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MATRIZES

As matrizes são ferramentas básicas da Álgebra Linear,

pois além de fornecerem meios para resolução dos sistemas

de equações lineares, elas também representarão as transformações

lineares entre espaços vetoriais, como veremos futuramente.

Uma Aplicação Real

Definição de Matriz

a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1 a11x 1 +

Matrizes

A= a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n ... ... a2n

a31 a32 a33 a3n ...

...

...

...

am1 am2 am3 amn ...

Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Consideremos o sistema

... +

a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2

a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3

...

am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm

Matrizes Conceitos Básicos


87410

02452

10221

3x5

a13= 2

a34= 7


Amxn = [aij]mxn

As matrizes podem ser classificadas segundo:

A natureza dos elementos

A forma


Amxn = [aij]mxn Segundo a forma em:

Rectangular

Quadrada

Coluna

Linha

Se o número de linhas é diferente do número de colunas

Se o número de linhas é igual do número de colunas

Se o número de colunas é igual a um

Se o número de linhas é igual a um

53

05442

12520

43201

33

231

310

201

13

1

0

1

31221

Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m


Amxn = [aij]mxn Segundo a natureza dos elementos em:

Real

Complexa

Nula

se todos os seus elementos são reais

ijij aAa :

se pelo menos um dos seus elementos é complexo

CaAa ijij :

se todos os seus elementos são nulos

0: ijij aAa

100

251

10

251

i

000

000



Triangular Superior

Triangular Inferior

0: ijij ajiAa

uma matriz quadrada em que os elementos abaixo

da diagonal principal são nulos

uma matriz quadrada em que os elementos acima

da diagonal principal são nulos

0: ijij ajiAa

5000

6200

0300

7211

5103

0220

0025

0001



Diagonal

Escalar

0: ijij ajiAauma matriz quadrada em que os

elementos não principais são nulos

5000

0200

0000

0001

uma matriz diagonal em que os

elementos principais são iguais

ij

ijij

aji

ajiAa 0:

2000

0200

0020

0002



Simétrica

Densa

Dispersa

5740

7232

4301

0211

se os elementos aij são iguais aos aji

se a maioria dos seus elementos são não nulos

se a maioria dos seus elementos são nulos

645

046

633

BAc

Matrizes

Soma de Matrizes

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de

342

015

321

A

303

031

312

B

3 3 6

6 4 0

5 4 6

A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os

elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

njmibac

BACMCMBA

ijijij

nmnm

,,1,,1;

:,

Operações com Matrizes

Matrizes

ABBAMBA nm ,


goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa

A soma de matrizes do mesmo tipo

)()(,, CBACBAMCBA nm

AOAMOMA nmnm :

OBAMBMA nmnm :

Matrizes Operações com Matrizes

goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa

A soma de matrizes do mesmo tipo

Matrizes

Produto por um escalar

Sejam A uma matriz e um escalar

O produto de por A é uma matriz C

342

015

321

A

9126

0315

963

3 A

que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por

njmiac

ACMAMA

ijij

nmnm

,,1,,1;

:


do mesmo tipo de A

Matrizes

AA


e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo

AAA )(

BABA

AA1

Matrizes

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n ... ... a2n

a31 a32 a33 a3n ...

...

...

...

am1 am2 am3 amn ...


Consideremos o sistema

a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1 a11x 1 + ... +

a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2

a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3

...

am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm

= b1

b2

b3

bm

x1

x2

x3

xn


Matrizes

1 2 3

2 5 3 2

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x 3

3 x 3

=

2 x 3


Matrizes

1 2 3

2 5 3 2

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x 3

3 x 3

8

2 x 3


Matrizes

1 2 3

2 5 3 2

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x 3

3 x 3

8

2 x 3

12


Matrizes

1 2 3

2 5 3 2

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x 3

3 x 3

8

2 x 3

12 15


Matrizes

1 2 3

2 5 3 2

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x 3

3 x 3

8

2 x 3

12 15

15


Matrizes

1 2 3

2 5 3 2

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x 3

3 x 3

8

2 x 3

12 15

15 29


Matrizes

1 2 3

2 5 3 2

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x 3

3 x 3

8

2 x 3

12 15

15 29 27



Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

cujos elementos são dados por:

mxp

n

k

jkkiji bac1

e escreve-se C=AB.

nxp.

O produto de matrizes não é comutativo

Matrizes

CBACBA


Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,

as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.

CBCACBA )(

CABACBA

BABABA aaa


Transposição de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:

jiji ab mjni ,....;,..., 11

e escreve-se B=AT

5305442

12520

43201

A

35014

523

452

420

201

TA

Matrizes

AATT


Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,

as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B e a um escalar.

TTT BABA )(

TT AA aa

TTTABBA

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