erros estacionÁrios - faculdade de engenharia mecânicaem621/aulas/aula16/analiserro.pdf · -...
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- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
ERROS ESTACIONÁRIOSERROS ESTACIONÁRIOS
Controle Malha Aberta e Fechada
Constantes de erro
Tipos de sistemas
Erros unitários
Exemplo
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
Controle em malha abertaControle em malha aberta
Ação básica, sem realimentação
A entrada do controlador é um sinal de referência
A saída do controlador é o sinal de controle que leva a planta à saídadesejada
K(s) P(s)
R(s) U(s) Y(s)
G(s)
R(s) Y(s)
)()()()(
)(sPsKsG
sR
sY ==
Função detransferencia malha
aberta
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
Controle em malha fechadaControle em malha fechada
Faz uso da realimentação da saída
O erro é a diferença entre a entrada e a saída
O controlador transforma o erro no sinal de controle
K(s) P(s)
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
Diagrama completoDiagrama completo
Explicitando a dinâmica do sensor e do atuador
Em geral esses modelos são incluídos na planta
K(s) P(s)
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
A(s)
S(s)
Atuador
Sensor
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Análise de Erro EstacionárioAnálise de Erro Estacionário
Dado o sistema de realimentação unitárianegativa da figura abaixo, serão definidas asconstantes de erro.
)(sG
-
Y(s)+R(s) E(s)
Unitária
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CONSTANTES DE ERROCONSTANTES DE ERRO
Definições
Erro de posicão:
Erro de velocidade:
Erro de aceleração:
)(lim 0 sGK sp →=
)]([lim 0 ssGK sv →=
)]([lim 20 sGsK sa →=
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TIPOS DE SISTEMASTIPOS DE SISTEMAS
Uma planta qualquer pode ser escrita como:
O tipo do sistema é o índice m, ou seja, o númerode pólos em zero da planta.
)1)(1(
)1)(1()(
21 sTsTs
sTsTKsG
mba
++++=
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TEOREMA DO VALOR FINALTEOREMA DO VALOR FINAL
)]([lim)(lim0
ssFtfst →∞→
=
O limite de uma função no domínio do tempo quando otempo tende a infinito pode ser encontrado através dolimite do produto da transformada de Laplace da funçãopela variável de Laplace quando esta tende a zero.
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CONSIDERANDO O ERROCONSIDERANDO O ERRO
Do diagrama de realimentação negativa unitária:
)(1
)()(
)()()(
)()()(
sG
sRsE
sEsGsY
sYsRsE
+=
=−=
)(sG
-
Y(s)+R(s) E(s)
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APLICANDO O TEOREMA DO VFAPLICANDO O TEOREMA DO VF
0 0
( )lim ( ) lim[ ( )] lim[ ]
1 ( )estt s s
sR se e t sE s
G s→∞ → →= = =
+
portanto o erro estacionárioé o limite do erro quando otempo tende a infinito:
Como o erro estacionário pode ser calculado paraqualquer entrada r(t) e é dado por ( )lim ( ) ( )est
te r t y t
→∞= −
( )e t
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PARA DEGRAU UNITÁRIOPARA DEGRAU UNITÁRIO
)(lim1
1]
)(1
)1([lim
00 sGsG
sse
ss
est
→→ +
=+
=
pest K
e+
=1
1
Considerando a entrada de referência como um degrau
unitário
)(lim 0 sGK sp →=pois
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PARA RAMPA UNITÁRIAPARA RAMPA UNITÁRIA
)]([lim
1]
)(1
)1([lim
0
2
0 ssGssGs
se
ss
est +=
+=
→→
vs
est KssGe
1
)]([lim
1
0
==→
Considerando a entrada de referência como uma rampa
unitária
)(lim 0 ssGK sv →=
pois
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
PARA PARÁBOLA UNITÁRIAPARA PARÁBOLA UNITÁRIA
)]([lim
1]
)(1
)1([lim
2
0
3
0 sGssGs
se
ss
est
→→
=+
=
aest K
e1=
Considerando a entrada de referência como uma parábola
unitária
)(lim 20 sGsK sa →=
pois
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CONSTANTES DE ERRO PARACONSTANTES DE ERRO PARASISTEMAS TIPO 0SISTEMAS TIPO 0
KsTsT
sTsTKsGK ba
sp =
++++==
→
)1)(1(
)1)(1()(lim
210
0)1)(1(
)1)(1()]([lim
210
=++
++==→
sTsT
sTsTsKssGK ba
sv
0)1)(1(
)1)(1()]([lim
21
22
0=
++++==
→
sTsT
sTsTKssGsK ba
sa
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ERROS ESTACIONÁRIOS ERROS ESTACIONÁRIOS DE MALHA FECHADADE MALHA FECHADA DE DESISTEMAS SISTEMAS DE MALHA ABERTADE MALHA ABERTA DO TIPO 0 DO TIPO 0
Para degrau unitário:
Para rampa:
Para parábola:
KKe
pest +
=+
=1
1
1
1
∞==v
est Ke
1
∞==a
est Ke
1
Obs.: MALHA FECHADA COM REALIMENTAÇÃO UNITÁRIAObs.: MALHA FECHADA COM REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
CONSTANTES DE ERRO PARACONSTANTES DE ERRO PARASISTEMAS TIPO 1SISTEMAS TIPO 1
∞=++++==
→
)1)(1(
)1)(1()(lim
210 sTsTs
sTsTKsGK ba
sp
KsTsTs
sTsTsKssGK ba
sv =
++++==
→
)1)(1(
)1)(1()]([lim
210
0)1)(1(
)1)(1()]([lim
21
22
0=
++++==
→
sTsTs
sTsTKssGsK ba
sa
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
Para degrau unitário:
Para rampa:
Para parábola:
01
1 =+
=p
est Ke
KKe
vest
11 ==
∞==a
est Ke
1
ERROS ESTACIONÁRIOS ERROS ESTACIONÁRIOS DE MALHADE MALHA
FECHADAFECHADA DE SISTEMAS DE SISTEMAS DE MALHA ABERTADE MALHA ABERTA
DO TIPO 1DO TIPO 1
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
CONSTANTES DE ERRO PARACONSTANTES DE ERRO PARASISTEMAS TIPO 2SISTEMAS TIPO 2
∞=++++==
→
)1)(1(
)1)(1()(lim
2120 sTsTs
sTsTKsGK ba
sp
∞=++++==
→
)1)(1(
)1)(1()]([lim
2120 sTsTs
sTsTsKssGK ba
sv
KsTsTs
sTsTKssGsK ba
sa =
++++==
→
)1)(1(
)1)(1()]([lim
212
22
0
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
Para degrau unitário:
Para rampa:
Para parábola:
01
1 =+
=p
est Ke
01 ==
vest K
e
KKe
aest
11 ==
ERROS ESTACIONÁRIOS ERROS ESTACIONÁRIOS DE MALHADE MALHA
FECHADAFECHADA DE SISTEMAS DE SISTEMAS DE MALHA ABERTADE MALHA ABERTA
DO TIPO 2DO TIPO 2
- CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS
Tabela de erros estacionáriosTabela de erros estacionários
2
1
0
Parábolaunitária
Rampaunitária
Degrauunitário
Tipo dosistema
K+1
1 ∞
∞
∞
K
1
K
1
0
0 0
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Kt
J=Jm+Jc
c
Ia = Cte (correntede armadura)
Vf
If
τ
θRf
Lf
KT
V0
+
-
+
Ka
V1
V2
EXEMPLOEXEMPLO Para um motor CC abaixo, encontre os erros estacionários para o
degrau, a rampa e a parábola unitários. Considerar:
Rf = 1 Ω, Lf = 0,2 H, Jm = 0,05 N-m/rad/s2, Jc = 0,20 N-m/rad/s,c = 0,5 N-m/rad/s, KT = 0,1N-m/A e Kt = 1 V/rad/s.
estator rotorCorrente de
campo
Potenciômetro decontrole develocidade sensor
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Metodologia de soluçãoMetodologia de solução
Estabelecer as equações básicas
Desenhar o diagrama de blocos
Determinar a função de transferência de malhaaberta
Determinar o tipo do sistema
Achar as constantes de erro
Achar os erros respectivos
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Equações do sistemaEquações do sistemaAs seguintes equações descrevem o comportamento do sistema
Kt
J
c
Ia = Cte
Vf
If
τ
θRf
Lf
KT
V0
+
-
+
Ka
V1
V2
)( 21 VVKV af −=
fff
f VRsL
I+
= 1
fT IK=τ
τ++
=θcssJJ cm
2)(
1
Ω= tKV2
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Diagrama de blocosDiagrama de blocos
A partir das equaçõespode-se entãodesenhar o DBcorrespondente
Ka
V1
-
KT
Kt
ff RsL +1
csJ +1
s
1
V2
Vf If τ Ω θ
Kt
J
c
Ia = Cte
Vf
If
τ
θRf
Lf
KT
V0
+
-
+
Ka
V1
V2
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FT de malha abertaFT de malha aberta
A seguinte FTMA é obtida após substituiçãodos valores.
Observar que a realimentação é unitária (Kt=1)
)5,025,0)(12,0(
1,0
)(
)(
++=Ω
ss
K
sV
s a
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Tipo do sistemaTipo do sistema
Pode-se reescrever a FTMA (*2/*2) naforma padrão:
Conclui-se que o sistema é do tipo 0
)15,0)(12,0(
2,0
)(
)(
++=Ω
ss
K
sV
s a
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ErrosErros
Portanto, o erro da rampa e da parábola sãoinfinitos
O erro da resposta ao degrau é
Substituindo o K, o erro é
K+1
1
1
1 0,2Ka+
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ExercícioExercício
Resolver o exemplo anterior considerando aresistência de campo nula