Realimentação de estadosEstimadores de estados

(C. T. Chen, Capítulo 8)

Sistemas Lineares

Introdução

• Controlabilidade e observabilidade foram usadas nos dois capítulos precedentes para estudar a estrutura interna dos sistemas (descrição no espaço de estados) e estabelecer as relações entre as descrições interna e externa (função de transferência).

• Agora discutem-se suas implicações no projeto de sistemas de controle realimentados (feedback control systems).

• Os sistemas de controle podem ser formulados como na Figura a seguir, onde:– Planta e sinal de referência r(t) são dados– A entrada da planta u(t) é chamada sinal de atuação ou sinal de controle– y(t) é chamado saída da planta ou sinal controlado

Introdução

Planta yur

Introdução• Objetivo: projetar um sistema completo tal que a saída da planta

siga o sinal de referência r(t) com o menor erro possível• Dois tipos de controle:

– Malha aberta – o sinal de atuação u(t) depende somente da referência r(t), sendo independente da saída da planta

– Malha fechada ou controle por realimentação – o sinal de atuação depende do sinal de referência e da saída da planta

• Na prática, usa-se quase que exclusivamente o controle a malha fechada ou controle realimentado

• Este capítulo estuda projetos usando equações de estados. Projetos usando frações coprimas serão abordados no próximo capítulo

• São estudados sistemas lineares invariantes no tempo

Realimentação de Estados

Teorema 8.1

O que pode ser obtido via realimentação de estados? Vejamos um exemplo:

O exemplo mostrou que realimentação de estados pode ser usada para colocar os autovalores em qualquer posição. Mais ainda, os ganhos de realimentação são diretamente obtidos.

Localização dos autovalores

Procedimento para alocação de pólos

Regulação e seguimento

Regulação: retornar à origem após uma perturbação (sinal de referência nulo)

Seguimento: erro para uma entrada de referência não nula deve ser zero quando t→∞ (sinal de referência constante r(t)=a para todo t≥0) (seguimento assintótico de uma referência em degrau)

Seguir uma entrada de referência r(t) não constante é denominado problema de servomecanismo.

O problema de regulação é resolvido via realimentação de estados: a realimentação de estados é usada para fazer (A-bk) estável com todos os autovalores dentro do setor representado na Figura 8.3.

)0()( )( xc bkA tety

Para seguimento de referência em degrau, é preciso um ganho feedforward p, tal que . Daí:kx )()( tprtu

Em resumo:

Dada a realização (A, b, c):- se (A,b) é controlável, pode-se introduzir

realimentação de estados e alocar os autovalores de (A-bk) em qualquer posição desejada, e o sistema resultante cumprirá a regulação;

- se (A,b) é controlável e c(sI-A)-1b não tem zero na origem (s=0), após realimentação de estados é possível introduzir um ganho feedforward, e o sistema resultante é capaz de seguir qualquer referência em degrau.

Seguimento robusto e rejeição de perturbação (Problema: seguir u e rejeitar w)

Realimentação integral de estados

Sistema aumentadoSeja xa(t) a saída do integrador, uma variável de estado a mais. Então o sistema tem o vetor de estados aumentado [x’ xa]’. Da figura no slide anterior, tem-se que

A existência de um zero na origem cancelaria o polo na origem correspondente ao integrador, resultando em um sistema não controlável.

Realimentação integral de estados

Estabilização

Estimadores de estados

Problemas em usar (8.39) • O estado inicial tem que ser estimado e setado cada vez que

se usar o estimador• Se A tem autovalores com parte real positiva, qualquer erro

entre o estado real e o estimado crescerá com o tempo.

ubxAx ˆ̂

Estimador (ou Observador) em malha fechada (ou Assintótico)

Observador de estados via equação de Lyapunov

Observador de ordem reduzida

Um sistema observável pode ser colocado na forma

Como y=x1, apenas (n-1) estados precisam ser estimados.

Observador de ordem reduzida usando Lyapunov

Justificativa

Realimentação usando estados estimados

Princípio da Separação

Realimentação de estados: caso multivariável

Projeto via equação de Lyapunov

Observador de estados: caso multivariável

Controlador resultante da realimentação de estados + observador de estados