EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

LINEARES

SEGUNDA ORDEM

Prof. Geraldine 02/04/2014

Revisão de Álgebra Linear

Definição de conjunto Linearmente Independente

Dizemos que as funções , são LI, em um

intervalo I, se a única solução da equação

é

1 2c c

1( )f x2( )f x

1 1 2 2( ) ( ) 0 (1)c f x c f x

Revisão de Álgebra Linear

Se o conjunto é LD então a equação

admite uma solução não trivial.

Suponha , então

1 2( ), ( )f x f x

1 1 2 2( ) ( ) 0 (1)c f x c f x

1 0c 21 2

1

( ) ( )c

f x f xc

Exemplo:

Verifique se as funções abaixo são LI

1

2

3

2

4

( ) 5

( ) 5

( ) 1

( )

f x x

f x x x

f x x

f x x

x

Exemplo

As funções abaixo são LI em :

( )g x x

( , )

Wronskiano

Teorema do critério da Independência Linear de Funções:

Suponha que f1(x), ..., fn(x) sejam diferenciáveis pelo menos n-1 vezes.

Se o determinante

for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções f1(x), ..., fn(x) serão LI no intervalo.

O determinante é denominado Wronskiano das funções.

COROLÁRIO:

Se f1(x), ..., fn(x) possuem pelo menos n-1 derivadas e são LD

em I, então para todo x no intervalo

W (f1(x), ..., fn(x)) = 0

Exemplo:

Calcule W (f1(x), ..., fn(x)) das y1 = ex , y2 = e2x e

y3 = e3x

Observe que as funções acima são soluções da equação

Exemplo:

Calcule W (f1(x), ..., fn(x)) das funções y1 = ex , y2 =

xex e y3 = x2ex

EDO Linear de segunda ordem

Formato Geral:

(I)

Exemplos:

Se B = 0 em (I) então a equação é chamada linear

homogênea:

(II)

Problema de valor inicial

Uma solução para a equação acima é uma função

que satisfaça a equação e que passa pelo ponto

com inclinação igual a

2

2 1 021 ( ) ( ) ( ) ( )

d y dyA x A x A x y g x

dx dx

0 0 0 0( ) , '( ) 'y x y y x y Condições iniciais

0 0( , )x y

0'y

Teorema: Existência de uma única

solução

Sejam contínuas em um

intervalo I com para todo x neste intervalo.

Se é algum ponto deste intervalo, então existe

uma única solução y(x) para o problema de valor

inicial (1) neste intervalo.

2 1 0( ), ( ), ( ) e ( )A x A x A x g x

( ) 0n

A x

0x x

Problema de Valor de Contorno

Uma solução para a equação acima é uma função que satisfaça a equação em um intervalo contendo a e b e que passa pelos pontos e

2

2 1 021 ( ) ( ) ( ) ( )

d y dyA x A x A x y g x

dx dx

0 1( ) , ( )y a y y b y Condições iniciais

0( , )a y

1( , )b y

Exemplo:

Uma família a dois parâmetros de soluções para a equação diferencial é

Suponha agora que queiramos determinar aquela solução para a equação que também satisfaça as condições de contorno e

'' 16 0y y

1 2cos(4 ) (4 )y C x C sen x

02

y

0 0y

Observar as soluções no geogebra

Teorema: Princípio da superposição

Seja um conjunto LI de soluções da

equação diferencial linear homogênea (EDLH) de

ordem n em um intervalo I. Então a solução geral da

equação em I é

y = c1y1+ c2y2+...+cnyn

onde ci são constantes arbitrárias.

1 2 ny , y ,..., y

Exemplo 1:

Verifique se y1 = e3x e y2 = e-3x são soluções

da EDLH em (-∞,∞).

´́y 9 0y

Exemplo 2:

Mostre que y1= ex ,y2= e2x e y3 = e3x são soluções

da EDLH de terceira ordem

y´´´-6y´´+11y´-6y =0

Escreva uma outra solução.

Conjunto Fundamental de soluções

Definição: Qualquer conjunto y1, y2,...,yn de n soluções

LI para a EDLH de n-ésima ordem em um intervalo I é

chamado de Conjunto Fundamental de Soluções no

intervalo.

Teorema

Sejam n soluções LI da EDLH de

ordem n em um intervalo I. Então, a solução

geral para a EDO é

y = c1y1+ c2y2+...+cnyn

onde ci são constantes arbitrárias.

1 2 ny , y ,...,y

Exemplo:

A equação de segunda ordem y’’-9y=0 possui duas

soluções y1=e3x e y2=e-3x .

Como encontrar a solução de uma

EDLH?

Uma segunda solução por redução de ordem:

Obs.: Se y1 e y2 são soluções LI então y2/y1 não será

constante.

Exemplo 1: y1=ex é uma solução de y´´-y = 0 em

(-∞,∞), reduza a ordem para encontrar uma

segunda solução y2.

Caso Geral- Encontre uma solução da

EDLH a partir de uma solução dada.

Forma padrão: y’’+P(x)y’+ Q(x)y = 0 (2)

P(x) e Q(x) são contínuas em I

Dada uma solução y1(x)≠0 em I

Definimos y = u(x)y1(x)

2 1 0y'' y' y 0a a a

2

1

a

Exemplo: A função y1 = x2 é uma solução de

x2y”- 3xy + 4y = 0

Ache a solução geral da equação diferencial no

intervalo (0,∞).

EDH com coeficientes constantes

Ordem 2

Forma: ay” + by’ +cy = 0 (1)

Todas as soluções para (1) são funções exponenciais

ou construídas a partir delas.

Vamos tentar uma solução da forma y = emx

Exercícios – 4.3

Encontre a solução geral para a equação diferencial:

Pg 180

EDNaoH com coeficientes constantes

Método dos coeficientes indeterminados

(i) encontrar a função complementar yc;

(ii) encontrar uma solução particular yp.

Solução geral:

y = yc+ yp

Método dos coeficientes

indeterminados

Ordem 2

ay” + by’ +cy = g(x) onde

tan

( )

cos

ax

cons te

fução polinomial

g x e

sen x

x