproximações (2) e (4):

e simplificando (com a mesma definição de A dada acima):

para os pontos "internos" do domínio, a saber i = 1, 2, 3, ... e j = 1, 2, 3, ..., m-2, m-1 . Para os demais pontos, valem as mesmas equações obtidas a partir das condições de contorno.

É fácil verificar que a solução deste sistema de equações recai na solução de um sistema tridiagonal do tipo já visto no capítulo IV.

c. Equação parabólica, método implícito (Crank-Nicholson)

O método de Crank-Nicholson é mais preciso do que o anterior. Neste método, parte-se da aproximação:

substituindo as aproximações, obtemos

e simplificando (com a mesma definição de A dada acima):

para os pontos "internos" do domínio, a saber i = 1, 2, 3, ..., n-2, n-1 e j = 1, 2, 3, ..., m-2, m-1 . Para os demais pontos, valem as mesmas equações obtidas a partir das condições de contorno.

É fácil verificar que a solução deste sistema de equações também recai na solução de um sistema tridiagonal do tipo já visto no capítulo IV.

Os exemplos vistos até aqui apresentam duas variáveis independentes, a saber o tempo e uma dimensão física (x). A mesma abordagem pode ser utilizada para problemas com maior número de variáveis independentes.

Os exemplos a seguir tratam da equação diferencial:

d. Equação parabólica, duas dimensões espaciais, método explícito (Euler)

A substituição é deixada como exercício. Observe que o método explícito, como sempre, permite calcular diretamente os valores de T.

d. Equação parabólica, duas dimensões espaciais, método implícito (Euler modificado)

A substituição das aproximações leva a

para os pontos "internos" do domínio, a saber i = 1, 2, 3, ..., n-2, n-1, j = 1, 2, 3, ..., m-2, m-1 e k = 1, 2, 3, ..., v-2, v-1 . Para os demais pontos, valem as mesmas equações obtidas a partir das condições de contorno.

Verifique que a solução deste sistema de equações não recai na solução de um sistema tridiagonal.

Uma solução engenhosa para este tipo de problema é o método implícito com direção alternante, que faz com que o problema recaia em uma matriz tridiagonal.