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Transformação Linear

+Introdução

n  A importância de estudar Transformação Linear n  Matrizes, Cálculo, Equações Diferenciais, Geometria Diferencial,

etc.

n  Usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como rotação, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço.

n  Estudaremos um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais.

n  Estamos interessados nas funções vetoriais lineares, que serão denominadas transformações lineares.

+Introdução n  Lembramos que uma função f de um conjunto A em um

conjunto B, f : A → B, é uma regra que associa a cada elemento do conjunto A, um único elemento do conjunto B. n  O conjunto A é chamado domínio;

n  O conjunto B é chamado contradomínio;

n  O subconjunto de B formado pelos elementos b ∈ B tais que f(a) = b, para algum a ∈ A é chamado conjunto imagem de f.

a f(a) = b

A B

f

+Introdução

Exemplo: f (x) = x + 5

n  A = {1, 4, 7} = Domínio (D)

n  B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} = Contradomínio (CD)

n  Im = {6, 9, 12} = Conjunto Imagem

4 6

A B

1

7

9

12

1 4

8

7

f

+Transformação Linear

n  As funções nas quais estamos interessados na Álgebra Linear são as funções cujos domínios e contradomínios são espaços vetoriais e que, além disso, preservam as operações de adição de vetores e de multiplicação de um vetor por um escalar.

n  Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma aplicação (ou transformação linear) de V em W é uma função T : V → W que possui as seguintes propriedades:

n  (i) T(u + v) = T(u) + T(v), para quaisquer u e v ∈ V;

n  (ii) T(au) = aT(u), para quaisquer u ∈ V e a ∈ R.

+Transformação Linear (exemplo)

1) ?

+Transformação Linear (exemplo)

Logo:

+Transformação Linear (exemplo)

n  A transformação linear do exemplo 1) representa uma reta que passa pela origem.

n  É fácil ver que, se uma transformação representar uma reta que não passa pela origem, ela não é linear

n  Logo: T : R → R, T(x) = 3x + 1 não é linear, de fato:

+Transformação Linear (exemplo)

2) ?

+Transformação Linear (exemplo)

Logo:

+Transformação Linear

+Transformação Linear

3)

+Observação

n  Uma matriz A (m x n) sempre determina uma transformação linear:

TA : Rn → Rm

n  Onde a imagem TA(v) = Av é o produto da matriz A pelo vetor v ∈ Rn considerado como uma matriz de ordem n x 1.

n  Uma transformação linear desse tipo chama-se multiplicação por A.

+Transformação Linear (exemplo)

3)

É linear ?

De fato:

e

+Transformação Linear (exemplo)

+Interpretação Geométrica

n  Seja: T : R2 → R2 , T(x, y) = (– 3x + y, 2x + 3y)

n  Consideremos os vetores: u = (–1, 1) e v = (0, 1)

n  Portanto: T(u) = (4, 1) e T(v) = (1, 3)

T

A figura mostra que sendo u + v a diagonal do paralelogramo determinado por u e v, sua imagem T(u+v) representa a diagonal de um paralelogramo determinado por T(u) e T(v), isto é, T(u+v) = T(u) + T(v). Diz-se, nesse caso, que T representa a adição de vetores.

+Interpretação Geométrica

n  A figura mostra que, ao multiplicarmos o vetor por 2, sua imagem T(u) fica também multiplicada por 2,esse fato vale para qualquer “a” real, isto é, T(au) = aT(u).

n  Nesse caso, T preserva a multiplicação por um escalar.