aulas 2, 3, 4, 5 funÇÕes plano...

Universidade Tecnológica Federal do ParanáCampus Francisco BeltrãoCálculo Diferencial Integral 1Profª Sheila Regina Oro

AULAS 2, 3, 4, 52 FUNÇÕES2.1 Plano Cartesiano

Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens aoseu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. Onome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e yperpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixodas abscissas (eixo Ox) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo Oy).Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P = (a,b) do plano cartesiano é formado por um parordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada,respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origempara a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima(se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) ≠ (b,a)se a ≠ b.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadasquadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistemaformando um ângulo reto (90º). Os nomes dos quadrantes são indicados nosentido anti-horário.

1

y (ordenada)

(abscissa) x

0


Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesianoentre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenadosda forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundoconjunto B.

AxB = { (x,y): xA e yB }

Observe que AxB ≠ BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ouB=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxnelementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12pares ordenados e será dado por: AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

2.2 DefiniçãoDados dois conjuntos, A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe

o nome de função definida em A com imagens em B se e somente se, paratodo elemento em A existe um único elemento em B.

Ou seja, função é uma lei que relaciona duas grandezas.

Exemplo: A lei que determina o valor a pagar na compra de x chocolates secada chocolate custa $ 1,50 é dada por f (x) = 1,50 x.

Podemos representar funções através de diagramas.

Exemplo:

É função porque satisfaz as condições da definição

Não é função porque não satisfaz as condições da definição

2

y2º Q (- , +) 1º Q (+, +)

x3º Q (- , -) 4º Q (+ , -)


ATIVIDADES10) Verifique se cada um dos esquemas abaixo define ou não uma função deA= {−1,0,1,2 } em B= {−2,−1,0,1,2,3 } e justifique.

11) Dados os conjuntos A= {−1,0,1,2 } e B= {−2,−1,0,1,2,3,5,8 } , faça odiagrama de flechas e diga quais das relações são funções de A em B?

a) R= { x,y ∈AXB∣ y=1x } b) R= {x,y ∈AXB∣y=x 21 }

c) R= {x,y ∈AXB∣y2=x2 } d) R= {x,y ∈AXB∣y=x 3}

2.3 Domínio e ImagemDomínio de uma função f é o conjunto dos elementos (conjunto de

partida) para os quais existe uma correspondência com os elementos do outroconjunto (conjunto de chegada). Indicamos o domínio da função f por D (f ).

Exemplo: Num exemplo anterior relacionamos a quantia a ser paga pelacompra com o número de chocolates comprados, ou seja, o valor a ser pago“depende” da quantidade de chocolates adquirida, logo dizemos que a

3


quantidade de chocolates é a variável independente. O domínio é um conjuntobem definido, não é possível comprarmos -1 chocolates. Também não épossível comprar 1,5 chocolates, sendo assim, números negativos e númerosracionais não fazem parte do domínio deste exemplo. Um domínio para afunção acima é formado por números inteiros positivos, iniciando do zero efinalizando no máximo de chocolates disponível para compra.

Imagem da função f é o conjunto dos elementos (conjunto de chegada)que receberam correspondência a partir dos elementos do domínio. Indicamosa imagem por Im( f ).

Exemplo: Voltando ao anterior, como o valor a ser pago “depende” daquantidade de chocolates adquirida, dizemos que o valor a ser pago é avariável dependente da função, ou seja, a sua imagem. A imagem também éum conjunto bem definido, note que não é possível o comprador gastar umaquantidade negativa, mas o comprador pode gastar $ 1,50, sendo assim,números negativos não fazem parte da imagem, porém números racionaispositivos sim.

2.4 Gráficos O gráfico da função f é expresso pelo conjunto G f = { x,y ∣x∈ D f } e

y ∈ Im f . No eixo cartesiano, a variável independente x é representada noeixo das abscissas e a variável dependente y, no eixo das ordenadas.

Exemplo: O gráfico da função f (x) = 1,50 x é:

Exemplo: José Roberto toma um táxi comum que cobra $ 2,60 pelabandeirada e $ 0,65 por quilometro rodado. Temos aqui uma função, o valor aser pago depende da quilometragem rodada. Então, f : A B, onde o domínio

4


A é a quilometragem rodada, e B é o valor a ser pago. A função que descrevetal relação é f(x)=0,65x + 2,60. Note que neste caso, tanto o domínio como aimagem são variáveis contínuas, visto que pode-se rodar 1,375 km.

O domínio e a imagem de uma função são conjuntos que podem ser:i) de pontos isolados, como no caso do exemplo dos chocolates em que temosD(f)={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} eIm(f )={0; 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5; 9; 10,5; 12; ...}.

ii) de intervalos de valores reais, como no exemplo do táxi em que temos:D f = {x∈R∣0≤x } e Im f ={ y∈R∣2,60≤ y } .

Podemos também utilizar notação de intervalo ao invés de notação deconjunto, que para este exemplo é dada por: D f = [ 0,∞ eIm f = 2,60 ;+ ∞ .

Observação: Um método prático para verificar se um gráfico corresponde auma função, é fazer traços verticais paralelos ao eixo y. Usando a definição,sabemos que se eles cortarem uma só vez o gráfico, temos uma função. Se ográfico for cortado mais de uma vez, não temos função, temos apenas umarelação matemática.

Exemplos:

Não é função É função

ATIVIDADES12) O conjunto f = {(1,2), (4,5), (6,8), (3,9)} é uma função de A em B. Determineo domínio e o conjunto imagem da função.

13) Quais dos gráficos a seguir representam funções de R em R? Justifique.

5


14) Considerando que os gráficos abaixo representam funções, estabeleça odomínio e a imagem de cada uma:

15) Determine a imagem de cada uma das funções representadas pelosgráficos abaixo:

6


2.5 Função Identidade

É uma função f : R R que para cada x R, associa f(x) = x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e

também o terceiro quadrante em duas partes iguais.

2.6 Função PolinomialÉ a função f : R R definida por

f x =a0 xn+a1 x

n−1. . .+an−1 x+an

onde os coeficientes ai são números reais não-nulos, n é inteiro não-negativo eindica o grau da função.

Temos, então:i) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero;

7


ii) A função afim f(x) = ax + b é uma função polinomial do primeiro grau.iii) A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma função polinomialdo segundo grau.

E assim sucessivamente.

2.7 Função ConstanteUma função f : R R é denominada constante quando a cada elemento x

R associa sempre o mesmo elemento c R.f : R R

x c

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo xpassando pelo ponto (0, c).

A imagem é o conjunto Im = {c}.

Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3.

2.8 Função AfimChama-se função polinomial do primeiro grau, ou função afim, a qualquer

função f : R R dada por uma lei da forma f x =ax+b , onde a e b sãonúmeros reais dados e a≠0 .

O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta.O número a é chamado de coeficiente angular da reta, visto que é o

valor da tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x. O número b échamado de coeficiente linear da reta. A reta sempre corta o eixo y no ponto b.Dizemos que a função é de primeiro grau, porque o maior expoente de x é 1, eo seu gráfico corta o eixo x em um só ponto, ou seja, a função tem uma só raiz.

Quando b = 0, a função do primeiro grau é denominada linear. O gráficoda função linear sempre passa pela origem das coordenadas O(0, 0).

8


Exemplos:

x f(x)=x+1-2 -1-1 00 11 22 3

O conjunto dos pares ordenados determinados éf={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}O coeficiente angular da reta é a = 1, visto que oângulo que a reta forma com o eixo x é 45º.

Função crescente( a > 0) y = x+1; onde a= 1Para obter a raiz ou zero de f, fazemosf(x)=0, logo, f(x)=x+1=0, então x= - 1 é araizO coeficiente linear da reta é b = 1 vistoque a reta corta o eixo y no ponto 1

x y=f(x)= -x+1-2 3-1 20 11 02 -1

O conjunto dos pares ordenados determinados éf={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} O coeficiente angular da reta é a = -1, visto queo ângulo que a reta forma com o eixo x é 135º

Função decrescente ( a < 0) y = - x+1; onde a= -1Para obter a raiz ou zero de f, fazemosf(x)=0, logo, f(x)= -x+1=0, então x= 1 é araizO coeficiente linear da reta é b = 1 vistoque a reta corta o eixo y no ponto 1

Fazer o estudo de sinal de uma função de primeiro grau é determinar osvalores de x para os quais a função é negativa, zero e positiva. Como a funçãode primeiro grau é da forma f (x)=ax+b, a raiz da função dessa forma será x= -b/a , então:

9


f(x) < 0 se x<−ba ,

Se a função for crescente (a > 0), então f(x) = 0 se x=−ba ,

f(x) > 0 se x>−ba .

f(x) < 0 se x>−ba ,

Se a função for decrescente (a > 0), então f(x) = 0 se x=−ba ,

f(x) > 0 se x<−ba .

Exemplo: Para o gráfico da primeira função do exemplo 10 temos o seguinteestudo de sinal:

f(x) < 0 se x < -1, f (x) = 0 se x = -1, f (x) > 0 se x > -1.Para o gráfico da segunda função do exemplo 10 temos o seguinte estudo

de sinal:f(x) < 0 se x < 1, f(x) = 0 se x = 1, f(x) > 0 se x > 1.

Exemplo: Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo:

y = ax + b com a≠bQuando x = 0, y = 2; portanto, o valor

de b na expressão é igual a 2 Quando y = 0,x = -4 (raiz ou zero da função)

Substituindo os valores em y=ax+b: 0 = -4a + 2 a = 1/2A expressão é y = 1/2x+2

10


ATIVIDADES

16) Para as funções a seguir:I) Faça o seu gráficoII) Diga se a função é crescente ou decrescenteIII) Faça o estudo dos sinaisIV) Diga quais são os coeficientes linear e angular das retas

a) y=x−2 b) y=− x− 2 c) f x =− 4x 1 d) f x =− x

17) As figuras a seguir representam os gráficos de funções, de R em R,determine as expressões que as definem:a) b)

18) Suponha que um fabricante gastou R$ 900,00 em moldes para confecçãode frascos de vidro e que, além disso, o custo de produção de cada frasco sejade R$ 0,05. Diga qual a função matemática que define tal relação, determineimagem e domínio, faça o gráfico e o estudo de sinais. A função é crescente oudecrescente? Justifique.

19) Considere uma avaliação com 10 questões de nota máxima 10,0. Expressea nota da avaliação em função do número de erros, tendo em vista que asquestões podem estar parcialmente corretas. Faça o gráfico da função, digaseu o domínio e imagem, diga sua raiz e faça o estudo de sinais. A função écrescente ou decrescente? Justifique.

2.9 Função QuadráticaChama-se função quadrática, ou função polinomial do segundo grau,

qualquer função f : R R dada por uma lei da forma: f x =ax2+bx+c , ondea,b,c ∈R e a≠0 .

Dizemos que a função é de segundo grau, porque o maior expoente de xé 2. O seu gráfico corta o eixo x em dois pontos, ou seja, a função tem duas

11


raízes. As raízes, ou zeros, da função chamamos de x1 e x2 , e a expressãoque define a função de segundo grau pode ser recuperada fazendo:y= x− x1 x− x 2 .

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola.As raízes de uma função do segundo grau, quando existem, são obtidas

pela fórmula de Bhaskara:

x=−b±b2−4 ac2a

onde chamamos de delta: Δ=b2−4ac .

Se Δ> 0 , a função tem duas raízes distintas. Se Δ= 0 , as duas raízes são iguais. Se Δ< 0 , a função não tem raízes reais. Se a > 0, a parábola terá concavidade para cima. Se a < 0, a parábola terá concavidade voltada para baixo.

O vértice (x, y) da parábola é determinado por: −b2a

,−Δ4a .

Ponto de mínimo ocorre quando a parábola tem concavidade para cima, éo valor de x para o qual a função retorna o menor valor de y. Basta olhar ovértice.

Ponto de máximo ocorre quando a parábola tem concavidade para baixo,é o valor de x para o qual a função retorna o maior valor de y. Basta olhar ovértice.

Estudar o sinal da função é dizer os valores de x para os quais y < 0,y = 0, y > 0. No caso da parábola, este estudo está intimamente ligado com aconcavidade da função.

a< 0 a> 0

Δ> 0 Δ> 0

Δ= 0 Δ= 0

12


Δ< 0

Δ< 0

Exemplo:

x

-2 3-1 00 -11 02 3

a= 1,a> 0

a parábola tem concavidadepara cima

x=−0±02−4 . 1. −1

2. 1, logo x1=−1 e x2=1

Δ= 02− 4 .1 .−1

Δ= 4 , Δ> 0

temos duas raízes distintas:-1 e 1

Fazendo x− x1 . x− x 2 = x−−1 . x−1 = x+ 1 . x−1 =

x2− x+x−1=x2−1 , voltamos na equação e confirmamos que as raízes encontradas estão corretas.

−02 . 1

,−44 . 1 = 0,−1

Vértice

Como a função tem concavidade para cima, a parábola tem ponto de mínimo, ovértice mostra que o menor valor que y assume é -1, quando x = 0, então o ponto

de mínimo é (0, -1).

Estudo dos sinais: f (x) = y < 0 se x > -1 e x < 1f (x) = y = 0 se x = -1 ou x = 1f (x) = y > 0 se x < -1 ou x > 1

13

y=x2−1


Exemplo :

x

-2 -5-1 01 43 04 -5

a=− 1, a< 0

a parábola tem concavidadepara baixo

x=−2±22−4 .−1 . 3

2 .−1 , logo x1=−1 e x2=3

Δ= 22−4 . −1 . 3

Δ= 16 , Δ> 0

temos duas raízes distintas: -1 e3

Fazendo x− x1 . x− x 2 = x−−1 . x−3 = x+ 1 . x−3 =

x2−3x+x−3=x2−2x−3=−x22x3mudando o sinal de todos os termos não alteramos a igualdade e voltamos na

equação e confirmamos que as raízes encontradas estão corretas.

−22 .−1

,−16

4 .−1 =1,4

Vértice

Como a função tem concavidade para baixo, a parábola tem ponto demáximo, o vértice mostra que o menor valor que y assume é 4, quando x =1,

então o ponto de máximo é (1, 4).

Estudo dos sinais: f (x) = y < 0 se x < -1 ou x > 3f (x) = y = 0 se x = -1 ou x = 3f (x) = y > 0 se x > -1 e x < 3

ATIVIDADES20) Para as funções quadráticas a seguir:I) Diga qual a concavidadeII) Obtenha as raízesIII) Obtenha as coordenadas do vérticeIV) Faca o gráficoV) Determine o domínio e a imagemVI) Determine pontos de máximo e de mínimoVII) Faça o estudo dos sinais

a) y= 2x2−12 x+ 10 b) y=−x2

4x5c) y=−x216 d) y=3x2

21) Encontre a expressão definida pelo gráfico da função abaixo:

14

y=−x22x3


22) Suponha que t horas após a meia noite, a temperatura em Pato Branco era

C t =−16t2 4t10 graus Celsius.

a) Qual era a temperatura às 14 horas? b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas?

23) Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (em pés) após tsegundos é dado pela função H t =−16 t 2

256 .

a) Que altitude estará a bola após 2 segundos? b) Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? c) Que altura tem o prédio?d) Quando a bola atingirá o solo?

24) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equaçãoy=−3x2

60 x , onde x e y são medidos em metros. Determine a altura máximaatingida pela bala e o alcance máximo do disparo.

15


2.10 Função ModularA função definida por y = |x| é denominada função modular.Seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [0, +).

ATIVIDADE25) Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seugráfico:(a) f(x) = |x – 2| (b) g(x) = |x| - 2

2.11 Função RacionalSe uma função puder ser expressa como o quociente de duas funções

polinomiais, ela será chamada de função racional.

f x =p x

q x Onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) ≠ 0.O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x

tais que q(x) = 0.

Exemplo: A função f x =x−1x+ 1 é função racional de domínio D(f) = R – {-1}.

2.12 Funções Pares e ÍmparesUma função é par se, para todo valor de x no domínio de f, f(-x) = f(x).Uma função é ímpar se, para todo valor de x no domínio de f, f(-x) = -f(x).Em ambos os casos, devemos entender que –x está no domínio de f

sempre que x estiver lá.

Exemplo: (a) Seja f x =3x 4−2x 2

7 . f(x) é par.Verificação: f − x =3 − x

4−2 − x

27=3x 4

− 2x27 =f x

(b) Seja g x =3x 5−4x 3

−9x . g(x) é ímpar.Verificação:g − x =3 − x

5−4 − x

3−9 − x =−3x5

4x 3 9x=− 3x5

− 4x3−9x =−g x

(c) Seja h x = 2x 47x3

− x29 . h(x) não é nem par nem ímpar.

Verifique!

16

y

x 0


ATIVIDADES

26) Determine o domínio e a imagem da função e esboce seu gráfico:

a) f x =x2

−4x3x−1

b) g x =4x−12x1

27) Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas opções:a) f x =2x3

−3x b) g x =5x 42x2

−1 c) h x = 3x5−2x 3+x 2

− x

2.13 Funções exponenciaisUma função da forma f x =b x , onde b > 0 e b ≠ 1, é chamada de

função exponencial de base b. Se b = 1, então a função f x =b x é constante,e não exponencial, uma vez que f x =b x = 1x = 1 e passamos a ter f (x) = 1para todo x. Note que uma função exponencial tem uma base constante e umexpoente variável. Assim uma função tal como f x =x 2 não é funçãoexponencial, uma vez que a base é variável e o expoente é uma constante.Exemplos:

x

y=2x

-2 2−2=122

-1 2−1=121

0 20=11 21=22 22

=4

Como a base é maior que 1,pois b = 2, então o gráfico dafunção é crescente.O domínio da função sãotodos os reais e a imagemsão os valores positivosdiferentes de zero.O gráfico da exponencialsempre corta o eixo y noponto 1, visto que todonúmero elevado a zero é 1.

17


x y= 12 x

-2 12 −2=22

-1 12 −1

=21

0 120=11 12

1=12

2 12 2=122

Como a base é positiva,menor que 1, pois b =1/2,então o gráfico da função édecrescente.O domínio da função sãotodos os reais e a imagemsão os valores positivosdiferentes de zero.O gráfico da exponencialsempre corta o eixo y noponto 1, visto que todonúmero elevado a zero é 1.

y=3−2x

Primeiro refletimos o gráficode y = 2x em torno do eixo xpara obter o gráfico de y= -2x.A seguir deslocamos ográfico de y = -2x para cima 3unidades, para obter ográfico de y=3−2x .O domínio é R e a imagem−∞,3 .

Uma base muito utilizada na função exponencial é o número de Euler.Indicamos o número de Euler pela letra “e” e o seu valor aproximado é2,718281...

A função f x =e x é denominada função exponencial natural. Como onúmero “e” está entre 2 e 3, o gráfico de y=ex se encaixa entre os gráficos dey=2x e de y=3x .

18


A constante “e” também aparece no contexto do gráfico da função

f x =11x

x

, onde y=e é uma assíntota1 horizontal desse gráfico. Assim, o

valor de “e” pode ser aproximado com a precisão desejada calculando f(x) parax suficientemente grande em valor absoluto.

Aplicação: Estudo do crescimento bacterianoPara se estudar o crescimento de uma bactéria é preciso cultivá-la, como

cultura pura, em meios de cultura e condições ambientais que variam emcondições químicas e físicas, tais como fontes de nutrientes, osmolaridade, pH,presença ou ausência de oxigênio e temperatura de incubação. Por exemplo, abactéria E. coli crescendo em um meio de cultura rico e sob condiçõesaeróbicas, atinge uma concentração final de 2 a 5 x 109 células por ml emcerca de 12 a 18 horas.

Uma das abordagens mais comuns no estudo do crescimento bacterianoé a obtenção de curvas de crescimento. Estas são representações gráficas doaumento do número de indivíduos em um determinado período de tempo. Umalinha de tendência passando pelos pontos do gráfico é uma curva exponenciale cada ponto por onde a curva passa indica o número teórico de bactérias, emum dado tempo.

Por exemplo, suponha que certa cultura de bactérias cresce com umataxa proporcional ao seu tamanho. No instante t = 0 estão presentesaproximadamente 20 mil bactérias. Passadas 5 horas há cerca de 400 mil

1 Uma reta é uma assíntota de uma curva quando um ponto ao mover-se ao longo da parte extrema da curva se aproxima desta curva. Ou seja, a assíntota e a curva ficam arbitrariamentepróximas à medida que se afastam da origem de coordenadas.

19


bactérias. A função que expressa o número aproximado de bactérias presentesna cultura como função do tempo, medido em horas é a seguinte:

y=13 ,06 t20000

ATIVIDADES

28) Dado o gráfico da função exponencial f (x)=9x. Calcule os valores de f (1/2), f (2), f(3), f (4).O que ocorre com os valores de y = f (x) quandox aumenta?

29) Considere a função exponencial f (x)=(1/4)x. a) Calcular os valores de f (1/2), f (2), f (3), f (5); b) Analisar o que ocorre com os valores de y = f (x) quando x aumenta.

30) Com relação ao crescimento de funções, identifique cada funçãoexponencial apresentada a seguir como crescente ou decrescente. Emseguida, informe o domínio e a imagem de cada função.a) f1(x)=7x b) f2(x)=7-x + 2 c) f3(x)=5-x d) f4(x)=(1,01)x + 2 e) f5(x)=(3/4)x

31) Construa os gráficos das funções, diga se a função é crescente oudecrescente e informe o domínio e a imagem:

a) y=3x b) y= 13

x

c) y=e−x d) y= 2x1

32) Considere a função exponencial: f x =a x .Analise as afirmações a seguir e indique a classifique-as em verdadeiras oufalsas. Justifique apenas as afirmações falsas:( ) Se o valor de a é negativo, a função é decrescente;( ) A função não está definida para a = 1;( ) Se a = 1,5 e x = 2, então f(x) = 3;( ) O domínio da função é dado por x R;( ) O gráfico da função é uma curva.

20


33) A expressão utilizada para calcular o crescimento da população de umdeterminado tipo de bactérias é dada pela função do tempo t (em minutos):

f t =1,25

10,25 e−0,4 t ,t≥0

Determine o número de bactérias apósa) 5 minutos:b) 1hora:c) 1 dia:

34) Suponha que uma colônia de moscas das frutas está crescendo de acordocom a lei exponencial P(t) = P0ekt, e suponha que o tamanho da colônia dobraa cada 9 dias. a) Determine a constante de crescimento.b) Supondo que o tamanho inicial da colônia é 100, determine o tamanho dacolônia após 41 dias. c) Após quantos dias a colônia terá 800 moscas?

2.14 Funções logarítmicasO que é um logaritmo?Sejam a e b números reais positivos e a≠1 . Chama-se logaritmo de b

na base a o expoente x tal que ax=b . Simbolicamente temos

log ab=x⇔a x=b .

Sendo assim, a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é ologaritmo de b na base a.

Verifique que a≠1 , pois 1 elevado a qualquer valor é sempre 1, assim,x poderia assumir qualquer valor enquanto b teria que ser sempre 1.

Exemplos: log28 = 3 pois 23 = 8 log41 = 0 pois 40 = 1 log55 = 1 pois 51 = 5

21


Propriedades Exemploslog a1=0 Qualquer número elevado a zero é 1log aa=1 log3 3=x⇔ 3 x=3 ⇔3 x=31⇔ x=1

alog ab =b

2log 2 8

=x , resolveremos log 2 8=z

log2 8=z⇔ 2z=8⇔2 z=23⇔ z= 3

então temos 2log 2 8

=23=8 =b

Se log ab= log a c então b=c .log 2 8= log 2 c , como log2 8=3 então

log 2 c=3 e não existe outro valor que c podeassumir além de 8. Logo b=c.

log a b∗c = log a b+ log ac

log2 4∗8 =x⇔ log2 32=x⇔2 x=25⇔ x=5

Ou ainda, log2 4=z⇔2 z=22

⇔ z= 2 elog2 8=y⇔ 2y

=23⇔ y= 3 . Assim:

log 2 4 log 2 8=z+y= 23=5= log 2 4∗8

log a bc = log a b− log a clog2 84 = log2 2=x⇔2 x

=21⇔ x= 1 .

Ou, log 2 8=y⇔ y= 3 , e log 2 4 =z⇔ z= 2

log 2 8 log 2 4 =y− z= 3− 2=1= log 2 84

log abr =r logab

log2 43= log2 64=x⇔2x=26⇔ x= 6

Ou fazendo, r log a b=3log 2 4= 3∗2=6

Mudança de Base

log ab=log c b

log c a

log 4 16=x⇔ 4 x=42⇔ x=2 ,

ou ainda: log 4 16=log2 16

log2 4

onde log2 16=y⇔ 2y=24

⇔ y= 4

e log2 4=z⇔2 z=22⇔ z= 2

Assim, log 4 16=log 2 16

log 2 4=

42

=2

Uma base muito utilizada em logaritmos é a base 10. Neste caso,

usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólicaescrevemos somente log b ao invés de log10 b . Assim quando lermos log b =x entendemos que 10x=b .

Exemplos:log 100 = 2 porque 102 = 100 log 1000 = 3 porque 103 = 1000log 2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2 log 3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3

Outra base também muito utilizada é o número de euler e= 2,7183....Nesse caso, temos log eb=x⇔ ex=b . Comumente, o logaritmo na base e

22


recebe a notação especial de ln, e ao lermos ln b=x, entendemos que e x=b . Oln é chamado de logaritmo neperiano, em homenagem a John Napier que foium matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos. O ln também éconhecido como logaritmo natural, porque tem grande aplicação no estudo dediversos fenômenos da natureza.

Exemplos:ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183... ln 7 = loge7

2.14.1 Função Logarítmica:A partir dos logartimos podemos definir a função f : R R pela

expressão y= log a x . Sabemos que y= loga x⇔ a y=x , então para a funçãologarítmica temos que ter a base a real, maior que zero e diferente de 1.Temos que os valores de y são a imagem da função, visto que a base a podereceber como expoente qualquer valor real, então a Im(f )= R. O domínio dafunção são os valores de x para os quais a y=x , e como o resultado dequalquer exponencial é sempre positivo e diferente de zero, temos queD f =R . Para plotar a função logarítmica torna-se mais fácil partir dos

valores de y para depois obter os de x, visto que y assume qualquer valor real.

Exemplos:

y y= log2 x⇔2 y=x x

-2 2−2= 122 =14 14

-1 2− 1= 121 = 12 12

0 20=1 1

1 21=2 2

2 22=4 4

Note que a base a= 21 , então o gráfico dafunção é crescente.

23


y y= log 12

x⇔ 12 y=x x

-2 12 −2=22=4 4

-1 12 −1

=21=2 2

0 20=1 1

1 12 1=12 12

2 12 2=14 14

Note que a base a= 12 , onde 0 12 1 , então ográfico da função é decrescente.

Todos gráficos da função logarítmica cortam o eixo x no ponto (1,0)independente da base, pois a0=1 , para qualquer valor de a .

As funções logarítmicas também podem ser interpretadas como inversasdas funções exponenciais. Se b > 0 e b 1, então bx e logb x são funçõesinversas. Dessa forma, os gráficos de y=bx e y= log b x são reflexões um dooutro pela reta y=x , como ilustrado abaixo, para b = 10.

O domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da funçãologarítmica e o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem dafunção exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

24


ATIVIDADES:35) Calcule os logaritmos:a) log a 128=7

b) log2 8=x c) log 4b= 3

d) log 1

2

2=x

e) log 2 1 /2 =x f) log 4 16=x

g) log 3 1 /9 =x

h) log 2 2 =x

i) log 1

4

8=x

j) 8log 2 5

=x

k) 31 log 3 4

=x

l) log 5 1 log 27 910 4log 4 3

9log 3 5

=x

36) Qual é o valor de a se o logaritmo do número 16/25 na base a é 2?

37) Qual é o valor de y= ln e+ 2ln 3e ?

38) Calcule o valor de:a) e ln2

b) e1ln3

25


39) Construa o gráfico, diga se a função é crescente ou decrescente edetermine o seu domínio e imagem.

a) xxf 3log)(

b) xxf

3

1log)(

c) 2

2log)( xxf

d) )1(log)( 2 xxf

e) xxf 2log)(

f) xxf 3log2)(

g) xy ln

h) xy log

40) Resolva para x sem usar calculadora:

a) 3)1log( x

b) 4)ln( 2 x

c) 7)3(log3 x

d) 30log²log xx

e) 5loglog 23

xx

f) 8)5(log 2

5 x

41) A acidez de uma substância é medida pelo valor de seu pH, o qual édefinido pela fórmula

pH=− log [H]

Onde o símbolo [H ] denota a concentração de íons de hidrogênio, medidaem moles por litro. A água destilada tem um pH igual a 7; uma substância échamada ácida se tiver pH < 7 e básica se tiver pH >7. Encontre o pH de cadauma das seguintes substâncias e estabeleça se é ácida ou básica.

SUBSTÂNCIA [H]

Sangue arterial 3,9×10−8mol/ LTomates 6,3×10−5mol/ LLeite 4,0×10−7mol / LCafé 1,2×10−6 mol/ L

26


42) Use a definição de pH do exercício anterior para encontrar a concentraçãode íons de hidrogênio [H

] da solução que tem pH igual a:a) 2,44b) 8,06

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman,2007.STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.

Lista de SitesMatemática Essencial: Disponível emhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm (acesso emmarço/2011).

e-Cálculo: Disponível em http://ecalculo.if.usp.br/ (acesso em março/2011).

Cálculo A. Disponível em http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/modulo1.htm (acesso em fev/2011).

27

http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/modulo1.htm

http://ecalculo.if.usp.br/

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm

aulas 2, 3, 4, 5 funÇÕes plano...

Documents