Álgebra linear (parte 1) (c. t. chen, capítulo 3) sistemas lineares
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Álgebra Linear(Parte 1)
(C. T. Chen, Capítulo 3)
Sistemas Lineares
IntroduçãoSejam as matrizes reais Anxm, Bmxr , Clxn , Drxp. Seja ai
a i-ésima coluna de A e bj a j-ésima linha de B. Então
- aibi é uma matriz nxr (ai é nx1 e bi é 1xr)- biai só existe se n=r. Neste caso, o resultado é um escalar.
Bases, representação e ortonormalização
Seja o espaço linear real de dimensão n (n-dimensional) Cada vetor em é uma n-upla, e é dado por
que normalmente escrevemos de forma transposta, por economia de espaço, como
,
A dimensão de um espaço linear pode ser definida como o número máximo de vetores linearmente independentes no mesmo. Logo, em podemos ter no máximo n vetores LI
Base e representação
Base ortonormal
Exemplo
-1 q1
2 q2
0.5 q2
2 i2
Normas de vetores
Norma 1
Norma 2, quadrática ou Euclidiana
Norma ∞
Ortonormalização
Um vetor é dito normalizado se sua norma Euclidiana é 1, ou seja,
Observe que é um escalar e é uma matriz nxn.
Ortonormalização
Dado um conjunto de vetores LI Pode-se obter um conjunto ortonormal através do seguinte procedimento:
meee 21
Ortonormalização de Schmidt
Equações algébricas lineares
Range space de A se traduz como espaço imagem ou espaço de colunas de A
Exemplo
Espaço imagem de A
Espaço nulo de A
Teorema da existência de soluções
Teorema da parametrização das soluções
Exemplo
Corolário
Determinante e inversa de matrizes quadradas
Transformação de similaridadeSeja uma matriz quadrada . Ela mapeia nele mesmo. Se associarmos a a base ortonormal em (3.8), então a -ésima coluna de é a representação de na base ortonormal. Agora, selecionando um conjunto diferente como base, a saber, , a matriz terá uma representação diferente, . Daí, a -ésima coluna de é a representação de na base . Isto é ilustrado pelo exemplo a seguir:
Exemplo 3.4
Continuação...
Caso geral
• Seja A uma matriz n por n